数值分析实验一——拉格朗日插值算法报告

拉格朗日插值算法的实现
实验报告
姓名：** 年级：****专业：计算机科学与技术科目：数值分析题目：拉格朗日插值算法的实现
实验时间: 2014年5月27日实验成绩: 实验教师:
一、实验名称：拉格朗日插值算法的实现
二、实验目的：
a. 验证拉格朗日插值算法对于不同函数的插值
b. 验证随着插值结点的增多插值曲线的变化情况。

三、实验内容：
拉格朗日插值基函数的一般形式：
也即是：
所以可以得出拉格朗日插值公式的一般形式：
其中，
n=1时，称为线性插值，P1(x) = y0*l0(x) + y1*l1(x)
n=2时，称为二次插值或抛物插值，精度相对高些,P2(x) = y0*l0(x) + y1*l1(x) + y2*l2(x)
四、程序关键语句描写
double Lagrange(int n,double X[],double Y[],double x)
{
double result=0;
for (int i=0;i<n;i++)
{
double temp=Y[i];
for(int j=0;j<n;j++)//插值基函数乘以相应的y值
{
if(i!=j)
{
temp=temp*(x-X[j]);
temp=temp/(X[i]-X[j]);
}
}
result+=temp;
}//求出Pn(x)
return result;
}
五、实验源代码：
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main()
{
double Lagrange(int n,double X[],double Y[],double x); //插值函数double x;//要求插值的x的值
double result;//插值的结果
char a='n';
double X[20],Y[20];
do
{
cout<<"请输入插值次数n的值："<<endl;
int n;
cin>>n;
cout<<"请输入插值点对应的值及函数值（xi,yi）:"<<endl;
for(int k=0;k<n;k++)
{
cin>>X[k]>>Y[k];
}
cout<<"请输入要求值x的值："<<endl;
cin>>x;
result=Lagrange(n,X,Y,x);
cout<<"由拉格朗日插值法得出结果："<<result<<endl;
cout<<"是否要继续？yes or no:";
cin>>a;
}while(a=='yes');
return 0;
}
double Lagrange(int n,double X[],double Y[],double x) {
double result=0;
for (int i=0;i<n;i++)
{
double temp=Y[i];
for(int j=0;j<n;j++)//插值基函数乘以相应的y值
{
if(i!=j)
{
temp=temp*(x-X[j]);
temp=temp/(X[i]-X[j]);
}
}
result+=temp;
}//求出Pn(x)
return result;
}
六、实验用测试数据和相关结果：
1、线性插值：书上例2。

2、抛物插值：书上例3。

3、三次插值：
七、实验体会
对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他设备中直接读出来的，f(x)只是一个数学概念意义下的函数。

（比如：图像的方法处理，天气预报，机床加工等方面）解答这类问题的方法就是插值方法。

泰勒插值要求提供f(x)在点x0处的各阶导数值，这项要求很苛刻，函数f(x)的表达式
必须相当简单才行。

如果仅仅给出一系列节点上的函数值f(x
i ) = y
i
(i=0,1,2…,n),则插值
问题可表述如下：求作 n 次多项式 P
n (x)，使满足条件P
n
(x)= y
i
，i = 0，1，…，n 。

这就
是所谓拉格朗日（ Lagrange）插值。

通过本次实验，我不仅学会了如何用程序实现拉格朗日插值的算法，而且更深刻的理解了拉格朗日插值的原理及方法。