初二数学竞赛辅导资料 勾股定理

初二数学竞赛辅导资料勾股定理

内容提要

1．勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠a2＋b2=c2

2．勾股定理及逆定理的应用

1 作已知线段a的，，……倍

2 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题

3 证明线段的平方关系等．

3．勾股数的定义：如果三个正整数a，b，c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a，b，c 叫做一组勾股数.

4．勾股数的推算公式

4 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）

任取两个正整数m和n(m>n，那么m2-n2，2mn，m2+n2是一组勾股数．

5 如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数．

6 如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数．

7 如果a，b，c是勾股数，那么na，nb，nc (n是正整数也是勾股数．

5．熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形．简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41．

例题

例1.已知线段a a a 2a 3a a

求作线段 a a

分析一：a＝＝2a

∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边．

分析二：a＝

∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边．作图（略）

例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2 求对角线AC的长

解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30

∴CE＝2CD＝4，

在Rt△ABE中

设AB为x，则AE＝2x

根据勾股定理x2+52=(2x2， x2=

在Rt△ABC中，AC＝＝＝例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A

求证：AB2－BC2＝AB×BC

证明：作∠B的平分线交AC于D，

则∠A＝∠ABD，

∠BDC＝2∠A＝∠C

∴AD＝BD＝BC

作BM⊥AC于M，则CM＝DM

AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）

＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）

＝AC×AD＝AB×BC

例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD

求证：AB＝AC

证明：设AB，AC，BD，CD分别为b，c，m，n

则c+n=b+m， c-b=m-n

∵AD⊥BC，根据勾股定理，得

AD2＝c2-m2=b2-n2

∴c2-b2=m2-n2， (c+b(c-b=(m+n(m-n

(c+b(c-b =(m+n((c-b

(c+b(c-b －(m+n(c-b＝0

(c-b｛(c+b－(m+n｝＝0

∵c+b>m+n，∴c-b=0 即c=b

∴AB＝AC

例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC

求证：AC＞BD

证明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F

ACDE和BCDF都是平行四边形

∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF 作DH⊥AB于H，根据勾股定理

AH＝，FH＝

∵AD＞BC，AD＞DF

∴AH＞FH，EH＞BH

DE＝，BD＝

∴DE＞BD

即AC＞BD

例6.已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a ，AF＝b，且SEFGH＝

求：的值

（希望杯数学邀请赛，初二）

解：根据勾股定理

a2+b2=EF2＝SEFGH＝;①

∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH ∴2ab=②

1 －②得（a-b）2=∴＝

练习

1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：

1 7，＿＿，＿＿②8，＿＿，＿＿③9，＿＿，＿＿

④10，＿＿，＿＿⑤11，＿＿，＿＿⑥12，＿＿，＿＿

2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：

1 252－242＝＿＿，②52＋122＝＿＿，

③＝＿＿＿，④＝＿＿＿

3.

△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高．那么S△ABC＝＿＿，C H＝＿＿，MH＝＿＿＿

4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S梯形＝＿＿＿

5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD

求证：AE＝AF

6.已知：M是△ABC内的一点，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB ，

且BD＝BF，CD＝CE

求证：AE＝AF

7.在△ABC中，∠C是钝角，a2-b2=bc 求证∠A＝2∠B

8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数．（用反证法）

9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长

10等腰直角三角形ABC斜边上一点P，求证：AP2＋BP2＝2CP2

11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中点，E，F分别在AB，AC

ME⊥MF

求证：EF2＝BE2＋CF2

12.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中点，从D作DE⊥AC与CB的

延长线交于点E，以AB、BE为邻边作矩形ABEF，连结DF，则DF的长是＿＿＿＿．（希望杯数学邀请赛，初二试题）

13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有100个不同的点p1，p2，p3， (100)

记mi=APi2+BPi×PiC (I=1，2……，100，则m1+m2+…＋m100=____