小学五年级奥数最大公约数和最小公倍数

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五年级奥数-最大公因数和最小公倍数

五年级奥数-最大公因数和最小公倍数work Information Technology Company.2020YEAR最大公因数和最小公倍数基本概念1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

例题分析例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米一共可以截成多少段例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？练习提高1．一个数用3、4、5除都余1，这个数最小是多少？2．一盒钢笔，可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少支？3．花花、林林、和阳阳三人在一个椭圆的跑道上跑步，花花3分钟跑了一圈，林林4分钟跑了一圈，阳阳5分钟跑了一圈，她们同时从A点一起同向出发，多少分后，三人再次在A 点同时出发？4．有批书大约300到400本。

包成每包12本，剩下11本；每包18本，缺1本；每包15本，就有7包每包各多2本，这批书有多少本？5．有一个钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，中午12点时，既响铃又亮灯，问下一次既响铃又亮灯是几点钟？6．7月6日，宝柱从避暑山庄打电话给乾隆问好，贾六来看望乾隆，春喜在打扫房间。

五年级奥数上册第四讲.最大公约数和最小公倍数

分类讨论
• • • • • • 如果d=1时：由d(a1－b1)=4得a1－b1=4；由d×da1b1=252可得a1b1=252 252=1×252=4×63=7×36=9×28 但此时都不满足a1－b1=4 所以d≠1
• • • • • • • • • • •
如果d=2时：由d(a1－b1)=4得 a1－b1=2；由d×da1b1=252可得 a1b1=63 63=1×63=7×9 此时63－1=62≠2不满足a1－b1=2 ， 9－7=2满足a1－b1=2 所以d=2并且a1=9、b1=7 所以a=18、b=14 答：这两个数为18和14。
（二）已知最大公约数和最小公倍数求两个数
• 例2、已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126。求着两个数的和是多少？ • 分析：思路1，由最大公约数与最小公倍数的积等于两个数的积可得到两个数的积为 • 21×126=2646， • 再利用分解质因数后重新组合即可 • 2646=2×3×3×3×7×7 • =(3×7×2)×(3×7×3)=42×63 • 或 =(3×7)×(3×7×2×3)=21×126
如果d =1则a1+b1=54 a1×b1－1=114 即a1×b1=115 115=1×115=5×23 但是1+115=116≠54 5+23=28≠54 d≠1 下面分别讨论d=2、3、6的情况得到： d=6是成立，此时a1=4,b1=5 a=6×4=24 b=6×5=30
• 例6、已知两个自然数的差为4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数 • 分析：差为4即a－b=4即d(a1－b1)=4 • 最大公约数与最小公倍数的积为252即 • d×da1b1=d×da1b1=252=2×2×3×3×7 • 所以d是6的约数，即d是4与6的公约数， d=1或2

五年级奥数基础教程-最大公约数与最小公倍数小学

最大公约数与最小公倍数（一）如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。

题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。

为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。

例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

498-450=48，450-414=36，498-414=84。

小学奥数-最大公约数与最小公倍数完整

答：三道工序至少分别需要10个、 3个、6个工人。
例5、一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用了65瓶；已知，平均每2人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。问参加会餐的人数是多少人？
分析：由题意知参加会餐的人数应当是2、3、4的公倍数。试一下看看
解：∵ [2，3，4] ＝12 ∴参加会餐的人数应当是12 的倍数，又∵每12人用 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3＝13 （个饮料瓶） 65÷13＝5 ∴ 参加会餐的人数是12×5＝60 （人）答：参加会餐的人数是60人。
2 18 39
3
2 30 3 15
5
公有的质因数的积就是最大公约数
18= 2 × 3 ×3 （18，30）＝2×3＝6 30= 2 × 3 ×5
（3）短除法
例如：求18和30的最大公约数。
2 18 30 18和30的最大公约数:
39
15
（18，30）＝2 × 3 =6
35
5、怎样求最小公倍数
三、最大公约数与最小公倍数的关系
例9、两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个数是多少？
分析：最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积即：（a，b）× [a，b] ＝a×b 利用这个关系可以迅速地解答此类问题。如果不理解这 28
应用举例（3）不同长度的拆分
例3、有三段铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米，现在要将它们截成长度相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
分析：要截成相等的小段，每段长度应当是120、180、300的公约数；最长，长度应当是120、180、300的最大公约数

五年级奥数最大公约数和最小公倍数的比较和应用

最大公约数和最小公倍数的比较和应用最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。

一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。

不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。

判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。

对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。

题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。

具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。

又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。

（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。

（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。

题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。

具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。

〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。

5年级奥数讲义(最大公约数最小公倍数)

第五讲最大公因数与最小公倍数（教师版）例1、437与323的最大公约数是多少？基本概念：1、公约数和最大公约数几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。

例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b ）表示a,b 这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。

如果（a,b ）=1,则a,b 两个数是互质数。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b 的最小公倍数，如[12，18]=36。

3、最大公约数与最小公倍数的求法A ．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法（1）分解质因数法（2）短除法（3）辗转相除法（4）小数缩倍法（5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。

当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。

B ．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：（1）分解质因数法（2）短除法（3）大数翻倍法（4）a×b =（a,b ）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

例2、24871和3468的最小公倍数是多少？练习254216933的最简分数是多少？例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。

五年奥数(最大公约数、最小公倍数)-2017寒假用共25页PPT资料

2，试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。
3，判断11111/15015是不是最简分数。
五年级数学举一反三
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时， [a、b]= a×b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：
（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米
【练习2】
1，一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？
2，有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？
【练习1】
1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？
2，一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？
【思路导航】
7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。
如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15 作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。
【练习4】
1，一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？

北师大五年级奥数专题三《最大公约数和最小公倍数》精编

最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1、公约数和最大公约数几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a 、b 的最大公因数记作（a 、b ），如果（a 、b ）=1，则a 、b 互质。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a 、b 的最小公倍数可以记作〔a 、b 〕，当（a 、b ）=1时，〔a 、b 〕=a ×b 。

3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a 、b ）×〔a 、b 〕= a ×b二、方法篇短除法（最大公约数）（1）必须每次都用n 个数的公约数去除；（2）一直除到n 个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

短除法（最小公倍数）（1）必须先用（如果有）n 个数的公约数去除，除到n 个数没有除去1以外的公约数后，在用1n -个数的公约数去除，除到1n -个数没有除1以外的公约数后，再用2n -个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n 个数的商两两互质为止；（3）n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

辗转相除法（最大公约数）设两数为a 、b(a>b ），求a 和b 最大公约数(a ，b ）的步骤如下：用b 除a ，得a ÷b=q......r1(0≤r1）。

若r1=0，则（a ，b)=b ；若r1≠0，则再用r1除b ，得b ÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则（a ，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。

其最后一个非零除数即为（a ，b ）。

五年级奥数专题约数、倍数、完全平方数(学生版)

学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解,对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过,所以重点在于一些性质的应用,完全平方数在考试中经常出现,所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。

即若(,),(,),=⨯=⨯那么(,)1a b=A a a bB b a b(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]⨯=⨯a b a b a b(3)对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。

三、完全平方数常用性质1.主要性质●完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。

不可能是2,3,7,8。

●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

●完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

●若质数p整除完全平方数2a,则p能被a整除。

2.一些推论●任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

●自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。

小学五年级奥数第26讲最小公倍数(一)(含答案分析)

第26讲最小公倍数（一）一、专题简析：1、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]= a×b。

2、两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：最大公约数×最小公倍数=两数的乘积即（a、b）×[a、b]= a×b要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。

二、精讲精练例题1 两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？练习一1、两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？2、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？例题2 两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？练习二1、求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。

2、已知两个数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。

例题3 甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。

甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。

有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？练习三1、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。

当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？2、甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。

问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？例题4 一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。

要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？练习四1.用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？2、有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？例题5 甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？练习五1、有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇。

五年级奥数-最大公约数与最小公倍数

1．五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？2．有一个电子表，每走9分钟这一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又灯，请问下一次既响铃又亮灯是几点钟？3．两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。

4．一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？5．一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶，平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料，请问参加会餐的有多少人？6．已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，求B。

7．两个数的最大公约数为12，最小公倍数为180，且较大数不能被较小数整除，求这两个数，8．甲乙两数的最大公约数为75，最小公倍数为450，当这两个数分别为何值时，它们差最小。

9．已知A和B的最大公约数是31，且A×B＝5766，求A和B。

10．有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？11．有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？12．一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最小有多少枝？13．把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？14．把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？15．用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？16．从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？17．在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？18．每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？19．现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？20．有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？21．有一个商店今年7月1日开业，有三个批发商从这个商店批货，甲每隔6天来一次，乙每隔8天来一次，丙每隔9天来一次，问这三个批发商在7月1日在碰面后，再过多少天他们还在这家商店碰面？到明年7月1日，他们一共碰面多少次？五年级奥数－最大公约数与最小公倍数（3）1．两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

五年级下册数学专项训练奥数第四讲最大公约数和最小公倍数 _ 全国版 (含答案)

第四讲最大公约数和最小公倍数本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。

定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。

证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。

假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。

那么md是a、b的公约数。

又∵m＞1，∵md＞d。

这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。

定理2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。

例1 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得36×乙数=4×288，乙数=4×288÷36，解出乙数=32。

答：乙数是32。

解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。

因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则288＝4×9×b1，b1＝288÷36，解出b1＝8。

所以，乙数=4×8=32。

答：乙数是32。

例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。

五年级数学-最大公约数和最小公倍数

五年级数学-最大公约数和最小公倍数什么是最大公约数和最小公倍数？最大公约数是指两个或多个数中能够同时整除它们的最大正整数。

最小公倍数是指两个或多个数中能够同时被它们整除的最小正整数。

最大公约数的求法求最大公约数可以使用以下几种方法：1. 因数分解法：将两个或多个数分别进行因数分解，然后找出它们都含有的因数的最大次数，将这些最大次数相乘即为最大公约数。

例如，求69和92的最大公约数：- 69的因数分解为：3 × 23- 92的因数分解为：2 × 2 × 23它们共同的因数为23，所以最大公约数为23。

2. 短除法：也称作辗转相除法。

用较大的数除以较小的数，然后用余数去除较小的数，一直重复这个过程，直到余数为0时，除数就是最大公约数。

例如，求48和36的最大公约数：- 48 ÷ 36 = 1 (12)- 36 ÷ 12 = 3 0余数为0，所以最大公约数为12。

最小公倍数的求法求最小公倍数可以使用以下几种方法：1. 交叉相乘法：先将两个或多个数按照从小到大的顺序排列，然后逐个相乘，直到得到一个数在其中所有数的倍数。

例如，求5和8的最小公倍数：- 5的倍数为：5, 10, 15, 20...- 8的倍数为：8, 16, 24, 32, 40...其中20是它们的最小公倍数。

2. 最大公约数和最小公倍数的关系：最小公倍数等于两个数的乘积除以最大公约数。

例如，求14和21的最小公倍数：- 其最大公约数为7- 14 × 21 ÷ 7 = 42所以最小公倍数为42。

总结最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念。

通过合适的方法，我们可以求出两个或多个数的最大公约数和最小公倍数。

这些概念在解决数学问题和简化分数等运算中非常有用。

【思维拓展】数学五年级思维拓展之最大公约数(附答案)

五年级奥数精讲：最大公约数与最小公倍数一、知识总结：1.如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

2.如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

4.常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

如求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。

如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么（18，12）×[18，12]=（2×3）×（2×3×3×2）=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12。

也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。

当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。

从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

即，（a，b）×[a，b]=a×b。

二、练习题例1、用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？例2、用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？例3、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？例4、在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？例5、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。

五年级奥数-最小公约数和最大公倍数

五年级奥数-最小公约数和最大公倍数最小公约数和最大公倍数是数学中常见的概念，同时也是五年级奥数考试中的重要内容。

了解并掌握最小公约数和最大公倍数的概念和计算方法，对于解决数学题目和提高数学能力非常有帮助。

最小公约数最小公约数是指两个或多个数共有的约数中最小的那个数。

计算最小公约数有多种方法，常用的方法是因数分解法和短除法。

因数分解法因数分解法的步骤如下：1. 对于每一个要找最小公约数的数，将其分解为质因数的乘积形式。

2. 找出所有数的质因数，并列出每个质因数的最小次数。

3. 最小公约数就是这些质因数的乘积。

例如，我们要计算最小公约数（最大公因数）15和20：15 = 3 * 520 = 2 * 2 * 5最小公约数就是两个数的质因数的公共部分，即5。

短除法短除法适用于两个数字较小的情况。

步骤如下：1. 用一个数除以另一个数，并将商和余数的结果写下来。

2. 用余数再次除以商，直到余数为0。

3. 最后一次的除数即为最小公约数。

例如，我们要计算最小公约数（最大公因数）24和36：36 ÷ 24 = 1 余数1224 ÷ 12 = 2 余数0最小公约数为12。

最大公倍数最大公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最小的那个数。

计算最大公倍数有多种方法，常用的方法包括因数分解法和倍数法。

因数分解法因数分解法的步骤如下：1. 对于每一个要找最大公倍数的数，将其分解为质因数的乘积形式。

2. 将所有数的质因数以最高次数的形式列出。

3. 最大公倍数就是这些质因数的乘积。

例如，我们要计算最大公倍数18和24：18 = 2 * 3 * 324 = 2 * 2 * 2 * 3最大公倍数为2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 72。

倍数法倍数法适用于两个数字较小的情况。

步骤如下：1. 找到两个数的公共倍数。

2. 最小的公共倍数即为最大公倍数。

例如，我们要计算最大公倍数15和20：15的倍数：15, 30, 45, 60, 75, ...20的倍数：20, 40, 60, 80, 100, ...最小的公共倍数即为60。

五年级奥数讲义：最大公约数与最小公倍数

五年级奥数讲义：最大公约数与最小公倍数一、知识点b,称a是b倍数,b是a约数。

1.定义：ba,是整数,若a几个数公共的约数称为公约数,公约数的个数是有限的,其中最大的一个称为最大公约数；几个数公共的倍数称为公倍数,公倍数的个数有无限多个,其中最小的一个称为最小公倍数。

特别地, 1是所有数的公约数。

两个数ba,的最大公约数记为)a；ba,的最小公倍数记为[]b a,。

,(b若，ba称ba,互质。

(=1),2.性质（1）两个数的公约数是这两个数最大公约数的约数；两个数的公倍数是这两个数最小公倍数的倍数；（2）两个数分别除以它们的最大公约数,所得商是互质的；（3）两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

3.求最大公约数和最小公倍数的方法（1）列举法；（2）分解质因数法；（3）短除法；（4）辗转相除法。

二、例题精讲例1 24和30的公约数有____________,最大公约数是________,最小公倍数是_________。

54，。

例2 分别用短除法和分解质因数法求：）54,[]90（90,例3 利用辗转相除法求377和221的最大公约数。

例4 已知两个数的最大公约数是，6最小公倍数为，144则这两个数为___________。

例5 两个数的最大公约数是，6最小公倍数是，420这两个数相差，18则较小的数是_______。

例6 有两个正整数b a ,,已知[],280,=b a ()14,=b a ,若,70=a 则=b _________。

例7 老师给班上同学发水果,一共有59个苹果,97个梨,平均分给班上的同学,最后剩下5个苹果,7个梨,则班级一共有___________名学生。

例8 三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书,甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。

一个星期一,他们三人在图书馆相遇,至少再过多少天他们又在图书馆相遇？相遇时是星期几？三、水平测试1.[]__________=28=，（。