九年级数学教育周报答案

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第三届时代数学报数学文化节(九年级)第二轮试题及答案

时代数学报第三届数学文化节第二轮活动“能力素质挑战”书面问题解答（九年级）（2008年1月6日上午9：00～11：00）亲爱的读者，欢迎参加时代数学报第三届数学文化节！在第一轮“基础知识闯关”活动中，你已经感受到扑面而来的数学文化气息，以你良好的基础，完全有信心从容地接受第二轮活动的“能力素质挑战”！这里，重要的不是为了胜人一筹，而是由此更上一层楼。

进一步明白学好数学需要多方面的知识和素养，同时再一次展现你的灵性和潜能，品味数学文化的美丽芬芳和博大精深，简单些吧，写成一个公式：广泛阅读＋深入思考＋仔细品味＝享受数学再简单些吧，写成一个“数学公式”：G ＋S ＋Z ＝X 。

Let’s go!（注：满分150分，除第6题10分，第12题10分，第15题9分外每题7分，选择题只有一个正确答案）数学之史1、36军官问题在数学文化节第一轮活动中，我们以探讨一个趣题的方式纪念了数学大师欧拉诞辰300周年。

著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师。

”是啊！欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影。

我们再来看看欧拉研究过的“36军官问题”：从6支部队中各选出6名不同军衔的军官，将这36名军官排成一个6行6列的方阵，要求每行每列的6个军官分别来自不同的部队，并具有不同的军衔。

用大写字母A ，B ，C ，D ，E ，F 分别表示6支不同的部队，用小写字母a ，b ，c ，d ，e ，f 分别表示6种不同的军衔，于是问题转化为：在6×6的方格阵中，每个方格分别填入一个大写字母和一个小写字母，使每行和每列中的大小写字母只能各出现一次（通常称这种方阵为欧拉方阵或正交拉丁方）。

欧拉搅尽脑汁，也没能排出符合要求的6×6方阵，他猜想并不存在这样的6×6方阵。

100多年以后，才有人证明了欧拉的这个猜想是正确的。

于是欧拉继而探究了其他情形，例如，他分别作出了3×3，4×4，5×5正交拉丁方，并证明了当n 除以4的余数不等于2时，n ×n 正交拉丁方是存在的。

学习方法报九年级数学周刊

学习方法报九年级数学周刊课堂学习检测一、填空题1．在大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的______总是会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件A的______．2．在一篇英文短文中，共使用了6000个英文字母(含重复使用)，其中“正”共使用了900次，则字母“正”在这篇短文中的使用频率是______．3．下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率．抛掷结果5次50次300次800次3200次6000次9999次出现正面的频数1 31 135 408 1580 2980 5006出现正面的频率20％62％45％51％49.4％49.7％50.1％(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20％，那么，也就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的频率是______；(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到______次正面，正面出现的频率是______；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到______次反面，反面出现的频率是______；(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是______．二、选择题4．某个事件发生的概率是，这意味着( )．A．在两次重复实验中该事件必有一次发生B．在一次实验中没有发生，下次肯定发生C．在一次实验中已经发生，下次肯定不发生D．每次实验中事件发生的可能性是50％5．在生产的100件产品中，有95件正品，5件次品．从中任抽一件是次品的概率为( )．A．0.05 B．0.5 C．0.95 D．95三、解答题6．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n 8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?综合、运用、诊断7．下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是______(填序号)．8．某市元宵节期间举行了“即开式社会福利彩票”销售活动，印制彩票3000万张(每张彩票2元)．在这些彩票中，设置了如下的奖项：奖金/万元50 15 8 4 …数量/个20 20 20 180 …如果花2元钱购买1张彩票，那么能得到8万元以上(包括8万元)大奖的概率是______ 9．下列说法中正确的是( )．A．抛一枚均匀的硬币，出现正面、反面的机会不能确定B．抛一枚均匀的硬币，出现正面的机会比较大C．抛一枚均匀的硬币，出现反面的机会比较大D．抛一枚均匀的硬币，出现正面与反面的机会相等10．从不透明的口袋中摸出红球的概率为，若袋中红球有3个，则袋中共有球( )．A．5个B．8个C．10个D．15个11．柜子里有5双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是( )．A．B．C．D．12．某储蓄卡上的密码是一组四位数字号码，每一位上的数字可在0～9这10个数字中选取．某人未记准储蓄卡密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时，如果随意地按一下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率有多少?13．某地区近5年出生婴儿性别的调查表如下：出生年份出生数共计n＝m1＋m2 出生频率男孩m1 女孩m2 男孩P1 女孩P21996 52807 49473 1022801997 51365 47733 990981998 49698 46758 964561999 49654 46218 958722000 48243 45223 934665年共计251767 235405 487172完成该地区近5年出生婴儿性别的调查表，并分别求出出生男孩和女孩概率的近似值．(精确到0.001)14．小明在课堂做摸牌实验，从两张数字分别为1，2的牌(除数字外都相同)中任意摸出一张，共实验10次，恰好都摸到1，小明高兴地说：“我摸到数字为1的牌的概率为100％”，你同意他的结论吗?若不同意，你将怎样纠正他的结论．拓广、探究、思考15．小刚做掷硬币的游戏，得到结论：掷均匀的硬币两次，会出现三种情况：两正，一正一反，两反，所以出现一正一反的概率是．他的结论对吗?说说你的理由．16．袋子中装有3个白球和2个红球，共5个球，每个球除颜色外都相同，从袋子中任意摸出一个球，则：(1)摸到白球的概率等于______；(2)摸到红球的概率等于______；(3)摸到绿球的概率等于______；(4)摸到白球或红球的概率等于______；(5)摸到红球的机会______于摸到白球的机会(填“大”或“小”)．测试3 用列举法求概率(一)学习要求会通过列举法分析随机事件可能出现的结果，求出“结果发生的可能性相等”的随机事件的概率．课堂学习检测一、填空题1．一个袋中装有10个红球、3个黄球，每个球只有颜色不同，现在任意摸出一个球，摸到______球的可能性较大．2．掷一枚均匀正方体骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则有：(1)P(掷出的数字是1)＝______；(2)P(掷出的数字大于4)＝______．3．某班的联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果，标于一个转盘的相应区域上(如图所示)，转盘可以自由转动，参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品．则获得钢笔的概率为______，获得______的概率大．4．一副扑克牌有54张，任意从中抽一张．(1)抽到大王的概率为______；(2)抽到A的概率为______；(3)抽到红桃的概率为______；(4)抽到红牌的概率为______；(红桃或方块)(5)抽到红牌或黑牌的概率为______．二、选择题5．一道选择题共有4个答案，其中有且只有一个是正确的，有一位同学随意地选了一个答案，那么他选对的概率为( )．A．1 B．C．D．6．掷一枚均匀的正方体骰子，骰子6个面分别标有数字1，1，2，2，3，3，则“3”朝上的概率为( )．A．B．C．D．7．一个口袋共有50个球，其中白球20个，红球20个，蓝球10个，则摸到不是白球的概率是( )．A．B．C．D．三、解答题8．有10张卡片，每张卡片分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中任意摸取一张卡片，问摸到2的倍数的卡片的概率是多少?3的倍数呢?5的倍数呢?9．小李新买了一部手机，并设置了六位数的开机密码(每位数码都是0～9这10个数字中的一个)，第二天小李忘记了密码中间的两个数字，他一次就能打开手机的概率是多少?综合、运用、诊断一、填空题10．袋中有3个红球，2个白球，现从袋中任意摸出1球，摸出白球的概率是______．11．有纯黑、纯白的袜子各一双，小明在黑暗中穿袜子，左脚穿黑袜子，右脚穿白袜子的概率为______．12．有7条线段，长度分别为2，4，6，8，10，12，14，从中任取三条，能构成三角形的概率是______．二、选择题13．一个均匀的正方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图如图所示，抛掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的2倍的概率是( )．A．B．C．D．14．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，其中甲被选中的概率是( )．A．B．C．D．15．柜子里有两双不同的鞋，取出两只刚好配一双鞋的概率是( )．A．B．C．D．16．设袋中有4个乒乓球，一个涂白色，一个涂红色，一个涂蓝、白两色，另一个涂白、红、蓝三色，今从袋中随机地取出一球．①取到的球上涂有白色的概率为；②取到的球上涂有红色的概率为③取到的球上涂有蓝色的概率为④取到的球上涂有红色、蓝色的概率为以上四个命题中正确的有( )．A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题17．随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天．(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法?(2)其中甲排在乙之前的排法有多少种?(3)甲排在乙之前的概率是多少?18．甲、乙、丙三人参加科技知识竞赛，已知这三人分别获得了一、二、三等奖．在不知谁获一等奖、谁获二等奖、谁获三等奖的情况下，“小灵通”凭猜测事先写下了获奖证书，则“小灵通”写对获奖名次的概率是多少?拓广、探究、思考19．有两组相同的牌，每组4张，它们的牌面数字分别是1，2，3，4，那么从每组中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少?两张牌的牌面数字之和等于几的概率最小?20．用24个球设计一个摸球游戏，使得：(1)摸到红球的概率是摸到白球的概率是摸到黄球的概率是(2)摸到白球的概率是摸到红球和黄球的概率都是。

2008年数学周报试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）424424的值为（满足），则．1．已知实数y?3?y，y???3y，x424xxx 1?137?13（C）（D）5 （A）7 （B）22 A）【答】（22y，，由已知条件得因为0≥解：0?x13?3?1???3113?1?1?4412??4?42???y?，，2284x24224227．所以??y6?3?3?y???y?422xxx22?2(?)?(?)?3?022?2222为根的一元二次方另解：由已知得：，以，显然y,?y??xx?22xx?22?3y?(y0)??222220??t?3t程为，所以3?y? (??)?)?y??1,(22xx42242222y?＝故?2?][(??(?1)2??(?3)?7)?yy?()?422xxx2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先2?mx?ny?x的图象与m后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为，n，则二次函数x轴有两个不同交点的概率是（）．54171 （A）（B）（C）（D）923612．C）【答】（ . 由题意知，即可以得到36个二次函数解：基本事件总数有6×6＝3622.＞0，即＝4＞mn?4mn?17. 对. 故17通过枚举知，满足条件的有?Pnm，36个点6个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这3．有两个同心圆，大圆周上有4 ．)可以确定的不同直线最少有(条）12 （D （C）10条 6 （A）条（B）8条）（B【答】，两两连线DC，个不同的点A，B，解：如图，大圆周上有4中，至少有一FE，可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点，CB，BD的交点，则它与A，个不是四边形ABCD的对角线AC与的两两连线．从而这DC，A，B，D的连线中，至少有两条不同于条．个点可以确定的直线不少于86 3题）（第条直线．个点如图所示放置时，恰好可以确定8当这6 8条．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有内作正△．以为一边在圆4．已知是半径为1的圆的一条弦，且O?1OAB?aABAB，则的延长线交圆于点A的一点，且，，点为圆上不同于点ODCDB?ABABC?OaED）．的长为（AE35a D）a1 （C（A））（（B）22（B）【答】?设，则OA，OB．解：如图，连接OE，?D??．EAC?120????ECA?4题）（第11????又因为，2180?????ABO?ABD??60???12022≌所以，于是．1?AE?ACE△OA△ABO AFAB为半径，以点B为圆心，另解：如图，作直径EF，连结FO上，，则点＝BC＝BDA，C，D都在⊙B ，因为作⊙BAB ECD11??60?30??EDA??CBA???F由22AB1??30??AE?EFsim?F2?sim所以3，4，，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续，．将512 ．）三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（．5种（D）种（C）4种（A）2种（B）3 D）【答】（5的一个满足要求的排列．，4，是1，2，3解：设aa，，a，a，a51432，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，首先，对于a，a，a，a4123与已知条件矛盾．是奇数，这说明一个偶数后面一定要是奇数，则≤3）是偶数，又如果（1≤i aaa2ii?1i?接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．种情形满足条件：所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5a，a，a，a，a54213；1，4，3；2，5，，，，1，34，5；2，3，5，41 2 ．，1，3，25；4，54，3，1，2，30分）6二、填空题（共5小题，每小题分，满分1的方程x*”为：．若关于．对于实数u，v，定义一种运算“6??a?x)x?(vu?v?uv?4．有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是【答】，或．1a?0?a?112，解：由，得0?1)x??(a?1)x??(a?x?(a?x)44，01?a??依题意有?2，?0(?a?1)??(a?1)?，或．解得，1a??a?0分钟从迎路公交车，每隔36分钟从背后驶过一辆187．小王沿街匀速行走，发现每隔路公交车总站每隔路公交车行驶速度相同，而且1818路公交车．假设每辆18面驶来一辆分钟．固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是．【答】4y x分，同向行驶的相邻两车/路公交车的速度是米米/分，小王行走的速度是解：设18s的间距为米．①．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s6xy??6②．分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3每隔sy3x?3?s4?，所以由①，②可得．xs?4x分钟．418即路公交车总站发车间隔的时间是题）8（第BC的中点，，点M是．如图，在△中，AB=7，AC=118ABC FC的长为AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则．9．【答】AB，则MN∥如图，设点N是AC的中点，连接MN解：．又，所以MFN????BAD?MF//AD?DAC?FMN，1．所以?FNAB?MN2 8题答案）（第119．因此?NC?AB?AC?FC?FN E22交BA的延长线为E，延长MF另解：如图，过点C作AD的平行线交N.于点AE N则ACE??DAC???E??BAD A F CENF//CEAE?AC?11FN是等腰梯形，，所以四边形所以.又11B911)??BE?(7CF?EN??C即MD22，分别与DE∥BC的内切圆圆心CA＝9，过△ABCI作．△9ABC中，AB＝7，BC＝8，．，则AB，AC相交于点D，EDE的长为16【答】．3 r，b，c，内切圆I的半径为解：如图，设△ABC的三边长为a，h，则BC边上的高为a11，r?c)?ahS?(a?b ABCa△22（第9题答案）ar?．所以cah?b?a r?hDE a?，，所以它们对应线段成比例，因此因为△ADE∽△ABC BCh a rh?)?ca(bar a)a?(?1??a?DE?(1a)?，所以c?b?ahhc?b?a aa619?（7?）8?DE?．故37?9?812?4?3?5?125另解：＝cb?a?125S25?122?p5?r?△ABC???35h所以（这里，）a2128a r?h25DE35?a，得ADE∽△ABC，由△???3BCh a216即?DE??BC3322的所有正整数解为．关于x，y的方程．10)?y?208(xx?y x?48，x?160，??【答】??y?32，y?32.??解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设，则b?2?2a,yx22，)?b?104(aa?b同上可知，a，b都是偶数．设，则d?22c,ba?22，)d?52(cc??d所以，c，d都是偶数．设，则t2s,d?c?222?26(st?ts)?，22213)??((s?13)t，＝于是132?其中s，t都是偶数．所以22222213)13??(s(?13)t?2?．≤11?1315?2?213?s13)?(t为337，329，进而，313，289，257所以，故只能，可能为1，3，57，9s?6，s?20，??2s?1313)t?(＝7．于是，从而＝289是??t?4；t?4，??，x?16，0x?48??因此??，y?32.y?32?? 2222?104)21632,y?210421632?(?104)y104)x(??(??则有因为另解：又y正整数，所以43?y?1．22令21632by?104|,则a???a|x?104|,b?|95，6，因为任何完全平方数的个位数为：1，4，2222 6和6；的个位数只能是1和由1或知ba,21632a??b229的个位数字可以为1当或和的个位数是11时，则ba,ba,22的十位数字为但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与3矛盾。

初中数学试题60

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b ++-=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A ）512+ （B ）512- （C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC=，即 11a a a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得152a +=． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 （第2题）【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）．（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为（第4题）图1图222(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.577≈．于是 2y0 1 4 9 16 ∆ 116 109 88 53 4显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．【答】6027．（第7题）解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=，即 201520x x -=，解得607x =．所以60227CE x ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x .（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程（第9题）（第10题）2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以 2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ② ………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③ ………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④ 且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 222-≤t ≤222+. 所以，t 的取值范围为222-≤t ≤222+. ⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+. 由于231(1)22c t =-+在222-≤t ≤222+时是递增的，所以，当222t =- 时,2min 3211162(21)2224c -=--+=. ………………20分 12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k = ，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅．同理可得 CE EG AD AB =⋅．………………10分又因为tan AD BE ACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得 DF EG =．………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分（第13A 题）连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n = ，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=- ．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=- ，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分北京高一一对一家教数学 - 高一上门辅导数学（第13A 题）北京高一一对一家教数学- 高一上门辅导老师NO.1:性格开朗，善于沟通，性情随和，特别善于和青少年沟通，有责任心，喜欢挑战自我~数学家教特擅长。

九年级数学学习周报答案

九年级数学学习周报答案解答题1. （2001上海市10分）如图，已知抛物线y＝2x2－4x＋m与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点．（1）求实数m的取值范围；（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；（3）若直线分别交x轴、y轴于点E、F，问△BDC与△EOF是否有可能全等，如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由．【答案】解：（1）令y=0，则有2x2－4x＋m=0，依题意有，△=16－8 m＞0，∴m＜2。

又∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，∴m＞0.因此实数m的取值范围为0＜m＜2。

（2）∵，∴C（1，m－2）。

令y=0，2x2－4x＋m =0，则（由（1）知）。

∴AB＝。

（3）在中令y=0，得x＝，∴E（，0）。

令x=0，得y＝1，∴F（0，1）。

∴OE= ，OF=1。

由（2）可得BD= ， CD=2－m。

当OE=BD时，，解得m =1。

此时OF=DC=1。

又∵∠EOF=∠CDB=90°，∴△BDC≌△EOF（SAS）。

∴两三角形有可能全等。

【考点】二次函数综合题，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，二次函数的性质和应用，全等三角形的判定。

【分析】（1）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，因此对应的一元二次方程的根的判别式△＞0，求解即可。

（2）直接根据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标，再求AB的长度。

（3）要求判定△BDC与△EOF是否有可能全都，即指探索全都的可能性，本题已有∠CDE=∠EOF=90°，BD与OE或OF都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可。

2. （2001上海市12分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC 于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．【答案】解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC。

数学周报杯全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“?数学周报?杯〞2021年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题〔共5小题，每题6分，总分值30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分〕1．实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，那么的值为〔〕．〔A 〕7 〔B 〕〔C 〕〔D 〕52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，假设两个正面朝上的编号分别为m ，n ，那么二次函数2y x mx n =++的图象及x 轴有两个不同交点的概率是〔〕．〔A 〕512 〔B 〕49 〔C 〕1736 〔D 〕123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，那么这6个点可确定的不同直线最少有( )．〔A 〕6条〔B 〕 8条〔C 〕10条〔D 〕12条4．AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，那么AE 的长为〔〕．〔A 〕2a 〔B 〕1 〔C 〕2〔D 〕a 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之与都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有〔〕．〔A 〕2种〔B 〕3种〔C 〕4种〔D 〕5种二、填空题〔共5小题，每题6分，总分值30分〕6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*〞为：u v uv v *=+．假设关于x 的方程有两个不同的实数根，那么满足条件的实数a 的取值范围是．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．8．如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD 是∠BAC的平分线，MF∥AD，那么FC的长为．9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别及AB，AC相交于点D，E，那么DE的长为．10．关于x，y的方程22208()+=-的所有正整数解x y x y为．三、解答题〔共4题，每题15分，总分值60分〕11.在直角坐标系xOy中，一次函数b=0kxy+（）的图象及xk≠轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于3OA OB++．（1）用b表示k；（2）求△ABC面积的最小值．12.是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？13.如图，△ABC的三边长BC a CA b AB c，，都是整，，，a b c===数，且a b，的最大公约数为2．点G与点I分别为△ABC的重心与内心，且90∠=︒．求△ABC的周长．GIC〔第13题〕14.从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到假设干个数〔至少一个，也可以是全部〕，它们的与能被10整除，求n 的最小值．中国教育学会中学数学教学专业委员会“?数学周报?杯〞2021年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题〔共5小题，每题6分，总分值30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分〕1．实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，那么的值为〔〕．〔A 〕7 〔B 〕〔C 〕〔D 〕5【答】〔A 〕解：因为20x >，2y ≥0，由条件得所以7．2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，假设两个正面朝上的编号分别为m ，n ，那么二次函数2y x mx n =++的图象及x 轴有两个不同交点的概率是〔〕．〔A 〕512 〔B 〕49 〔C 〕1736 〔D 〕12【答】〔C 〕解：根本领件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，那么这6个点可以确定的不同直线最少有( )．〔A 〕6条〔B 〕 8条〔C 〕10条〔D 〕12条【答】〔B 〕解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 及BD 的交点，那么它及A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如下图放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，那么AE 的长为〔〕．〔A 〕52a 〔B 〕1 〔C 〕32〔D 〕a 【答】〔B 〕解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，那么又因为所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之与都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有〔〕．〔A 〕2种〔B 〕3种〔C 〕4种〔D 〕5种【答】〔D 〕解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否那么，这两个之后都是偶数，及条件矛盾．又如果i a 〔1≤i ≤3〕是偶数，1i a +是奇数，那么2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数〔第4题〕是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题〔共5小题，每题6分，总分值30分〕6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*〞为：u v uv v *=+．假设关于x 的方程有两个不同的实数根，那么满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由，得依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，那么每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，那么由①，②可得 x s 4=，所以．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，那么FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，那么MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9． 9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别及AB ，AC 相交于点D ，E ，那么DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，那么所以．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此，所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++ 〔第8题〕〔第8题答案〕〔第8题答案图〕〔第9题答案〕故．10．关于x，y的方程22208()+=-的所有正整数解x y x y为．【答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设2,2==，那么x a y b同上可知，a，b都是偶数．设2,2==，那么a cb d所以，c，d都是偶数．设2,2==，那么c sd t于是22-++＝2s t(13)(13)⨯，213其中s，t都是偶数．所以所以13s-可能为1，3，5，7，9，进而2t+为337，329，(13)313，289，257，故只能是2(13)t+＝289，从而13s-＝7．于是因此三、解答题〔共4题，每题15分，总分值60分〕11．在直角坐标系xOy中，一次函数b=0kxy+（）的图象及xk≠轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于3++．OA OB（3）用b表示k；（4）求△OAB面积的最小值．解：〔1〕令0=x，得0，；令0=y，得．=>y b b所以A，B两点的坐标分别为，于是，△OAB的面积为由题意，有解得，2b >．……………… 5分〔2〕由〔1〕知当且仅当时，有S =102+=b ，1-=k 时，不等式中的等号成立．所以，△OAB 面积的最小值为1027+．……………… 15分12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程有有理数根？解：设方程有有理数根，那么判别式为平方数．令其中n 是一个非负整数．那么……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ，且q n -及q n +同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：消去n ，解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+，，，，． ……………… 10分对于第1，3种情形，2p =，从而q ＝5；对于第2，5种情形，2p =，从而q ＝4〔不合题意，舍去〕；对于第4种情形，q 是合数〔不合题意，舍去〕．又当2p =，q ＝5时，方程为22520x x -+=，它的根为，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．……………… 15分13．如图，△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===，，，a b c ，，都是整数，且a b ，的最大公约数为2．点G 与点I 分别为△ABC 的重心与内心，且90GIC ∠=︒．求△ABC 的周长．解：如图，延长GI ，及边BC CA ，分别交于点P Q ，．设重心G 在边BC CA ，上的投影分别为E F ，，△ABC 的内切圆的半径为r ，BC CA ，边上的高的长分别为a b h h ，，易知CP ＝CQ ，由可得 ()123a b r GE GF h h =+=+，即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭△△△，从而可得．……………… 10分因为△ABC 的重心G 与内心I 不重合，所以，△ABC 不是正三角形，且b a ≠，否那么，2a b ==，可得2c =，矛盾．不妨假设a b >，由于()2a b =，，设()1111221a a b b a b ===，，，，于是有为整数，所以有11()12a b +，即()24a b +．于是只有1410a b ==，时，可得11c =，满足条件．因此有35a b c ++=．所以，△ABC 的周长为35．……………… 15分〔第13题〕〔第13题答案〕14．从1，2，…，9中任取n 个数，其中一定可以找到假设干个数〔至少一个，也可以是全部〕，它们的与能被10整除，求n 的最小值．解：当n ＝4时，数1，3，5，8中没有假设干个数的与能被10整除．……………… 5分当n ＝5时，设125a a a ，，，是1，2，…，9中的5个不同的数．假设其中任意假设干个数，它们的与都不能被10整除，那么125a a a ，，，中不可能同时出现1与9；2与8；3与7；4与6．于是125a a a ，，，中必定有一个数是5．假设125a a a ，，，中含1，那么不含9．于是不含4〔4＋1＋5＝10〕，故含6；于是不含3〔3＋6＋1＝10〕，故含7；于是不含2〔2＋1＋7＝10〕，故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．假设125a a a ，，，中含9，那么不含1．于是不含6〔6＋9＋5＝20〕，故含4；于是不含7〔7＋4＋9＝20〕，故含3；于是不含8〔8＋9＋3＝10〕，故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．综上所述，n 的最小值为5．……………… 15分。

九年级数学周报人教版答案

九年级数学‎周报人教版‎答案一、选择题1. （2001江‎苏常州2分‎）已知等式，则x的值是‎【】A．1 B.2 C.3 D.1或3【答案】A。

【考点】解分式方程‎，二次根式的‎性质和化简‎。

【分析】由等式可知‎x-2≠0，按照x-2＞0，x-2＜0分类，将等式化简‎，解一元二次‎方程即可：∵x－2≠0，∴①当x－2＞0时，原等式整理‎得1+（x－2）2=0，一个正数加‎一个非负数‎不可能为0‎，这种情况不‎存在。

②当x－2＜0，即x＜2时，原等式整理‎得：－1+（x－2）2=0，则x－2=1或x－2=－1，解得x=3或x=1。

而x＜2，所以，只有x=1符合条件‎。

故选A。

2. （江苏省常州‎市2002‎年2分）半径相等的‎圆内接正三‎角形、正方形、正六边形的‎边长之比是‎【】A. B. C. 3:2:1 D.1:2:3【答案】B。

【考点】正多边形和‎圆，【分析】从中心向边‎作垂线，构建直角三‎角形，通过解直角‎三角形可得‎：设圆的半径‎是r，则多边形的‎半径是r。

则内接正三‎角形的边长‎是2rsi‎n60°= r，内接正方形‎的边长是2‎rsin4‎5°= r，正六边形的‎边长是r，∴半径相等的‎圆的内接正‎三角形、正方形、正六边形的‎边长之比为‎。

故选B。

3. （江苏省常州‎市2003‎年2分）已知圆柱的‎侧面积是，若圆柱底面‎半径为，高为，则关于的函数图象‎大致是【】【答案】【考点】反比例函数‎的应用。

【分析】根据题意有‎：，化简可得，故与之间的函数‎图象为反比‎例函数，且根据实际‎意义与应大于0，其图象在第‎一象限。

故选B。

4. （江苏省常州‎市2004‎年2分）当五个数从‎小到大排列‎后，其中位数为‎4。

如果这组数‎据的唯一众‎数是6，那么这5个‎数可能的最‎大的和是【】（A）21 （B）22 （C）23 （D）24【答案】A。

【考点】众数，中位数。

【分析】找中位数要‎把数据按从‎小到大的顺‎序排列，位于最中间‎的一个数（或两个数的‎平均数）为中位数；众数是一组‎数据中出现‎次数最多的‎数据，注意众数可‎以不止一个‎。

中学生学习报数学九年级下册华师大版第18期答案

中学生学习报数学九年级下册华师大版第18期答案1、把200千米的水引到城市中来，这个任务交给了甲，乙两个施工队，工期50天，甲，乙两队合作了30天后，乙队因另有任务需离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来，为了保证工期，甲队速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成。

问：甲乙两队原计划各修多少千米？解：设甲乙原来的速度每天各修a千米，b千米根据题意（a+b）×50=200（1）10×（a+0.6）+40a+30b+10×（b+0.4）=200（2）化简a+b=4（3）a+0.6+4a+3b+b+0.4=205a+4b=19(4)(4)-(3)×4a=19-4×4=3千米b=4-3=1千米甲每天修3千米，乙每天修1千米甲原计划修3×50=150千米乙原计划修1×50=50千米2、小华买了4支自动铅笔和2支钢笔,共付14元;小兰买了同样的1支自动铅笔和2支钢笔,共付11元。

求自动笔的单价，和钢笔的单价。

解：设自动铅笔X元一支钢笔Y元一支4X+2Y=14X+2Y=11解得X=1Y=5则自动铅笔单价1元钢笔单价5元3、据统计2009年某地区建筑商出售商品房后的利润率为25%。

（1）2009年该地区一套总售价为60万元的商品房，成本是多少？（2）2010年第一季度，该地区商品房每平方米价格上涨了2a元，每平方米成本仅上涨了a元，这样60万元所能购买的商品房的面积比2009年减少了20平方米，建筑商的利润率达到三分之一，求2010年该地区建筑商出售的商品房每平方米的利润。

解：（1）成本=60/（1+25%）=48万元（2）设2010年60万元购买b平方米2010年的商品房成本=60/（1+1/3）=45万60/b-2a=60/（b+20）（1）45/b-a=48/（b+20）（2）（2）×2-（1）30/b=36/（b+20）5b+100=6bb=100平方米2010年每平方米的房价=600000/100=6000元利润=6000-6000/（1+1/3)=1500元4、某商店电器柜第一季度按原定价（成本+利润）出售A种电器若干件，平均每件获得百分之25的利润。

2012数学周报杯九年级初赛试卷答案

“数学周报杯”2012年初中数学竞赛（辽宁赛区）初赛试卷（九年级）参考答案及评分标准一、选择题（24分）二、填空题（24分）9．2.3×10-510．1.1 11．如图所示 12．2113．2914．①③④（多填或错填得0分，少填一个扣115．2 ∶5 （或52） 16．9 三、（17题8分，18题6分，共14分）17．解：原式=34))(()()(2+-⨯+-+-++ba b a b a b a b a a b a …………………………… 3分=34+-+a ba …………………………………………………………5分 =ab………………………………………………………………… 6分当3,2a b =-=时，原式=32-． ………………………………………8分18.参考答案：（画对一个图形得3分，共6分）四、（19题8分，20题10分，共18分） 19．解：∵直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与 y 轴交于点B ， ∴A （4，0） B （0，3）. …………………………………………………1分由翻折，得5==BA BD ，CA CD =，∠ABC=∠DBC.∴D （－2，0）. ………………………………………………3分设点C （x ， 0）则在Rt △COD 中，CD= 4－x.（图①）（图②）所以（4-x ）2=x 2+4.解得23=x . ∴C （23，0）. ……………………………………5分 ∵∠ABC=∠OBC ，∴ABC ∠cos =OBC ∠cos =BCOB. ∵222OB OC BC +=22345=3=24⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴253=BC .……………………………………………7分∴ABC ∠cos52. ……………………………………………8分 20．解：设正方形的边长为x cm ，由题意，得 …………………………………1分12982)272)(125.182(=-++⨯+x x x . ………………………………4分整理，得068322=-+x x . …………………………………………6分解得122,34(x x ==-不符合题意,舍去). …………………… 8分 ∴ x =2.答：小正方形的边长为2cm ． ………………………………10分五、（每题10分，共20分） 21. 解：（1）设60~70分（含60分，不含70分）的人数为x 人，则90分以上（含90分）的人数为（2x +3）人………………………………………………1分可得82015032---=++x x . 解得x =6. ∴2x +3=15.答：不低于90分的有15人. ……………………………………………3分（2）79.5~89.5. …………………………………………………………5分（3）84050351200=⨯.答：约有840名学生对科普知识的知晓程度达到优良．…………………7分（4）P （小杰被选上）=51153=. ………………………………………10分 22．解：（1）由题意，得y 与x 之间的函数关系式为800(20≤≤+=x x y ，且x 整数）…………………………………3分（不写取值范围不扣分）（2）由题意，得P 与x 之间的函数关系式为4000019005)52000)(20(2++-=-+=x x x x P . …………………6分（3）由题意，得50000)100(5900200020)52000)(20(2+--=-⨯--+=x x x x W .……………………………………………………8分∵800≤≤x ，在对称轴100=x 左侧W 随x 增大而增大，∴当80=x 时有最大值，4800050000)10080(52=+--=W .∴存放80天后出售这批山菜可获得最大利润48000元．…………10分六、（23题10分，24题12分，共22分） 23．（1）证明：连接OA 、OP ，由旋转可得： △P AB ≌△PCD ，∴P A =PC=DC ，∴ =AP PCDC =， …………………2分 ∠AOP =2∠D ，∠APO =∠OAP = 018022D-∠.又∵∠BP A =∠DPC=∠D ，∴∠BPO =∠BP A+∠APO = ∠D +018022D-∠=90°.∴PB 与⊙O 相切. ……………………………………………………5分（2）过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ， ∵∠C =120°，∴∠P AB =120°.又△P AB 是等腰三角形，∴∠BP A =∠B =30°， PB = 34.∴BE =EP =32. …………………………………………7分P A =30cos EP =2332=4. 又∵PB 与⊙O 相切于点P ，∴∠APO =60°. 又OP =OA ，∴△APO 为等边三角形.∴OP =P A =4，∴S ⊙O ＝π16. ……………………………………………………10分 24.解：（1）如图所示. ………………2分（2）设直线AB 的解析式为b kx y +=，把)10,2(A ，)0,5.4(B 代入得⎩⎨⎧+=+=.5.40,210b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.18,4b k∴184+-=x y . …………………4分当3=x 时，6184=+-=x y ，∴)6,3(D .(y )h又点C 的坐标为)0,7( ………5分设直线CD 的解析式为d cx y +=，则有⎩⎨⎧+=+=.36,70d c d c 解得⎩⎨⎧=-=.5.10,5.1d c∴5.105.1+-=x y . ……………7分当2=x 时，5.7=y .5210=（千米/时），5.155.7=，∴2－1.5＝0.5. ∴甲在市场停留了0.5小时. …………………9分（3）当32≤≤x 时，5.0)5.105.1(184≤+--+-x x ，解得38.2≤≤x . …10分当5.43≤<x 时，5.0)184(5.105.1≤+--+-x x ，解得2.33≤<x .…11分综上所述：在回村过程中，当2.38.2≤≤x 时，甲、乙二人能相互看见．…12分七、（14分）25. 解：（1）根据题意，得⎩⎨⎧=++=+-02444n m m n m m 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=434n m……………………………………2分（2）由点A （2，4）和点B （－1，0），可得：AB =5，四边形A A ′B ′B 为菱形，则A A ′=B ′B= AB=5 ………………4分由（1）知：316)1(344383422+--=++-=x x x y ……………5分∴向左平移5个单位的抛物线表达式为316)4(42++-=x y ．………6分（3）如图，过点A x 轴交于点N .由点A （2，4）和点B ' （－6，0），可得54='B A . 由AM ∥CN ，得A B C B M B N B ''=''，即5482CB '=. 解得5='C B ，所以53=AC . …………………8分根据菱形性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC =∠CB ′D . ⅰ）由D B AC C B AB ''=，得DB '=5355. 解得3='D B . ……………10分此时OD =3，∴D （－3，0）. ……………………………………11分 ⅱ）由C B ACD B AB ''=，得5535='D B . 解得35='D B . ………………13分此时OD =313. ∴)0,313(-D ．…………………………………14分八、（14分） 26．解：（1）243a ，b －c ，2)(43c b -，])([12322c b a --．……………4分（2）如下图画出正六边形花环，…………………………………………………6分∵大六边形的边长都是a ，小六边形的边长都是b －c ，六个角都是∠B +∠C =120°， ∴两个六边形都是正六边形，可求得大正六边形面积为2233a ，小正六边形的面积为2)(233c b -，………………………………………8分 ∴6S =])(233233[6122c b a --=])([4322c b a --．……………………9分（3）当∠A =no360时，能拼成一个任意正n 边形花环，………………………11分此时大正n 边形的面积为nna 180tan42，花环内小正n 边形的面积为nc b n180tan4)(2-，∴n S =])([180tan4122c b a n--． ……………………………………14分。

九年级数学周报湘教版答案

九年级数学周报湘教版答案一、填空题（每小题5分，共40分）1．图1是手工实验课上要制作的滚珠轴承的平面示意图．若该滚珠轴承的内、外圆周的半径分别为2和6，则在该轴承内至多可放半径为的滚珠颗．2．在太阳光的照射下，矩形窗框在地面上的影子的形状一般是形；圆形窗框在地面上的影子往往是形．3．In the second （图形），suppose that arch （拱型门）is shaped like a parabola （抛物线）．It is 40 feet wide at the base and 25 feet high．How wide the arch 16feet above the ground？Answer：feet．4．地铁建设已成为一个城市现代化文明的标志，某市地铁1号线全长16.1千米，共13个车站，每站停靠30秒，现知某班车在自始发站发出，于到达终点站，则列车行驶的平均速度为千米／时．假设每相邻两站间的距离都相等，则列车在相邻两站间要行驶分钟（精确到0.1）．5．一名臂长为58cm，肩宽（）为46cm的体操运动员在进行吊环比赛，图3是其中一个叫“十字支撑”的动作，规定双臂与水平线的夹角不超过，并停顿2秒以上，该动作视为成功，否则为不成功．该运动员做这个动作时，两手之间的距离为144cm，并停顿了3秒，这名运动员的这个动作（填“成功”或“不成功”）．6．某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是．7．新课程改革以来，同学们动手实践和自主探索能力不断加强．如图4，边长为10cm的正方形彩纸，按图4中①～④折叠，然后如图④沿虚线剪开时，剩下阴影部分的展开图的形状是，其面积为．8．现有1～13共13张已按一定顺序正面朝上叠放好的扑克牌，将牌的第1张放到第13张后面，拿出此时牌的最上面的一张，放在桌子上；再将手中牌的第1张放到最后，拿出牌的最上面的一张，放在桌子上，……，如此反复进行，直到手中的牌全部取出．如果取出的牌的顺序正好是1，2，3，…，11，12，13，则原来扑克牌的顺序为7，1，12，2，8，3，11，4，9，5，13，6，10．若取出的牌的顺序为13，12，11，…，3，2，1，那么原来牌的顺序为．二、选择题（每小题5分，共40分）9．红星学校初三年级有四个班，四个数学老师分别任教不同的班．期末数学考试时，学校安排统一监考，要求同年级数学教师交换监考，那么安排初三年级数学考试时间可选择的监考方案共（）Ａ．8种Ｂ．9种Ｃ．10种Ｄ．11种10．伸出一只手，从大拇指开始按如图5所示的那样数数字：1，2，3，4，……，则2004落在（）Ａ．大拇指上Ｂ．食指上Ｃ．中指上Ｄ．无名指上11．弹簧秤下挂一铜块，铜块全部浸没在稀硫酸溶液中，然后向溶液中慢慢匀速加入同浓度的氢氧化钠溶液，设加入的溶液质量为，弹簧秤的示数为，则与之间的关系的大致图象为（）12．六名同学雨、雪、雾、雷、霜、露进行象棋比赛，每两人赛一局，第一天雨与雪各赛了3局，雾与雷各赛了4局，霜赛了2局，而且雷与雪、雨和雾之间都没赛过，那么露已赛了（）Ａ．1局Ｂ．2局Ｃ．3局Ｄ．4局13．王宏的爸爸用家里的电话号码作彩票号码，连续买了9期都没中奖，现在他又来到投注站，犹豫不决，不知道要不要换换号码．请你帮他分析一下（）Ａ．不要变换号码，原来那号码已用了9次，还没中奖，再用中奖机率高Ｂ．变换号码，原来那号码用了9次都没中奖，再用还不易中奖Ｃ．变与不变号码都一样，用过的号码与没用过的新号码在理论上中奖机率是一样的Ｄ．以上分析都不对14．小青进行打靶训练，需射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.8环、8.4环、8.1环、9.3环．他前9次射击所得的平均环数高于前5次射击环数的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击时击中环数至少是（每次射击所得环数都精确到0.1环）（）Ａ．9.9 Ｂ．9.8 Ｃ．9.6 Ｄ．1015．宏达广告公司设计员刘斌在设计一个广告图案，他先在纸上画了一个边长为1分米的正六边形，然后连结相隔一点的两顶点得到如图6所示的对称图案．他发现中间也出现了一个正六边形，则中间的正六边形的面积是（）Ａ．分米Ｂ．分米Ｃ．分米Ｄ．分米16．数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为400m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图．要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大．下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（）三、解答题（每小题20分，共40分）17．实践应用：蓓蓓有5张人民币，面值合计20元．（1）蓓蓓的5张人民币，面值分别是元，元，元，元，元．（2）蓓蓓到水果店，称了kg苹果（是整数），按标价应付元，正好等于那5张人民币中的2张面值之和．这时果筐里还剩6kg苹果，店主便对蓓蓓说：“如果你把这剩下的也都买去，那么连同刚才已经称的，一共就付10元钱吧．”蓓蓓一算，这样相当于每千克比标价减少了0.5元，本着互利原则便答应了，试求，．18．实验探究：下面设想用电脑模拟台球游戏，为简单起见，约定：（1）每个球或球袋都视为一点，如不遇障碍，各球均沿直线前进；（2）球击中球，意味着球在球前进的路线上，且球被撞击后沿着球原来的方向前进；（3）球撞及桌边后的反弹角等于入射角．如图7，设桌面上只剩下白球和6号球，希望球撞击桌边上点后反弹，再击中球．（1）给出一个算法（在电脑程序设计中把解决问题的方法称为算法），告知电脑怎样找到点，并求出点坐标；（2）设桌边上有球袋，给出一个算法，判定6号球被从点反弹出的白球撞击后，能否落入球袋中（假定6号球被撞击后的速度足够大）．四、开放题（本题30分）19．设计说理：有一长方形餐厅，长10m，宽7m，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5m的圆形（如图8所示），在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5m的前提下，此餐厅内能否摆下三套同样大小的圆桌和椅子，若能，请你设计一种摆放方案，讲清楚设计思路，并画出示意图；若不能，请说明理由．如果摆放四套呢？五、附加题（本题50分）20．动手实践作品展示．1．作品形式：小发明、小创造、小模型、小程序、小课件、研究报告以及小论文等（凡属于运用数学知识、方法、思想，并通过动手、动脑具体操作或借助计算机技术，来完成的原创作品均可）；2．作品要求：附相关实物、图形、文字说明以及相关报道、评价等．第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛（Ｂ）卷试题参考答案一、填空题（每小题5分，共40分）1．2，62．平行四边形，椭圆3．本题译为：在图2中，假设一个拱形门形状是一条抛物线，它的底部宽为40英尺，高25英尺，问这个拱型门离底部16英尺高的地方，它的宽为多少英尺？略解：建立如图2所示的直角坐标系，可设抛物线的解析式为，把代入得，．当时，．因此，这时拱型门的宽为24英尺．4．全程13个车站，但只有12段距离，停靠11个站，速度（千米／时），相邻站行驶时间为（分）或（分）．5．不成功．如图，分别过作的垂线，垂足分别为．由cm，cm，cm．，．．不成功．6．假定进价为100元，销售价为元，则，求得元．原来利润率为．7．正八边形，．8．7，13，2，12，6，11，3，10，5，9，18，4．二、选择题（每小题5分，共40分）9．Ｂ10．Ｄ11．Ｃ12．Ｄ13．Ｃ14．Ａ15．Ｃ16．Ｂ三、解答题（每小题20分，共40分）17．（1）1元，2元，2元，5元，10元；（2）由（1）知，从蓓蓓5张人民币中取2张，和小于10元的情况只有4种：，，，．即值只能是3，4，6，7．若，则原标价为元／千克，成交价为元／千克，有．整理，得，无整数解．若，可得，无整数解．若，可得，解之，得，（舍去）．若，可得，无整数解．综上可知，，．18．如图3，设桌面上只剩下白球和6号球，希望球撞击桌边上点后反弹，再击中球．（1）给出一个算法（在电脑程序设计中把解决问题的方法称为算法），告知电脑怎样找到点，并求出点坐标．（2）设桌边上有球袋，给出一个算法，判定6号球被从点反弹出的白球撞击后，能否落入球袋中（假定6号球被撞击后的速度足够大）．略解：（1）算法：①找出点关于轴的对称点；②求直线的解析式；③求出直线与轴的交点坐标，即点．（2）算法：①求出直线的解析式；②把代入该解析式；③由的坐标满足可判定6号球能落入球袋中．四、开放题（本题30分）19．答案不惟一，设计思路、示意图正确即可．五、附加题（本题50分）20．略．。

相似三角形在生活中的实际应用

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相似三角形在生活中的实际应用
作者：周春凤
来源：《教育周报·教研版》2020年第09期
相似三角形作为初中数学的重要组成部分，在生活中相似三角形的应用非常广泛。

因此让学生以此为工具建立数学模型，解决一些简单的实际问题，体会数学的价值是至关重要的。

下面举例说明。

这三个例题是常见的生活問题，它们共同之处都是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，利用相似三角形的性质很容易得到答案。

对于有关的实际问题有很多种类型，然而如何设计测量方案、建立数学模型是解决问题的关键。

只有让学生经历探索、思考形成数学技能，才能学以致用。

2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案

初三数学竞赛试题中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（A）（B）（C）（D）a1（乙）．如果，那么的值为（）．（A）（B）（C）2 （D）2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）（C）（D）3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（A）（B）4（C）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC 交圆O于D、E两点，若，则线段CE、BD的长度差是。

2021-2022教育周报九年级上M3(已审)

M3二、语法选择（本题有10小题，每小题1分，共10分）通读下面短文，掌握其大意，然后按照句子结构的语法和上下文连贯的要求，从每题所给的四个选项中选出一个最佳答案，并将答题卡上对应题目所选的选项涂黑。

Good afternoon, everyone. I am Tonny. Today I am going to tell you about my hero. My favourite athlete is Ma Long—one of the 31 table tennis players in the world.Just like many other successful athletes(运动员), Ma long has made great achievements(成就) in ping-pong through hard work. Born in 1988, Ma Long 32 to play table tennis at 5. When he was 13, his ability in table tennis was noticed by a coach. Therefore, he had to leave 33 home town Anshan，Liaoning for Beijing 34 he could continue to train for table tennis. In 2003, Ma Long joined the national team. He trained very hard, 35 he became a great player later. He became very 36 .In 2008, he became world-famous. He won the men’s singles(单打) at the 2012 Table Tennis World Cup and the 2015 World Table Tennis Championships. In 2016，he won a victory in the men’s singles in the Rio Olympic Games. Now the he is helping China to win more medals in the Tokyo Olympics. It is his third time 37 part in it. 38 he does, he never gives up. In my heart, Ma Long is a symbol of courage and success. He is 39 amazing table tennis player! As a Chinese, I am so proud 40 him.Thanks for listening.31. A. great B. greater C. greatly D. greatest32. A. start B. started C. starts D. have started33. A. his B. him C. her D. himself34.A. so what B. such that C. so that D. so much35.A. because B. so C. though D. since36.A. successful B. success C. succeed D. successfully37.A. take B. takes C. taking D. to take38.A. However B. Wherever C. Whatever D. Whenever39.A. an B. a C. the D. /40.A. including B. before C. in D. of31-35DBACB 36-40ADCAD三、完形填空（本大题有10小题，每小题1分，共10分）通读下面短文，掌握其大意，然后在每小题所给的四个选项中，选出一个最佳答案，并将答题卡对应题目所选的选项涂黑。