线性代数-线代模拟题(II)

线性代数模拟试题(II)一 填空题◆1． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y x A 有3个线性无关的特征向量，则y x ,应满足的关系为0 =+y x【提示】按题意A 是可对角化的，求其特征值，重根的重数应满足什么关系？参照教材P125例11◆2． 设A 是3阶实对称矩阵且E A A A 223=--，则A 的二次型经正交变换化为标准形为 222232221y y y f ++=【提示】设A 的特征值为λ，它必满足：0)1)(2(2223=++-=---λλλλλλ，由于实对称矩阵特征值全是实数，故A 的特征值全是2。

◆3． 设3阶方阵A 的特征值为3,2,1-，则=+-E A A 23* 637【提示】参考教材P122例9◆4． 设矩阵A 的各行元素之和都等于2，则A 必有特征值为 2 ，对应的特征向量为]1,,1,1[ T Λ【提示】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1122211M M M A◆5． 设非齐次方程组b x A m =⨯4系数矩阵的秩为3，且它的三个解向量321,,ηηη满足[][]TT4,3,2,1,5,4,3,2321=η+η=η，则b Ax =的通解为 ,]5,4,3,2[]6,5,4,3[ R k k T T ∈+【提示】这是教材P111的第29题二 选择题◆1． 设B A ,都是n 阶方阵，如果O AB =，必有（Ｃ）（Ａ）O A =或O B =； （Ｂ）O BA =； （Ｃ）A 与B 有一个不可逆；（Ｄ）A 与B 有一个可逆 【提示】取行列式0=B A◆2． 方阵A 与B 相似的充分条件是（Ｃ）(Ａ) B A =； （Ｂ）)()(B r A r =；(Ｃ)A 与B 有相同的特征值且这些特征值互异； （Ｄ）A 与B 有相同的特征值【提示】注意题中是充分条件，而（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都是必要条件 如果（Ｃ）成立，则Ａ与Ｂ都可对角化到同一个对角矩阵，),,diag(1212111n AP P AP P λλΛ==--◆3． 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004,1111111111111111B A ，则A 与B （Ｃ） (Ａ) 不合同但相似 (Ｂ) 合同但不相似 (Ｃ) 合同且相似 (Ｄ) 既不合同也不相似【提示】Ａ是对称矩阵，易求得Ａ的特征值为４和０（三重）［参见教材P139第21题］A 可正交对角化（既合同又相似），对角矩阵对角元就是其特征值。

◆４． 设21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，21,αα是0=Ax 的基础解系，则b Ax =的通解是(Ｃ)（Ａ）2)(2121211ββααα-+++k k ；（Ｂ）2)(2121211ββββα-+++k k （Ｃ）2)(2121211ββααα++++k k ；（Ｄ）2)(2121211ββββα++-+k k【提示】1α与21αα+线性无关，仍然是0=Ax 的基础解系。

221ββ+是b Ax =的一个解。

虽然（Ｄ）有可能是通解，但选择题应选肯定的，故（Ｄ）不能选。

◆５． 设B A r−→−，则下面说法不对的是( Ｃ )（Ａ）A 的行组与B 的行组等价 （Ｂ）A 与B 等价（Ｃ）A 的列组与B 的列组等价 （Ｄ）A 的列组与B 的列组有相同的线性关系【提示】由题设（Ａ）是对的，［见教材Ｐ85最上一段］（Ｂ）是对的，这是矩阵等价的特征例［见教材P59定义］（Ｄ）是对的，［见教材P95第４行］这也是我们求最大无关组的依据三 计算题◆1． 计算行列式nn a a a D +++=11111111121ΛM M M ΛΛ 提示 [这是教材P28习题7（6）]从第2列开始每一列减第1列得“爪形”行列式nn a a a a a D 1112111OM Λ--+=，然后再化三角形得)11(121∑=+=nk kn n a a a a D Λ◆2． 解矩阵方程E XA XA A 82-=*，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102101A提示2-=A ，A 可逆，化简方程为E X E A 4)(=+1)(4-+=E A X⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=204102注意 上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角◆3． 设3阶对称矩阵阵A 的特征值为3,6321===λλλ，与特征值61=λ对应的特征向量为T )1,1,1(1=α，（1）求正交矩阵P 使AP P 1-成为对角矩阵；（2）计算n A提示 [这是教材P139习题20]此题是对称矩阵正交对角化的问题，但对应对332==λλ的特征向量未知，利用对称矩阵的性质可求之，与1α正交的非零向量必是对应于332==λλ的特征向量，解方程组01=x Tα得基础解系（最好直接求得正交的，见 下面做法）321x x x --=，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡μ1,0132x x （μ是待定参数）得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=μμα113，令2032-=⇒=μααT 这样就得正交的基础解系，也就是对应于332==λλ的特征向量 只要再它们单位化，拼成矩阵即为所求的正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=62031612131612131P 此时Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-3361AP P AP P T ，T P P A Λ=，Tn n P P A Λ= 注意 上面μ要非零，才能保证两个向量无关，如果求不出要求μ再换一种方式。

◆4． 设A 为三阶矩阵，321,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足323322321132,2,αααααααααα+=+=++=A A A（1）求矩阵B ，使得B A ],,[],,[321321αααααα=； （2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵。

提示 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=311221001],,[],,[321321ααααααA ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3112210011AP P上式右边就是要求的得BA 的特征值就是B 的特征值，你来求一下。

◆5． 求一齐次线性方程组，使其基础解系为T )3,2,1,0(1=ξ，T )0,1,2,3(2=ξ提示 [这是教材P110习题24]设所求方程组为0=Ax ，由题设0],[21=ξξA ，如果记],[21ξξ=B ，则0=AB 即0=T T A B ，这说明T A 的列都是方程组0=x B T的解。

把0=x B T 的解（只需要基础解系）作为列拼成T A 即可。

解方程组0=x B T ，得基础解系为 T )0,1,2,1(1-=α，T )1,0,3,2(2-=α令],[21αα=T A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1032012121T T A αα四 证明题◆1． 设n 阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111111111ΛM M M ΛΛA （1）求A 的全部特征值；（2）证明A E +是正定矩阵；（3）证明E A n A E =+++-11)(1 提示 （1）T T A )1,,1,1(,Λ==ααα，由教材P139习题21知其全部特征值，这里再做一下：由αααααααα)()(T T A ===知A 有一个非零特征值n T ===2αααλ，对 应的特征向量就是α。

另外A 是对称矩阵且1)()(1≤≤≤αr A r 知1)(=A r ，从而A 可对角化，利用秩相等，就知对角矩阵对角元必为一个非零元（即ααT ）和1-n个零，这说明0是A 的1-n 重特征值。

当然也可直接求到此结论。

（2）首先易知A E +是对称矩阵，其次特征值为0)(1>+A i λ，得证。

也可这样0≠∀x ，0)()(2>+=+=+αααT T T T T T x x x x x x x x A E x （3）记E A n A E B -+++=-11)(1，B 是对称矩阵，可对角化，要证O B =，只需证B 的特征值全是零（想想这是为什么？） 易知B 的特征值为1)(11)(11)(-+++=A n A B i i i λλλ，下面继续算一算是否都是零。

了解 你来直接验证结论：设T E A αβ+=，则A 可逆的充要条件是01≠+αβT，此时TE Aσαβ+=-1，αβσT +-=11◆2． 设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A 必可对角化提示 这一题实质上就是教材P110习题26：n E A r A r =-+)()(下面分析一下二者的关系：由A A =2知A 的特征值为0或1；对应于特征值0的无关特征向量的个数为)(A r n -，对应于特征值1的无关特征向量的个数为)(E A r n --，二者之和)(A r n -+)(E A r n --n n n E A r A r n =-=-+-=2)]()([2说明A 有n 个无关的特征向量，从而可对角化。

下面再证：n E A r A r =-+)()(一方面，由A A =2得O E A A =-)(，从而n E A r A r ≤-+)()([见教材P101例13] 另一方面，由A E A E -+=得，)()()()()()(E A r A r A E r A r A E A r E r n -+=-+≤-+==了解 如果E A =2也有类似的结论，你来试一试。

◆3． 设n ααα,,,21Λ是一组n 维的向量，证明它们线性无关的充要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示。

[教材P110习题17]提示 如果它们线性无关，则对任一n 维向量α，αααα,,,,21n Λ线性相关（n+1个n 维向量），由P90定理5（3），得α可由n ααα,,,21Λ唯一表示。

反之，设任一n 维向量都可由它们线性表示，特别取坐标向量n e e e ,,,21Λ当然也可 由它们表示，这样n r e e e r E r n n n ≤≤==],,,[],,,[)(2121αααΛΛ，推得n r n =],,,[21αααΛ，说明n ααα,,,21Λ线性无关（注：这里秩看成是矩阵的秩或向量组的秩都可以）提醒 上述每一步的依据你都要想清楚，这会大有好处的。

◆4． 设A 是实对称矩阵，如果它既是正交矩阵又是正定矩阵，证明只能是单位矩阵。

提示A 对称，则A 可正交对角化，T Q Q A Λ=由A 对称正交，得E E Q Q E A T =Λ⇒=Λ⇒=222又A 正定，Λ的对角元全正，全是1，即E =Λ总评 如遇关于对称矩阵的证明题，首先要想到它可正交对角化，一般都是可以证出来的。

说明 一般考试时，只有大约两道证明题，这里给了四个，只是一种练习而已。