小学五年级奥数最大公约数和最小公倍数

第三讲最大公因数和最小公倍数

1.公因数和最大公因数

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

例如：12的因数有：1，2，3，4，6，12；

18的因数有：1，2，3，6，9，18。

12和18的公因数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公因数，记作（12，18）=6。

2.公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…

18的倍数有：18，36，54，72，90，…

12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。

3.互质数

如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。

例1用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

例2一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？

例3有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少

例4加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？

例5一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？

例6一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？

例7用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

例8求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？

例9两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？

例10求21672和11352的最小公倍数。

第四讲带余数的除法

前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除

例1一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。

例2用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？

例3某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？

例43月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？

例5一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。

例6一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。

例7一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。

例8一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？

例969、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。

过手训练

1.边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？

2.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个.这个长方阵每一横行有多少个棋子？

3.五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。

4.自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方.求a的最小值以及b。

5.求10500的约数共有多少个？

过手训练

1.用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16.被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。

2.某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？

3.某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？

4.用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？

5.57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零.求284被这个自然数除的余数.