理论力学4.

Jx

Jy

1 mR 2 4
垂直轴定理：如果质点系的全部质量都存在于平面上(x-y平面), 则
质点系对该平面中任二垂直轴的转动惯量之积(Ix+Iy), 等于过该二轴 的交点与它们垂直的第三轴的转动惯量。
工程上还常用到与转动惯量有关的回转半径的概念，对于一任意形 状的物体，设想它的全部质量m集中在一点上，若这个质量为m的" 质点"对给定轴的转动惯量与物体对同一轴的转动惯量I相等，则这 质点到轴的垂直距离，就叫做物体对该轴的回转半径，常用k表示。 由于质量为m的质点与轴相距为k时的转动惯量等于 ，而它等于 物体对同一轴的转动惯量I，故有
可以证明，刚体的自由度一般为6 描述刚体的一般运动需要6个独立变量，由6个运动方程决定。
最简便的方式： 质心的平移运动方程：
＋刚体绕质心转动的转动方程：
LP

F外 M外
如我们要决定一个质点在空间中的位置，最少需 要知道三个坐标，x、y和z，因此质点有三个自 由度。如果是刚体，我们除了要知道刚体质心在 空间中的位置，x、y和z，还需要知道刚体在空 间中的转动状况。刚体在空间中的转动可描述为
类似地我们还可以考虑其他多原子分子情形，如三 原子分子（不考虑三原子排列在一条直线情况）： 不考虑振动，应有：3x3 - 3 = 6个自由度（三个 质点，三个独立约束条件）。
三、刚体速度的描述
选择两个坐标系：
A－空间坐标系：静止坐标系
B－固联于刚体上的坐标系，通常是坐标原点位于质心的动坐标系
P点的位置：


(z2
xi y j zk r

x2
)
2 y

(x2

y2
)
2 z

xi

yj

zk
2 yz yz 2zxzx 2xyx y
引入符号：

xx yy

zz
( y2 z2 )dm (z2 x2 )dm (x2 y2 )dm ij (i, j x, y, z)
刚体绕固定轴转Φ，固定轴的取向，即方位角 α 、β 和γ中只有两个是独立的（我们可以通 过让刚体先绕y-轴转β，再绕z-轴转α，达到空
间中任意取向），因此刚体的自由度数为6，可 分为三个平动的，三个转动的。
单原子分子，如惰性气体等，我们可以使用质点 模型，总自由度数为3。如果是双原子分子，如 氧气、氢气等。我们可以将其看作是两个质点通 过一根弹簧（用一根线表示）连接起来，如果不 考虑振动，可以有3个平动、2个转动（沿轴向转 动惯量为0，因此与刚体相比要少1个转动自由度） 共5个自由度。这可看作是两个独立质点（6个自 由度），再加上一个约束条件（不考虑振动的 话，两质点间距离不变），因此总自由度数为5个。
)dm u
r' dm



故

r'dm
故：

P u dm
将动坐标原点取在质心，则0
rC

r dV
dV
N

mir i
N mir i
rC i1
N
i1
mi
M
i 1
五、刚体的动能
刚体的总动能为
T

1 2

v
2
dm

1 2

u


zx
zy zz z
作主轴 变换，可使 L 的 表示式得到简化：
L Ixxi I yy j Izzk
刚体的转动动能为
Trot

1


L
2
九、惯量主轴
当刚体绕惯量主轴以角速度 也沿惯量主轴的方向，因为

L

与转动 同时方，向刚，体数的学角上动就量意L 味着
七. 转动惯量
1. 转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。 2. 转动惯量的计算
J miri2
连续体：
J r2dm
• 转动惯量与刚体的质量、刚体的形状、以及转动轴有关。
例1 计算质量为 m ，长为 l 的细棒绕通过其端点的垂直轴的
转动惯量。
z
解：
dJ x2dm
dm o
v r
a r
an

r 2
矢量表示：
v r
a




r


2r
二 角速度矢量
四、刚体的动量
刚体的总动量为刚体内各部分（质量元）的动量之和：
P


Pi


dP


vdm
P


i
(u



v r'

u

它们只差一个标量L因子I， 记做 其中，II为标量因子L I乘 单 位矩阵
惯量椭球:解析几何里 求二次曲面主轴的方法； 或线性代数里求本征值 的方法。
写成矩阵形式：
移项得：
xx xy xz x I 0 0x
yx yy yz y 0 I 0 y

yz zx


xy
yzdm zy zxdm xz xydm yx
其中： xx、 yy、zz 称为刚体绕x,y,z轴的转动惯量 转动惯量xy、和惯yx、量积yz、 构成zy一、个zx二、阶x张z 量称为 刚，体称的为惯惯量量积张量
u

R
（2）转动 刚体上任一点P绕一直线(瞬时转轴) 运动，运动
中设P转点轴到的轴单上位每矢一量点为的距n 离保持不变
P点绕转轴的无限小转动位移
dr '
必垂直于
r'及
n
n

r'

r'
sin
为P点绕转轴
n
的垂直转动半径
df 为该垂直转动半径转过的无限小转角
故可知：
x
y
xx
z yx


zx
xy yy zy
xz x yz y zz z
六、主轴惯量
对于具有轴对称质量分布的刚体，当取这些对称轴为坐标轴
后，可是刚体的惯量积为零，二阶张量退化为矢量，即矩阵 元内只有对角元素 xx、 yy、zz ，它们是绕坐标轴的转动惯量
理论力学 热力学与统计物理
质点组的单粒子运动和集体运动
定轴转动, 定点转动, 一般运动 1 刚体运动的描述 2 转动定律 3 刚体转动的功和能 4 角动量定理 角动量守恒定律
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动 过程中不发生形变的物体。
• 刚体是实际物体的一种理想的模型
L
Lyj
i


[ri
Lz k
2

ri
(

ri
)]
其中
LLyx
x y
( y2 z2 )dm y (z2 x2 )dm x
xydm z yxdm z
xzdm yzdm


Lz
z
(x2 y2 )dm x
zxdm y
zydm
即

Lx Ly

xx x yx x

xy y yy y
xz z yz z

Lz

zx x
zy y
zz z
写成矩阵形式：
xx xy xz x
L yx yy yz y
记为Ix，Iy，Iz。则动能的表示式简化为：
T 1 2
I
2
xx

I
2
yy

I
z
2 z
Ix，Iy，Iz为主转动惯量，x，y，z为惯量主轴。 把坐标轴取在刚体对称轴上的做法叫作主轴变换。
主轴如何确定?
显然,求刚体主轴的一般问题等效于一个3*3矩阵对角 化的数学问题。由矩阵理论知道,任何对称方阵可以 对角化。
dm dx m dx
x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l
0l
3l 0
J 1 ml2 3
例2 一质量为 m ，半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量。
解： dJ r2dm
dm 2 rdr
J 2 R r3dr 0
回转半径的单位是m（米）
八、角动量
刚体的总角动量定于为刚体上各质点角动量之和
只考虑刚体的转动，刚体上各质点的速度为：
连续总角质角动量动量分量v布i：：LLiLrriiiriPri动((量 riPr(ii)rm)dimri )mrimLi xi i
因此，动能可表示为：
xx xy xz
yx yy yz


zx
zy

zz

T 1 2

xx
2 x

yy
2 y


zz
2 z

zxzx yz yz xyx y

1




2

1 2

u


r'
刚体的定轴转动
1. 定轴转动的角量描述
角位置：
(t)
角位移：
(t) (t0 )
角速度： d