导数的概念及其几何意义-人教A版高中数学选择性必修第二册上课用PPT

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数学人教A版选择性必修第二册5.1.2导数的概念课件

数学人教A版选择性必修第二册5.1.2导数的概念课件

∴当 Δx→0 时,f(x0+Δx)2-Δxf(x0-Δx)必趋于 f′(x0)=k,
∴ lim x0
f(x0+Δx)2-Δxf(x0-Δx)=k,
∴ lim x0
f(x0+Δx)Δ-xf(x0-Δx)=2k.
规律方法 由导数的定义可知,若函数 y=f(x)在 x=x0 处可导,则 f′(x)=
[思考] 1.导数或瞬时变化率可以反应函数变化的什么特征?
提示 导数或瞬时变化率可以反应函数在某一点处变化的快慢程度. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区分和联系? 提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区分:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2] 上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x=x0处变化的快慢. (2)平均变化率与瞬时变化率的联系:当 Δx 趋于 0 时,平均变化率ΔΔyx趋于一个常数, 这个常数为函数在 x=x0 处的瞬时变化率,它是一个固定值.
2
= lxim 0 Δx[
(Δx)2+2Δx (Δx)2+2Δx+2+
= lim 2] x0
Δx+2 (Δx)2+2Δx+2+
= 2
22.
规律方法 求一个函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤如下: (1)求函数值的变化量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率ΔΔxy=f(x0+ΔxΔ)x -f(x0);
又f′(1)=3,∴a=3. 答案 3
4.已知函数 f(x)= x,则 f′(1)=________.
解析
f′(1)=
f(1+Δx)-f(1) Δx
= lim x0
1+Δx-1 Δx
= lim x0
1+1Δx+1=12.
答案
1 2
5.若 lim x0

5.1.2导数的概念及其几何意义 课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1.2导数的概念及其几何意义 课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

4
巩固练习.求函数 y=x-x在 x=2 处的导数.
解: (导数定义法):

4
4

Δy=(2+Δx)-
-2-2
2+Δx

2Δx
=Δx+

2+Δx
2Δx
Δx+
2+Δx
Δy
2

=1+

Δx
Δx
2+Δx


2
Δy
∴lim
=lim 1+2+Δx=2,
Δx→0 Δx
Δx→0

从而 y′|x=2=2.
= lim
.
→0
→0

巩固练习.若函数 f(x)=-3x-1,则 f′(x)=(
A.0 B.-3x
C.3 D.-3
)
-3x+Δx-1--3x-1
解析:k=li
m
=-3.
Δx
Δx→0
练习.如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,
则 f(5)+f′(5)=________.
2
f (1 x) f (1)
则,k0 lim
x 0
(1 x) (1)
(1 x) (1)
lim
x 0
x
2
lim (x 2)
x 0
2
2
抛物线f ( x) x 在点(1,1)处的切线的斜率为 2
2
变式练习
求抛物线f ( x) x 1在点(0,1)处的切线方程.
=li m
Δx
Δx→0
=li m (4x0+2Δx+4)
Δx→0
求切点坐标可以按以下步骤进行

高二数学人教A版选择性必修第二册第五章导数的概念及其几何意义课件

高二数学人教A版选择性必修第二册第五章导数的概念及其几何意义课件

x
y = f (x) 在 x = x0 处可导 , 并把这个确定的值叫做
y = f (x) 在 x = x0 处的导数 ( 也称为瞬时变化率 ) , 记作 f (x0 )或 y |xx0. 用极限符号表示这个定义,就是
f
(x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) .
导数是平均变化率的极限,是瞬时变化率的数学表达.
f (x) x2在P0 (1,1)处的切线斜率 割线斜率
k f (1 x) f (1) x 2 x
切线斜率
f (1) lim f (1 x) f (1) 2
x0
x
实际上,导数可以描述许多运动变化事物
的瞬时变化率. 比如效率、国内生产总值的
增长率等.
例1 设 f (x) 1 ,求 f (1).
5,
可以是正值k ,也可f (以1是负值x,)但不f为(10). x 2
t 为了研究函数 y=f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率,我们可以选取自变量x的一个改变量 , 可以是正值,也可以是负值,但不为 0.
x
计算第2 h与第6 h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
问题1
问题1
问题3 根据导数的定义,你能用导数来重述跳水运
动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗?
问题1 高台跳水运动员的速度 h(t) 4.9t2 4.8t 11
平均速度
v h(1 t) h(1) 4.9t 5 t
瞬时速度
h(1) lim h(1 t) h(1) 5
t 0
t
问题2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ抛物线的切线斜率

导数的概念及其意义(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

导数的概念及其意义(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
=
=
−1
1 + ∆ − 1
= ∆ + 2
切线的斜率
− 1
1 + ∆ 2 − 1
=
=
= ∆ + 2
−1
1 + ∆ − 1
当∆无限趋近于0,即无论x从小于1的一边,还是从大于1
的一边无限趋近于1时,割线0 的斜率k都无限趋近于2
由 =
1+∆ −(1)

= ∆ + 2
但 ∆可正、可负;
∆ = (2 ) − (1 )是函数值的改变量,可正、
可负,也可为0, 因此平均变化率可正、可负,也可为零
函数的平均变化率为0,并不一定说明函数f(x)没有变化
瞬时变化率
函数 f(x) 在 x = x0 处的 瞬时变化率
是函数 f(x) 从 x0 到 x0 + ∆x 的平均变化率
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
k= lim
x
Δ→0
= (Δx-6)=-6.
x→0
)
规律方法 求曲线上某点(x0,f(x0))处的割线或切线斜率的步骤
f(x 0 +x)-f(x 0 )
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 x h时,原油的温度(单位:℃)为
= = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8) .
计算第 2 h 与第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

例 5 下图是人体血管中药物浓度 c f (t) (单位: mg / mL )随时间 t(单位:min) 变化的函数图象,根据图象,估计 t 0.2 ,0.4,0.6,0.8 min 时,血管中药物浓度 的瞬时变化率(精确到 0.1).
解:血管中某一时刻药物浓度的瞬吋变化率,就是药物浓度 f (t) 在此时刻的导
从 f (x0 ) 变化到 f (x0 Δx) . 这时,x 的变化量为 Δx ,y 的变化量
为 Δy f (x0 Δx) f (x0 ) .
把比值
Δy Δx
Δy ,即 Δx
f (x0
Δx) Δx
f (x0 )
叫做函数 y
f (x)
从 x0 到
x0 x 的平均变化率.
如果当 Δx 0 时,平均变化率 Δy 无限趋近于一个确定的值, Δx
答案:D 解析:由题意,得 f (5) 5 5 0 , f (5) 1.故选 D.
2.若函数 f (x) 在 x x0 处存在导数,则 lim f x0 h f x0 的值( )
h0
h
A.与 x0 ,h 都有关
B.与 x0 有关,与 h 无关
C.与 h 有关,与 x0 无关
D.与 x0 ,h 都无关
1.4
,所以
f
(0.8)
1.4
.
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
t
0.2
0.4
0.6
0.
药物浓度的瞬时变化率 f (t)
0.4
0
-0.7
-1
5.导函数的概念
从求函数 y f (x) 在 x x0 处导数的过程可以看到,当 x x0 时, f (x0 ) 是一个
唯一确定的数. 当 x 变化时, y f (x) 就是 x 的函数,称它为 y f (x) 的导函数

高中数学第五章导数的概念及其几何意义第2课时导数的几何意义pptx课件新人教A版选择性必修第二册

高中数学第五章导数的概念及其几何意义第2课时导数的几何意义pptx课件新人教A版选择性必修第二册
()
【答案】(1)A (2)D 【解析】(1)由导数的几何意义知,导函数递增,则说明函数切线斜 率随x增大而变大. (2) 从 导 函 数 的 图 象 可 知 两 个 函 数 在 x0 处 斜 率 相 同 , 可 以 排 除 B , C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x) 的导函数的值在减小,所以原函数的斜率慢慢变小,排除A.
【预习自测】
判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)曲线y=f(x)上的每一点都有切线.
()
(2)直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点. ( )
【答案】(1)× (2)×
导数的几何意义
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0,即k0= __Δ_lxi_m→_0_f(_x_0+__Δ_Δ_xx)_-__f_(x_0_)__=f′(x0).
易错警示 混淆曲线“在”或“过”某点的切线致误
求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程.
【错解】∵Δy=f(Δx+0)-f(0)=(Δx)3-3(Δx)2+Δx, ∴ΔΔyx=1-3Δx+(Δx)2, ∴f′(0)= lim [1-3Δx+(Δx)2]=1.
Δx→0
故所求切线方程为 y=x.
(2)导数f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的 ___斜__率___,物理意义是运动物体在x0时刻的__瞬__时__速__度___.
【预习自测】
如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么 ()
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)<0
【答案】3227 -31,2237 【解析】设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0,y0), 因为 y′=Δlxi→m0(x+Δx)3-(x+ΔxΔ)2x+1-(x3-x2+1) =3x2-2x,则 y′|x=x0=3x20-2x0=1,解得 x0=1 或 x0=-13,

高中数学(新人教A版)选择性必修二:导数的概念及其意义【精品课件】

高中数学(新人教A版)选择性必修二:导数的概念及其意义【精品课件】
x 0

x
பைடு நூலகம்
0

x

0
x
x
1 x
例2
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.
已知在第 h时,原油的温度(单位:℃)为=()=2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8).计
算第2 h与第6 h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
y
所以v '(2) lim
lim t 2 2. 同理可得 ′(6)= − 6.
t 0 t
t 0
在第2 s与第6 s时,汽车的瞬时加速度分别是2 m/s2与−6 m/s2.说明在第2 s附近,汽车的速度
每秒大约增加2 m/s;在第6 s附近,汽车的速度每秒大约减少6 m/s.
一确定的数.这样,当变化时,= ′()就是x的函数,我们称它为=()的导函
数(简称导数).=()的导函数有时也记作′,即
f ( x x) f ( x)
f '( x) y ' lim
.
x 0
x
函数()在=处的导数 ′()、导函数 ′()之间的区别与联系:
这时,在=0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当=1时,曲线ℎ()在=1处的切线1的斜率ℎ′(1) < 0.
这时,在=1附近曲线下降,即函数ℎ()在=1附近单调递减.
(3)当=2时,曲线ℎ()在=2处的切线2的斜率ℎ′(2) < 0.
这时,在=2附近曲线下降,即函数ℎ()在=2附近也单调递减.
f ( x0 x) f ( x0 )
y
lim
x 0 x
x 0
x

新教材高中数学第5章导数的概念及其几何意义pptx课件新人教A版选择性必修第二册

新教材高中数学第5章导数的概念及其几何意义pptx课件新人教A版选择性必修第二册

根据导数的几何意义,可知函数y=f (x)的切线斜率在[a,b]内单调
递增,观察图象,只有A选项符合.
发现规律 导数几何意义理解中的两个关键点
f ′(x0)>0
关键点一:y=f (x)在点x=x0处的切线斜率为k,则k>0⇔_________;
f ′(x0)<0
f ′(x0)=0
k<0⇔__________;k=0⇔_________.
[解]
Δ
+Δ 3 +1− 3 −1

Δ
Δ
3 Δ 2 +3 2 Δ+ Δ 3

Δ
=3xΔx+3x2+(Δx)2,
Δ
则 lim =3x2,因此y′=3x2.
Δ→0 Δ
设过点M(1,1)的直线与曲线y=x3+1相切于点(0 ,03 +1),根据
导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率为k=302 ①,过点M和
如图,割线P0P的斜率k=_____________.记Δx=x-x
0,当点P沿着
曲线y=f (x)无限趋近于点P0时,即当Δx→0时,k无限趋近于函数y=
f (x)在x=x0处的导数,因此,函数y=f (x)在x=x0
切线P0T
处的导数f ′(x0)就是_________的斜率k
0,即
0 +Δ − 0
1
2
3
4
5
2.函数y=f (x)在x=x0处的导数f ′(x0)的几何意义是(
)
A.在点(x0,f (x0))处与y=f (x)的图象只有一个交点的直线的斜率
B.过点(x0,f (x0))的切线的斜率
C.点(x0,f (x0))与点(0,0)的连线的斜率

人教版高中数学选修二5.1.2导数的概念及其几何意义课件

人教版高中数学选修二5.1.2导数的概念及其几何意义课件
成本增加的速度为 1 050
元/m2.
问题探究
我们知道,导数 ′ 0 表示函数y = 在 = 0 处的瞬时变化率,反映了
函数y = 在 = 0 附近的变化情况,那么导数 ′ 0 的几何意义是什么?
观察思考
观察函数 = 的图像 ,
平均变化率
∆ 0 +∆ −(0 )
(
)
解析: (1)根据导数的几何意义知正确.
(2)若|f (x0)|越大,瞬时变化率越大,故错误.
(3)根据导函数的定义知正确.
(4)若 f ′(x0)=0 说明曲线在 x=x0 处切线平行于 x 轴,不能说不存在.
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
f1+Δx-f1
2.已知函数 y=f (x)是可导函数,且 f ′(1)=2,则lim
人教2019 A版 选择性必修二
第五章 一元函数的导数及其应
5.1.2导数的概念及其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,体会导数的概念的实际背景.
2.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.
引言
前面我们研究了两类变化率问题:一类是物理学中的问题,涉及平均速度和瞬
时速度;另一类是几何学中的问题,涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不
(1)函数 y=f (x)在 x=x0 处的导数即为在该点处的斜率,也就是 k=
f ′(x0).
(
)
(2)f ′(x1)>f ′(x2)反映了曲线在 x=x1 处比在 x=x2 处瞬时变化率较大.
(
)
(3)f ′(x0)就是导函数 y=f ′(x)在 x0 处的函数值.
(
)
(4)若 f ′(x0)=0,则曲线在 x=x0 处切线不存在.

5.1 导数的概念及其意义(导数的几何意义)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1 导数的概念及其意义(导数的几何意义)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(
)
(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
)
合作探究 释疑解惑
探究一
导数的几何意义与函数图象
【例1】 若函数y=f(x)的导函数在区
间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区
间[a,b]上的大致图象可能是(
)
解析:已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)
(2)由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
y
(+Δ)2 +(+Δ)-2-( 2 +-2)
解:(1)y'= lim =
=2x+1.
Δ
Δ→0 x x→0
因为直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,
所以直线l1的斜率k1=y'|x=1=3,可得直线l1的方程为y=3x-3.

Δ
x→0
= lim (4x+2Δx)=4x.
Δ→0
(1)∵切线的倾斜角为45°,
∴切线的斜率为tan 45°=1.
设切点的坐标为(x0,y0),则 y'|= =4x0=1,解得
0
∴该切点的坐标为
1 9
,
4 8
.
1
x0= ,
4
(2)∵切线平行于直线4x-y-2=0,
∴切线的斜率为4.
则切线的斜率 k=2x0.
切线方程为 y-x02 =2x0(x-x0),将点(-1,0)的坐标代入,
得-x02 =2x0(-1-x0),解得 x0=0 或 x0=-2.
当x0=0时,切线的斜率k=0,过点(-1,0)的切线方程为y=0;

5.1 导数的概念及其意义(变化率问题、导数的概念)课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1 导数的概念及其意义(变化率问题、导数的概念)课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
Δ
=
( 2 )-( 1 )
.
2 - 1
【变式训练 2】 分别求函数 y=sin x 从 0
比较它们的大小.
π
π
π
到6 和从 3 到 2 的平均变化率,并
解:自变量 x 从 0
自变量 x
π
π
从3 变到 2 ,函数
3
∵2-√3<1,∴
π
>
∴自变量 x 从 0
自变量 x
π
变到 ,函数
6
)
A.Δx-3
C.-3
B.(Δx)2-3Δx
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
故选C.
答案:C
D.0
=
(Δ)2 -3Δ

Δ
x→0
= lim (Δx-3)=-3.
Δ→0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
Δ

Δ
=
3(Δ)2 +(6+)Δ
=3Δx+6+a,
Δ
y
∴ lim
Δ→0 x
= (3Δx+6+a)=6+a.
∴f'(1)=6+a.
x→0
【易错辨析】
对导数的概念理解不清而致错
【典例】 已知
A.4
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
f'(x0)=4,则 lim
的值为(
x
Δ→0
B.2
C.8
f(x 0 +2x)-f(x 0 )

人教版高中数学 选择性必修二 A版5.1.2《导数的概念及其几何意义》课件PPT

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作业设计
课本P70.
习题5.1: 1、2、3、4、5、6、7.
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人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章 一元函数的导数及其应用
汇报人:XXX
人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章 一元函数的导数及其应用
汇报人:XXX
目 录
01
学习目标
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课程小结
第一部分
学习目标
学习目标
1. 理解函数在0处的瞬时变化率即导数的概念并会求其值.
2.理解导数的几何意义,并会应用之求切线方程.
3.感受新概念的定义、运动变化的数学思想方法,从而
温馨提示:直接利用概念求平均变化率,先求出表达
式,再直接代入数据就可以得出相应的导
数的值.
跟踪练习
解析:当自变量从0变化到0+Δ时,函数的平均变化
Δ+0 − 0

率为 =

Δ

= 30 2 +30 △ + △
2
0 +△ 3 −0 3
Δ
当0=1,Δ → 0时,
1

2
1
∆)=1−2
2
1

2
× 22 )
课堂互动
∴物体在时刻t=2处的瞬时速度是1−2 .
课堂互动
3.已知 =2-3,则 在 = 0处的切线的方程
(
3 + = 0
解析: ′(0)=
)
Δ

导数的概念及其几何意义课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

导数的概念及其几何意义课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

lim(Δx 3) 3 . Δx0
同理可得 f (6) 5 .
在第 2 h 与第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为 3C / h 与5C / h .
说明在第 2 h 附近,原油温度大约以 3C / h 的速率下降;在第 6 h 附近,
原油温度大约以 5C / h 的速率上升. 一般地, f (x0 )(0 x0 8) 反映了原 油温度在时刻 x0 附近的变化情况.
x0
3x
3 x0
x
3
10.已知曲线 f (x) 1 x2 x 的一条切线的斜率是 3,则该切点的横坐标为( ) 2
A. 2
B. 1
C.1
D.2
答案:D
解析: y f (x x) f (x) 1 (x x)2 (x x) 1 x2 x x x 1 (x)2 x ,
2
2
2
2

x
x
x
m(m x)
f
(m)
lim
x0
2 m(m
x)
2 m2
, 2 m2
1 2
, m2
4 ,解得 m 2 .故选 D.
4.若函数 f (x) x2 在区间x0 , x0 x 上的平均变化率为 k1 ,在区间x0 x, x0 上
的平均变化率为 k2 ,则下列说法中正确的是( )
A. k1 k2
在点 (2, f (2)) 处的切线斜率,且小于曲线 y f (x) 在点 (4, f (4)) 处的切线斜率, 即 f (2) f (4) f (2) f (4) ,所以 2 f (2) f (4) f (2) 2 f (4) .故选 A.
42
6.曲线 y x2 1 在点 (1, 2) 处的切线方程为( )

人教A版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义课件

人教A版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义课件

解得 x0=-23或 x0=2, ∴切点的坐标为-23,4297或(2,3). 当切点为-23,4297时,有4297=4×-23+a, 解得 a=12271; 当切点为(2,3)时,有 3=4×2+a, 解得 a=-5. ∴当 a=12271时,切点为-23,4297; 当 a=-5 时,切点为(2,3).
=Δlxim→0Δx2Δ-x 3Δx=Δlxim→0(Δx-3)=-3.故选 C.
答案:C
3.如图是函数y=f(x)的图象,则 (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为________; (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.
解析:(1)函数 f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为f11--f--11=2-2 1=12. (2)由函数 f(x)的图象知,f(x)=x+2 3,-1≤x≤1,
=x20+x0-1. 又由导数的几何意义知 k=f′(x0)=Δlxim→0fx0+ΔΔxx-fx0 =Δlxim→0x0+Δx3-2x0Δ+x Δx-x30-2x0 =3x20-2, ∴x20+x0-1=3x20-2, ∴2x20-x0-1=0.
∵x0≠1,∴x0=-12. ∴k=x20+x0-1=-54, ∴切线方程为 y-(-1)=-54(x-1), 即 5x+4y-1=0,故选 A. 答案:A
x+1,1<x≤3. 所以函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f22--f00=3-2 32=34. 答案:(1)12 (2)34
知识点二 导数的几何意义 (一)教材梳理填空
导数的几何意义 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k,即 k=_Δlxi_m→_0_f_x_0_+__Δ_Δx_x_-__f_x_0_ =f′(x0).
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