2020版高中数学 第四章 导数应用 2.1 实际问题中导数的意义(第1课时)课件 北师大版选修1
高中数学导数的概念及其意义
高中数学导数的概念及其意义
导数(Derivative)概念及意义
一、导数的定义
1、导数的定义
导数是一种描述曲线的变化率的度量，它表示的是做一个变量的变化
的大小和另一个变量的变化的方向以及变化的变化率之间的关系。
2、导数的计算公式
导数的计算公式为：y’=limΔx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中f(x)表示函数，Δx表示x在很小的量度上的变动值。
3、导数的形式表示
导数的形式有两种：一种是函数的图象，用斜率来表示；另一种是用
函数的微分式表示。
二、导数的意义
1、导数的实际意义
导数的实际意义是曲线某一点上的斜率，它表示曲线在该点处的变化率，也就是曲线在该点处的微小位移对应的函数值的变化率。
2、导数的数学意义
数学意义上，导数是一种尺度，也是一种衡量函数变化率的标准，它可以实现曲线的斜率变化规律，从而发现函数的性质，如果曲线的斜率变化率是恒定的，就可以称这种曲线为等差线。
3、导数的应用
导数的应用非常广泛，目前主要在图形科学、机器学习、控制理论和金融计算等领域。
2020学年高中数学第四章导数应用2导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义课时跟踪训练北
2019-2020学年高中数学第四章导数应用2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的意义课时跟踪训练北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年高中数学第四章导数应用2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中导数的意义课时跟踪训练北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
1 实际问题中导数的意义[A组基础巩固]1．已知函数y＝f（x),x∈R,则f′(x0）表示( ）A．自变量x＝x0时对应的函数值B．函数值y在x＝x0时的瞬时变化率C．函数值y在x＝x0时的平均变化率D．无意义解析：由导数的概念可知选B。
答案:B2．速度v关于时间t的函数关系式为v＝f(t)＝t2－10t，则t＝1时的加速度为( ) A．－9 B．－8C．9 D．8解析：f′（t）＝2t－10，∴f′(1)＝2×1－10＝－8,即为t＝1时的加速度．答案：B3．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位:C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5 s时电流强度为( )A．27 C/s B．20 C/sC．25 C/s D．23 C/s解析：某种导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度．∵q′＝4t＋3，∴当t＝5时,电流强度为4×5＋3＝23(C/s）．答案：D4．某公司的盈利y(元)和时间x(天）的函数关系是y＝f（x），假设f（x）>0恒成立,且f′（10)＝10，f′(20）＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较（) A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．答案:D5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m）关于时间(单位：s)的函数为s(t）＝－错误!t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( ）A．汽车刹车后1 s内的位移B．汽车刹车后1 s内的平均速度C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度D．汽车刹车后1 s时的位移解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．答案:C6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.解析：s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，令6t＋1＝10，则t＝错误!。
【高中数学课件】导数及其应用ppt课件
比较极值与区间端点处函数值的大小。
欢迎指导
fn ' 1n 1 n 1 fn 'n
2对函 fnxx 数 nxan求导 :fn 'x 数 nn 1 x n x a n 1
f n 'n n n n 1 n a n 1 . 又 x a 当 0 时 ,fn 'x 0 .
当 x a 时 ,fnx xn x a n 是x 关 的于 增 . 函
【高中数学课件】导数及其应用ppt课件
一、导数的定义
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在
点x0处有增量Dx时，D y函数值有相应的增量Dy=f(x0+ Dx)- f(x0)
如果当Dx0 时，D x 的极限存在，这个极限就叫做函数 f(x)在 x=x0处的导数（或变化率） 记作 f(x0)或 y|xx0 即
若ｘ＜ｘ０时， f ' (x)＜０且, ｘ＞ ｘ０时， f ' (x)＞０ 则ｆ（ｘ）在ｘ０
处有极小值．
若ｘ＜ｘ０时，f ' (x) ＞０且, ｘ＞ ｘ０时，f ' (x) ＜０ 则ｆ（ｘ）在ｘ０处
有极大值．
显然在极值处函数的导数为０．
y
极大值
极大值
x0
x
0
极小值
极小值
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是__y____6_x_2___8_x_.
２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （ B ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_(_0_,2_)_,单调递增区 间为_(_-_∞_,_0_) _, _(2_,_+_∞_)__。
2020-2021学年北师大版数学选修1-1学案：4.2.1 实际问题中导数的意义 Word版含解析
§2导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义授课提示：对应学生用书第1页实际问题中导数的意义自变量x 原函数f(x)导函数f′(x)时间路程速度长度质量线密度时间功功率时间降雨量降雨强度产量生产成本边际成本[疑难提示]利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．[练一练]1．若一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝s(t)，当s′(t)＝0时，则()A．物体做匀加速运动B．物体做匀减速运动C．物体做变速运动D．物体处于静止状态解析：∵v＝s′(t)＝0，∴物体处于静止状态．故选D.答案：D2．某收音机制造厂管理者通过对上午班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义为________________．解析：∵Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，∴Q′(2)＝36.答案：36台/小时10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时授课提示：对应学生用书第4页探究一 导数在物理学中的应用[典例1] 一个电路中，流过的电荷量Q (单位：C)关于时间t (单位：s)的函数为Q (t )＝3t 2－ln t .(1)求当t 从1变到2时，电荷量Q 关于t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求Q ′(2)，并解释它的实际意义．[解析] (1)当t 从1变到2时，电荷量从Q (1)变到Q (2)，此时电荷量关于时间t 的平均变化率为Q (2)－Q (1)2－1＝3×22－ln 2－(3×12－ln 1)1≈8.31，它表示从t ＝1 s 到t ＝2 s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31 C ，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.(2)Q ′(t )＝6t －1t ，Q ′(2)＝11.5，它的实际意义是，在t ＝2 s 这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5 C ，也就是这一时刻内电路的电流为11.5 A.弄清平均变化率及导数的实际意义，记准基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解决该类问题的关键．1．某质点的运动方程为s ＝s (t )＝2t 2＋3t ，其中s 是位移(单位：m)，t 是时间(单位：s)． (1)求t 从1 s 变到3 s 时，位移s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s ′(1)，s ′(2)，并解释它们的实际意义．解析：(1)t 从1 s 变到3 s 时，s 关于t 的平均变化率为Δs Δt ＝s (3)－s (1)3－1＝27－53－1＝11(m/s)．它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m. (2)根据导数公式表和导数的运算法则，可得s ′(t )＝4t ＋3， 则s ′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s ′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．s ′(1)和s ′(2)分别表示t ＝1 s 和t ＝2 s 时，位移s 关于时间t 的瞬时变化率，即t ＝1 s 和t ＝2 s 时的瞬时速度．探究二 工作效率问题[典例2] 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y (单位：g)是工作时间x (单位：h)的函数，设这个函数表示为y ＝f (x )＝x 220＋4x .(1)求x 从1 h 变到4 h 时，y 关于时间x 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f ′(1)，f ′(4)，解释它的意义． [解析] (1)当x 从1 h 变到4 h 时， 产量y 从f (1)＝8120g 变到f (4)＝17620g ，此时平均变化率为f (4)－f (1)4－1＝17620－81203＝1912(g/h)，它表示从x ＝1 h 到x ＝4 h 这段时间这个人平均每小时生产1912 g 产品．(2)f ′(x )＝x 10＋2x，于是f ′(1)＝2110 g/h ，f ′(4)＝75 g/h ，f ′(1)和f ′(4)分别表示在第1 h 和第4 h 时刻这个人每小时生产产品2110 g和75g.1．工作效率即产量对时间t 的导数．解决该类问题时要正确表示出工作时间与产品数量之间的函数关系式，然后利用相应的求导公式及法则解决．2．由平均变化率和瞬时变化率的计算公式可知它们有时为负值或零，这时表示函数值减小或不变，解释导数的实际意义时要注意用词的不同．2．某考生在参加2015年高考数学考试时，其解答完的题目数量y (单位：道)与所用时间x (单位：分钟)近似地满足函数关系y ＝2x .(1)求x 从0分钟变化到36分钟时，y 关于x 的平均变化率； (2)求f ′(64)，f ′(100)，并解释它的实际意义．解析：(1)x 从0分钟变化到36分钟，y 关于x 的平均变化率为： f (36)－f (0)36－0＝1236＝13. 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完13道题．(2)∵f ′(x )＝1x，∴f ′(64)＝18，f ′(100)＝110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答18和110道题．3．东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c 元与生产量x 台之间的关系式为c (x )＝－2x 2＋7 000x ＋600.(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c ′(1 000)与c ′(1 500)，并说明它们的实际意义． 解析：(1)产量为1 000台时的总利润为c (1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)， 平均利润为c (1 000)1 000＝5000.6(元)．(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为c (1 500)－c (1 000)1 500－1 000＝6 000 600 －5 000 600500＝2 000(元)．(3)∵c ′(x )＝(－2x 2＋7 000x ＋600)′＝－4x ＋7 000， ∴c ′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)， c ′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)，它指的是当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元． 而当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元．探究三 导数在经济生活中的应用[典例3] 某机械厂，生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.(1)求日产量75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件时，求总成本的平均改变量； (3)求C ′(75)，并解释它的意义． [解析] (1)日产量75件时的总成本为 C (75)＝7 956.25(元)，平均成本为C (75)/75≈106.08(元/件)．(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量ΔC Δx ＝C (90)－C (75)90－75＝101.25(元/件)．(3)C ′(x )＝12x ＋60，∴当x ＝75时，C ′(75)＝97.5(元)．实际意义为：当日产量为75件时，再多生产1件产品，成本增加97.5元，也就是日产量为75件时，成本增加的速度为97.5元/件．4．某食品厂生产某种食品的总成本C (单位：元)和总收入R (单位：元)都是日产量x (单位：kg)的函数，分别为C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg 时的边际利润，并说明其经济意义．解析：(1)根据定义知，总利润函数为 L (x )＝R (x )－C (x )＝5x －100－0.01x 2， 所以边际利润函数为L ′(x )＝5－0.02x .(2)当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg 时，边际利润分别为L ′(200)＝1， L ′(250)＝0，L ′(300)＝－1.其经济意义是：当日产量为200 kg 时，每增加1 kg ，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg 时，每增加1 kg ，则总利润无变化；当日产量为300 kg 时，每增加1 kg ，则总利润减少1元．由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．5．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x(80<x <100)．(1)求c ′(x )；(2)求c ′(90)，c ′(98)，并解释它们的实际意义． 解析：(1)c ′(x )＝⎝⎛⎭⎫5 284100－x ′＝(5 284)′×(100－x )－5 284×(100－x )′(100－x )2＝0×(100－x )－5 284×(－1)(100－x )2＝ 5 284(100－x )2.(2)c ′(90)＝ 5 284(100－90)2＝52.84(元/吨)，c ′(98)＝5 284(100－98)2＝1 321(元/吨)．因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率，所以纯净度为90 %时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要增加52.84元．纯净度为98 %时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要提高1 321元．因物理意义理解不清致误[典例]在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10(单位：m)，求高台跳水运动中运动员在t＝1 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．[解析]h′(t)＝－9.8 t＋6.5，所以h′(1)＝－3.3.故运动员在t＝1 s时的瞬时速度是－3.3 m/s，此时运动员向下以3.3 米/秒的速度运动．[错因与防范](1)对该问题求得当t＝1 s时的瞬时速度为－3.3 m/s，由于对其中“负”号的物理意义理解不明，易回答为正值而出错．(2)瞬时速度既有大小也有方向，如果是负值，不能回答为正值，它表明了运动速度的大小和方向．(3)利用导数解决物理问题，关键是要熟悉相关的物理概念、公式，并联系导数的物理意义进行求解．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
浙江2020版高考数学第四章导数及其应用4.2导数的应用(第1课时)讲义(含解析)
§4.2导数的应用1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．概念方法微思考1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √)(2)函数的极大值一定大于其极小值．( ×)(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √)(4)开区间上的单调连续函数无最值．( √)题组二教材改编2．[P32A组T4]如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值答案 C解析 在(4,5)上f ′(x )>0恒成立， ∴f (x )是增函数．3．[P29练习T2]设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 答案 D解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2(x >0)，当0<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0，∴x ＝2为f (x )的极小值点．4．[P26练习T1]函数f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为__________． 答案 (0,4)解析 f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)， 由f ′(x )<0，得0<x <4，∴函数f (x )的单调递减区间为(0,4)．5．[P32A 组T6]函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是__________．答案π6＋ 3 解析 ∵y ′＝1－2sin x ，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，y ′>0；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2时，y ′<0.∴当x ＝π6时，y max＝π6＋ 3.6．[P30例5]函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值与最小值分别为__________．答案 4，－43解析 由f (x )＝13x 3－4x ＋4，得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )>0，得x >2或x <－2；令f ′(x )<0，得－2<x <2.所以f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增； 在(－2,2)上单调递减，而f (2)＝－43，f (0)＝4，f (3)＝1，故f (x )在[0,3]上的最大值是4，最小值是－43.题组三 易错自纠7．(2007·浙江)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )答案 D解析 当f (x )为增函数时，f ′(x )≥0； 当f (x )为减函数时，f ′(x )≤0.8．(2011·浙江)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )答案 D解析 设h (x )＝f (x )e x，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x. 由x ＝－1为函数h (x )的一个极值点，得当x ＝－1时，ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c ＝c －a ＝0， ∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2， 则x 1x 2＝a a＝1，D 中图象一定不满足该条件．第1课时 导数与函数的单调性题型一 不含参数的函数的单调性1．函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12答案 B解析 由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选B.2．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减 答案 D解析 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 当f ′(x )>0时，解得x >1e，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ， 故选D.3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是_________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.思维升华确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 题型二 含参数的函数的单调性例1已知函数f (x )＝x 2e－ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解 根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )．因为e－ax>0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a.①当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增．②当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a ；当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，0.思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 跟踪训练1已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)，试讨论f (x )的单调性． 解 由题意得f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a >0)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2aa.①当0<a <1时，令f ′(x )>0，则x <0或x >2－2a a，令f ′(x )<0，则0<x <2－2a a；②当a ＝1时，f ′(x )≥0在R 上恒成立； ③当a >1时，令f ′(x )>0，则x >0或x <2－2a a，令f ′(x )<0，则2－2a a<x <0.综上所述，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－2a a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0上单调递减．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小或解不等式例2(1)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e，b ＝f (ln2)ln2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．a <c <bC ．a <b <cD ．c <a <b答案 D 解析 设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2， 又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0，即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减．因为f (x )为R 上的偶函数，所以g (x )为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以函数g (x )在区间(0，＋∞)内单调递减．由0<ln2<e<3，可得g (3)<g (e)<g (ln2)，即c <a <b ，故选D.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式e xf (x )>e x＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(3，＋∞) 答案 A解析 令g (x )＝e xf (x )－e x， ∴g ′(x )＝e xf (x )＋e xf ′(x )－e x＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]， ∵f (x )＋f ′(x )>1，∴g ′(x )>0， ∴y ＝g (x )在定义域上单调递增， ∵e xf (x )>e x＋3，∴g (x )>3，∵g (0)＝3，∴g (x )>g (0)，∴x >0，故选A.命题点2 根据函数单调性求参数例3已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x －2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1x－12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)． 引申探究1．本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围． 解 因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， 所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )<0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－2x min ＝－1，所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练2 (1)(2018·宁波模拟)已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在(－∞，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4<m <－2 C ．2<m <4 D ．以上皆不正确答案 D解析 由于函数在R 上递增，故导函数恒为非负数，即f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，其判别式Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7)≤0，解得2≤m ≤4. (2)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋1＋a 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 答案 [－1,1]解析 令t ＝2x，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，8，g (t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t ＋a t .当a ＝0时，g (t )＝|2t |＝2t 单调递增，满足题意； 当a ＞0时，g (t )＝2t ＋a t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递增，所以a2≤22，解得0＜a ≤1； 当a ＜0时，需2t ＋a t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，8上非负，所以2×22＋a22≥0，解得－1≤a ＜0. 综上，实数a 的取值范围为[－1,1]．用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： ①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．例已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 解 g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1. 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12， 由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12， 由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a，若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1,1)答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x(x >0)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )答案 C解析 由题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，故选C.3．(2018·台州调考)定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝2f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．(－∞，1]D ．(－∞，2]答案 D解析 据函数y ＝2f ′(x )的图象可知，当x ≤2,2f ′(x )≥1⇒f ′(x )≥0，且使f ′(x )＝0的点为有限个，所以函数y ＝f (x )在(－∞，2]上单调递增，故选D.4．(2018·浙江台州中学质检)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2＋x (a ∈R )，下列选项中不可能是函数f (x )图象的是( )答案 D解析 由题意得f ′(x )＝ax 2＋ax ＋1，若函数f (x )的图象如D 选项中的图象所示，则f ′(x )≤0在R 上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－4a ≤0，此时不等式组无解，所以D 错误，故选D.5．定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( ) A ．f (x 1)<f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2) D ．不确定答案 B解析 据已知由f (x )＝f (3－x )，可得函数图象关于直线x ＝32对称，又由⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32f ′(x )<0，得当x >32时，f ′(x )<0；当x <32时，f ′(x )>0.又若x 1<x 2，x 1＋x 2>3，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－32>⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－32，因此据函数的单调性可得f (x 1)>f (x 2)，故选B.6．(2018·浙江名校协作体模拟)已知函数f (x )＝(2x －1)·e x＋ax 2－3a (x >0)为增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－2e ，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，＋∞C ．(－∞，－2e] D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32e答案 A解析 ∵f (x )＝(2x －1)e x＋ax 2－3a 在(0，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝(2x ＋1)e x＋2ax ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即－2a ≤⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x e x .设g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x e x ，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1x ＋2e x ，由g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1x ＋2e x ＝0和x >0得x ＝12，∵当x >12时，g ′(x )>0，当0<x <12时，g ′(x )<0，∴g (x )在x ＝12处取得最小值，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4e ，∴－2a ≤4e ，∴a ≥－2e ，故选A.7．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝________. 答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知，－1<x <3是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根， ∴b ＝－3，c ＝－9，∴b ＋c ＝－12.8．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________． 答案 {x |x <－1或x >1}解析 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减． ∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．9．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.10．已知函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，94 解析 由题意得f ′(x )＝1x ＋2(x －b )＝1x ＋2x －2b ，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，所以f ′(x )＝1x ＋2x －2b >0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，所以b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋x max ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，由函数的性质易得当x ＝2时，12x ＋x 取得最大值，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋x max ＝12×2＋2＝94，所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，94.11．(2018·湖州五中模拟)设函数f (x )＝x e kx(k ≠0)． (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增，求k 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx，f ′(0)＝1，f (0)＝0， 曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为x －y ＝0. (2)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx＝0，得x ＝－1k(k ≠0)，若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若k <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．(3)由(2)知，若k >0，则当且仅当－1k≤－1，即k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增；若k <0，则当且仅当－1k≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．综上可知，当函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．12．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a (1－x )x， 当a >0时，f (x )的单调增区间为(0,1)， 单调减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )为常函数． (2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ,3)上有变号零点． 由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0，即m <－5且m <－9，即m <－9； 由g ′(3)>0，即m >－373.∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.13．(2018·杭州高级中学模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g (x )为f (x )的导函数．若f (x )在(0,1)上单调递减，则下列结论正确的是( )A ．a 2－3b 有最小值3 B ．a 2－3b 有最大值2 3 C ．f (0)·f (1)≤0 D ．g (0)·g (1)≥0答案 D解析 由题意可得g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (x )在(0,1)上单调递减，所以g (x )≤0在(0,1)上恒成立，即g (0)≤0，g (1)≤0，所以g (0)·g (1)≥0，故选D.14．(2019·杭州第二中学模拟)对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x ∈R |f (x )＝0}，β∈{x ∈R |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“情侣函数”．若函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝ax －ln x 互为“情侣函数”，则实数a 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln33，1eB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1e D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 答案 C 解析 令f (x )＝ex －2＋x －3＝0，解得α＝x ＝2，根据条件可得|2－β|≤1，解得1≤β≤3，对于函数g (x )＝ax －ln x ，当a ＝0时，g (1)＝0，满足条件；当a <0时，此时y ＝ax 与y ＝ln x 的交点的横坐标在(0,1)之间，不满足条件；当a >0时，要使得β≤3，由y ＝ln x 可得y ′＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则对应的切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，若该切线过原点，则－y 0＝1x 0(－x 0)＝－1，即y 0＝1，则x 0＝e ，结合图象(图略)可知g (e)＝a e －lne≤0，解得a ≤1e ，即0<a ≤1e .综上，可得0≤a ≤1e，故选C.15．已知函数f (x )＝ax 2－ln x (其中a 为非零常数)，x 1，x 2为两不相等正数，且满足f (x 1)＝f (x 2)．若x 1，x 0，x 2为等差数列，则( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)的正负与a 的正负有关答案 A解析 由f (x 1)＝f (x 2)得a (x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝ln x 2x 1，即2ax 0＝lnx 2x 1x 2－x 1.另一方面f ′(x 0)＝2ax 0－1x 0＝lnx 2x 1x 2－x 1－2x 2＋x 1＝1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x 2x1－2·x2x 1－1x 2x 1＋1. 设t ＝x 2x 1(t >0且t ≠1)，g (t )＝ln t －2·t －1t ＋1(t >0)， 则g ′(t )＝1t－4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2≥0， 所以g (t )在(0，＋∞)上单调递增，而g (1)＝0， 所以当x 2>x 1时，t >1，所以g (t )>0，故f ′(x 0)>0； 当x 2<x 1时，0<t <1，所以g (t )<0，故f ′(x 0)>0. 综上可知，f ′(x 0)>0.16．已知f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在区间(－2,2)上不单调，求a 的取值范围． 解 ∵f (x )＝x 3－ax －1， ∴f ′(x )＝3x 2－a .由f (x )在区间(－2,2)上不单调，知f ′(x )存在零点，∴a ≥0. 由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)， ∵f (x )在区间(－2,2)上不单调， ∴0<3a3<2，即0<a <12.。
2020—2021数学北师大版选修1-1第四章实际问题中导数的意义课件
导数在物理中的应用
某质点的运动方程为s＝2t2＋3t，其中s是位移 (单位：m)，t是时间(单位：s)． (1)求t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释 它的实际意义； (2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义． (链接教材第四章2.1例1)
1.电流通过一导线，从0时刻到t时刻通过该导线横断面的电 荷量Q与t有如下的函数关系：Q＝4t2＋t＋1(Q的单位：C；t 的单位：s)，求t＝3时的瞬时电流． 解：∵Q＝4t2＋t＋1，∴Q′(t)＝8t＋1. t＝3时，Q′(3)＝8×3＋1＝25(A)．
[感悟提高] (1)恰当设出自变量和因变量并正确确定定义 域，寻找它们之间的关系是此题关键点和难点． (2)函数在闭区间的端点无导数．
7.解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把 实 际 问 题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用 数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型 进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到 实际问题中去，其思路如图所示．
①审题：阅读理解文字所表达的含义，分清条件和结论， 找 出问题中各量之间的关系； ②建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建 立 相应的数学模型； ③解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方 法 求解； ④对结果进行验证评估：定性、定量分析,作出正确的判断,确 定其答案．
3.边际成本 在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导 函数称为边际成本． 4.瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是___位__移__s_对__时__间__t _ 的导数；速度对时间的导数是___加__速__度____． 5.线密度 单位长度的物体质量称为线密度，它是___质___量__关__于__长__度____ 的导数．
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的定义导数的定义是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线斜率。
具体地说，如果函数f(x)在x=a处的导数存在，那么导数f'(a)表示了当自变量x在a处发生一个小的变化Δx时，函数值f(x)将相应地发生多大的变化Δf，这种变化率可以用导数来描述。
导数的概念不仅仅在数学中有重要的应用，它在实际生活中也有着广泛的应用价值。
导数的定义让我们能够更好地理解和描述各种现象中的变化规律，帮助我们预测未来的发展趋势。
掌握导数的概念可以帮助我们更好地解决各种实际问题，提高工作和生活的效率。
了解导数的定义及其在实际生活中的重要性对于我们每个人都是有益的。
在接下来的内容中，我们将探讨导数在不同领域的具体应用，展示导数在实际生活中的广泛应用。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性可以说是不可忽视的。
导数是微积分中的一个重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。
通过导数，我们可以描述物体在某一时刻的变化率，帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。
在经济学中，导数被广泛运用于描述市场需求和供给的变化趋势，分析价格弹性和收益最大化等问题。
导数的概念也被应用于金融领域，帮助投资者和分析师预测股价的波动和变化趋势。
在物理学中，导数被用来描述物体的运动状态，例如速度和加速度的变化。
通过导数，我们可以计算出物体在不同时间点的位置和速度，帮助我们更好地理解自然界中的各种物理现象。
在生物学中，导数可以用来描述生物体的生长和变化过程，帮助研究人员更好地理解生物体的发育和演化规律。
导数也被用来分析生物体在不同环境条件下的适应性和响应能力。
在工程学和医学领域，导数被广泛应用于设计和优化各种系统和流程。
通过导数，工程师和医生可以分析和改进各种工艺和治疗方案，提高效率和准确性，保障工程项目和医疗保健的质量和安全性。
2021_2022学年高中数学第四章导数应用2导数在实际问题中的应用课件北师大版选修1_1
= 3,
= 3,
10
所以
解得
故 a+b= .
3
-27 = -6,
= 3,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
实际问题中忽视变量的取值范围致误
【典例】 某厂生产一种机器,其固定成本(即固定投入)为0.5万元.
但每生产100台,需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对
此产品的年需求量为500台,销售收入(单位:万元)函数为R(x)=5x1
(2)函数f(x)=x3-3x2+12在区间[-1,1]上的最大值与最小值分别
为
.
答案:(1)D
(2)12,8
解析:(2)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0得x=0(x=2舍去).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
-1
f'(x)
f(x)
Hale Waihona Puke 8(-1,0)0
(0,1)
而得到f(x)解析式;再解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)确定f(x)的单调性;
最后由极大值求c,再求f(x)在[-3,3]上的最小值.
解(1)∵f(x)=ax3+bx+c,∴f'(x)=3ax2+b.
∵f(x)在点x=2处取得极值c-16,
'(2) = 0,
12 + = 0,
∴
即
8 + 2 + = -16.
+
0
-
↗
极大值 12
↘
1
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浙江省2020版高考数学第四章导数及其应用第1节导数的概念与导数的计算习题(含解析)
第1节 导数的概念与导数的计算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. [常用结论与易错提醒]1.f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同.2.f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同.( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) (3)(2x )′＝x ·2x －1.( )(4)若f (x )＝e 2x，则f ′(x )＝e 2x.( )解析 (1)f ′(x 0)是函数f (x )在x 0处的导数，(f (x 0))′是常数f (x 0)的导数即(f (x 0))′＝0；(3)(2x )′＝2xln 2； (4)(e 2x)′＝2e 2x.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A.x sin x B.－x sin x C.x cos xD.－x cos x解析 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案 B3.(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________. 解析 ∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 y ＝2x4.(2019·南通一调)若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________.解析 因为y ′＝ln x ＋1， 所以(ln 1＋1)(ln t ＋1)＝－1， ∴ln t ＝－2，t ＝e －2. 答案 e －25.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝12f ′(1)e 2x －2＋x 2－2f (0)x ，则f (0)＝________；f (x )＝________.解析 ∵f (x )＝12f ′(1)e 2x －2＋x 2－2f (0)x ，∴f ′(x )＝f ′(1)e2x －2＋2x －2f (0)，∴f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，∴f (0)＝1， 即1＝12f ′(1)e －2，∴f ′(1)＝2e 2，∴f (x )＝e 2x＋x 2－2x . 答案 1 e 2x＋x 2－2x6.已知曲线y ＝e －x，则其图象上各点处的切线斜率的取值范围为________；该曲线在点(0，1)处的切线方程为________.解析 由题意得y ′＝－e －x，则由指数函数的性质易得y ′＝－e －x∈(－∞，0)，即曲线y ＝e －x的图象上各点处的切线斜率的取值范围为(－∞，0).当x ＝0时，y ′＝－e －0＝－1，则曲线y ＝e －x在(0，1)处的切线的斜率为－1，则切线的方程为y －1＝－1·(x －0)，即x ＋y －1＝0.答案 (－∞，0) x ＋y －1＝0考点一 导数的运算【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x ex ；(3)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5).解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x. (3)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .(4)令u ＝2x －5，y ＝ln u .则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.规律方法 求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【训练1】 分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x·1x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x e x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .考点二 导数的几何意义多维探究角度1 求切线的方程【例2－1】 (1)(2019·绍兴一中模拟)已知函数f (x )＝e x＋2sin x ，则f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x ＋y ＋1＝0 C.3x －y ＋1＝0D.3x －y －1＝0(2)已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，则过点P 的切线方程为________.解析 (1)因为f (x )＝e x＋2sin x ，所以f ′(x )＝e x＋2cos x .所以f ′(0)＝3，f (0)＝1.由导数的几何意义可知，函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝3x ，即为3x －y ＋1＝0，故选C.(2)设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2， 解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4. 故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0.答案 (1)C (2)3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 角度2 求参数的值【例2－2】 (1)(2019·嘉兴检测)函数y ＝x 3－x 的图象与直线y ＝ax ＋2相切，则实数a ＝( ) A.－1 B.1 C.2D.4(2)(2019·杭州质检)若直线y ＝x 与曲线y ＝e x ＋m(m ∈R ，e 为自然对数的底数)相切，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－1D.－2解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ′＝3x 2－1＝a ①，y ＝x 3－x ＝ax ＋2 ②，将①代入②，消去a 得x 3－x ＝(3x 2－1)x ＋2，解得x ＝－1，则a ＝2，故选C. (2)设切点坐标为(x 0，e x 0＋m).由y ＝ex ＋m，得y ′＝ex ＋m，则切线的方程为y －e x 0＋m ＝e x 0＋m(x－x 0) ①，又因为切线y ＝x 过点(0，0)，代入①得x 0＝1，则切点坐标为(1，1)，将(1，1)代入y ＝ex ＋m中，解得m ＝－1，故选C.答案 (1)C (2)C 角度3 公切线问题【例2－3】 (一题多解)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析 法一 ∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1).∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案 8规律方法 (1)求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·苏州调研)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________.(2)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则a 的值为( ) A.－1或－2564B.－1或214C.－74或－2564D.－74或7解析 (1)f ′(x )＝3ax 2＋1x，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13.(2)由y ＝x 3得y ′＝3x 2，设曲线y ＝x 3上任意一点(x 0，x 30)处的切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，将(1，0)代入得x 0＝0或x 0＝32.①当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9得ax 2＋154x －9＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＋4·a ·9＝0得a ＝－2564. ②当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝274x －274，y ＝ax 2＋154x －9得ax 2－3x －94＝0，Δ＝32＋4·a ·94＝0得a ＝－1.综上①②知，a ＝－1或a ＝－2564.答案 (1)13(2)A基础巩固题组一、选择题1.若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2D.－4解析 ∵f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，∴令x ＝1，得f ′(1)＝－2， ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4. 答案 D2.设曲线y ＝e ax－ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 ∵y ＝e ax－ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax－1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax－ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.故选D. 答案 D3.曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，3)或(－1，3)D.(1，－3)解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. 答案 C4.(2019·诸暨统考)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( )A.x 2－x ln x ＋x B.x 2－x ln x －x C.x 2＋x ln x ＋xD.x 2＋2x ln x ＋x解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′（x ）－f （x ）x 2＝1＋1x，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝1＋1x ，故f （x ）x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x .又f (1)≥1，则c ≥0，故选C.答案 C5.(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A.y ＝－2xB.y ＝－xC.y ＝2xD.y ＝x解析 法一 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0.因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.法二 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以 －1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.法三 易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D. 答案 D6.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A.－1B.0C.2D.4解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案 B 二、填空题7.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e xln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析 由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x·1x，则f ′(1)＝e.答案 e8.(2018·全国Ⅲ卷)曲线y ＝(ax ＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. 解析 y ′＝(ax ＋1＋a )e x，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y ′|x ＝0＝(ax ＋1＋a )e x|x ＝0＝1＋a ＝－2，所以a ＝－3. 答案 －39.(2018·台州调考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为__________；f (x )在x ＝1处的切线方程为________. 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.f (x )＝3x ln x ，f (1)＝0，∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝3(x －1)，即为3x －y －3＝0.答案 3 3x －y －3＝010.设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1) 处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1). 答案 (1，1) 三、解答题11.已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围.解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53， ∴斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12.已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程.解 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.能力提升题组13.(2018·萧山月考)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A.－sin x －cos xB.sin x －cos xC.－sin x ＋cos xD.sin x ＋cos x解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x ，故选C.答案 C14.(2019·无锡模拟)关于x 的方程2|x ＋a |＝e x有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________.解析 由题意，临界情况为y ＝2(x ＋a )与y ＝e x 相切的情况，y ′＝e x ＝2，则x ＝ln 2，所以切点坐标为(ln 2，2)，则此时a ＝1－ln 2，所以只要y ＝2|x ＋a |图象向左移动，都会产生3个交点，所以a >1－ln 2，即a ∈(1－ln 2，＋∞).答案 (1－ln 2，＋∞)15.若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析 y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1). y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2). ∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x 2x 2＋1， 解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案 1－ln 216.(2019·湖州适应性考试)已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时，由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在(0，1)上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 答案 [－2，－1]17.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0).令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.18.如图，从点P 1(0，0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0，1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k ，0)(k ＝1，2，…，n ).(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解 (1)设点P k －1的坐标是(x k －1，0)， ∵y ＝e x ，∴y ′＝e x， ∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1 ＝e x k －11(x －x k －1)，令y ＝0，则 x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n ).(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)，∴|P k Q k |＝e xk ＝e －(k －1)， 于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1) ＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－n e －1.。
导数的意义知识点总结
导数的意义知识点总结一、导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，它表示了函数在这一点上的瞬时变化速率。
具体来说，对于函数y=f(x)，其在点x处的导数可以定义为：f'(x) = lim(Δx->0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx其中，lim表示极限运算，Δx表示自变量x的增量。
这个定义可以直观地理解为，当Δx 趋向于0时，函数在点x处的变化率，即斜率，就是函数在这一点的导数。
二、导数的意义1. 几何意义导数在几何学中有重要的意义，它可以表示函数图像在某一点的切线斜率。
具体地说，函数y=f(x)在点(x, f(x))处的切线斜率就是函数在这一点的导数f'(x)。
这个切线斜率可以告诉我们函数在这一点上的变化趋势，以及函数在这一点的局部性质。
2. 物理意义在物理学中，导数表示了物理量随时间的变化率。
例如，位移随时间的导数就是速度，速度随时间的导数就是加速度。
这些物理量的导数可以告诉我们物体在某一时刻的变化速度和变化趋势，对于研究物体的运动和变化有着重要的意义。
3. 经济意义在经济学中，导数表示了经济变量随时间的变化率。
例如，收入随时间的导数就是收入增长率，成本随时间的导数就是成本增长率。
这些导数可以告诉我们经济变量的变化趋势，对于研究经济发展和经济政策有着重要的意义。
三、导数的应用1. 最优化导数在最优化问题中有着重要的应用，它可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
具体地说，函数在最大值和最小值点处的导数为0，因此我们可以通过求导数为0的点来解决最优化问题。
2. 运动学在运动学中，导数可以帮助我们研究物体的运动轨迹和速度变化。
通过求解物体位移随时间的导数，我们可以得到物体的速度；通过求解速度随时间的导数，我们可以得到物体的加速度。
这些导数可以帮助我们研究物体的运动规律和行为。
3. 曲线拟合导数可以帮助我们进行曲线拟合和数据分析。
通过求解数据点的导数，我们可以得到数据的变化率和趋势，从而对数据进行分析和预测。
《导数的概念及应用》课件
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数在实际生活中的应用教学课件
数值模拟与仿真
数值模拟
导数可以用于数值模拟中的偏微分方程求解，例如在物理学、化学和生物学 等领域中，利用导数求解偏微分方程可以模拟自然现象的规律。
计算机仿真
导数可以用于计算机仿真中的参数优化和模型验证，例如在金融、交通和生 态等领域中，利用导数进行参数优化和模型验证可以提高仿真结果的准确性 和可靠性。
2023
《导数在实际生活中的应 用教学课件》
目录
• 导数概述 • 导数在物理中的应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程中的应用 • 导数的进一步应用
01
导数概述
导数的定义
1 2
定义
导数是函数值随自变量变化的速度，即函数在 某一点的导数表示函数在这一点变化率的大小 。
数学表达
如果函数y = f(x)在x = x0处可导，则称f'(x0)为 函数f(x)在x0处的导数。
稳定性
在船舶设计中，导数可以帮助分析船体的稳定性。例如，通过分析船体的重心以 及浮力的变化，利用导数可以确定最优的船体设计以实现稳定的航行。
05
导数的进一步应用
最优控制与决策
最优控制
导数可以用于求解最优控制问题，例如在工程、经济和金融 等领域中的最优控制策略，以实现系统性能的最优。
决策分析
导数可以用于决策分析中的最优选择问题，例如在风险评估 和预测分析中，利用导数求解最优投资组合或最优路径选择 等。
边际成本与边际收益
边际成本
导数可以用来描述成本的变化率，即边际成本。在经济学中 ，边际成本是指增加一单位产量所增加的成本。通过导数， 我们可以分析不同生产规模下的边际成本，从而优化生产决 策。
边际收益
与边际成本相对应，导数也可以用来描述收益的变化率，即 边际收益。在经济学中，边际收益是指增加一单位产量所增 加的收益。通过导数，我们可以分析不同生产规模下的边际 收益，从而优化销售决策。
高中数学第4章导数应用2.1实际问题中导数的意义课件北师大版选修1_1
1．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t
＝4 s时的瞬时速度为( )
A．12
B．－12
C．4
D．－4
解析： ∵s(t)＝2t2－4t＋2，
∴s′(t)＝4t－4，∴s′(4)＝12，
即当t＝4 s时的瞬时速度为12.
答案： A
2．从时间t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)
§2 导数在实际问题中的应用 2．1 实际问题中导数的意义
学课前预习学案
某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间 t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋ 10t.
(1)t从1 s到4 s时，功W关于时间t的平均变化率是多少？ (2)上述问题的实际意义是什么？ (3)W′(1)的实际意义是什么？
利用导数解决物理问题，关键是要熟悉相关 的物理概念、公式，并联系导数的物理意义求解．
2．线段 AB 长 10 米，在它的两个端点处各有一个光源， 线段 AB 上的点 P 距光源 A x 米，已知点 P 受两个光源的总光 照度 I(x)＝x82＋10－1 x2，其单位为：勒克斯．
(1)当 x 从 5 变到 8 时，求点 P 处的总光照度关于点 P 与 A 的距离 x 的平均变化率，它代表什么实际意义？
(2)求 f′(1)，f′(4)，并解释它的意义．
[思路导引]
(1)
求出变化率
―→
解释其实 际意义
(2) 求f′x ―→ 计算f′1，f′4 ―→ 解释其意义 [规范解答] (1)当 x 从 1 h 变到 4 h 时，产量 y 从 f(1)＝8210 g 变到 f(4)＝12706 g， 此时平均变化率为f44－ －f11＝12706－ 3 8210＝1192(g/h)，4 分
2020版高中数学 第四章 导数应用 2.1 实际问题中导数的意义学案(含解析)北师大版选修1 -1
2．1 实际问题中导数的意义学习目标 1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题．知识点 实际问题中导数的意义思考 某人拉动一个物体前进，他所做的功W (单位：J)是时间t (单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W ＝W (t )＝t 3－4t 2＋10t .(1)t 从1s 到4s 时W 关于t 的平均变化率是多少？ (2)上述问题的实际意义是什么？ (3)W ′(1)的实际意义是什么？ 答案 (1)W 4－W 14－1＝40－73＝11 (J/s)．(2)它表示从t ＝1s 到t ＝4s 这段时间内，这个人平均每秒做功11J. (3)W ′(t )＝3t 2－8t ＋10，W ′(1)＝5表示在t ＝1s 时每秒做功5J.总结 (1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特．功率是功关于时间的导数．(2)降雨强度：在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标．降雨强度是降雨量关于时间的导数．(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y 关于产量x 的函数y ＝f (x )的导函数称为边际成本．边际成本f ′(x 0)指的是当产量为x 0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x 0时，每增加一个单位的产量，需要增加f ′(x 0)个单位的成本．(4)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s 对时间t 的导数；速度对时间的导数是加速度．(5)线密度：单位长度的物体质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．1．导数解决的问题通常是变化率的问题．( √ )2．位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数为加速度．( √ )3．导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的不同而不同．( √ )题型一 导数在物理学中的意义例1 某质点的运动方程为s ＝s (t )＝2t 2＋3t ，其中s 是位移(单位：m)，t 是时间(单位：s)． (1)求当t 从1s 变到3s 时，位移s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s ′(1)，s ′(2)，并解释它们的实际意义． 考点 实际问题中导数的意义 题点 导数在物理学中的意义解 (1)当t 从1s 变到3s 时，s 关于t 的平均变化率为Δs Δt ＝s 3－s 13－1＝27－53－1＝11(m/s)．它表示从t ＝1s 到t ＝3s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是11m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s ′(t )＝4t ＋3，则s ′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s ′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．s ′(1)表示的是该质点在t ＝1s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝1s 这个时刻的瞬时速度为7m/s.s ′(2)表示的是该质点在t ＝2s 时的瞬时速度，也就是该质点在t ＝2s 这个时刻的瞬时速度为11m/s.反思感悟 根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系、功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等．因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解． 跟踪训练1 某河流在一段时间x min 内流过的水量为y m 3，y 是x 的函数，且y ＝f (x )＝3x . (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？ (2)求f ′(27)，并解释它的实际意义． 考点 实际问题中导数的意义 题点 导数在物理学中的意义解 (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率为f 8－f 18－1＝2－17＝17(m 3/min)． (2)f ′(x )＝2313x -，于是f ′(27)＝13×2327-＝127 (m 3/min)，实际意义为当时间为27min 时，水流量增加的速度为127m 3/min ，也就是当时间为27min 时，每增加1min ，水流量增加127m 3.题型二 导数在经济生活中的应用例2 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数关系为C (x )＝14x 2＋60x ＋2050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义． 考点 实际问题中导数的意义 题点 导数在经济生活中的应用解 当x 从10件提高到20件时，总成本C 从C (10)＝2675元变到C (20)＝3350元． 此时总成本的平均改变量为C 20－C 1020－10＝67.5(元/件)，其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量． 引申探究1．若本例条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义． 解 因为C ′(x )＝12x ＋60，所以C ′(75)＝12×75＋60＝97.5(元/件)，它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．2．若本例的条件“C (x )＝14x 2＋60x ＋2050”变为“C (x )＝14x 2＋ax ＋2050，当日产量为75件时的边际成本大于97.5”，求a 的取值范围． 解 因为C ′(x )＝12x ＋a ，所以日产量为75件时的边际成本大于97.5， 即C ′(75)＝12×75＋a >97.5，解得a >60.反思感悟 生产成本y 关于产量x 的函数y ＝f (x )中，f ′(x 0)指的是当产量为x 0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x 0时，每增加一个单位的产量，需增加f ′(x 0)个单位的成本．跟踪训练2 已知某商品的成本函数为C (Q )＝100＋Q 24(Q 为产品的数量)．(1)求当Q ＝10时的总成本、平均成本及边际成本； (2)当产量Q 为多少时，平均成本最小？最小为多少？ 考点 实际问题中导数的意义 题点 导数在经济生活中的应用解 (1)当Q ＝10时的总成本C (10)＝100＋1024＝125；Q ＝10时的平均成本C 10＝C 1010＝12.5.边际成本即成本函数C (Q )对产量Q 的导数， 故边际成本C ′(Q )＝12Q ，Q ＝10时的边际成本是C ′(10)＝5.(2)由(1)得，平均成本C Q ＝C Q Q ＝100Q ＋Q4， 而100Q ＋Q4≥2·100Q ·Q4＝10， 当且仅当100Q ＝Q4，即Q ＝20时，等号成立，所以当产量Q 为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10. 题型三 导数在日常生活中的应用例3 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y (单位：g)是工作时间x (单位：h)的函数，设这个函数为y ＝f (x )＝x 220＋4x .(1)求x 从1h 变到4h 时，y 关于时间x 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f ′(1)，f ′(4)，并解释它的意义． 考点 实际问题中导数的意义 题点 导数在日常生活中的应用 解 (1)当x 从1h 变到4h 时， 产量y 从f (1)＝8120g 变到f (4)＝17620g ，此时平均变化率为f 4－f 14－1＝17620－81203＝1912 (g/h)，它表示从1h 到4h 这段时间这个人平均每小时生产1912g 产品．(2)f ′(x )＝x 10＋2x，于是f ′(1)＝2110 (g/h)，f ′(4)＝75(g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品2110g 和75g.反思感悟 在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义．跟踪训练3 某年高考，某考生在参加数学考试时，其解答完的题目数量y (单位：道)与所用时间x (单位：分钟)近似地满足函数关系式y ＝f (x )＝2x .(1)求x 从0分钟变化到36分钟时，y 关于x 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f ′(64)，f ′(100)，并解释它的实际意义． 考点 实际问题中导数的意义 题点 导数在日常生活中的应用解 (1)x 从0分钟变化到36分钟，y 关于x 的平均变化率为f 36－f 036－0＝1236＝13. 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答13道题．(2)∵f ′(x )＝1x，∴f ′(64)＝18，f ′(100)＝110.它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答18和110道题.1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f (x )＞0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )A ．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小考点实际问题中导数的意义题点导数在经济中的应用答案D解析导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．2．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，即W＝W(t)，则W′(t0)表示( ) A．t＝t0时做的功B．t＝t0时的速度C．t＝t0时的位移D．t＝t0时的功率考点实际问题中导数的意义题点导数在物理学中的应用答案D解析W′(t0)表示t＝t0时的功率．3．某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义是__________________________________．考点实际生活中导数的意义题点导数在日常生活中的应用答案36台/小时10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时解析Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，则Q′(2)＝36，由题意知10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时．4．某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的加速度为________．考点实际生活中导数的意义题点导数在物理学中的意义答案8解析∵v′(t)＝4t，∴v′(2)＝8.5．建造一幢长度为x m的桥梁需成本y万元，函数关系为y＝f(x)＝110(x2＋x＋3)(x>0)．(1)当x从100变到200时，平均每米的成本为____万元；(2)f′(100)＝____________万元/m，其实际意义为____________________________．答案(1)30.1 (2)20.1 当长度为100m时，每增加1m的长度，成本就增加20.1万元解析(1)f(100)＝1010.3，f(200)＝4020.3，∴f200－f100200－100＝30.1(万元/m)，即平均变化率为30.1万元/m.(2)f′(x)＝110(2x＋1)，∴f′(100)＝20.1(万元/m)，即当长度为100m时，每增加1m的长度，成本就增加20.1万元．1．解决实际问题的一般思路：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论回到实际问题的结论．2．解决实际问题的一般步骤(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系．(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．一、选择题1．一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示( )A．t＝10时的降雨强度B．t＝10时的降雨量C．t＝10时的时间D．t＝10时的温度考点实际生活中导数的意义题点导数在日常生活中的应用答案A解析f′(t)表示t时刻的降雨强度．2．圆的面积S是半径r的函数S(r)＝πr2，那么在r＝3时，面积的变化率是( )A．6B．9C．9πD．6π考点 实际生活中导数的意义 题点 导数在日常生活中的意义 答案 D解析 面积S 在r ＝3时的变化率为S ′(3)＝2π×3＝6π.3．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)的函数关系为v ＝v (t )＝t 3＋3t ，则t ＝t 0s 时轿车的加速度为( )A ．t 30＋3t 0B ．3t 20＋3C ．3t 30＋3t 0D ．t 30＋3考点 实际生活中导数的意义 题点 导数在物理学中的意义 答案 B解析 v ′(t )＝3t 2＋3，则当t ＝t 0s 时的速度变化率为v ′(t 0)＝3t 20＋3(m/s 2)，则t ＝t 0s 时轿车的加速度为(3t 20＋3) m/s 2.4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( )A ．汽车刹车后1s 内的位移B ．汽车刹车后1s 内的平均速度C ．汽车刹车后1s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1s 时的位移 考点 实际生活中导数的意义 题点 导数在物理学中的意义 答案 C5．从时刻t ＝0开始的t s 内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q ＝2t 2＋3t 表示，则第5s 时电流强度为( ) A ．27C/s B ．20 C/s C ．25C/sD ．23 C/s考点 实际生活中导数的意义 题点 导数在物理学中的意义 答案 D解析 某导体的电量q 在5s 时的瞬时变化率就是第5s 时的电流强度．∵q ′＝4t ＋3，∴当t ＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s)．6．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )考点 实际生活中导数的意义 题点 导数在物理学中的意义 答案 A解析 开始启动，从原点开始；加速行驶，则路程的增速较快；匀速行驶，路程的增速是常数；减速行驶，路程的增速减慢，所以只有选项A 合适．7．已知一根金属棒的质量y (单位：kg)是长度x (单位：m)的函数：y ＝f (x )＝3x ，则从4m 到9m 这一段金属棒的平均线密度是( ) A.25kg/m B.35kg/m C.34kg/m D.12kg/m 答案 B解析 Δy Δx ＝39－349－4＝35(kg/m)．8．如图所示，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，则函数的图像大致是( )考点 实际生活中导数的意义 题点 导数在日常生活中的应用 答案 D解析 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A 表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B 表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；选项C 表示开始和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，与实际不符；选项D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际． 二、填空题9．某物体的位移s 是时间t 的函数s ＝2t 3－at ，物体在t ＝1时的速度为8，则a 的值为________． 考点 实际生活中导数的意义 题点 导数在物理学中的意义 答案 －2解析 s ′＝6t 2－a ，由题意知6×12－a ＝8，∴a ＝－2.10．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件． 考点 实际生活中导数的意义 题点 导数在经济生活中的应用 答案 9解析 令y ′＝－x 2＋81＝0，得x ＝9或－9(舍去)， 当x ＝9时，y max ＝252.11．一物体沿直线运动的方程为s (t )＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为0的时刻为(s 单位：m ，t 单位：s)________．考点 实际生活中导数的意义 题点 导数在物理学中的意义 答案 0s,1s,4s解析 s ′(t )＝t 3－5t 2＋4t ，根据导数的意义可知v ＝s ′(t )，令t 3－5t 2＋4t ＝0，解得t ＝0或t ＝1或t ＝4. 三、解答题12．在F 1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)．求：(1)当t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与Δs Δt； (2)当t ＝20时的瞬时速度．考点 实际生活中导数的意义题点 导数在物理学中的意义解 (1)因为Δs ＝s (20.1)－s (20)＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)＝21.05(m)，所以Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)因为s ′＝10＋10t ，所以当t ＝20时，s ′＝10＋10×20＝210(m/s)，即t ＝20时的瞬时速度为210m/s.13．某食品厂生产某种食品的总成本C (单位：元)和总收入R (单位：元)都是日产量x (单位：kg)的函数，分别为C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200kg,250kg,300kg 时的边际利润，并说明其经济意义．考点 实际生活中导数的意义题点 导数在经济生活中的应用解 (1)根据定义知，总利润函数为L (x )＝R (x )－C (x )＝5x －100－0.01x 2，所以边际利润函数为L ′(x )＝5－0.02x .(2)当日产量分别为200kg,250kg,300kg 时，边际利润分别为L ′(200)＝1，L ′(250)＝0，L ′(300)＝－1.其经济意义是：当日产量为200kg 时，每增加1kg ，则总利润可增加1元；当日产量为250kg 时，每增加1kg ，则总利润无变化；当日产量为300kg 时，每增加1kg ，则总利润减少1元．由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．14．向高为8m ，底面边长为8m 的倒置四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟83m 3，则当水深为5m 时，水面上升的速度为________m/min.答案 875 解析 设注水t min 时，水的深度为h m ，则容器内水的体积为83t ＝13h 2·h ， 则h ＝2t 13， 所以h ′(t )＝23t －23. 当h ＝5时，t ＝1258， 故v ＝h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1258＝875(m/min)． 15．日常生活中的饮用水通常是通过净化得到的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1t 水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5284100－x(80<x <100)，求净化到下列(1)90%；(2)98%纯净度时，所需费用的瞬时变化率．解 c ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫5284100－x ′＝5284100－x 2， ∴c ′(90)＝5284100－902＝52.84，c ′(98)＝5284100－982＝1321.故纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为52.84元/t ；纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率为1321元/t.。
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[方法规律总结] 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点 附近变化的快慢．由上述计算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示 纯净度为98%左右时净化费用的变化率大约是纯净度为90%左 右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要 的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
解：当 t 从 2 变到 2＋Δt 时，函数值 s 从 3×2＋1 变到 3(2＋Δt)＋1， 则ΔΔst＝32＋Δt＋1Δ－t 3×2＋1＝3(m/s)， 当 Δt 趋于 0 时，平均变化率趋于 3，则 s′(2)＝3m/s. s′(2)表示该物体在 t＝2 时的速度为 3m/s.
题目类型二、导数在生活中的应用 例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水纯 净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将 1t 水净化到纯 净度为 x%时所需费用(单位：元)为 c(x)＝150208－4x(80<x<100)． (1)求 c′(x)； (2)求 c′(90)，c′(98)，并解释它们的实际意义．
3．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝ W(t)，则W′(t0)表示( ) A．t＝t0时做的功 B．t＝t0时的速度 C．t＝t0时的位移 D．t＝t0时的功率 [解析] W′(t)表示t时刻的功率． [答案] D
4．设一物体的运动方程是 s(t)＝v0t＋12at2.其中 s 是位移 (单位：m)，t 是时间(单位：s)．则 t＝2s 时的瞬时速度为 ________m/s.
解：(1)当 x 从 50 变到 60 时，成本关于草坪面积 x 的平 均变化率为
f6600－ －f5050＝36000＋60－ 1025000＋50 ＝1101(元/m2)． 它表示在草坪面积从 50m2 增加到 60m2 的过程中，草坪 面积每增加 1m2，成本平均增加 1101 元． (2)f′(x)＝20x＋1，∴f′(50)＝1001(元/m2)． f′(50)表示当草坪面积为 50m2 时，每增加 1m2，成本就 要增加 1001 元．
牛刀小试
1．一质点的运动方程为s＝5－3t2，则该质点在t＝2时的速度等 于( )
A．－12
B．12
C．2
D.－7
[解析] s′＝－6t，∴s′(2)＝－12.
[答案] A
2．一次降雨过程中，降雨量y是时间t(单位：h)的函数，用y＝ f(t)表示，则f′(10)表示( ) A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量 C．10小时的平均降雨量 D．t＝10时的温度 [解析] f′(t)表示t时刻的降雨强度，故选A. [答案] A
新知导学
1．在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为__功__率___，它 的单位是__瓦__特_____．
2．在气象学中，通常把单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称 作__降__雨__强__度___，它是反映一次降雨__大__小___的一个重要指标．
3．在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导 数称为___边__际__成__本_____，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本 的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量， 需要增加f′(x0)个单位的成本．
解：(1)c′(x)＝(150208－4x)′ ＝5284′×100－1x00－－5x282 4×100－x′ ＝0×100－1x00－－5x2824×－1＝10502－84x2.
(2)c′(90)＝10502－84902＝52.84(元/t)， c′(98)＝10502－84982＝1321(元/t)． 因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率，所以，纯净 度为 90%时，费用的瞬时变化率是 52.84 元/t. 纯净度为 98%时，费用的瞬时变化率是 1321 元/t.
[方法规律总结] 在日常生活和科学领域中，有许多需要用导 数概念来理解的量．例如中学物理中，速度是路程关于时间的 导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导 数等．
变式训练：
某物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t＋1， 求函数s＝3t＋1在t＝2处的导数s′(2)，并解释它的实际意义．
第四章 导数应用
§2 导数在实际问题中的应用
2.1 实际问题中导数的意义
学习目标
1．了解导数在实际问题中的意义． 2．能够利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解.
知识梳理
思维导航 我们已知汽车行驶的路程关于时间的函数为s＝s(t)，则s′(t)表示 瞬时速度，若速度关于时间的函数关系为v＝v(t)，则v′(t)表示 什么？
∴ΔΔst＝31－72＝17， 即从 t＝2 变到 t＝3 时，s 关于 t 的平均变化率为 17，即 此段时间质点的平均速度为 17m/s. (2)s′(t)＝6t＋2，∴s′(2)＝6×2＋2＝14(m/s)． 即当 t＝2 时的瞬时速度为 14m/s. (3)设该质点的速度为 v m/s，则 v(t)＝s′(t)＝6t＋2， ∴v′(t)＝6，∴v′(2)＝6. 即当 t＝2 时的加速度为 6m/s2.
[解析] s′(t)＝v0＋at，∴s′(2)＝(v0＋2a)m/s. 即t＝2s时的瞬时速度为(v0＋2a)m/s. [答案] v0＋2a
5．修建面积为xm2的草坪需要成本y元，且y是x的函数：y＝f(x) ＝10x2＋x. (1)求当x从50变到60时，成本y关于修建面积x的平均变化率， 并解释它的实际意义； (2)求f′(50)，并解释它的实际意义．
典例剖析
题目类型一、导数在物理中的意义
例 1 设质点做直线运动，已知路程 s(单位：m)是时间 t(单位：s)的函数：s＝3t2＋2t＋1.求：
(1)从 t＝2 变到 t＝3 时，s 关于 t 的平均变化率，并解释 它的实际意义；
(2)当 t＝2 时的瞬时速度； (3)当 t＝2 时的加速度．
解：(1)Δs＝s(3)－s(2)＝(3×32＋2×3＋1)－(3×22＋2×2 ＋1)＝17，