线性代数-线代模拟题(II)
线性代数模拟题二及参考答案
《线性代数》模拟题（二）及参考答案一、填空题1. 行列式xy x y y x y x x yxy++=+ .2. 若,A B 是两个三阶矩阵，且||1A =-，||2B =，则122()T A B -= .3. 设A 是三阶方阵，且2AB E =，||1A =，则||B = .4. 设,A B 均为n 阶矩阵，||2A =，||3B =-，则*12A B -= .5. 设三阶方阵1223A αγγ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12B βγγ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中12,,,αβγγ都是三维行向量，已知||18A =，||2B =，则||A B -= .6. 已知线性方程组1231231234,23,2x x x x x ax x x ax ++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩无解，则数a = .7. 设α是齐次线性方程组0Ax =的解，β是非齐次线性方程组Ax b =的解，则(32)A αβ+= .8. 设12243311A t-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，B 为三阶非零矩阵，且0AB =，则t = . 9. 已知54⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则()T R A = .10. 设A 为三阶矩阵，12,ξξ为齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则||A = .11. 设11k α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是211121112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵的特征向量，则k = .12. 设三阶方阵A 有一个特征值为1，且||0A =及A 的主对角线元素的和为0，则A 的其余两个特征值为 . 13. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，且矩阵B 与A 相似，则2||B E += .14. 二次型222123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数为 . 15. 设二次型22121212(,)4f x x tx x tx x =+-正定，则实数t 的取值范围是 . 二、单项选择题1. 若行列式1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ---=---()A 6-. ()B 3-. ()C 3. ()D 6 . 答 【 】2. 设,A B 是同阶方阵，且A 可逆，若()A B E E -=，则B =()A 1E A -+. ()B E A -. ()C E A +. ()D 1E A -- . 答 【 】3. 若n 阶矩阵A 满足2230A A E --=，则A 可逆，且1A -为()A 2A E -. ()B 2E A -. ()C 1(2)2A E -. ()D 1(2)3A E - . 答 【 】4. 设A 为54⨯矩阵，b 为51⨯矩阵，若方程组Ax b =有无穷多解，则必有()A ()1R A <. ()B ()2R A <. ()C ()4R A <. ()D ()5R A <. 答 【 】5. 设A 为54⨯矩阵且()3R A =，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中所含解向量的个数为()A 1. ()B 2. ()C 3. ()D 4. 答【 】 6. 设α是非齐次线性方程组Ax b =的解，β是其导出组0Ax =的解，则下列结论中正确的是()A αβ+是0Ax =的解. ()B αβ+是Ax b =的解.()C βα-是Ax b =的解. ()D αβ-是0Ax =的解. 答 【 】7. 方程组123123320,2640x x x x x x -+=⎧⎨-+-=⎩的基础解系中所含解向量的个数为 ()A 2. ()B 1. ()C 3. ()D 0. 答【 】 8. 方程组0Ax =仅有零解的充分必要条件是()A A 的行向量组线性无关. ()B A 的列向量组线性无关.()C A 的行向量组线性相关. ()D A 的列向量组线性相关. 答 【 】9. 设三阶矩阵A 的特征多项式为2||(2)(3)E A λλλ-=-+，则行列式||A E +=()A 18-. ()B 12-. ()C 12. ()D 18. 答【 】 10. 设矩阵121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则与矩阵A 相似的矩阵是()A 110120003-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. ()B 010100002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. ()C 211-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()D 121⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. 答 【 】 11. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,1,2-，则矩阵*1(3)B A -=的特征值为()A 1,1,2--. ()B 111,,663--. ()C 111,,663-. ()D 11,,122--. 答【 】 12. 二次型222123123121323(,,)222444f x x x x x x x x x x x x =+++++的规范形为 ()A 222123z z z ++. ()B 2212z z +. ()C 21z . ()D 2212z z -. 答 【 】 二、计算题：1. 计算四阶行列式1111111111111111x x x x +-----+---.2. 设矩阵A 与X 满足2AX A X =+，其中430140003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. (1) 求X . (2) 求()R X .3. λ取何值时，非齐次线性方程组123412341234134231,243,32374,x x x x x x x x x x x x x x x λ--+=⎧⎪--+=⎪⎨--+=⎪⎪++=⎩有解？并求出通解. 4. 求向量组1(1,2,1,0)T α=--，2(2,1,0,2)T α=-，3(3,3,3,3)T α=，4(2,4,2,6)T α=-的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.5. 试求一个正交的相似变换矩阵，将对称阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭化为对角矩阵.6.已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化为标准形22212325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换.四、证明题：1. 证明：向量组1(1,2,1)T a =-，2(3,1,0)T a =-，3(2,2,2)T a =-是3R 的一个基，并将向量(5,3,2)T b =-表示为这个基的线性组合，求出向量b 在此基下的坐标.2. 证明：矩阵001111100A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭能对角化.《线性代数》模拟题（二）参考答案一、填空题1.332()x y -+.2.2.3.8.4.2123n --.5.2.6.1-.7.2b .8.3-.9.4. 10.0. 11.1或-2. 12.1,0-. 13.100. 14.3. 15.104t <<. 二、单项选择题1.D .2.A .3.D .4.C .5.A .6.B .7.A .8.B .9.C . 10.B . 11.B . 12.C . 二、计算题：1.解 原式411111111111111111100011111110001111111xx x x x x x x x x x x xx x x ----------==⋅=⋅=-+--+-----.2.解 (1) 由题设，得(2)A E X A -=，其中2302120001A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭.由230430120140100560(2)120140~010250~010250001003001003001003A E A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知2A E -可逆，且1560(2)250003X A E A --⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 因||390X =≠，故()3R X =.3.解 112311123111231211430132101321(,)~~32374013210000210110132100000B A b λλλ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当20λ-=，即2λ=时， ()()24R A R B ==<，方程组有无穷多解.此时11231101120132101321~~00000000000000000000B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则13423433442,321,,,x x x x x x x x x x =--+⎧⎪=-++⎪⎨=⎪⎪=⎩故通 解为12121234112321(,)100010x x c c c c R x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.解 设123412322134(,,,)10320236A αααα-⎛⎫⎪-- ⎪==⎪-⎪⎝⎭，则123212321232039001300130~~~026002360036023600000000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知()3R A =.因123(,,)3R ααα=，则123,,ααα线性无关，故123,,ααα即为所求的一个最大无关组.设4112233k k k αααα=++，则由123212041008013001060106~~~003600120012000000000000A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得18k =-，26k =，32k =-.故所求的表示式为4123862αααα=-+-.5.解 220||212(1)(2)44(2)(1)(2)4(22)(1)(2)8(1)02A E λλλλλλλλλλλλλλλλλ---=---=---+--=---+-=---+--- 2(1)(2)8(1)(1)(28)(1)(4)(2)λλλλλλλλλλ=---+-=---=--+，求得A 的特征值为12λ=-，21λ=，34λ=.当12λ=-时，解(2)0A E x +=.由42023223220110122232~044~011~011~011022022000000000A E -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1(1,2,2)T ξ=，将1ξ单位化，得11(1,2,2)3T p =.当21λ=时，解()0A E x -=.由120120*********~042~021~0112021021000000A E ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系为2(2,1,ξ=2)T -，将2ξ单位化，得21(2,1,2)3T p =-.当34λ=时，解(4)0A E x -=.由2201101024232~012~012024024000A E ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系为3(2,2,1)T ξ=-，将3ξ单位化，得31(2,2,1)3T p =-.故所求的一个正交矩阵为123132323(,,)231323232313P p p p ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，并使1214P AP --⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭.6.解 f 的矩阵2000303A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则依题设，知A 的特征值为11λ=，22λ=，35λ=.从而有12510A =⨯⨯=，即22(9)10a -= 2a =±.又0a >，故2a =.当2a =时，200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当11λ=时，解()0A E x -=.由100100022~011022000A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1011ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，将1ξ单位化，得1011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭. 当22λ=时，解(2)0A E x -=.由0000120102012~003~001021000000A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得2100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当35λ=时，解(5)0A E x -=.由3001005022~011022000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得基础解系为3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，将3ξ单位化，得3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭.故所用的正交变换为11223301000x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 四、证明题：1.证明：12313251325132510221022(,,,)2123~05613~0101~0101~0101102203030561300680014A a a a b ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 10023~010100143B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，可知123(,,)3R a a a =，即三个三维向量123,,a a a 线性无关，故123,,a a a 是3R 的一个基. 由矩阵B 知所求的线性表示式为1232433b a a a =++，由此也得b 在此基下的坐标为24(,1,)33. 2.证明 2011||111(1)(1)(1)11A E λλλλλλλλλ---=--=-=--+--，得11λ=-，231λλ==.对应单根11λ=-，可求得线性无关的特征向量恰有一个.当231λλ==时，由101101101~000101000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，知()1R A E -=，则方程组()0A E x -=的基础解系中有312-=个线性无关的解，即对应于二重根231λλ==，A 有2个线性无关的特征向量.综上三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量，故矩阵A 能对角化.。
线性代数练习册练习题—第2章 矩阵
一、填空题
1．
2 0
3
121
2 1
02 _________．
矩阵
2.设 A 2 3 1 2 ，则 AAT _________．
3.设
A
a c
b d
，则
A
的伴随矩阵
A*
_________．
4．设 A 为 3 阶方阵，且 A =2, 则 A =
．
5. A 为 3 阶方阵， A =2，则 A A
（ A ）若 A, B 可逆，则 A B 可逆
（ B ）若 A, B 可逆，则 AB 可逆
（ C ）若 A B 可逆，则 A B 可逆 （ D ）若 A B 可逆，则 A, B 可逆
5．A 为 n 阶可逆矩阵，下列各式中不正确的是（ ）．
（A） (2A)1 =2 A1
（B） A1 = 1 A
(B)4
( C )5 （D）40
a11 a12 a13
a21
a22
a23
9．设
A
a21
a22
a23
，
B
a11
a12
a13
a31 a32 a33
a11 a31 a12 a32 a13 a33
0 1 0
1 0 0
P1
1
0
0
，
P2
0
1
0
，则（
）成立．
0 0 1
1 0 1
（）
4. 在秩是 r 的矩阵中，所有的 r 阶子式都不等于 0.
()
5. 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B ，则 R( A) R(B) ． （ ）
四、计算题
1.计算
1 0
线性代数模拟考试题（4套）
线性代数模拟考试题（4套）模拟试题⼀⼀、判断题：（正确：√，错误：×）（每⼩题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶⽅阵，则 B A B A +=+. ……………………( )2、可逆⽅阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )3、n 元⾮齐次线性⽅程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶⽅阵，且0=A ，则矩阵A 中必有⼀列向量是其余列向量的线性组合.…………………………………………………………( ) ⼆、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶⽅阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、⾏列式中元素ij a 的余⼦式和代数余⼦式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶⾏列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()??-==256,102B A 则=AB .5、若?--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵--2100013011080101是4元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A-500210111t ，则当t 时，A 的⾏向量组线性⽆关.10、⽅阵A 的特征值为λ，⽅阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每⼩题8分，共16分) 1、已知4阶⾏列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满⾜B A E AB +=+2，其中=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性⽅程组=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵为+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ，讨论当λ取何值时，b Ax =⽆解，有唯⼀解和有⽆穷多解，并在⽆穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组---=? --=? =? -=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求⼀个最⼤⽆关组，并⽤它表⽰其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知⼆次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求⼆次型所对应的矩阵A ，并写出⼆次型的矩阵表⽰；（2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化⼆次型为标准形, 并写出标准形；（4）判断该⼆次型的正定性。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数期末模拟测试试卷(含答案)
线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则 111213A A A ++= 。
8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11 。
9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。
10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。
11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的线性关系是 。
线性代数模拟卷3套及答案
试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011 一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。
每小题2分，共10分）1.设阶方阵可逆且满足，则必有 （ ）2.设是的解，则是的解 （ ）3.若矩阵的列向量组线性相关，则矩阵的行向量组不一定线性相关 （ ）4.设表示向量的长度，则 （ ）5.设是的解，则是的解 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式 ＝ ；2.若为的解，则或必为 的解；3.设n 维向量组，当时，一定线性 ，含有零向量的向量组一定线性 ；4.设三阶方阵有3个特征值2，1，-2，则的特征值为 ； 三、计算题（每小题10分，共60分）1.；2.若线性方程组有解，问常数应满足的条件？3.设是方程组的解向量，若也是的解，则；4.求齐次线性方程组的基础解系；5.已知矩阵与矩阵相似，求的值；6.设为正定二次型，求.四、证明题（10分）：设向量组线性无关，证明线性无关。
n C B A ,,E ABC =E CBA =21,ηη==x x b AX =21ηη+=x b AX =A A x x x x λλ=21,ηη==x x b AX =21ηη-=x 0=AX 231013412-βα,)0(,≠=A b b X βα-αβ-m ααα,,,:21 T n m >T A 2A 2111121111211112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 4321,,,a a a a s ηηη,,,21 b X =A )0(≠b s s k k k ηηη+++ 2211=+++s k k k 21⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-020332202432143214321x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x A 3122⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B y x ,3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=a 321,,ααα321211,,αααααα+++试卷编号 2 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 一、判断题：(正确填√,错误填×. 每小题２分，共10分)1.是阶矩阵，则；（ ）2.若均为阶矩阵，则；（ ）3.向量组线性相关，则至少含有一个零向量；（ ）4.若是齐次线性方程组的两个线性无关解向量，则不是的解； （ ）5.设为阶矩阵，则与具有相同的特征向量。
线性代数模拟试卷
51附录一：模拟试卷试卷一一、填空题 （4×5=20分）1.111110110110111= .2. 设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵的秩为 .3. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足的条件是 .二、选择题 （4×5=20分）1. 设B A ,为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ ）（A ）A=0，或B=0； （B ）A+B=0； （C ）|A|=0或|B|=0； （D ）|A|+|B|=0三、计算下列各题 （2×10=20分）1. 已知X =AX+B , 其中，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=350211B ，求矩阵X . 四、设线性方程组 (10分)（I ）⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=-++04253033202432143214321x x x x x x x x x x x x （II ）⎩⎨⎧=++=++020321421x nx x mx x x（1）求线性方程组（I ）的通解.（2）n m ,取何值时，（I ）（II ）有公共非零解.试卷二一、填空题：（4×5=20分）1．设A 是4阶矩阵，已知=-=*A A 则,64)2( . 2．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001I ，则逆矩阵=--1)2(I A .523．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100001P ，则54AP P = . 4．设0121211230101120)(-==a i j A ，ij A 为ij a 的代数余子式（j i ,=1.2,3,4），则=+++433323132A A A A .二、选择题：（4×5=20分）1．设B A ,都是n 阶非零矩阵，且0=AB ，则B A 和的秩（ ）（A ）必有一个等于0； （B ）一个小于n ，一个等于n ； （C ）都小于n ；（D ）都等于n 。
线性代数模拟试题及答案
模拟试题C一．填空或选择填空（每小题4分）1．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11314221a A ，B 为三阶非零矩阵，且0=AB ,则=a 2．已知二次型323121232221244552x tx x x x x x x x f ++----=经正交变换化为标准形23222110y y y f ---=，则=t3．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列结论成立的是（a ）BA AB =;（b ）存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1；（c ）存在可逆矩阵Q P 和,使B PAQ =（d ）存在可逆矩阵C ，使B AC C T =4．设向量321ααα，，线性无关，则下列向量组中线性无关的是（a ）;,,133221αααααα-++（b ）;,,3213221ααααααα++++（c ）;2,,3213221ααααααα++++（d ）.,,133221αααααα---5．设m 个方程的n 次齐次线性方程组为b Ax =，且r rank A =则下列结论中正确的是（a ）b Ax n r ==时，有唯一解；（b ）b Ax n m ==时，有唯一解；（c ）时，n r <b Ax =有无穷多解； （d ）b Ax m r ==时，有解。
二．（10分）已知n 阶方阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111111 n nn n A 求det 1-A三．（10分）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=103020101A 满足222A B E BA -=-,求矩阵B 四．（10分）设四维向量空间V 的两个基（Ⅰ）：4321,,,αααα和（Ⅱ）：4321,,,ββββ满足⎩⎨⎧=+=+43232122βααβαα ⎩⎨⎧=+=+43232122αββαββ 1．求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵C ：2．求向量4321432ααααα+++=在基（Ⅱ）下的坐标。
五．（13分）设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ，又知一齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为T T k k )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+。
线性代数模拟试题及答案(三套)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。
A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
线性代数模拟试题及答案
3、
1 1 =__________。 2 2 é 2 3ù é - 1ù ú ê ú =__________。 ë - 1 0û ë 3 û
4、矩阵 ê
5、若 A，B 为 n 阶矩阵，则 ( A + B )( A - B ) =__________。 6.设 A, B 为 3 阶方阵，且 A = 4, B = 2 ，则 2( B* A-1 ) = 7、若 A 是可逆矩阵，则 ( A¢ ) -1 =__________。 .
æ- 2 0 0 ö æ1 0 0 ö ÷ ç ç ÷ A - 3E = ç - 2 2 - 2 ÷ ~ ç 0 1 - 1÷ ç - 2 4 - 4÷ ç0 0 0 ÷ ø è è ø æ0ö ç ÷ ì x 2 - x3 = 0 从而解得基础解系 p1 = ç 1 ÷ 得对应的方程组为 í î x1 = 0 ç1÷ è ø
.
A+ B = A + B
A. 若矩阵 A, B 满足 AB = O ，则有 A = O 或 B = O B. 若矩阵 A, B 满足 AB = E ，则矩阵 A, B 都可逆。 C. 若 A* 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 A* = A D. 若 A ¹ O ，则 A ¹ 0
7．下列说法不正确的是（ ） 。
æ1 ç 0 8.设矩阵 A = ç ç0 ç ç0 è
2 0 0ö ÷ 1 0 0÷ -1 ，则 A = ÷ 0 3 3 ÷ 0 2 1÷ ø
.
9 、 在 线性方程组 AX = O 中，若 末知 量的个数 n=5 ， r ( A) = 3 ，则方程组的一 般 解中 自由末知 量的个数为 _________。 10. 设向量组 a1 , a 2 , a3 线性无关，则向量组 a1 , a1 + a 2 , a1 + a2 + a3 （填线性相关，线性无关） 。
线性代数模拟试卷1,2,3及参考答案(有三处错误)
3 2
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E 2 A A2 。
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版权属于燕山大学应用数学系，如有错误，请联系 zzzlmn@
09 级线代作业参考答案 提示： A( A 2 A E ) E 。
2
线代模拟试卷
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1 5． 设 X 满足矩阵方程 a a2
三、计算 n 阶行列式（8 分）
1 2 1 cn 1 2 1 1 2 2 1 解： c1 2 , c2 3 ,设 k n 时， ck k 1 ，由行列式可得关系式 1 2 cn 2cn 1 cn 2 于是在归纳假设下， cn 2cn 1 cn 2 2n (n 1) n 1 ，由数学归纳法 cn n 1 2 1
变换矩阵。 （7 分） 解： f ( x1 x2 x3 ) x2 4 x3 4 x2 x3 ( x1 x2 x3 ) ( x2 2 x3 )
2 2 2 2 2
y1 x1 x2 x3 , 令 y2 x2 2 x3 , ，即作变换 y x3 , 3 x1 y1 y2 y3 , y2 2 y3 , ， x2 x y3 , 3
2．若非齐次线性方程组 AX=b 无解，则系数矩阵 A 的秩与其增广矩阵 B（Ab）的秩关系为： R(B)=R(A)+1. （√） 3．设 A 是 n 阶矩阵，其秩 r<n，那么 A 的 n 个行向量中的任意 r 个行向量构成其行向量组 的一个最大线性无关组。 （×） 提示：应为 r 个线性无关的行向量。 4．若 n 阶方阵 A 相似于对角阵，则 A 必有 n 个互不相同的特征值。 （×） 提示：应为 n 个线性无关的特征向量。 5．实对称矩阵 A 的不同特征值所对应的特征向量必正交。 （√） 二．填空题（40）
线性代数模拟题二答案
线性代数 试题 班级 姓名 学号 第 1 页线性代数模拟题（二）答案一、 判断题（正确画“ √ ”，错误画“×”）（每题2分，共10分）（ √ ） 1. 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵。
（ × ） 2. 若向量组的秩为r ，则向量组中任意1r -个向量线性无关。
（ √ ） 3. 任意两个行列式都可以相乘。
（ × ） 4. 设A ，B 是n 阶方阵，则()222AB A B =。
（ × ） 5. 若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。
二、 填空题（每空3分，共30分）1．已知4阶行列式1124307115392680D --=----，则11121314539M M M M -+++的值为 0 ，其中M ij 为D 的第i 行第j 列元素的余子式。
2．已知3阶矩阵A 的行列式2A =，则12A -= 4 ，*A = 4 。
3．已知5元齐次线性方程组0Ax =，若利用MATLAB 软件中命令null(A, ‘r ’)可得如下结果：ans =-1 0 -3 1 1 -1 1 0 0 1则（I ）的系数矩阵A 的秩为 3 ，（I ）的通解为12121031,,111001x k k k k R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
4．已知非齐次线性方程组的增广矩阵为B =221002101100001010001k k k k -⎛⎫⎪-⎪⎪--⎪+⎝⎭，则当k =0时方程组无解；当k =1时方程组有无穷解。
5．可逆矩阵的列向量组的线性相关性为 线性无关 。
6．已知101010011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的3个特征值为123,,λλλ，则123λλλ++= 1 ，A 的3个特征值的乘积为⋅⋅=123λλλ -1 。
三、 计算题（本题共2小题，每题10分，共20分）1. 已知矩阵201021,112101A B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1221C ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。
04184线性代数模拟测试题(二)
04184线性代数模拟测试题（二）一、单项选择题：（每小题4分，本题共32分）1.A*是A的伴随矩阵，且，刚A的逆矩阵才=( )。
A.AA*B.A*C.D.A′A*2．设2阶行列式＝－1，则=Α.-2B.-1C.1D.23.如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（）.A.相等;B.所含向量的个数相等；C.不相等;D.秩相等.4．设线性方程组有非零解，则k的值为（）A.-2B.-1C.1D.25.设向量组α＝（1，0，0）T，＝（0，1，0）T，下列向量中可以表为α，线性组合的是（）A.（2，1，0）TB.（2，1，1）TC.（2，0，1）TD.（0，1，1）T6．设A＝，且A的特征值为1，2，3，则x＝（）A.-2B.2C.3D.47．设矩阵Α＝，则二次型x TΑx的规范形为（）A.B.C.D.8.对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是（）.A.两矩阵的特征值相同;B.两矩阵的秩相等;C.两矩阵的特征向量相同;D.两矩阵都是方阵。
二、填空题：（每小题4分，本题共20分）1.若行列式：=0 ,则x=_______。
2.已知矩阵A＝（1，2，－1），B＝（2，－1，1），且C＝ΑT B，则C＝___________.3.设=(1 1 0),=(0 3 0),=(1 2 0)，则=_______。
4.设线性方程组有解，则数a，b，c应满足__________.5．二次型f（x1，x2，x3）＝x1x2＋x2x3的矩阵为__________.三、计算题：（每小题8分，本题共40分）1.设A＝，其中αi≠0（i＝1，2，3，4），求Α－1.2.设矩阵A＝，求A2－3A＋E.3.计算行列式:4.设线性方程组确定α，b为何值时方程组有无穷多解并求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.5.求向量组α1=（1，2，1，4）T，α2=（0，3，－1，－3）T，α3＝（1，-2，8，8）T，α4＝（2，3，8，9）T的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表出.四、证明题（本题共8分）1.设A,B为r阶矩阵，且证明：成立的充要条件是。
线性代数模拟试卷及答案4套
线性代数模拟试卷（一）一、 填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、 单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（ ） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵 ，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（ ）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式 （12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解 （12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系 （8分）线性代数模拟试卷(二)三、 填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、 向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、 单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、 设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（ ） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（ ） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则 有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式 （13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解 （14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。
线性代数模拟试题 答案
线性代数模拟题一、 填空（3＊5）。
1、设f (x )=|x2112x 3232x 101x x |,则f (x )中常数项为（）,项的系数为（）。
2、若A 为五阶方阵，且A=3，则AA T =（），（A *）*=（），2A -1-A *=（） 3、设A=[a b bba b bba]，r （A *）=1，则a,b 关系为（）。
4、设A 是n 阶矩阵，对于其次线性方程组AX=0，如A 中每行元素之和全部为零，且r(A)=n-1,则方程组的通解是（）。
5、A 与B 有相同的特征值是A~B 的（）条件。
二、选择（3＊5）。
6、已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D=（） （A ）0 （B ）a 2 （C ）-a 2 （D ）na 27、已知A ，B 均为n 阶矩阵，满足AB=0，若r （A ）=n-2，则（） （A ）r （B ）=2 （B ）r （B ）<2 （C ）r （B ）<=2 （D ）r （B ）>=18、要使ε1=[102]ε2=[01−1]都是线性方程组的解，只要系数矩阵A 为（）（A ）[−2114−2−2]（B ）[20−1011]（C ）[−10210−2]（D ）[01−1 4−2−2 011]9、设A为m*n矩阵，线性方程组AX=B对应的导出组为AX=0，则下列结论中正确的是（）（A）若AX=0仅有零解，则AX=B有唯一解（B）若AX=0有非零解，则AX=B有无穷多解（C）若AX=B有无穷多解，则AX=0有非零解（D）若AX=B有无穷多解，则AX=0仅有零解10、设A是三阶矩阵，A，A+I，I-2A均不可逆，则A的三个特征值是（）（A）0，1，2 （B）0，-1，2（C）0，-1，1/2（D）0，1，-1/2二、判断（2＊5）。
11、每行元素之和为零的行列式值为零。
（）12、若A，B，C都是n阶方阵，则（ABC）k=A k B k C k. （）13、设n阶方阵A经过若干次初等变换后变成B，则|A|=|B|. （）14、向量组α1α2…αs 的秩不为零的充分必要条件是α1α2…αs中至少有一个非零向量。
线性代数模拟题及答案
模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件 时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21 的秩为s 的充要条件是（ ）。
① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（ ）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。
① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（ ）线性无关。
① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 ．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7． 设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（ ）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 ④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21（ ）。
线性代数模拟试题及答案
...《 线性代数期末模拟试题一 》一、填空（本题20分每小题2分） 1．设)det(ij a 为四阶行列式,若23M 表示元素23a 的余子式，23A 表示元素23a 的代数余子式，则23M +23A = 。
2．三阶行列式3331221311000a a a a a 中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对n 阶行列式（填成立或不成立）。
3．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,,(321ααα=A 记矩阵),,2(313221αααααα-+-=B ，若6=B ，则=A 。
4．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=458271,131027241,213012C B A ，则=-C B A T2。
5．设矩阵A 可逆，且矩阵AB C =，所以矩阵C 一定可以由矩阵B 经过（填行或列）初等变换而得到。
6．设向量组43,21,,,αααα，若,3),,(,2),,(432321==ααααααR R 则1α一定可以由向量唯一的线性表示。
得分阅卷人...7．非齐次线性方程组b Ax =有 唯一的解是对应的齐次方程组0=Ax 只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 一定有一个特征值。
9．n 阶矩阵A 有n 个特征值1，2，, n ，n 阶矩阵B 与A 相似，则=B 。
10．向量组：[][]1,121,1,12121-==p p（填是或不是）向量空间2R 一个规范正交基。
二、单项选择（本题10分，每小题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵A 为n 阶方阵，则关于非齐次线性方程组b Ax =的解下列说法（ ）不正确（A ） 若方程组有解，则系数行列式0≠A ; （B ） 若方程组无解，则系数行列式0=A ;（C ） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;...（D ） 系数行列式0≠A 是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A ） (2)2T T A A =； (B) 11(2)2A A --=； (C) 111[()][()]T T A A ---=；(D) 111[()][()]T T T A A ---=。
线代2
线性代数模拟试题（二）一、 选择题1、设行列式a a a a 11122122=m ，a a a a 13112321=n ，则行列式a a a a a a 111213212223++等于（ D ） A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n考点：考察 行列式性质2：互换行列式的两行(列), 行列式变号和性质4：若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则该行列式等于两个行列式之和.2、行列式543432321的值为（ D ）A ．2B ．1C ．0D ．-1考点：−−→−--1223543432321r r r γ111111321 根据行列式性质2推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零.3、设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ B ）A. –6B. 6C. 2D. –2考点： A *中位于（1，2）的元素即代数余子式21A ，M 21==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---412101213= -4-2= -6 21A =(-1)2+1 M 21=64、如果1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，1111121312121222331313233545454a a a a D a a a a a a a a -=--，则1D =（ B ） A ．5 B ． －5 C ． 20 D ． －20考点：行列式的加减法，555505554545452322213332311312112322213332311312113331312321211311111-=-=-=a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D 行列式性质3推论1: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式为零．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*nn n nn n A A A A A A A A A A 212221212111推论2: 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面5、设[]111A =，[]111B =---，则AB T （ A ）A ．[－3]B ． 111111111---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦C ．[]111---D ． []111考点：矩阵的乘法：矩阵A 1⨯3 , 矩阵B T 3⨯1 ，A 与B T 乘积 C 1⨯1二、填空题1、设A =111111--⎛⎝⎫⎭⎪，B =112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪.则A +2B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--773313 考点：矩阵的加法2、若11223344,,,a a a a 都不为零，则方程组1111221331441222233244233334434444a x a x a x a xb a x a x a x b a x a x b a x b +++=⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪=⎩有 唯一 解（说明解的情况：无解、唯一解、还是无穷解）考点：上三角行列式的性质；克拉默法则：非齐次线性方程组，系数行列式D ≠0，只有唯一解x=D i /D ；D=0时，有无穷多解3、设3阶方阵111111111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则秩(A )＝ 1 。
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线性代数模拟试题(II)一 填空题◆1． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y x A 有3个线性无关的特征向量，则y x ,应满足的关系为0 =+y x【提示】按题意A 是可对角化的，求其特征值，重根的重数应满足什么关系？参照教材P125例11◆2． 设A 是3阶实对称矩阵且E A A A 223=--，则A 的二次型经正交变换化为标准形为 222232221y y y f ++=【提示】设A 的特征值为λ，它必满足：0)1)(2(2223=++-=---λλλλλλ，由于实对称矩阵特征值全是实数，故A 的特征值全是2。
◆3． 设3阶方阵A 的特征值为3,2,1-，则=+-E A A 23* 637【提示】参考教材P122例9◆4． 设矩阵A 的各行元素之和都等于2，则A 必有特征值为 2 ，对应的特征向量为]1,,1,1[ T Λ【提示】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1122211M M M A◆5． 设非齐次方程组b x A m =⨯4系数矩阵的秩为3，且它的三个解向量321,,ηηη满足[][]TT4,3,2,1,5,4,3,2321=η+η=η，则b Ax =的通解为 ,]5,4,3,2[]6,5,4,3[ R k k T T ∈+【提示】这是教材P111的第29题二 选择题◆1． 设B A ,都是n 阶方阵，如果O AB =，必有（Ｃ）（Ａ）O A =或O B =； （Ｂ）O BA =； （Ｃ）A 与B 有一个不可逆；（Ｄ）A 与B 有一个可逆 【提示】取行列式0=B A◆2． 方阵A 与B 相似的充分条件是（Ｃ）(Ａ) B A =； （Ｂ）)()(B r A r =；(Ｃ)A 与B 有相同的特征值且这些特征值互异； （Ｄ）A 与B 有相同的特征值【提示】注意题中是充分条件，而（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都是必要条件 如果（Ｃ）成立，则Ａ与Ｂ都可对角化到同一个对角矩阵，),,diag(1212111n AP P AP P λλΛ==--◆3． 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004,1111111111111111B A ，则A 与B （Ｃ） (Ａ) 不合同但相似 (Ｂ) 合同但不相似 (Ｃ) 合同且相似 (Ｄ) 既不合同也不相似【提示】Ａ是对称矩阵，易求得Ａ的特征值为４和０（三重）［参见教材P139第21题］A 可正交对角化（既合同又相似），对角矩阵对角元就是其特征值。
◆４． 设21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，21,αα是0=Ax 的基础解系，则b Ax =的通解是(Ｃ)（Ａ）2)(2121211ββααα-+++k k ；（Ｂ）2)(2121211ββββα-+++k k （Ｃ）2)(2121211ββααα++++k k ；（Ｄ）2)(2121211ββββα++-+k k【提示】1α与21αα+线性无关，仍然是0=Ax 的基础解系。
221ββ+是b Ax =的一个解。
虽然（Ｄ）有可能是通解，但选择题应选肯定的，故（Ｄ）不能选。
◆５． 设B A r−→−，则下面说法不对的是( Ｃ )（Ａ）A 的行组与B 的行组等价 （Ｂ）A 与B 等价（Ｃ）A 的列组与B 的列组等价 （Ｄ）A 的列组与B 的列组有相同的线性关系【提示】由题设（Ａ）是对的，［见教材Ｐ85最上一段］（Ｂ）是对的，这是矩阵等价的特征例［见教材P59定义］（Ｄ）是对的，［见教材P95第４行］这也是我们求最大无关组的依据三 计算题◆1． 计算行列式nn a a a D +++=11111111121ΛM M M ΛΛ 提示 [这是教材P28习题7（6）]从第2列开始每一列减第1列得“爪形”行列式nn a a a a a D 1112111OM Λ--+=，然后再化三角形得)11(121∑=+=nk kn n a a a a D Λ◆2． 解矩阵方程E XA XA A 82-=*，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102101A提示2-=A ，A 可逆，化简方程为E X E A 4)(=+1)(4-+=E A X⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=204102注意 上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角◆3． 设3阶对称矩阵阵A 的特征值为3,6321===λλλ，与特征值61=λ对应的特征向量为T )1,1,1(1=α，（1）求正交矩阵P 使AP P 1-成为对角矩阵；（2）计算n A提示 [这是教材P139习题20]此题是对称矩阵正交对角化的问题，但对应对332==λλ的特征向量未知，利用对称矩阵的性质可求之，与1α正交的非零向量必是对应于332==λλ的特征向量，解方程组01=x Tα得基础解系（最好直接求得正交的，见 下面做法）321x x x --=，取⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡μ1,0132x x （μ是待定参数）得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=μμα113，令2032-=⇒=μααT 这样就得正交的基础解系，也就是对应于332==λλ的特征向量 只要再它们单位化，拼成矩阵即为所求的正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=62031612131612131P 此时Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-3361AP P AP P T ，T P P A Λ=，Tn n P P A Λ= 注意 上面μ要非零，才能保证两个向量无关，如果求不出要求μ再换一种方式。
◆4． 设A 为三阶矩阵，321,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足323322321132,2,αααααααααα+=+=++=A A A（1）求矩阵B ，使得B A ],,[],,[321321αααααα=； （2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵。
提示 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=311221001],,[],,[321321ααααααA ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3112210011AP P上式右边就是要求的得BA 的特征值就是B 的特征值，你来求一下。
◆5． 求一齐次线性方程组，使其基础解系为T )3,2,1,0(1=ξ，T )0,1,2,3(2=ξ提示 [这是教材P110习题24]设所求方程组为0=Ax ，由题设0],[21=ξξA ，如果记],[21ξξ=B ，则0=AB 即0=T T A B ，这说明T A 的列都是方程组0=x B T的解。
把0=x B T 的解（只需要基础解系）作为列拼成T A 即可。
解方程组0=x B T ，得基础解系为 T )0,1,2,1(1-=α，T )1,0,3,2(2-=α令],[21αα=T A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1032012121T T A αα四 证明题◆1． 设n 阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111111111ΛM M M ΛΛA （1）求A 的全部特征值；（2）证明A E +是正定矩阵；（3）证明E A n A E =+++-11)(1 提示 （1）T T A )1,,1,1(,Λ==ααα，由教材P139习题21知其全部特征值，这里再做一下：由αααααααα)()(T T A ===知A 有一个非零特征值n T ===2αααλ，对 应的特征向量就是α。
另外A 是对称矩阵且1)()(1≤≤≤αr A r 知1)(=A r ，从而A 可对角化，利用秩相等，就知对角矩阵对角元必为一个非零元（即ααT ）和1-n个零，这说明0是A 的1-n 重特征值。
当然也可直接求到此结论。
（2）首先易知A E +是对称矩阵，其次特征值为0)(1>+A i λ，得证。
也可这样0≠∀x ，0)()(2>+=+=+αααT T T T T T x x x x x x x x A E x （3）记E A n A E B -+++=-11)(1，B 是对称矩阵，可对角化，要证O B =，只需证B 的特征值全是零（想想这是为什么？） 易知B 的特征值为1)(11)(11)(-+++=A n A B i i i λλλ，下面继续算一算是否都是零。
了解 你来直接验证结论：设T E A αβ+=，则A 可逆的充要条件是01≠+αβT，此时TE Aσαβ+=-1，αβσT +-=11◆2． 设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A 必可对角化提示 这一题实质上就是教材P110习题26：n E A r A r =-+)()(下面分析一下二者的关系：由A A =2知A 的特征值为0或1；对应于特征值0的无关特征向量的个数为)(A r n -，对应于特征值1的无关特征向量的个数为)(E A r n --，二者之和)(A r n -+)(E A r n --n n n E A r A r n =-=-+-=2)]()([2说明A 有n 个无关的特征向量，从而可对角化。
下面再证：n E A r A r =-+)()(一方面，由A A =2得O E A A =-)(，从而n E A r A r ≤-+)()([见教材P101例13] 另一方面，由A E A E -+=得，)()()()()()(E A r A r A E r A r A E A r E r n -+=-+≤-+==了解 如果E A =2也有类似的结论，你来试一试。
◆3． 设n ααα,,,21Λ是一组n 维的向量，证明它们线性无关的充要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示。
[教材P110习题17]提示 如果它们线性无关，则对任一n 维向量α，αααα,,,,21n Λ线性相关（n+1个n 维向量），由P90定理5（3），得α可由n ααα,,,21Λ唯一表示。
反之，设任一n 维向量都可由它们线性表示，特别取坐标向量n e e e ,,,21Λ当然也可 由它们表示，这样n r e e e r E r n n n ≤≤==],,,[],,,[)(2121αααΛΛ，推得n r n =],,,[21αααΛ，说明n ααα,,,21Λ线性无关（注：这里秩看成是矩阵的秩或向量组的秩都可以）提醒 上述每一步的依据你都要想清楚，这会大有好处的。
◆4． 设A 是实对称矩阵，如果它既是正交矩阵又是正定矩阵，证明只能是单位矩阵。
提示A 对称，则A 可正交对角化，T Q Q A Λ=由A 对称正交，得E E Q Q E A T =Λ⇒=Λ⇒=222又A 正定，Λ的对角元全正，全是1，即E =Λ总评 如遇关于对称矩阵的证明题，首先要想到它可正交对角化，一般都是可以证出来的。
说明 一般考试时，只有大约两道证明题，这里给了四个，只是一种练习而已。