实验一拉格朗日插值Maab实验报告

拉格朗日插值龙格现象的matlab实现

拉格朗日插值法在实践中的应用
在数值分析中的应用
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插值法：拉格朗日插值法是数值分析中常用的插值方法之一，具有简单易行、计算量小等优点。
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数据拟合：拉格朗日插值法可以用于数据拟合，通过对已知数据进行插值，得到未知数据的近似值。
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数值微积分：拉格朗日插值法在数值微积分中也有广泛应用，例如在求解函数的导数、积分等运算时，可以利用拉格朗日插值法进行近似计算。
龙格现象
龙格现象的定义
定义：当插值多项式的阶数过高时，插值结果可能变得不可预测或出现剧烈振荡
解决方法：在实际应用中，应避免使用过高的插值多项式阶数，而应选择合适的阶数以保证插值结果的稳定性和准确性
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原因：由于高阶插值多项式对数据点的敏感性增强，导致插值结果不稳定
拉格朗日插值龙格现象的 Matlab实现
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拉格朗日插值法
插值法的定义
插值法是一种数学方法，通过已知的离散数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在数据点处的取值等于已知的数据点值。
算法收敛性：在某些情况下，龙格现象可能导致算法收敛速度减慢，增加计算时间和计算成本。
实际应用限制：由于龙格现象的存在，某些数值方法在实际应用中可能受到限制，无法处理某些复杂问题。
算法改进需求：为了克服龙格现象的影响，需要研究和发展新的数值方法和算法，提高数值计算的稳定性和精度。
拉格朗日插值法在Matlab中的实现

插值法实验报告

插值法实验报告插值法实验报告一、引言插值法是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计在其他位置的函数值。

它在科学计算、图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。

本实验旨在通过实际操作，深入理解插值法的原理和应用。

二、实验目的1. 掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理和计算方法；2. 通过实验比较不同插值方法的精度和效率；3. 分析插值法在实际问题中的应用。

三、实验步骤1. 收集实验数据：在实验室内设置几个测量点，记录它们的坐标和对应的函数值；2. 使用拉格朗日插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；3. 使用牛顿插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；4. 比较不同插值方法的精度和效率：通过计算误差和运行时间，比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的性能差异；5. 分析插值法在实际问题中的应用：结合实验结果，探讨插值法在实际问题中的优势和局限性。

四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法的计算结果：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；2. 牛顿插值法的计算结果：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；3. 误差分析：比较插值结果与真实函数值之间的误差，分析误差的来源和影响因素；4. 运行时间分析：比较不同插值方法的运行时间，分析其效率和适用场景。

五、实验结论1. 拉格朗日插值法和牛顿插值法都是常用的插值方法，它们在不同场景下有各自的优势；2. 插值法在实际问题中的应用需要考虑数据的分布、函数的性质和计算效率等因素；3. 本实验结果表明，拉格朗日插值法和牛顿插值法在精度和效率上存在差异，具体选择哪种方法应根据实际需求进行权衡。

六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了插值法的原理和应用。

实验结果表明，插值法在科学计算和工程设计中具有重要的作用。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求和数据的特点选择合适的插值方法，以达到更好的效果。

MATLAB数值实验一(数据的插值运算及其应用完整版)

佛山科学技术学院实验报告课程名称数值分析实验项目插值法与数据拟合专业班级机械工程姓名余红杰学号 10 指导教师陈剑成绩日期月日一、实验目的1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和三次样条插值等基本插值方法；2、讨论插值的Runge 现象3、学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。

二、实验原理1、拉格朗日插值多项式2、牛顿插值多项式3、三次样条插值三、实验步骤1、用MATLAB 编写独立的拉格朗日插值多项式函数2、用MATLAB 编写独立的牛顿插值多项式函数3、用MATLAB 编写独立的三次样条函数（边界条件为第一、二种情形）4、已知函数在下列各点的值为：根据步骤1,2,3编好的程序，试分别用4次拉格朗日多项式4()L x 、牛顿插值多项式4()P x 以及三次样条函数()S x (自然边界条件)对数据进行插值，并用图给出｛(,),0.20.08,0,1,2,,10i i i x y x i i =+=｝，4()L x 、4()P x 和()S x 。

5、在区间[-1,1]上分别取10,20n =用两组等距节点对龙格函数21(),(11)125f x x x=-≤≤+作多项式插值，对不同n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。

6、下列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。

（1）用这9个点作8次多项式插值8()L x 。

（2）用三次样条（第一边界条件）程序求()S x 。

7、对于给函数21()125f x x =+在区间[-1,1]上取10.2(0,1,,10)i x i i =-+=，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第5题的结果比较。

四、实验过程与结果：1、Lagrange 插值多项式源代码：function ya=lag(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 ya=0; mu=1; %初始化%循环方式求L 系数，并求和： for i = 1:length(y) for j = 1:length(x) if i ~= jmu = mu * (xa - x(j) ) / ( x(i) - x(j) ); else continue end endya = ya + y(i) * mu ; mu = 1; end2、Newton 源代码：function ya = newton(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 %建立系数零矩阵D 及初始化：D = zeros(length(x)-1);ya = y(1);xi = 1;%求出矩阵D，该矩阵第一行为牛顿插值多项式系数：for i=1:(length(x)-1)D(i,1) = (y(i+1) -y(i))/(x(i+1) -x(i));endfor j=2:(length(x)-1)for i=1:(length(x)-j)D(i,j) = (D(i+1,j-1) - D(i,j-1)) / (x(i+j) - x(i)); endend%xi为单个多项式（x-x(1))(x-x(2))...的值for i=1:(length(x)-1)for j=1:ixi = xi*(xa - x(j));endya = ya + D(1,i)*xi;xi = 1;end3、三次样条插值多项式（1）（第一边界条件）源代码：function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x) _____________(1)%第一类边界条件下三次样条插值；%xi 所求点；%yi 所求点函数值；%x 已知插值点；%y 已知插值点函数值；%f_0左端点一次导数值；%f_n右端点一次导数值；n = length(x0);z = length(y0);h = zeros(n-1,1);k=zeros(n-2,1);l=zeros(n-2,1);S=2*eye(n);for i=1:n-1h(i)= x0(i+1)-x0(i);endfor i=1:n-2k(i)= h(i+1)/(h(i+1)+h(i));l(i)= 1-k(i);end%对于第一种边界条件：k = [1;k]; _______________________(2)l = [l;1]; _______________________(3)%构建系数矩阵S：for i = 1:n-1S(i,i+1) = k(i);S(i+1,i) = l(i);end%建立均差表：F=zeros(n-1,2);for i = 1:n-1F(i,1) = (y0(i+1)-y0(i))/(x0(i+1)-x0(i));endD = zeros(n-2,1);for i = 1:n-2F(i,2) = (F(i+1,1)-F(i,1))/(x0(i+2)-x0(i));D(i,1) = 6 * F(i,2);end%构建函数D：d0 = 6*(F(1,2)-f_0)/h(1); ___________(4)dn = 6*(f_n-F(n-1,2))/h(n-1); ___________(5)D = [d0;D;dn]; ______________(6)m= S\D;%寻找x所在位置，并求出对应插值：for i = 1:length(x)for j = 1:n-1if (x(i)<=x0(j+1))&(x(i)>=x0(j))y(i) =( m(j)*(x0(j+1)-x(i))^3)/(6*h(j))+...(m(j+1)*(x(i)-x0(j))^3)/(6*h(j))+...(y0(j)-(m(j)*h(j)^2)/6)*(x0(j+1)-x(i))/h(j)+... (y0(j+1)-(m(j+1)*h(j)^2)/6)*(x(i)-x0(j))/h(j) ; break;else continue;endendend（2）（自然边界条件）源代码：仅仅需要对上面部分标注的位置做如下修改:__(1):function y=yt2(x0,y0,x)__(2):k=[0;k]__(3):l=[l;0]__(4)+(5):删除—(6):D=[0:D:0]4、——————————————PS:另建了一个f方程文件，后面有一题也有用到。

拉格朗日插值法C语言的实现(实验报告)

3.程序流程：
（1）输入已知点的个数；（2）分别输入已知点的 X 坐标；（3）分别输入已知点的 Y 坐标；（4）通过调用函数 lagrange 函数，来求某点所对应的函数值。
拉格朗日插值多项式如下：
L n ( x j ) yk lk ( x j ) y j j 0,1, ……n
1、进一步熟悉拉格朗日插值法。 2、掌握编程语言字符处理程序的设计和调试技术。
【实验内容】（题目）作出插值点（-2.00，0.00），（2.00，5.00），（5.00，6.00）的二次 Lagrange 插值多项式 L2 （x），并计算 L2 (-1.2), L2 (1.2)。解题思路：
k 0 n
其中 lk ( x )
( x x0 )……(x-x k-1 )(x-x k+1 )……(x-xn ) ( xk x0 )……(xk -xk-1 )(xk -xk+1 )……(xk -xn )
k 0,1, …… ,n
程序流程图：
开始
↓
输入已知点个数 n
↓
输入已知点的 X 坐标以及输入已知点的 Y 坐标
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韩山师范学院
C 语言程序设计
printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); }

数值分析实践报告-matlab

数值计算实践数值实验报告院(系、部)：数理系姓名：夏赞勋０８１628学号:班级：科082指导教师: 徐红敏20１1年01月14日北京科082 夏赞勋（081628）北京石油化工学院数理系拉格朗日插值法拉格朗日插值法基本原理:通过平面上不同两点可以确定一条直线,这就是拉格朗日线性插值问题,对于不在同一条直线的三个点得到的插值多项式则为抛物线。

拉格朗日插值的基多项式（即基函数)为:n i x x ••x •x x l ij j ji i i ,,2,1,0,)(0 =--=∏≠=有了基函数以后就可以直接构造如下多项式：∑==ni i i n x l x f p 0)()(该多项式就是拉格朗日插值法所求得的插值多项式.拉格朗日插值法算法：1、根据所给点),(i i y x 的坐标依次写出其差值基函数(用for 循环可以轻易解决）n i x x ••x •x x l ij j ji i i ,,2,1,0,)(0 =--=∏≠=2、将差值基函数与其对应的点的函数值相乘得：n i x l x f i i ,,2,1,0),()( =3、将2中各项累加即得差值多项式:∑==ni i i n x l x f p 0)()(拉格朗日插值法程序:ｆu ｎct ｉon lag ｒange （A)％Ａ为一个只有两行的矩阵，第一行为插值点，第二行为插值点对应的函数值[m,ｎ]=ｓiz ｅ（A)； f=1;p=０；%两个用到的变量syms xｆoｒ i=1:nf=（x—A（1，i))*f;endfor j=1:nｇ（j)＝f/(x-A(1,j));％求插值基函数的分母h(j）=subｓ（g（j)，x,A(１，ｊ）);%求插值基函数的分子s（j）=g(j)/h（j)＊A(2,ｊ);%插值基函数enｄfoｒ k=１：nｓ(j)=cｏllｅct(s(j)）；%合并同类项endfoｒ i=１:ｎp=p+s（i）;ｅndｆpｒｉｎtf(’拉格朗日插值法可得多项式:')collect（p）％可用lagranｇｅ（[１３ 6 8；4 6 9 12])调试例:有如下表格中有四个插值点及其对应的函数值,用lagｒange插值法写出其三次插值多项式:解:在ｍａtlaｂ命令窗口输入:lagraｎge(［1 3 6 8；４ 6 9 １2］)可得运行结果:拉格朗日插值法可得多项式:ａns =x^3/7０－ x^2／7 + （９7*x)/70 + ９6/35ﻬ牛顿插值法牛顿插值法基本原理:拉格朗日插值多项式的理论在许多方面都有应用，是很不错的一种方法,但就插值问题而言,如果增加一个插值点，原先计算插值的多项式就没有用了，即拉格朗日插值法的继承性很差，牛顿插值法就很好地解决了这个问题,具有很好的继承性。

实验报告数值分析

《数值分析》实验报告姓名：学号：专业：指导教师：刘建生教授日期： 2015年12月25日实验一 Lagrange/newton 插值一：对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==L 。

试用Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。

数据如下：求计算(0.596)f ,(0.99)f 的值（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈,(0.99) 1.05423f ≈ ）试构造Lagrange 多项式6L ()x ，计算的(1.8)f ,(6.15)f 值。

（提示：结果为(1.8)0.164762f ≈, (6.15)0.001266f ≈ ）二：实验程序及注释MATLAB 程序：function f=lagrange(x0,y0,x )n=length(x0); m=length(y0); format long s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=kp=p*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=s+y0(k)*p;Endf=s;end结果运行：结果与提示值完全吻合，说明Lagrange插值多项式的精度是很高的；同时，若采用三点插值和两点插值的方法，用三点插值的精度更高。

若同时采用两点插值，选取的节点距离x越近，精度越高。

三：采用newton插值进行计算算法程序如下：format long;x0=[0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 ];y0=[0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382 ];x=0.596;n=max(size(x0));y=y0(1);%disp(y);s=1;dx=y0;for i=1:n-1dx0=dx; for j=1:n-idx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j))/(x0(i+j)-x0(j)); end df=dx(1); s=s*(x-x0(i));y=y+s*df; %计算 %%disp(y); end disp(y)运行结果：绘制出曲线图：与结果相吻合。

插值运算实验报告

插值运算实验报告通过实验掌握插值运算的原理和方法，并利用插值运算技术对离散数据进行插值和逼近。

实验设备：计算机、Matlab软件实验原理：插值是利用已知数据点之间的关系，使用某种函数表达式来逼近未知点的值。

插值方法可以分为多种，如拉格朗日插值、牛顿插值等。

本次实验主要涉及的是拉格朗日插值和牛顿插值。

实验步骤：1. 采集实验数据，得到需要进行插值运算的离散数据。

2. 根据所给的离散数据，选择合适的插值方法，如拉格朗日插值或牛顿插值。

3. 利用Matlab软件进行编程，实现所选择的插值方法。

4. 运行程序，得到插值结果。

5. 根据插值结果，可以确定对未知数据点的函数值，也可以进行曲线拟合和逼近。

实验结果：经过对实验数据的处理和插值运算，得到了以下结果：1. 插值函数的形式，可以通过该函数计算未知数据点的函数值。

2. 插值曲线的图像，可以通过该曲线来拟合和逼近实验数据。

实验分析：通过实验结果的分析，可以得出以下结论：1. 插值方法的选择对结果有重要影响，不同的插值方法适用于不同的数据类型。

2. 插值运算可以有效地处理离散数据，得到连续函数的逼近值。

3. 插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响。

实验总结：通过本次实验，我对插值运算的原理和方法有了更深入的了解。

插值运算是一种常用的数值计算方法，可以在一定程度上解决离散数据的处理问题。

插值运算不仅可以用于求解未知数据点的函数值，还可以用于曲线拟合和逼近。

不同的插值方法适用于不同类型的数据，需要根据实际情况进行选择。

插值运算的精度也会受到数据点分布和插值方法的影响，需要注意选择合适的插值方法以及优化离散数据的分布。

插值数值实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。

2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。

3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。

4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。

二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。

它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。

常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。

三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。

数值分析实验报告(插值法)

武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级2010—2010学年第一学期实验课程名称：数值分析第二部分：实验调试与结果分析（可加页）一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）用拉格朗日插值法计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（2）利用二次插值计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（3）用艾尔米特插值法计算时,f(x)的插值多项式H5(x)=(1+4*x)*(x-0.5)*(x-0.5)*(x-2)*(x-2)+(3.90807-6.03838*x)*(x-2)*(x-2)*x*x+(2.34573-4.16674*x)*x*x*(x-0.5)*(x-0.5)（4）各插值算法的精度差异比较经过比较，拉格朗日插值法要比牛顿插值法算法的计算量多一些，拉格朗日插值法后一次计算时用到了前一次计算的结果，提高了运算的效率，但拉格朗日插值法在构造艾尔米特插值法时很方便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度比线性插值的精度又要高一些。

但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，已知的点越多精度也就相对较高。

对于实验要求的第二组数据用拉格朗日插值法（或者牛顿插值法）实验结果如下：一下分别是二阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的一部分，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。

由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反而会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了高次插值存在“病态性质”，在已知点很多的情况下应该采用分段低次插值，将拉格朗日插值法和牛顿插值法运用到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。

数值分析Lagrange插值法计算实验

数值分析实验报告（01）一、实验目的通过实验锻炼和掌握的能力掌握Lagrange 插值方法并学会利用计算机编程计算函数值。

二、实验内容给出()ln f x x =的数值表 x0.4 0.5 0.6 0．7 0.8 ln x-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144用线性插值和二次插值计算的近似值。

计算ln(0.54)。

三、编程思路0.5图1 程序框图四、Matlab 程序代码function y0=lagrange(x,y,x0)nx=length(x);ny=length(y);if nx~=nyreturn;endn=nx;y0=0;for k=1:np=1;for j=1;nif j~=kp=p.*(x0-x(j))./(x(k)-x(j));endendy0=y0+p*y(k);end% x=[0.5 0.6];% y=[-0.693147 -0.510826];x0=0.54;y0=lagrange(x,y,x0);y0% x=[0.4 0.5 0.6];% y=[-0.916296 -0.693147 -0.510826];x0=0.54;y0=lagrange(x,y,x0);y0五、数值结果及分析（数值运行结果及对结果的分析）y0 =-0.6202y0 =-0.6202六、实验体会（计算中出现的问题，解决方法，实验体会）输入程序时括号含义不明，或者输入括号减少，导致结果错误。

仔细检查，寻找错误，一定要仔细认真。

实验一拉格朗日插值法

实验一: 拉格朗日插值
实验目的： 1. 熟悉拉格朗日插值方法的程序设计； 2. 学会拉格朗日插值方法求函数值的近似值，以解决其它科学实验的计算问题。实验内容：已知函数值表
xi f (xi )
-0.6 1.6
-0.2 2.4
0.2 1.2
0.4 3.2
试分别建立二次插值多项式和三次插值多项式，计算 f (0) 的近似值。实验要求：屏幕显示 f (0) 的近似值。
三次差值试验结果：
— 4 —
=
k 1 k
结束
— 2 —
实验报告（一）
辽宁科技大学研究生学院（系）课名：数值分析班级：研 12 姓名：张贺题目：拉格朗日插值学号：12208190**** 专业：矿业工程任课教师：熊焱 2012 年 09 月 20 日
实验程序：
— 3 —
实验结果：二次差值试验
— 1 —
附件：拉格朗日插值算法框图
开始
输入 ( x i , y i ) , ( i= 0 ,1 , … , n )
0 x j
t t
j 0 , , k 1, k 1, , n
y t yk y
k n?

输出 y

拉格朗日插值实验报告

实验名称：实验一拉格朗日插值1 引言我们在生产生活中常常会遇到这样的问题：某个实际问题中，函数f (x)在区间[a,b]上存在且连续，但却很难找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。

显然，根据这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的。

有些情况虽然可以写出表达式，但结构复杂，使用不方便。

所以我们总是希望根据已有的数据点（或函数表）来构造某个简单函数P (x)作为f (x)的近似值。

插值法是解决此类问题的一种比较古老的、但却很常用的方法。

它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。

2 实验目的和要求运用Matlab 编写三个.m 文件，定义三种插值函数，要求一次性输入整张函数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点。

分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f (0.15)，f (0.31)，f (0.47)的近似值。

已知函数表如下：3 算法原理与流程图（1）原理设函数y=在插值区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的插值节点a≤x 0,x 1,…,x n ≤b 上分别取值y 0,y 1,…,y n 。

目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类Φ中，求一简单函数P (x)，满足插值条件P (x i )=y i (i=0,1,…,n)，而在其他点x≠x i 上，作为f (x)近似值。

求插值函数P (x)的方法称为插值法。

在本实验中，采用拉格朗日插值法。

①分段低次插值当给定了n+1个点x 0<x 1<…<x n 上的函数值y 0,y 1,…,y n 后，若要计算x≠x i 处函数值f (x)的近似值，可先选取两个节点x i-1与x i 使x ∈[x i-1,x i ]，然后在小区间[x i-1,x i ]上作线性插值，即得11111)()(------+--=≈i i i i i i i i x x x x y x x x x y x P x f这种分段低次插值叫分段线性插值，又称折线插值。

MATLAB软件应用数学实验报告参考样本

实验 x 插值问题姓名学号【实验目的】1.了解插值的基本原理和插值的基本思想；2.掌握用MATLAB 计算各种插值的方法，并对结果作初步分析；3.通过实例学习如何用插值方法解决实际问题。

【实验内容】预备：编制计算拉格朗日插值的M文件：以下是拉格朗日插值的名为y_lagrl的M文件：function y=y_lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end第1题选择函数y=exp(-x2) (-2≤x≤2),在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。

通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。

适当增加n，在作比较，由此作初步分析。

运行如下程序：n=7;m=61;x=-2:4/(m-1):2;y=exp(-x.^2);z=0*x;x0=-2:4/(n-1):2;y0=exp(-x0.^2);y1=y_lagr1(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=interp1(x0,y0,x,'spline');[x'y'y1'y2'y3']plot(x,z,'w',x,y,'r--',x,y1,'b:',x,y2,'m',x,y3,'b') gtext('y=exp(-x^2)'),gtext('Lagr.'),gtext('Piece.-linear.'),gtext ('Spline'),结论：将三种插值结果y1,y2,y3与精确值y项比较，显然y1在节点处不光滑,拉格朗日插值出现较大的振荡,样条插值得结果是最好的.增加n值（使n=11），再运行以上程序，得到的图形如右图所示，比较这两个图可发现，节点增加后，三种插值方法结果的准确度均有所提高，因此可近似地认为：增加节点个数可以提高插值结果的准确程度。

数值分析报告实验报告材料

=
5.3 计算方法
雅可比迭代法程序：
function[x,k,index]=Jacobi(A,b,ep,it_max)
ifnargin<4
5.2 数学模型
5.2.1 理论基础
雅可比迭代法：首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分，即：A = L+D+U，其中D为对角阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。之后确定迭代格式，X^(k+1) = B*X^(k) +f，（这里^表示的是上标，括号内数字即迭代次数），其中B称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为J（k= 0,1，......），再选取初始迭代向量X^(0)，开始逐次迭代。
2.2 数学模型
将积分区间[a,b]分为n等分，h=(b-a)/n，xk=a+k h，k=0，1，…n。在每个子区间[xk，xk+1]上用Simpson公式可得：
其中xk+1/2=xk+1/2h。
此式即为复化Simpson公式。
设f(x) C4[a,b]，由Simpson公式的误差有
，。
则复化Simpson公式的余项为：
fori=1:m
z=x(i);
s=0.0;
fork=1:n
p=1.0;
forj=1:n
ifj~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
End
拉格朗日插值的曲线：
x=[-5:1:5];
y=1./(1+x.^2);
x0=[-5:0.001:5];
end
end
h=(b-a)/n%求h

数值分析matlab实验报告

数值分析matlab实验报告数值分析 Matlab 实验报告一、实验目的数值分析是研究各种数学问题数值解法的学科，Matlab 则是一款功能强大的科学计算软件。

本次实验旨在通过使用 Matlab 解决一系列数值分析问题，加深对数值分析方法的理解和应用能力，掌握数值计算中的误差分析、数值逼近、数值积分与数值微分等基本概念和方法，并培养运用计算机解决实际数学问题的能力。

二、实验内容（一）误差分析在数值计算中，误差是不可避免的。

通过对给定函数进行计算，分析截断误差和舍入误差的影响。

例如，计算函数＄f(x) ＝＼sin(x)＄在＄x ＝ 05$ 附近的值，比较不同精度下的结果差异。

（二）数值逼近1、多项式插值使用拉格朗日插值法和牛顿插值法对给定的数据点进行插值，得到拟合多项式，并分析其误差。

2、曲线拟合采用最小二乘法对给定的数据进行线性和非线性曲线拟合，如多项式曲线拟合和指数曲线拟合。

（三）数值积分1、牛顿柯特斯公式实现梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式，计算给定函数在特定区间上的积分值，并分析误差。

2、高斯求积公式使用高斯勒让德求积公式计算积分，比较其精度与牛顿柯特斯公式的差异。

（四）数值微分利用差商公式计算函数的数值导数，分析步长对结果的影响，探讨如何选择合适的步长以提高精度。

三、实验步骤（一）误差分析1、定义函数｀compute_sin_error` 来计算不同精度下的正弦函数值和误差。

｀｀｀matlabfunction value, error ＝ compute_sin_error(x, precision)true_value ＝ sin(x)；computed_value ＝ vpa(sin(x)， precision)；error ＝ abs(true_value computed_value)；end｀｀｀2、在主程序中调用该函数，分别设置不同的精度进行计算和分析。

（二）数值逼近1、拉格朗日插值法｀｀｀matlabfunction L ＝ lagrange_interpolation(x, y, xi)n ＝ length(x)；L ＝ 0;for i ＝ 1:nli ＝ 1;for j ＝ 1:nif j ～＝ ili ＝ li （xi x(j)）／（x(i) x(j)）；endendL ＝ L ＋ y(i) li;endend｀｀｀2、牛顿插值法｀｀｀matlabfunction N ＝ newton_interpolation(x, y, xi)n ＝ length(x)；％计算差商表D ＝ zeros(n, n)；D(：， 1) ＝ y'；for j ＝ 2:nfor i ＝ j:nD(i, j) ＝（D(i, j 1) D(i 1, j 1)）／（x(i) x(i j ＋ 1)）；endend％计算插值结果N ＝ D(1, 1)；term ＝ 1;for i ＝ 2:nterm ＝ term （xi x(i 1)）；N ＝ N ＋ D(i, i) term;endend｀｀｀3、曲线拟合｀｀｀matlab％线性最小二乘拟合p ＝ polyfit(x, y, 1)；y_fit_linear ＝ polyval(p, x)；％多项式曲线拟合p ＝ polyfit(x, y, n)；％ n 为多项式的次数y_fit_poly ＝ polyval(p, x)；％指数曲线拟合p ＝ fit(x, y, ＇exp1'）；y_fit_exp ＝ p(x)；｀｀｀（三）数值积分1、梯形公式｀｀｀matlabfunction T ＝ trapezoidal_rule(f, a, b, n)h ＝（b a) ／ n;x ＝ a:h:b;y ＝ f(x)；T ＝ h （（y(1) ＋ y(end)）／ 2 ＋ sum(y(2:end 1)））；end｀｀｀2、辛普森公式｀｀｀matlabfunction S ＝ simpson_rule(f, a, b, n)if mod(n, 2) ～＝ 0error(＇n 必须为偶数'）；endh ＝（b a) ／ n;x ＝ a:h:b;y ＝ f(x)；S ＝ h ／ 3 （y(1) ＋ 4 sum(y(2:2:end 1)）＋ 2 sum(y(3:2:end 2)）＋ y(end)）；end｀｀｀3、柯特斯公式｀｀｀matlabfunction C ＝ cotes_rule(f, a, b, n)h ＝（b a) ／ n;x ＝ a:h:b;y ＝ f(x)；w ＝ 7, 32, 12, 32, 7 ／ 90;C ＝ h sum(w y)；end｀｀｀4、高斯勒让德求积公式｀｀｀matlabfunction G ＝ gauss_legendre_integration(f, a, b)x, w ＝ gauss_legendre(5)；％选择适当的节点数t ＝（b a) ／ 2 x ＋（a ＋ b) ／ 2;G ＝（b a) ／ 2 sum(w f(t)）；end｀｀｀（四）数值微分｀｀｀matlabfunction dydx ＝ numerical_derivative(f, x, h)dydx ＝（f(x ＋ h) f(x h)）／（2 h)；end｀｀｀四、实验结果与分析（一）误差分析通过不同精度的计算，发现随着精度的提高，误差逐渐减小，但计算时间也相应增加。

拉格朗日实验报告

实验报告课程：数值计算方法与计算班级：实验名称：拉格朗日插值实验姓名实验日期： 2011.09.23 学号实验报告日期： 2011.09.23实验一拉格朗日插值实验一、实验目的1.学习编程拉格朗日插值公式2.运用编程进行计算插值函数二、实验设备及实验环境在机房用WIN-TC程序进行编程。

三、实验原理应用拉格朗日插值公式四、程序源代码#include "stdio.h"main(int argc,char*argv[]){ int i,j,n;float x[10],y[10],lang=0.0,u;printf("input number n=:\n");scanf("%d",&n);printf("input x[i]");for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",&x[i]);printf("input y[i]");for(i=0;i<n;i++)scanf("%f",&y[i]);printf("input u");scanf("%f",&u);for(i=0;i<n;i++){float tmp=1.0;for(j=0;j<n;j++)if(i!=j)tmp=tmp*(u-x[j])/(x[i]-x[j]);lang=lang+tmp*y[i];}printf("lagrange=%f",lang);getch();}五、实验结果对一组数据（-2.00，17）（0.00，1.0）（1.00，2.00）（2.00，17.00）进行实验得到拉格朗日插值公式结果如下：六、实验心得体会虽然考了二级，但太久没碰程序，今天开始时还真无从下手，有点混乱，在写程序过程中，因为粗心打错符号，重复符号，导致程序出错，经过细心观察，检查出错误，成功完成程序，好开心呀。

拉格朗日插值

《拉格朗日插值》实验报告实验名称：拉格朗日插值成绩：___________专业班级：数学与应用数学1202班姓名：张晓彤学号：2012254010227 实验日期：2014年10月 27日实验报告日期: 2014 年10 月27日一、实验目的（1）掌握线性方法，最近点方法，三次样条和三次插值的调用格式，并以此来计算一维数据插值，通过相关的实例来验证这些插值方法的实用性.（2）掌握拉格朗日多项式的构造思想和构造过程（3）能够应用matlab 软件编写拉格朗日插值方法的程序并能熟悉应用，以此来解决相关例题（4）学会拉格朗日插值方法求函数的近似值，以解决其它科学实验的计算问题二、实验内容2.1验证一维数据插值函数的调用格式例1:给出概率积分dx e x f x x ⎰-=022)(π的数据表如表1所示，用不同的插值方法计算f(0.472). 表1 概率积分数值表例2：某检验参数f 随时间t 的采样结果如表2，用数据插值法计算57,52,47,42,37,32,27,22,17,12,7,2=t 时的f 值.表2 检测参数f 随时间t 的采样结果2.2编写拉格朗日插值的程序并验证任意给出一个函数，并给出函数在一些点的函数值，并用拉格朗日差值方法计算函数在某些点处的函数值,通过图像来比较，拉格朗日插值多项式拟合的精确程度。

三、实验环境该实验应用matlab2014来进行实验的验证和设计.四、实验步骤和实验结果4.1验证一维数据插值函数的调用格式例1：（概率积分）dx e x f xx ⎰-=022)(π 这是一个一维插值问题，命令如下：x=0.46:0.01:0.49;f=[0.4846555,0.4937542,0.5027498,0.5116683];format longinterp1(x,f,0.472) %用默认方法即线性插值方法%ans =0.495553320000000interp1(x,f,0.472,'nearest') %用最近点插值的方法计算%ans =0.493754200000000interp1(x,f,0.472,'cubic') %用三次样条插值方法计算%ans =0.495561119712056interp1(x,f,0.472,'spline') %用三次多项式的方法计算%ans =0.495560736000000例2：（数据插值）某检验参数f 随时间t 的采样结果如表2，用数据插值法计算57,52,47,42,37,32,27,22,17,12,7,2 t 时的f 值. 表2 检测参数f 随时间t 的采样结果这是一个一维插值问题，命令如下：T=0:5:65;x=2:5:57;F=[3.1025 2.256 879.5 1835.9 2968.8 4136.2 5237.9 6152.7 6725.3 6848.3 6403.5 6824.7 7328.5 7857.6];F1=interp1(T,F,x) % 用默认方法即线性插值方法%F1 =1.0e+03 *0.0028 0.3532 1.2621 2.2891 3.4358 4.57695.60386.3817 6.7745 6.6704 6.57207.0262F1=interp1(T,F,x,'nearest') %用最近点插值的方法计算%F1 =1.0e+03 *0.0031 0.0023 0.8795 1.8359 2.9688 4.13625.23796.1527 6.7253 6.8483 6.4035 6.8247F1=interp1(T,F,x,'spline') %用三次样条插值方法计算%F1 =1.0e+03 *-0.1703 0.3070 1.2560 2.2698 3.4396 4.58965.63706.4229 6.8593 6.6535 6.48177.0441F1=interp1(T,F,x,'cubic') %用三次多项式的方法计算%F1 =1.0e+03 *0.0024 0.2232 1.2484 2.2736 3.4365 4.59135.63626.4362 6.7978 6.6917 6.50777.01864.2编写拉格朗日插值程序并验证任意给出一个函数，并给出函数在一些点的函数值，并用拉格朗日插值方法计算函数在某些点处的函数值.并通过图像来说明拉格朗日插值多项式拟合的精确程度。

数值分析MATLAB实验报告

实验 2.1 多项式插值的震荡现象问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数越高，我们自然关心插值多项式的次数增加时，)(x L n 是否也更加靠近被逼近的函数。

Runge 给出的一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数.2511)(2xx f +=实验内容：考虑空间[-1,1]的一个等距划分，分点为 nix i 21+-=， =i 0，1,2 ...,n , 则拉格朗日插值多项式为)(2511)(02x l xx L ini n ∑=+=. 其中，n i x l i ,...,2,1,0),(=是n 次Lagrange 插值基函数。

实验要求：（1）选择不断增大的分点数目,...,3,2=n 画出原函数)(x f 及插值多项式函数)(x L n 在[-1,1]上的图像，比较并分析实验结果。

（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5,5]上的函数 ,1)(4xxx h +=)arctan()(x x g =，重复上述的实验看其结果如何。

首先编写拉格朗日插值函数的Matlab 实现： Matlab 程序为：function y=lagrange(x0,y0,x) %Lagrange 插值 n=length(x0); m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if(j~=k)p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end ends=s+p*y0(k); endy(i)=s; end（1）当函数为.2511)(2xx f +=时， Matlab 程序为：x=linspace(-1,1,100); y=1./(1+25*x.^2); plot(x,y) hold on; for i=2:2:10x0=linspace(-1,1,i+1); y0=1./(1+25*x0.^2); y=laglanri(x0,y0,x); plot(x,y,'r--') hold on end运行结果：结果分析：从图上看到在区间[-1，1]的两端点附近，随着插值点数的增加，插值函数)(x L n 与)(x f 偏离的越远，而且出现了振荡现象。