高等数学电子教材
高等数学上下册完整版教材
高等数学上下册完整版教材高等数学是大学数学的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
下面是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述：第一章导数与微分1.1 导数的定义与几何意义1.2 基本求导法则1.3 函数的微分1.4 高阶导数与高阶微分1.5 隐函数与参数方程的导数1.6 微分中值定理与导数的应用第二章不定积分2.1 定积分的概念2.2 不定积分与不定积分的性质2.3 基本不定积分法2.4 特殊函数的不定积分2.5 不定积分的应用第三章定积分3.1 定积分的定义与几何意义3.2 定积分的性质3.3 定积分的计算方法3.4 牛顿-莱布尼茨公式3.5 定积分的应用第四章微分方程4.1 微分方程的概念与分类4.2 一阶微分方程4.3 高阶线性微分方程4.4 变量可分离的方程4.5 齐次线性微分方程4.6 非齐次线性微分方程4.7 常系数线性齐次微分方程4.8 微分方程的应用第五章多元函数的微分学5.1 多元函数的极限5.2 多元函数的偏导数5.3 多元复合函数的偏导数5.4 隐函数与参数方程的偏导数5.5 高阶偏导数5.6 多元函数的全微分5.7 多元函数的极值与最值第六章重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 极坐标下的二重积分6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算方法6.6 曲线积分的概念与性质6.7 曲线积分的计算方法6.8 曲线积分在物理学中的应用第七章曲面积分与格林公式7.1 曲面积分的概念与性质7.2 曲面积分的计算方法7.3 散度与无源场7.4 格林公式的推广与应用第八章空间解析几何与向量代数8.1 空间直角坐标系与向量8.2 空间曲线与曲面8.3 向量的运算与坐标表示8.4 点、直线与平面的方程8.5 空间向量的夹角与投影8.6 空间点、直线与平面的位置关系8.7 空间曲线与曲面的位置关系第九章广义与特殊函数9.1 广义积分的概念9.2 常数项一般项相消法9.3 幂函数、指数函数与对数函数9.4 三角函数与反三角函数9.5 常见特殊函数第十章数项级数10.1 级数概念与性质10.2 收敛级数的判定方法10.3 常见级数的和10.4 绝对收敛与条件收敛10.5 幂级数与泰勒展开10.6 常见函数的泰勒展开第十一章函数级数11.1 函数列与函数项级数11.2 函数列极限与函数项级数的一致收敛11.3 函数列极限的性质11.4 一致收敛级数的和函数的性质11.5 函数项级数的逐项积分与逐项求导11.6 Fourier级数以上是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述。
网络远程教育：高等数学(专升本)电子教材
的定义域.
解 要使函数表达式有意义，x 要满足：
4 x 0
x 4
x
1
0
即
x
1
lg(x 1) 0
x 2
所以函数的定义域为（1，2） （2，4].
1, 例 3 求函数 f(x)= 1,
0 x 1
的定义域.
1 x 2
解 函数 f(x)的定义域是[0，2].
例 4 设函数 f(x)的定义域是[0，1]，求函数 f(x+a)的定义域.
第 5 页 共 43 页
封面
全国统考：中国网络远程教育
高等数学教材
（专科起点升本科）自编教材
上海招考热线
第 1 页 共 43 页
目录
第一章 函数.............................................................................................................................1 一、内容提要.....................................................................................................................1 二、典型例题.....................................................................................................................2
大学数学高等数学教材pdf
大学数学高等数学教材pdf 数学一直以来都是大学教育中不可或缺的一门学科，而高等数学更是大学数学课程中的重要组成部分。
为了方便广大学子学习和参考，许多高校、教育机构以及个人都提供了大学数学高等数学教材的PDF 版本。
在本文中，我们将介绍一些获取大学数学高等数学教材PDF的途径和一些常用的高等数学教材。
获取大学数学高等数学教材PDF的途径1. 教育网站：许多高校和教育机构的官方网站都提供了免费下载教材的服务。
学生可以直接在这些网站上搜索并下载所需的高等数学教材PDF。
例如，某大学的教学资源中心部分会提供学生所需的各类教材。
2. 知识分享平台：类似于百度文库、豆丁网等知识分享平台上也有许多用户上传了大量的高等数学教材PDF供他人免费下载。
用户只需在相应平台上搜索相关的高等数学教材，往往就能找到自己所需要的版本。
3. 学术论坛：有些学术论坛上也有不少人分享了自己整理的高等数学教材PDF。
学生可以通过在这些论坛上提问或搜索，找到志同道合的人分享的教材资料。
一些常用的高等数学教材1. 《高等数学（上、下）》（同济大学数学系编著）：这是一本经典的高等数学教材，由同济大学数学系编写。
该教材系统全面地介绍了高等数学的基本概念、理论和方法。
此外，该教材的例题和习题数量也相当丰富，有助于学生加深对数学知识的理解。
2. 《数学分析》（清华大学出版社）：这本教材是清华大学的一本高等数学经典教材，通过对数学分析基本概念和方法的讲解，帮助学生建立起逻辑推理和抽象思维能力。
该教材在数学分析中的证明过程也非常详细，有助于学生理解和掌握证明的方法和技巧。
3. 《高等数学（上、下）》（北京大学出版社）：这本教材是北京大学的一本高等数学教材，内容与其他教材相似，但在一些章节中加入了一些具体问题的讨论和解决方法，有助于学生更好地理解数学知识的实际应用。
总结大学数学高等数学教材PDF的获取途径多种多样，学生可以选择适合自己的途径进行获取。
高等数学(电子版)
高等数学（电子版）第一章函数与极限1.1 函数的概念函数是数学中最基本的概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在高等数学中，我们主要研究实数集上的函数，即定义域和值域都是实数集的函数。
1.2 函数的性质函数具有许多重要的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
这些性质有助于我们更好地理解和分析函数的行为。
1.3 极限的概念极限是研究函数在某一点附近行为的一种方法。
当我们讨论一个函数的极限时，我们关注的是当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。
1.4 极限的运算法则极限运算法则是指对于一些基本函数的极限，我们可以通过简单的运算得到它们的极限。
这些运算法则包括极限的四则运算、复合函数的极限、数列的极限等。
1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数极限的两种特殊情况。
无穷小是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于0；无穷大是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大。
1.6 连续性与间断点连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某一点附近的行为。
如果一个函数在某个点连续，那么它在该点附近的极限存在且等于该点的函数值。
间断点是函数不连续的点，它们在函数图像上表现为跳跃或断开。
第二章导数与微分2.1 导数的概念导数是描述函数在某一点附近变化率的一种方法。
它表示了函数在该点的斜率，即函数图像在该点的切线斜率。
2.2 导数的运算法则导数运算法则是指对于一些基本函数的导数，我们可以通过简单的运算得到它们的导数。
这些运算法则包括导数的四则运算、复合函数的导数、幂函数的导数等。
2.3 高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数。
它们描述了函数在某一点附近更复杂的变化率。
高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等方面具有重要意义。
2.4 微分的概念微分是导数的一种应用，它描述了函数在某一点附近的微小变化。
微分运算可以用来求解一些实际问题，如曲线的切线问题、最值问题等。
2.5 微分的应用微分在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
(完整版)高等数学教材word版(免费下载)
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学教材pdf北大
高等数学教材pdf北大高等数学教材PDF（北大）教材名称：高等数学作者：北京大学教育出版社引言：数学作为一门基础学科，在高等教育中占据着极为重要的地位。
高等数学作为数学学科中的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及创新能力起着至关重要的作用。
为了方便广大学生学习，北京大学教育出版社精心编写了一本名为《高等数学》的教材，并以PDF格式进行发布。
本文旨在介绍该教材的主要内容和特点，以及为学生提供的学习指导。
第一章：函数与极限本章主要介绍了函数的概念、性质以及常见函数类型，如幂函数、指数函数、对数函数等。
同时，还对极限的概念进行了详细阐述，包括极限的定义、性质和计算方法等。
通过学习本章内容，学生能够建立起对函数和极限的基本认知，并能够运用所学知识解决实际问题。
第二章：导数与微分导数与微分是高等数学的核心概念之一。
本章主要介绍了导数的概念、性质以及常见的求导法则，如常数规则、幂函数求导法则、指数函数求导法则等。
此外，还引入了微分的概念，并介绍了微分的几何意义和计算方法。
通过学习本章，学生能够掌握导数和微分的概念，理解其在实际问题中的应用，并能够灵活运用求导法则解决实际计算问题。
第三章：积分与不定积分本章内容围绕积分和不定积分展开。
首先介绍了积分的概念和性质，包括定积分、不定积分和定积分计算方法等。
然后，详细讨论了不定积分的概念、性质，以及常见的求不定积分法则，如换元法、分部积分法等。
通过学习本章，学生能够掌握积分和不定积分的概念，并能够灵活运用求积分法则解决实际计算问题。
第四章：定积分与应用在第四章中，我们将进一步深入研究定积分及其应用。
首先介绍了定积分的概念和性质，包括定积分的计算方法和几何意义。
然后，将定积分与应用问题相结合，包括曲线长度、曲线面积、物理应用等。
通过学习本章，学生能够掌握定积分的相关概念和计算方法，并能够运用所学知识解决实际应用问题。
第五章：微分方程微分方程作为高等数学的一个重要分支，具有广泛的应用价值。
高等数学电子教材 习题答案与提示
习题 3． 2
1．
( 1)
4 x3
+ 4xln 4 +
1 xln
4;
(2 )
1 - x2
21
1
-
x3
+ 2
x 2x
; x
(3) 0; (4) 0;
(5 ) tan x + xsec2 x - cos x ;
( 6) 2 xcos x - x2 sin x - csc2 x ; (7 ) ex csc x - (3 + ex ) csc x·cot x;
2． ( 1) x→1 ; (2) x→ - 2 + , x→ + ∞ .
3． ( 1) 0 ;
(2) 0 .
习题 2． 4
1． ( 1) 0 ;
(5) 2;
2． ( 1)
2 3;
(2) 8; (6) 2 x .
1 (2) - 2 ;来自(3) ∞; (3) 0;(4) 2; (4) ∞ .
习题 2． 5
5．
[0 .TIF; E+ ∞) ;1 ,
5 4
,1 ,3
.
6． ( 1) y =
x - 1,
x≥1 , (
-
∞
.T I F; E +
∞);
1 - x, x<1 .
- 1, x< 0,
(2) y=
( - ∞ ,0 )∪ (0 .T IF; E + ∞ ) .
1,
x> 0 .
习题 1． 3
1． ( 1) 偶函数 ; ( 2) 奇函数 ;
(4) ( - 2,3) .
2． ( 1) 不 同 , 对 应法 则 不 同 ;
高等数学电子教本教材教本教本山东农业大学科技学院资料
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0 x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点 x0可导，
等数学》电子教案山东农业大学科技学院
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x)的尖点 (不可导点) .
y
y
y f (x)
o
x
y f (x)
o
x0
x
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例7
讨论函数
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2. 设函数 f ( x)在点 x0连续, 但
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) ,
x x0
x0
x
称函数 f ( x)在点 x0有无穷导数.(不可导)
例如,
y y 3 x 1
f ( x) 3 x 1,
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1)x 11
i(t) lim q dq . t0 t dt
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
高等数学教材高教版pdf
高等数学教材高教版pdf高等数学是大学阶段的一门重要课程，对于培养学生的数学思维能力和逻辑思维能力具有重要作用。
而选择一本好的教材对于学生的学习效果也非常关键。
本文将介绍一本高等数学教材——高教版PDF，并探讨其特点和优势。
高等数学教材高教版PDF是一本以电子书形式发布的高等数学教材。
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高等数学教材(较完整)
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (5)7、双曲函数及反双曲函数 (6)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (10)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
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第一章 函数、极限与连续高等数学是一门研究变量的科学，它的内容和方法广泛应用于自然科学和社会科学的许多领域．函数是高等数学的研究对象，是高等数学中最基本的概念．极限是深入研究函数的基本方法，高等数学中的许多概念、性质和法则都是通过极限方法来建立的．函数的连续性与极限密切相关，连续函数是高等数学中着重研究的一类函数．本章主要介绍函数、极限和函数的连续性等基本概念．我们将在复习函数知识的基础上讨论函数的极限，进而讨论函数的连续性及连续函数的性质．1.1 函数1.1.1实数概述高等数学主要是在实数范围内研究函数，我们先学习一些必须具备的实数知识． 1．实数实数由有理数和无理数两大类组成．有理数包括整数和分数，可以用有限小数和无限循环小数表示．无限不循环的小数是无理数．全体实数构成的集合称为实数集，记作R ．实数通常用数轴上的点来表示，任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的任一点都表示惟一的一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的．2．实数的绝对值实数a 的绝对值记作|a |，定义为|a |＝⎩⎨⎧a ， a ≥0－a ，a ＜0． 例如实数3（3＞0）的绝对值|3|＝3，实数0的绝对值|0|＝0，实数－3（－3＜0）的绝对值|－3|＝－（－3）＝3．|a |表示在数轴上对应a 的点到原点的距离，这就是绝对值的几何意义．由绝对值的定义及几何意义可知，绝对值有以下重要性质：(1) |x |≥0当且仅当x ＝0时等号成立； (2) |－x |＝|x |；(3) |x |≤a (a ＞0)等价于－a ≤x ≤a ； (4) |x |≥a (a ＞0)等价于x ≤－a 或x ≥a ．例1解绝对值不等式|x－1|≤2．解由绝对值的性质得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3．例2解绝对值不等式|x＋1|＞3．解由绝对值的性质得x＋1＜－3或x＋1＞3，则x＜－4或x＞2．3．区间区间可理解为实数集R的子集．区间分为有限区间和无限区间．(1)有限区间：设a，b∈R且a＜b，有限区间在数轴上可以用一条以a、b为端点的线段表示（表1-1），区间闭的一端用实心点表示，开的一端用空心点表示．表1-1以上的区间都是有限区间，实数a和b叫做区间的端点，区间长度为b－a．(2)无限区间：我们规定：符号“∞”表示无穷大，“＋∞”表示正无穷大，“－∞”表示负无穷大．这样不等式x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的解集也可用无限区间表示（表1-2）．表1-2需注意的是，这些区间只有一个端点，另一端对应数轴的无穷远处．实数集R 可以写成区间)(∞+-∞，． 1.1.2函数的概念1．函数的定义我们知道，半径为r 的和圆的面积A 为2πA r = )0(>r ，只要r 取定一个正数值，面积A 就有一个确定的数值与之对应．半径r 变化，面积A 也随之发生变化，上述公式表明了变量r 和A 之间的对应关系．函数就是描述变量之间的对应关系的，其定义如下：设x 、y 是两个变量，D 一个给定的非空数集．如果对于D 中的每一个数x ，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的数值与之对应，则称y 是定义在数集D 上的x 的函数，记作()y f x =，x ∈D ，其中，x 称为自变量，y 称为因变量；数集D 称为函数的定义域．定义域D 是自变量x 的取值范围，也就是使函数()y f x =有意义的数集．当x 取数值0x ∈D 时，称函数()f x 在点0x 处有定义，与0x 对应y 的数值称为函数()f x 在点0x 处的函数值，记作)(0x f ．当x 取遍D 的一切数值时，对应的函数值的全体组成的数集M 称为函数的值域，即{}()M y y f x x D ==∈，．说明：函数)(x f y =中表示对应法则的符号f 也可改用其他字母，例如F 、ϕ等等． 由函数的定义可知，给定定义域D 和对应法则f ，值域M 就相应地被确定了，因此，函数的定义域和对应法则称为函数的两要素．只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才能认为这两个函数是相同的函数．至于变量采用什么样的符号，那是无关紧要的，比如函数)(x f y =，x D ∈和)(t f s =，t D ∈ 表示同一个函数．例3 求下列函数的定义域． （1）211xy -=； （2）)2ln(x y -=．解 （1）要使函数有意义，须使012>-x ，即11<<-x ．则函数的定义域为(11)-， ．（2）要使函数有意义，须使02>-x ，即2<x ．则函数的定义域为(2)-∞， ．研究任何函数都要首先考虑其定义域，函数的定义域是使其有意义的一切实数组成的集合．求函数定义域时，一般需要考虑以下几个方面： （1）分式中，分母不能为零； （2）根式中，负数不能开偶次方根； （3）对数式中，真数大于零；（4）反三角函数式的x arcsin 或x arccos ，要满足1≤x ； （5）在实际问题中应根据问题的实际意义确定． 例4 判断下列每组的两个函数是否表示同一个函数．（1）2ln y x =，2ln x y =； （2）y x =，2t s =．解 （1）因为函数2ln y x =的定义域是)0()0(∞+-∞，， ，而函数2ln y x =的定义域是)0(∞+，，因此两个函数不相同． （2）函数x y =与2t s =的定义域均为)(∞+-∞，，且有相同的对应法则，所以，尽管两个函数的自变量、因变量所用的字母不同，但它们表示同一个函数．例5 设2()23f x x x =-+，求(0)f ，(1)f ，()f x -． 解 这是已知函数的表达式，求函数在指定点的函数值．(0)f 是自变量x 取0时函数()f x 的函数值，为求(0)f ，需将表达式中的换为数值0即可，则2(0)02033f =-⨯+=．同理可得2(1)12132f =-⨯+=，22()()2()323f x x x x x -=--⨯-+=++．例6 设x 为任一实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，[]x y =为取整函数由定义可知，031=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，[]12=，[]π3=，151-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-． 其图形如图1-1所示．2．函数的表示法（1）列表法例7 下表是某家庭2014年每月的用水量，其中Y 表示某家庭月用水量，M 表示2014年间的月份．该表反映了某家庭一年的每月用水量与月份之间的函数关系．这种将一系列自变量x 的数值与对应的函数值y 列成表格表示函数的方法称为列表法．列表法的优点是直观，使用方便，在实际生活中经常使用．（2）图形法用图形表示函数的方法称为图形法．这种方法直观性强，函数的变化一目了然，且便于研究函数的几何性质．（3）公式法圆的面积A 与半径r 之间的函数关系用2πA r =来表示，这种用数学表达式表示函数的方法称为公式法（或解析法）．公式法便于理论分析和计算．在实际应用中，三种方法常常结合使用．例8 绝对值函数f (x )＝|x |＝⎩⎨⎧x ， x ≥0－x ，x ＜0，其图形如图1-2所示． 图1-1例9 符号函数10()sgn 0010x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，，，，其图形如图1-3所示．上述两个函数，自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式表示，这样的函数称为分段函数．1.1.3函数的几种特性1．单调性观察图1-4及1-5中两个函数的图像．在区间)(∞+-∞，，沿着x 轴的正方向看，函数)(x f y =的图形是一条上升的曲线，也就是随着自变量的增加，函数值也增大；而函数()y g x =的图形是一条下降的曲线，也就是随着自变量的增加，函数值反而减小．由此，我们得到函数单调性的定义．设函数)(x f y =在区间I 上有定义．如果对I 内的任意两点1x 和2x ，当21x x <时，都有图1-4图1-3图1-2（1）)()(21x f x f <，则称函数)(x f y =在区间I 上是单调增加的； （2）)()(21x f x f >，则称函数)(x f y =在区间I 上是单调减少的．某区间内单调增加和单调减少的函数统称为该区间内的单调函数．若)(x f 在区间I 上是单调函数，则称区间I 为函数)(x f 的单调区间．由单调函数的定义可知，讨论函数的单调性时，必须指明自变量的所在区间．我们称函数2)(x x f =在)0(∞+，上是单调增加的，在)0(，-∞上是单调减少的． 对于较复杂的函数，如果利用单调函数的定义判断函数在某个区间上的单调性是比较困难的，我们将在第三章中介绍判断函数单调性的一般方法．2．奇偶性 观察函数x x f 1)(=的图像（图1-6）．从图中可以看到，曲线xx f 1)(=关于原点对称，也就是当自变量取一对相反数时，其对应的函数值也互为相反数．当我们观察函数2)(x x f =的图像（图1-7）时会发现，函数2)(x x f =的图像关于y 轴对称，当自变量取一对相反数时，其对应的函数值相等．由此，我们得到函数奇偶性的定义．设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称．如果对于任意的x D ∈，都有 （1）)()(x f x f -=-，则称)(x f y =为奇函数； （2）)()(x f x f =-，则称)(x f y =为偶函数．奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称．（图1-7图1-63．有界性观察函数x x f sin )(=的图像（图1-15）．从图中可以看到，函数x x f sin )(=的图像介于直线1y =-与1y =之间，也就是在区间)(∞+-∞，内， 对于任意的x ，都有1sin ≤x ，这时称x x f sin )(=在区间)(∞+-∞，上是有界函数．从图1-8中可以看到， 在区间)0(∞+，上，函数()ln f x x =的图像向上、向下 都无限延伸，这时称在()ln f x x =区间)0(∞+，上 是无界函数．设函数)(x f y =在区间I 定义，如果存在一个正数M ，使得对任意的I ∈x ，都有()f x M ≤，则称函数)(x f y =在区间I 上是有界函数；否则称函数)(x f y =在区间I 上是无界函数．讨论函数的有界性必须指明所在的区间．如函数xx f 1)(=在区间[]12，内有11≤x ，所以函数x x f 1)(=在[]12，内有界，但函数xx f 1)(=在)10(，内是无界的（图1-6）． 4．周期性我们知道，三角函数都是周期函数．一般地，设函数()f x 的定义域为D ，如果存在一个非零的实数T ，对于任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则称()f x 是周期函数，T 为函数()f x 的周期．如果T 是函数()f x 的周期，那么2T ±，3T ±等都是它的周期．正周期中最小的周期为最小正周期．通常，我们所说的函数的周期，指的是最小正周期．如x y sin =的周期是π2；x y tan =的周期是π.1.1.4反函数对函数2y x =，x 是自变量，y 是因变量．如果从此式中解出x ，得到12x y =．在12x y =中，对于任一个实数y ，都有唯一的一个x 与之对应．因此，12x y =也是一个函数，称之为2y x =的反函数．设函数)(x f y =的定义域为D ，值域为M ．如果对于每一个y M ∈，在D 中有唯一的一个x ，使得()f x y =，这就确定了一个得到一个以y 为自变量，x 为因变量，定义在M 上的函数，这个函数称为)(x f y =的反函数，记作)(1y fx -=，y M ∈．因习惯上x 表示自变量，y 表示因变量，因此)(x f y =的反函数记作)(1x fy -=，x M ∈由反函数的定义可知，如果函数)(x f y =的定义域与值域之间按照对应法则f 建立了一一对应的关系，那么)(x f y =就有反函数．显然，单调函数一定有反函数．而且)(x f y =的定义域D 为其反函数)(1x fy -=的值域，值域M 为其反函数)(1x fy -=的定义域．从图像上看，在同一直角坐标系中，函数)(x f y =与其反函数1()y f x -=的图象关于直线x y =对称（图1-9）．例10 求函数12-=x y ，)(∞+-∞∈，x解 先从12-=x y ，)(∞+-∞∈，x 中解出x )1(21+=y x ， 再交换x 与y 的位置，得所求的反函数为 )1(21+=x y ，)(∞+-∞∈，x ． 1(x )图1-9从上例可以总结出求反函数的步骤： （1）先由原解析式中解出x ；（2）再将x 、y 互换．习题1.11．解下列绝对值不等式：（1）21<-x ； （2）312<+x ； （3）12≥-x ； （4）25≥+x ． 2．判断下列每组的两个函数是否表示同一个函数：（1）1+=x y ，112--=x x y ； （2） 1-=x y ，2)1(-=x y ；（3） x y =，()2x y =； （4）1ln-=x y ，)1ln(21-=x y ． 3．求下列函数的定义域： （1）211x y -=； （2）312-+-=x x y ；（3）)4ln(22x x x y -+--=； （4）)5(log 313x xy -+-=. 4．设3()3f x x x =-，求(0)f ，(1)f ，(1)f -，()f x -． 5．判断下列函数的奇偶性：（1）x x y cos 2=； （2）3224+-=x x y ； （3）x x y sin 3+=； （4）xxy +-=11ln . 6．求下列函数的反函数：（1）13+=x y ； （2）3x y =.1.2 初等函数1.2.1基本初等函数我们学过的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，统称为基本初等函数．1．常数函数C y =（C 为常数），)(∞+-∞∈，x ． 其图形为一条平行或重合于x 轴的直线（图1-10）．2．幂函数a x y =（a 为实数）．幂函数的定义域随a 的取值不同而不同，但不论a 取何值，它在区间)0(∞+，内总是有定义的，且图形均过11(，)点．函数x y =，2x y =，xy 1=，21x x y ==的图形见图1-11．3．指数函数)10(≠>=a a a y x ，，)(∞+-∞∈，x ，)0(∞+∈，y ．如图1-12所示，指数函数的图像过定点)10(，．当1>a 时，是单调增加的；当10<<a 时，是单调减少的．图1-10=x图1-11y =1)4．对数函数)10(log ≠>=a a x y a ，，)0(∞+∈，x ，)(∞+-∞∈，y 对数函数和指数函数互为反函数．该函数过定点)01(，．当1>a 时，是单调增加的；当10<<a 时，是单调减少的, 如图1-13所示．5．三角函数三角函数是下列六个函数的统称，分别为：（1）正弦函数x y sin =，)(∞+-∞∈，x ，]11[，-∈y ，奇函数，周期为π2（图1-14）；（2）余弦函数x y cos =，)(∞+-∞∈，x ，]11[，-∈y ，偶函数，周期为π2（图1-15）；（3）正切函数x y tan =，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x x x ，且2ππR )(∞+-∞∈，y ，奇函数，周期为π（图1-16）；图1-15图1-14图1-13图1-12（4）余切函数x y cot =，{}Z k k x x x ∈≠∈，且πR ，)(∞+-∞∈，y ，奇函数，周期为π（图1-17）；（5）正割函数x x y cos 1sec ==； （6）余割函数xx y sin 1csc ==． 6．反三角函数常用的反三角函数有以下四个：（1）反正弦函数x y arcsin =，]11[，-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2π2π，y （图1-18）； （2）反余弦函数x y arccos =，]11[，-∈x ，π]0[，∈y （图1-19）；（3）反正切函数x y arctan =，)(∞+-∞∈，x ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2π2π，y （图1-20）； （4）反余切函数x y arccot =，)(∞+-∞∈，x ，π)0(，∈y （图1-21）． xx图1-191.2.2复合函数草原发生火灾，假设过火区域是一半径为r 的圆形．在没有开始采取救火措施之前，火势不断蔓延，假设半径r 为时间t 的函数，则被烧毁的草原面积A 通过半径r 成为时间t 的函数()222ππt +1A r ==．函数()22πt +1A =就是由2πA r =和21r t =+复合而成的函数．设函数)(u f y =的定义域为D f ，函数)(x u ϕ=的值域为M ϕ，若f M D ϕ≠∅，则[])(x f y ϕ=称为由)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的复合函数．其中()f u 为外层函数，()x ϕ为内层函数，u 为中间变量．如函数ln y u =，21u x =+，因为12+=x u 的值域)1[∞+，包含在u y ln =的定义域)0(∞+，内，所以u y ln =与12+=x u 可构成复合函数)1ln(2+=x y ．复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合．如函数uy e =、v u sin =和x v =可复合成xy sine =．需要指出的是，并不是任何两个函数都可以复合的．如函数u y ln =和12--=x u ，由于12--=x u 的值域)1(--∞，与u y ln =的定义域），（∞+0无公共部分，故u y ln =和12--=x u 不能构成复合函数．例1 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的？ （1）x y sin ln =； （2）xy -=e．解 （1）lnsin y x =是由u y ln =，x u sin =复合而成的； （2）xy -=e是由uy e =，x u -=复合而成的．1.2.3初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数．例如：32ln x y =，xy 1arctan1+=等都是初等函数，而分段函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤-=，，，，，，2122sin 21)(x x x x x x x f 就不是初等函数．例2 将下列函数按基本初等函数的复合与四则运算形式分解：（1）)1ln(2x x y ++=； （2）121cos -⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y ．解（1）令21x x u ++=，则u y ln =；又令21x v +=，则得到v x u +=，于是)1ln(2x x y ++=由下列函数构成：u y ln =，v x u +=，21x v +=．（2）令x x u 1cos 2=，则1-=u y ；令x v 1=，则v x u cos 2=，于是121cos -⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 由下列函数构成：1-=u y ，v x u cos 2=，xv 1=．习题1.21．写出下列复合函数：（1）uy 3=，12+=x u ； （2）u y ln =，12-=x u ；（3）u y =，21x u +=； （4）u y sin =，xu 1=； （5）uy e =，2v u =，x v sin =； （6）u y arctan =，v u =，12+=x v ．2．指出下列函数是怎样复合而成的：（1）)1ln(-=x y ； （2）xy 32=； （3）5)12(+=x y ； （4）xy 1sine=．3．将下列函数按基本初等函数的复合与四则运算形式分解：（1）323x y +=； （2）32)21(x x y ++=；（3）31sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x； （4）21cos x y -=．1.3 极限1.3.1数列的极限1．数列在《庄子·天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”之说．每天截下的木棰的长度为12，14，18，…，12n ，…．这样得到的一列数就构成一个数列．按正整数顺序排成的一列数称为数列，记作{}n x ．数列中的每一个数为数列的项，第n 项为通项．如上面数列的通项12n n x =，可记作数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．数列1，2，3，… n ，…的通项n x n =，记作{}n2．数列的极限 观察数列21，41，81，…，12n ，… 不难看到，当n 无限增大时，数列的通项12n 无限接近于0．由此，我们得到数列极限的定义．若当n 无限增大时，数列{}n x 无限接近于一确定的常数A ，则称常数A 为数列{}n x 的极限（或数列{}n x 收敛于A ），记作lim n n x A →∞= （∞→n 时，n x A →）．如果不存在这样的常数A ，则称该数列的极限不存在，亦称该数列发散．例1 观察下面数列{}n x 的变化趋势，并写出它们的极限．（1）nn x n 1+=； （2）(1)12n n x -+=；（3）4=n x ； （4）2nn x =． 解 （1）数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项依次为2，23，34，45……，当n 无限增大时，n x 无限接近于1，所以11lim=+∞→nn n ．（2）数列(1)12n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭的各项依次为0，1，0，1，……，当n 无限增大时，n x 在0与1之间来回摆动，不可能无限接近于一个常数， 所以lim n n x →∞不存在．（3）数列{}4为常数数列，无论n 取怎样的正整数，n x 始终为4，所以44lim =∞→n ．（4）数列{}2n各项依次为2，4，8，16……，当n 无限增大时，2n的值越来越大，不可能接近于一个常数，所以lim n n x →∞不存在．对数列{}2n来说，当n 无限增大时，数列{}2n的各项取正值且无限增大．这种数列虽无极限，却有一定的变化趋势．针对这种情况，我们借用极限的形式来表示数列的变化趋势，记作lim 2n n →∞=+∞（或∞→n 时，2n →+∞），并称称其极限为正无穷大从上面的例子可以看出： （1）并非所有数列都有极限．（2）一个常数数列的极限等于这个常数本身，即C C n =∞→lim （C 为常数）．1.3.2函数的极限1．当∞→x 时，函数)(x f y =的极限观察函数xx f 1)(=的图像（图1-7）,可以发现当x 的绝对值无限增大时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数0，这时我们称常数0为当∞→x 时函数xx f 1)(=的极限．（1）当∞→x 时，函数)(x f y =的极限设函数)(x f y =在a x >时有定义（0a >），如果当自变量x 的绝对值无限增大时，函数)(x f y =无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当∞→x 时函数)(x f y =的极限，记作lim ()x f x A →∞=(或当∞→x 时，()f x A →)．（2）当x →+∞及x →-∞时，函数)(x f y =的极限观察函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21和xy 2=的图像（图1-22）．当+∞→x 时，函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21无限地接近于一个确定的常数0，而当-∞→x 时，函1-22数xy 2=无限地接近于一个确定的常数0．由此，我们可以得到以下两个定义；设函数)(x f y =在x a >时有定义（0a >），如果当自变量x 无限增大时，函数)(x f y =无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当x →+∞时，函数)(x f y =的极限，记作lim ()x f x A →+∞=(或当x →+∞时，()f x A →)．设函数)(x f y =在x a <-时有定义（0a >），如果0x x <且无限增大时，函数)(x f y =无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当x →-∞时，函数)(x f y =的极限，记作lim ()x f x A →-∞=(或当x →-∞时，()f x A →)．由上述定义可得如下结论lim ()x f x →∞存在的充要条件是lim ()x f x →+∞与lim ()x f x →-∞都存在且相等，即lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==．例2 讨论下列函数当∞→x 时的极限．（1）xy 1=； （2）x y arctan =． 解：（1）当x 无限增大时，x1无限接近于0， 所以x x 1lim ∞→=0．（2）由x y arctan =的图形（图1-20）知：2πarctan lim =+∞→x x ，2πarctan lim -=-∞→x x ， 因x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→≠，所以x x arctan lim ∞→不存在．2．当0x x →时，函数)(x f y =的极限 （1）当0x x →时，函数)(x f y =的极限先考察当1→x 时，函数xy 2=的变化趋势，当x 从1的左右两旁无限接近于1时，曲线x y 2=上无限接近于点(12)，，即函数xy 2=的值无限接近于常数2，所以22lim 1=→x x ．(如图1-23)设函数)(x f y =在0x 的附近有定义，如果当x 无限趋近于0x 时，)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 当0x x →时函数)(x f 的极限，记作lim ()x x f x A →=或当0x x →时，()f x A →．（2）当0x x -→ 及0x x +→时，函数)(x f y =的极限分段函数在分段点的左右两侧的表达式不同，还有些函数只在某个点的一侧有定义，函数在这样的点处的极限只能从单侧讨论．设函数)(x f y =在点0x 的附近有定义，若当自变量x 从0x 的左（右）近旁无限接近于0x ，记作-→0x x （+→0x x ）时，函数)(x f y =无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为0x x →时的左（右）极限，记作0lim ()x x f x A -→=或0(0)f x A -=（0lim ()x x f x A +→=或0(0)f x A +=）．左极限与右极限统称单侧极限．由函数)(x f y =在点0x 处的极限及在该点处的左右极限可得如下结论：lim ()x x f x A →=的充要条件是=-→)(lim 0x f x x 0lim ()x x f x A +→=．从定义中可以看出：（1）定义中不要求)(x f 在点0x 处有定义；（2）由于分段函数在分段点0x 的两侧往往有不同的表达式，因此在讨论分段函数)(x f 在0x x →的极限时，需要先讨论函数在0x 的左极限和右极限，然后再利用函数极限与左、右极限的关系，判定函数的极限是否存在．例3 考察当1x →时，函数211x y x -=-的变化趋势，并求1x →时的极限．解 从函数211x y x -=-的图形（图1-24）可知，当x 从1的左、右两旁无限趋近于1时，函数211x y x -=-的值无限趋近于常数2，所以2111lim lim(1)21x x x x x →→-=+=-． 例4 讨论下列函数当0→x 时的极限．（1）10()sgn 0010x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，，，，，； （2）10()10x x f x x x +⎧=⎨<⎩，≥，-，．解 （1）由图1-3可以看出，11lim sgn lim 00==++→→x x x ，1)1(lim sgn lim 0-=-=--→→x x x ，所以x x sgn lim 0→不存在．（2）由图1-25可以看出，1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ，1)1(lim )(lim 00=-=--→→x x f x x ，所以1)(lim 0=→x f x ．习题1.31．观察下面数列的变化趋势，并写出它们的极限：（1）ny 1011-=； （2）11+-=n n y ； （3）n y n 1)1(-=； （4）1+=n ny ．2．观察并写出下列函数的极限： （1）21limx x ∞→； （2）xx 2lim -∞→； 图1-24图1-25（3）xx ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→101lim ； （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x 12lim ；（5）x x 4lim →； （6）24lim 2--→x x x ．3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<-=，，，，，，111001)(2x x x x x x f（1）函数)(x f 在0=x 处的左、右极限是否存在？ （2）函数)(x f 在0=x 处的极限是否存在？ （3）函数)(x f 在1=x 处的极限是否存在？1.4 无穷小与无穷大在函数极限中，有两种特殊情形：一种是函数的绝对值“无限变小”；一种是函数的绝对值“无限变大”．由于它们在理论上和应用上的重要性，下面分别研究它们．1.4.1无穷小1．无穷小的概念当0x →时，函数2()0f x x =→；当∞→x 时，函数1()0f x x=→，这两个函数有一个共同的特点：在自变量的某种变化趋势下以0为极限，这时我们称之为无穷小．若函数)(x f 在自变量x 的某一变化过程中以零为极限，则称函数)(x f 为这一变化过程中的无穷小量，简称为无穷小．例如因0)1(lim 21=-→x x ，则函数2)1()(-=x x f 是当1→x 时的无穷小．理解无穷小量时应注意以下几点：（1）无穷小是用极限来定义的，因此，说某个函数是无穷小时，必须指明自变量的变化趋势．比如函数2x y =是当0→x 时的无穷小量，但1→x 当时，12→=x y ，不是无穷小量．（2）无穷小是极限为0的函数，不是一个很小的数．常数中只有“0”可以看成无穷小，这是因为lim00=．例1 指出下列函数在自变量怎样的变化趋势下是无穷小量？（1）()2xf x =； （2）()ln f x x =．解 （1）由()2x f x =的图像可知，lim 20x x →-∞=．所以，当x →-∞时，()2xf x =是无穷小量．（2）由()ln f x x =的图像可知，1limln 0x x →=．所以，当1x →时，()ln f x x =是无穷小量．2．无穷小的性质性质1 有限个无穷小的代数和为无穷小． 性质2 有限个无穷小的乘积为无穷小． 性质3 有界变量与无穷小的乘积为无穷小． 例2 求)sin (lim 3x x x +→．解：因为0→x 时，3x 和x sin 都是无穷小，由性质1知,x x sin 3+是0→x 的无穷小，所以0)sin (lim 30=+→x x x ．例3 求xxx sin lim∞→．解： 因为01lim =∞→xx ，而1sin ≤x 即x sin 有界, 由无穷小的性质2得0sin lim =∞→xx x ． 1.4.2无穷大我们知道，当x 从左右两侧无限趋近于0时，函数1()f x x=的绝对值无限增大；当x →-∞时，函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的绝对值也无限增大．如果在自变量x 的某一变化过程中，函数)(x f 的绝对值无限增大，则函数)(x f 称为在自变量x 的这一变化过程中的无穷大量，简称为无穷大，记为∞=∞→→)(lim )(0x f x x x ．例如因+∞=∞→2lim x x ，所以2)(x x f =是当∞→x 时的无穷大．理解无穷大量时，应注意以下几点：（1）无穷大是绝对值无限增大的函数，不是一个很大的数．（2）无穷大与自变量的变化趋势相关．因此，说某个函数是无穷大时，必须指明自变量的变化趋势．（3）我们借用了极限的符号来表示无穷大，并不表示无穷大量的极限存在．由极限的定义可知，无穷大量是极限不存在的情形．例4 指出下列函数在自变量怎样的变化趋势下是无穷大量？（1）()2xf x =； （2）()ln f x x =．解 （1）由()2x f x =的图像可知，lim 2x x →+∞=+∞．所以，当x →+∞时，()2xf x =是无穷大量．（2）由()ln f x x =的图像可知，0lim ln x x -→=-∞，lim ln x x →+∞=+∞．所以，当0x -→及x →+∞时，()ln f x x =都是无穷大量．2．无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的定义可知，二者之间有如下关系： 在自变量的同一变化过程中， （1）若)(x f 为无穷大，则)(1x f 为无穷小； （2）若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1x f 为无穷大． 例如，0→x 时，2x 是无穷小，而21x 是无穷大；当+∞→x 时，x e 是无穷大，xxe 1e =-是无穷小．习题1.41．选择题：（1）当∞→x 时，下列变量中是无穷小量的是（ ）． （A ）x1； （B ）x cos ； （C ）22x ； （D ）xe ． （2）当0x →时，下列变量中是无穷大量的是（ ）．（A ）x1； （B ）sin x ； （C ）2x ； （D ）2e ． （3）=→xx x 1sin lim 0（ ）．（A ）0； （B ） 1； （C ）1-； （D ）不存在． 2．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？在自变量怎样变化时是无穷大？ （1）1)(2-=x x f ； （2）2)(+=x xx f ． 3． 求下列极限： （1）x x x sin lim ∞→； （2）xxx arctan lim ∞→．1.5 极限的运算法则我们已经讨论了函数极限的概念，本节先介绍极限的四则运算法则，以便求解较复杂函数的极限，后面我们还将介绍其他求极限的方法．定理 设lim ()f x A =，lim ()g x B =,则（1）[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x A B ±=±=±； （2）[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x AB ==；（3）lim ()()lim()lim ()f x f x Ag x g x B==(0)B ≠． 说明：1.上述运算法则对于其他情形也成立．2.法则（1）、（2）可以推广到有限个具有极限的函数的情形．3.对于数列极限也是有类似的四则运算法则． 推论 设)(lim x f 存在，C 为常数，n 为正整数，则 （1）[]lim ()lim ()Cf x C f x =；（2）[][]nnx f x f )(lim )(lim =．定理给极限求解带来极大方便，但运用定理时要注意定理的条件，尤其是在除法运算中，分母的极限不为零.例1 求)53(lim 22+-→x x x ．解 )53(lim 22+-→x x x 5lim 3lim lim 2222→→→+-=x x x x x ()5lim 3lim 222+-=→→x xx x52322+⋅-=3=． 由该题计算结果可知，一般地，对多项式n n n n n a x a x a x a x p ++++=--1110)( （其中n a a a ，，10是常数，n 为正整数），有)()(lim 00111000x P a x a x a x a x P n n n n n n x x =++++=--→ ．例2 求1532lim 231+-+-→x x x x ．解 因分母的极限07)15(lim 21≠=+--→x x x由商的运算法则，得71)15(lim )32(lim 1532lim2131231=+-+=+-+-→-→-→x x x x x x x x x ． 例3 求211lim23x x x x →++-． 解 易看出，分母的极限为0，不能用商的极限法则，但分子的极限为2≠0，可将分式取倒数后用商的极限法则，即21230lim 012x x x x →+-==+． 由无穷小与无穷大的关系可知211lim23x x x x →+=∞+-．一般地，设()f x 是有理分式mm m m nn n n m n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x f ++++++++==----11101110)()()( ， （1）若0)(0≠x Q m ，则有)()()()(lim )(lim )(lim 000000x f x Q x P x Q x P x f m n m x x n x x x x ===→→→；（2）若0()0m Q x =，则有lim ()x x f x →=∞．例4 求321lim 221-+-→x x x x ．分析 当1x →时，分子，分母的极限均为0，我们称它为00型未定式．00型未定式不能用商的极限的运算法则．观察分式的分子和分母，都有一个极限为0的公因子)1(-x ：)1)(1(12+-=-x x x ，)3)(1(322+-=-+x x x x ．因此，可通过约去这个不为零的公因子后再求极限．解 214231lim )3)(1()1)(1(lim 321lim 11221==++=+-+-=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ． 从上例可以看出，求00型未定式极限常用的方法是：先将函数的分子，分母因式分解，然后约去公共的“零因子”，最后代入求函数值．例5 求7552lim 22-+-∞→x x x x ．解 因为∞→x 时，分子与分母的极限都为无穷大，故不能用商的极限法则．可先将分子与分母同时除以2x ，再求解．52715lim 12lim 71512lim 7552lim 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-=-+-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x x x ．例6 求13572lim 252--++∞→x x x x x ．解 先将分子与分母同时除以5x ，再求极限，得13572lim 252--++∞→x x x x x 53543113572limxx x x x x --++=∞→030==． 例7 求573125lim 223+-+-∞→x x x x x ．解 用3x 除分子与分母，并利用例4的思路，573125lim 223+-+-∞→x x x x x 323573125lim xx x x x x +-+-=∞→∞=． 根据例5、例6、例7，可得如下一般结论：若mm m m nn n n m n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x f ++++++++==----11101110)()()( ，则 )()(lim )(lim x Q x P x f mn x x ∞→∞→==⎩⎨⎧a 0b 0， n ＝m 0， n ＜m ∞， n ＞m．求分式的极限时，若分子、分母的极限都是无穷大∞，通常称这种极限为∞∞型未定式．例5、例6、例7都是∞∞型未定式． 例8 求⎪⎭⎫⎝⎛---→121lim 21x x xx ．分析 当1→x 时，∞→-1x x ，∞→-122x ．而∞-∞不能运算，此种极限称为∞-∞型未定式．对这种极限，可先通分化简，再求极限．解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---→121lim 21x x xx 12)1(lim 21--+=→x x x x 12lim 221--+=→x x x x )1)(1()2)(1(lim 1+-+-=→x x x x x 12lim1++=→x x x 23=．习题1.51．求下列极限：（1）2lim(23)x x x →-+ （2）21lim(321)x x x →-+（3）212lim 3x x x →-+ （4）24lim 22--→x x x ；（5）223lim 22-+-→x x x x ； （6）64lim 222-+-→x x x x ；（7）32553lim 22-++-∞→x x x x x ； （8） 232lim 23x x x →+∞-+（9）21lim 3x x x →+∞-+； （10）xx x x x sin sin lim +-∞→；（11）2214lim 24x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （12）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→1311lim 221x x x x ； （13）xx x --→11lim； （14）321lim3--+→x x x ．2．已知432lim23=-+-→x kx x x ，求k 值． 1.6 两个重要极限1.6.1第一重要极限1sin lim0=→xxx当x 的绝对值逐渐变小时，我们来考察x x sin 的变化趋势．当0→x 时，直接计算xxsin 的函数值得下表：表1-3函数sin ()xf x x=的图像如图（1-26）所示．可见，当0→x 时，xxsin 的值无限接近于1．根据极限的定义，有1sin lim0=→xxx ．例1 求xxx tan lim 0→．解 这是00型未定式．考虑到sin tan cos x x x=，可以利用第一重要极限与极限运算的乘积法则，有x x x tan lim0→0sin 1lim cos x x x x →=0sin 1lim cos x x x x →=00sin 1lim lim cos x x x x x →→=111==． 例2 求x xx 3sin lim 0→．解 由于xxx x 33sin 33sin =， 令t x =3，当0→x 时，0→t ．由第一个重要极限得x x x 3sin lim0→x x x 33sin 3lim 0→=3sin lim 30==→t t t ． 从上例可以看出，若将极限1sin lim 0=→xxx 中的自变量x 换成x 的函数)(x ϕ，则有公式1)()(sin lim0)(=→x x x ϕϕϕ．例3 求20cos 1limxxx -→． 解 20cos 1lim x x x -→2202sin 2limx x x →=22022sin lim 21⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x 2022sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x 21=． 例4 求330)(sin sin lim x x x →．解 330)(sin sin lim x x x →33330)(sin sin lim x x x x x →=330330)(sin lim sin lim x x x x x x →→=1=．。
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大一下学期高等数学教材pdf 在大一下学期的高等数学课程中，教材是我们学习的核心资源之一。
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在这些网站上，我们可以找到高等数学教材的PDF或其他电子格式的版本。
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学生通过登录教务系统，可以访问课程相关的学习资源，包括教材PDF。
这是一个非常方便和快捷的方式，学生可以随时随地获取到所需的教材。
三、专业网站和论坛除了学校提供的资源，我们还可以到一些专业网站和论坛上寻找高等数学教材的PDF版本。
这些网站和论坛通常有很多学术资源的分享和下载，包括各类教材。
通过在搜索引擎中输入相关的关键词，我们可以找到一些专门分享教材资源的网站和论坛。
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高等数学教材下册第七版pdf
高等数学教材下册第七版pdf 高等数学是大学数学中的一门重要课程，它对培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力起着至关重要的作用。
而高等数学教材则是学生们学习这门课程的主要工具和参考资料之一。
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二、内容特点1. 综合性：该教材全面覆盖了高等数学课程下册的内容，包括极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学等多个主题，能够帮助学生全面地理解和掌握这些概念和理论。
2. 难度适中：教材在编写过程中充分考虑到大学本科学生的学习特点和能力水平，难度设置适中，既可以满足学生对基本概念和理论的学习需求，又能够培养学生的数学思维和分析问题的能力。
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3. 便携性：相比于传统的纸质教材，PDF版教材可以随时随地携带，不受空间和重量的限制，方便学生随时翻阅和学习。
四、获取途径目前，高等数学教材下册第七版PDF版可以通过以下途径进行获取：1. 学校教务处或图书馆：大部分高校的教务处或图书馆都会提供电子教材资源，学生可以向相关机构咨询获取途径。
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。