第4章 二维列联表

不完备列联表期望频数的ML估计除上述迭代法外， 还可以通过对数线性模型法，借助统计软件进行 估计。
不完备列联表的检验
对拟独立的不完备列联表的ML估计后，需要进行 拟独立性检验；同时，考虑不完备子集的拟独立 性也是研究完备表的一种方法。
原假设应为：
H0 : 存在i (i 1, , r)和 j ( j 1, , c)，使得mij i j
对独立性的期望频数定义公式可以通过取对数将 乘法转换为加法，即：
ln mij ln i ln j
这就是对数线性模型(第7章)。
不完备列联表
当某些nij=0时，称这些格为空格；有空格的列联 表称为不完备的列联表。
对于一般完备列联表讨论独立性，对不完备列联 表讨论拟独立性。
属性A方向的同分对，即行等级或顺序相同的 r
数据对，记为TA
；TA

C2 ni
属性B方向的同分对，即i1 列等级或顺序相同的 c
数据对，记为TB
； TB
C2 n j
属性A与B的同分对，即i行1 顺序与列顺序相等的
数据对，记为TAB ；TAB r
c
C2 nij
相合性的度量与检验
在四格表中，用来判断属性A与B关联情况 （相合性检验）的统计量U、χ2均包含一个 共同因子：
n11n22-n12n21>0时，四格表正相合； n11n22-n12n21<0时，四格表负相合；
有序属性数据相合关系的度量：
Pearson的矩相关系数 Spearman的等级相关系数 Kendall的τ相关系数——使用最多
对不完备列联表中元素的估计，可以在假定完全 随机泊松分布的基础上，得到似然方程组：
ii ni , i 1, , r j j n j , j 1, , c
在保持边缘和不变的前提下，解出期望频数。 有的情况下期望频数的极大似然估计难以直接得
到，需要通过迭代算法求解。 迭代算法就是在保持边缘和不变时，寻找 i j放入
检验统计量为：
2
(nij mˆ ij )2 ~ 2 ((r 1)(c 1) m)
(i, j )S
mˆ ij
G2

2
(i, j )S
nij
ln
mˆ ij nij

二维列联表的独立性检验
二维列联表独立性检验实质上是带参数的 分类数据的检验问题。
二维列联表的独立性检验
【例4.1】为了解男性和女性对三种啤酒的偏 好差异分别调查了1353个男性和636个女性， 结果见表：
问男性与女性对啤酒的偏好是否有显著差异。
二维列联表的独立性检验
通过计算检验统计量的值得到：
mˆ i(j2)
mˆ i(j1)
mˆ i(j1)
n j
{i:(i, j )S}
迭代估计法
4、将第二次迭代得到的值作为初始估计，重复前面的 步骤2和步骤3；
5、直至相邻两次迭代得到的估计仅有比较小的差别， 最后得到的迭代估计就是期望频数的极大似然估计。
以上步骤可以在表格上完成，每次估计所有非空 格的迭代值，直到精度符合要求即可。
因此有， i1 i1

Cn2

n(n 1) 2

G

H
TA
TB
TAB
相合性的度量与检验
从τ系数的计算公式可知，在属性A与B正相 合时，G 比较大而H 比较小；反之在A与B 负相合时， G 比较小而H 比较大。因此， (G-H)的方向决定了相合性的方向。
在存在同分对的情况下，需要对相合性的 度量进行修正。
其中，mij为期望频数(证明见P96)。 主要用来描述完全随机泊松分布变量的抽样方式
下，属性A与B的相互独立问题，即：
nij ~ P(mij ) P(i j )
完全随机泊松分布情况下，属性A与B独立性检验 与带参数的分类数据检验完全相同。
独立性的期望频数定义
公式 mij i 可j 以理解为： 在A和B相互独立时， i 和 j是与 mij 有关的两 个量。 由 nij ~ P(mij )可知，E(nij ) mij i j ，因此，可 以认为 i 和 j分别是属性A和B的效应。
当从左上角到右下角的对角线元素外的其余元素 都等于0时，为完全正相合；
当从右上角到左下角的对角线元素外的其余元素 都等于0时，为完全负相合；
Gamma系数
除肯德尔的τ外，相合性度量还有伽马系数 Gamma: G H
GH
伽马的取值在[-1,1]之间，越接近1说明越趋向正 相合，越接近-1说明为负相关。
很明显，原假设不成立，即不是偶然一致。
独立性的期望频数定义
对于二维表，独立性的定义除基本的联合概率等 于边缘概率乘积的方法外，还可以用期望频数。
若存在 i (i 1, , r)和 j ( j 1, ，, c)使任意的 i 和 j 都有：mij i j ，则称属性A和B相互独立。
独立性与齐性
如果对任意的i和j，都有：pi j pi p j，则称 属性A与B独立。
如果A与B独立，则对任意j都与i无关
p1 j p1
prj p1 j pr p1
prj pr

p j
如果A与B独立，则对任意i都与j无关
pi1 p1
pic pi1 pc p1
相合性的度量与检验
τ相关系数基本思路：
认为二维列联表均可定义为有序表； 对有序变量的赋值可以确定由小到大的顺序关
系，但不影响相合关系的度量；最简单的赋值 方法就是令 x i,i 1, , r
y j, j 1, , c
在二维表中，
数据对

x y



一致性的检验
一般认为，计算的Kappa小于0时，属于偶然一致， 即期望一致率大于观测一致率；
只有在Kappa大于0时，才进行一致性检验；
在计算kappa系数的方差基础上，可以构造检验统
计量：
U ~ N (0,1) D( )
经计算，例4.3的kappa=0.361，kappa的标准误 =0.0844，故U=4.277
相合性的度量与检验
相合性用来描述属性变量之间的相关情况，包括 关联的方向和强度。
二维列联表根据属性的类型分为三类：
双向无序列联表 一向无序、一向有序列联表 双向有序列联表
实际上即使无序也可以定义为有序，或假设有序。 这样，相合关系有两类：
正相合：属性A大的个体，属性B也往往较大； 负相合：属性A大的个体，属性B往往较小；
i j

,
如数据对11
有n11对， cr

有nrc
对
相合性的度量与检验
在不考虑同分对的情况下，τ系数以数据对中同 序对与异序对的差为分子，以样本容量n可能 形成的总数据对数为分母；即


ns nd Cn2

2 n(n 1) (ns
nd )
其中：在二维表的任意两个单元格之间，若：
2 90.685，p P( 2 (2) 90.685) 0 G2 90.065，p P( 2 (2) 90.065) 0
说明男性与女性对啤酒的偏好有显著差异 可见，独立性问题的讨论仅仅是说明属性A
与B有无关系，或是否相互独立，但不能给 出关系的方向与强弱。
果见表：
问：他们的检验结果是否一致？
一致性的度量
在二维列联表的相合性度量中，当除从左上角到 右下角的对角线元素外其余都为0时，两种属性完 全正相合。
在方表中，一致性可以理解为：从左上角到右下 角的对角线元素表示结果一致，其值越大，表示 一致性越高。因此，q1 可以反映一致性的大小， 称为观测一致率：
令 z G H,于是有：
U z N (0,1)
(z)
2

U2


z2 2 (z)
2 (1)
由于其标准误计算较为复杂，通常使用统
计软件进行计算。
方表的一致性检验
二维表中当r=c时，形成方表。 方表有一致性检验问题。 【例4.3】两位检验员分别对72件产品进行检验的结

GH
[n(n 1) / 2 TA][n(n 1) / 2 TB ]
相合性的度量与检验
τ系数的取值范围为[-1,1]之间
当H=0，且TA=TB=TAB时，完全正相合；
当r=c时，τ=1；
当G=0，且TA=TB=TAB时，完全负相合；
当r=c时， τ=-1；
当TA=TB=TAB时，说明每一行、每一列只有一个非 零值；
不完备列联表的非空格中，也就是满足以上方程 组成立。
迭代估计法
迭代算法的步骤：
1、令非空格上的期望频数估计的初始值为1，
mˆ i(j0) 1, (i, j) S
2、调整该估计值，令：
mˆ i(j1)
mˆ i(j0)
mˆ i(j0)
ni
{ j:(i, j )S}
3、继续调整以上估计值，令：
q1 (n11 n22 nrr ) / n
但这一度量值存在平均值为正的缺陷，由Cohen 于1960年提出了Kappa系数。
一致性度量
一致性的检验
Kappa 系数中的π0就是q1 , πe是π0的期望或均值，
称为期望一致率，即两次试验结果由于偶然机会所 造成的一致率； 当方表中左上到右下对角线以外元素均为0时， Kappa 系数达到最大值1，即完全一致；当完全不 一致时， Kappa 等于0； Kappa 系数的取值在[0,1]之间； Kappa <0.4时，认为一致性较差； Kappa >0.8时，认为一致性较好； 0.4>Kappa <0.8时，认为一致性一般。