第十章 双样本假设检验及区间估计_社会统计学汇总
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第十章 双样本假设检验及区间估计
我们在掌握了单样本检验与估计的有关方法与原理 之后，把视野投向双样本检验与估计是很自然的。双样 本统计，除了有大样本、小样本之分外，根据抽样之不 同，还可分为独立样本与配对样本。
独立样本, 指 双样本是在两个 总体中相互独立 地抽取的 。
2020/10/2
配对样本，指只有一 个总体，双样本是由于样 本中的个体两两匹配成对 而产生的。配对样本相互 之间不独立。
有均值μ1和μ2以及方差
和
的两个总体。当n1和n2逐渐变大
时，
的抽样分布像前面那样将接近正态分布。
2020/10/2
2
1．大样本均值差检验 （1）零假设： （2）备择假设：
单侧
双侧
或 （3）否定域：单侧 （4）检验统计量
双侧
（5）比较判定
2020/10/2
3
对均值差异进行比较，如果是大样本 就是Z检验法，小样本就是t检验法。二 者都同时要求：①样本是随机样本②每 个总体都是正态分布的③数据是定距及 以上层次的变量。
计算检验统计量
＝0.73， ＝0.27，n1＝171 ＝0.58， ＝0.42，n2＝117
确定否定域
因为α＝0.01，因而有 Zα/2＝Z0.005＝2.58＜2.66 因而否定零假设，即可以认为在0.01显著性水平上，两类学生在
性202格0/10上/2 是有差异的。
10
第二节 两总体小样本假设检验
样本 中新生有171名，四年级学生有117名。试问，在0.01水平 上，两类学生有无显著外性向差异？ 内向
四年级 58%（117） 42%
一年级 73%（171） 27%
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[解] 据题意 新生组的抽样结果为：
四年级学生组的抽样结果为: H0：p1―p2＝D0＝0 H1：p1―p2＝D0≠0
“不满意”组的抽样结果为： “满意”组的抽样结果为： H0：μ1―μ2＝D0＝0 H1： μ1―μ2 ≠0 计算检验统计量
＝9.2年， S1＝2.8年， n1＝500； ＝8.5 年，S2＝2.3 年， n2＝600。
确定否定域， 因为α＝0.05，因而有 Zα/2＝1.96＜4.47 因此否定零假设，即可以认为在0.05显著性水平上，婚龄对妇女婚 后生活的态度是有影响的。同时我们看到，由于样本计算值Z＝4.47 远大 于单侧 Z0.05 的临界值1. 65，因此本题接受μ1―μ2 ＞0 的备择假设，即可 以认为妇女婚龄长容易对婚后生活产生“不满意”。
其均值差的检验步骤如下: （1）零假设： （2）备择假设：
单侧
和 未知，但σ1＝σ2 ， 双侧
或 （3）否定域：单侧 （4）检验统计量
双侧
（5）比较判定
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[例]为研究某地民族间家庭规模是否有 所不同，各做如下独立随机抽样：
民族A：12户，平均人口6.8人，标准 差1.5人
民族B：12户，平均人口5.3人，标准 差0.9人
与对单总体小样本假设检验一样，我们对两 总体小样本假设检只讨论总体满足正态分布的情 况。 1. 小样本均值差假设检验
(1) 当 和 已知时，小样本均值差 检验，与上一节所述大样本总体均值差检验完全 相同，这里不再赘述。
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(2)
和 未知，但假定它们相等时， 关键是要解决
的算式。
现又因为σ未知，所以要用它的
意”和“不满意”两组。从满意组中随机抽取600名妇女，
其平均婚龄为8.5年，标准差为2.3年；从不满意组抽出
500名妇女，其平均婚龄为9.2年，标准差2.8年。试问在
0.05显著性水平上两组是否存在显著性差异？
样本
人数
均值
标准差
满意组
600
8.5
2.3
不满意组
500
9.2
2.8
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[解] 据题意，
如果所研究的只有两个样本，也可以 用方差分析法（analysis of variance，简 称ANOVA，也称为F检验法）来检验两 个样本均值的差异，不一定要按照Z或t 检验法。
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4Biblioteka Baidu
[例]为了比较已婚妇女对婚后生活的态度是否因婚
龄而有所差别，将已婚妇女按对婚后生活的态度分为 “满
无偏估计量 替代它。由于两个样
本的方差基于不同的样本容量，因而
可以用加权的方法求出σ的无偏估计
量，得
注意，上式的分母上减2，是因为
根据 和 计算S1和S2时，分别损 失了一个自由度，一共损失了两个自由
度，所以全部自由度的数目就成为
20(2n0/11+0/2n2―2)。 于是有
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这样，对小样本正态总体，
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2．大样本成数差检验
（1）零假设： （2）备择假设：
单侧
或 （3）否定域：单侧 （4）检验统计量
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双侧
双侧
其中:
为总体1的 样本成数
为总体2的 样本成数。
7
当p1和p2未知，须用样本成数 和 种情况讨论：
① 若零假设中两总体成数的关系为 P 相同的总体，它 们的点估计值为
1
第一节 两总体大样本假设检验
为了把单样本检验推广到能够比较两个样本的均值的检验，必须
再一次运用中心极限定理。下面是一条由中心极限定理推广而来的重
要定理：如果从
和
两个总体中分别抽取容量为
n1和n2 的独立随机样本，那么两个样本的均值差
的抽样分
布就是
。与单样本的情况相同，在大样本的
情况下(两个样本的容量都超过50)，这个定理可以推广应用于任何具
，用
估计
，于是有
[例] 用上式重新求解前例题。 [解] 用上式，检验统计量的计算为
可以看出，求算用(10.8)式和(10.10)式，得出的结果差别不大。
问：能否认为A民族的家庭平均人口 高于B民族的家庭平均人口（ α=0.05）？ （假定家庭平均人口服从正态分布，且 方差相等）t=2.97
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(3)
和 未知，但不能假定它们相等
如果不能假定σ1＝σ2 ，那么就不能引进共同的σ简
化
，也不能计算σ的无偏估计量 。现在简单的做法是用
估计
进行估算时，分以下两 ，这时两总体可看作成数
此时上式中检验 统计量 Z 可简化为
② 若零假设中两总体成数
，那么它们的点估计值有
此时上式中 检验统计量Z为
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（5）判定
8
[例]有一个大学生的随机样本，按照性格“外向”和 “内向”，把他们分成两类。结果发现，新生中有73％
属 于“外向”类，四年级学生中有58％属于“外向”类。
我们在掌握了单样本检验与估计的有关方法与原理 之后，把视野投向双样本检验与估计是很自然的。双样 本统计，除了有大样本、小样本之分外，根据抽样之不 同，还可分为独立样本与配对样本。
独立样本, 指 双样本是在两个 总体中相互独立 地抽取的 。
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配对样本，指只有一 个总体，双样本是由于样 本中的个体两两匹配成对 而产生的。配对样本相互 之间不独立。
有均值μ1和μ2以及方差
和
的两个总体。当n1和n2逐渐变大
时，
的抽样分布像前面那样将接近正态分布。
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1．大样本均值差检验 （1）零假设： （2）备择假设：
单侧
双侧
或 （3）否定域：单侧 （4）检验统计量
双侧
（5）比较判定
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对均值差异进行比较，如果是大样本 就是Z检验法，小样本就是t检验法。二 者都同时要求：①样本是随机样本②每 个总体都是正态分布的③数据是定距及 以上层次的变量。
计算检验统计量
＝0.73， ＝0.27，n1＝171 ＝0.58， ＝0.42，n2＝117
确定否定域
因为α＝0.01，因而有 Zα/2＝Z0.005＝2.58＜2.66 因而否定零假设，即可以认为在0.01显著性水平上，两类学生在
性202格0/10上/2 是有差异的。
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第二节 两总体小样本假设检验
样本 中新生有171名，四年级学生有117名。试问，在0.01水平 上，两类学生有无显著外性向差异？ 内向
四年级 58%（117） 42%
一年级 73%（171） 27%
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[解] 据题意 新生组的抽样结果为：
四年级学生组的抽样结果为: H0：p1―p2＝D0＝0 H1：p1―p2＝D0≠0
“不满意”组的抽样结果为： “满意”组的抽样结果为： H0：μ1―μ2＝D0＝0 H1： μ1―μ2 ≠0 计算检验统计量
＝9.2年， S1＝2.8年， n1＝500； ＝8.5 年，S2＝2.3 年， n2＝600。
确定否定域， 因为α＝0.05，因而有 Zα/2＝1.96＜4.47 因此否定零假设，即可以认为在0.05显著性水平上，婚龄对妇女婚 后生活的态度是有影响的。同时我们看到，由于样本计算值Z＝4.47 远大 于单侧 Z0.05 的临界值1. 65，因此本题接受μ1―μ2 ＞0 的备择假设，即可 以认为妇女婚龄长容易对婚后生活产生“不满意”。
其均值差的检验步骤如下: （1）零假设： （2）备择假设：
单侧
和 未知，但σ1＝σ2 ， 双侧
或 （3）否定域：单侧 （4）检验统计量
双侧
（5）比较判定
2020/10/2
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[例]为研究某地民族间家庭规模是否有 所不同，各做如下独立随机抽样：
民族A：12户，平均人口6.8人，标准 差1.5人
民族B：12户，平均人口5.3人，标准 差0.9人
与对单总体小样本假设检验一样，我们对两 总体小样本假设检只讨论总体满足正态分布的情 况。 1. 小样本均值差假设检验
(1) 当 和 已知时，小样本均值差 检验，与上一节所述大样本总体均值差检验完全 相同，这里不再赘述。
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(2)
和 未知，但假定它们相等时， 关键是要解决
的算式。
现又因为σ未知，所以要用它的
意”和“不满意”两组。从满意组中随机抽取600名妇女，
其平均婚龄为8.5年，标准差为2.3年；从不满意组抽出
500名妇女，其平均婚龄为9.2年，标准差2.8年。试问在
0.05显著性水平上两组是否存在显著性差异？
样本
人数
均值
标准差
满意组
600
8.5
2.3
不满意组
500
9.2
2.8
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[解] 据题意，
如果所研究的只有两个样本，也可以 用方差分析法（analysis of variance，简 称ANOVA，也称为F检验法）来检验两 个样本均值的差异，不一定要按照Z或t 检验法。
2020/10/2
4Biblioteka Baidu
[例]为了比较已婚妇女对婚后生活的态度是否因婚
龄而有所差别，将已婚妇女按对婚后生活的态度分为 “满
无偏估计量 替代它。由于两个样
本的方差基于不同的样本容量，因而
可以用加权的方法求出σ的无偏估计
量，得
注意，上式的分母上减2，是因为
根据 和 计算S1和S2时，分别损 失了一个自由度，一共损失了两个自由
度，所以全部自由度的数目就成为
20(2n0/11+0/2n2―2)。 于是有
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这样，对小样本正态总体，
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2．大样本成数差检验
（1）零假设： （2）备择假设：
单侧
或 （3）否定域：单侧 （4）检验统计量
2020/10/2
双侧
双侧
其中:
为总体1的 样本成数
为总体2的 样本成数。
7
当p1和p2未知，须用样本成数 和 种情况讨论：
① 若零假设中两总体成数的关系为 P 相同的总体，它 们的点估计值为
1
第一节 两总体大样本假设检验
为了把单样本检验推广到能够比较两个样本的均值的检验，必须
再一次运用中心极限定理。下面是一条由中心极限定理推广而来的重
要定理：如果从
和
两个总体中分别抽取容量为
n1和n2 的独立随机样本，那么两个样本的均值差
的抽样分
布就是
。与单样本的情况相同，在大样本的
情况下(两个样本的容量都超过50)，这个定理可以推广应用于任何具
，用
估计
，于是有
[例] 用上式重新求解前例题。 [解] 用上式，检验统计量的计算为
可以看出，求算用(10.8)式和(10.10)式，得出的结果差别不大。
问：能否认为A民族的家庭平均人口 高于B民族的家庭平均人口（ α=0.05）？ （假定家庭平均人口服从正态分布，且 方差相等）t=2.97
2020/10/2
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(3)
和 未知，但不能假定它们相等
如果不能假定σ1＝σ2 ，那么就不能引进共同的σ简
化
，也不能计算σ的无偏估计量 。现在简单的做法是用
估计
进行估算时，分以下两 ，这时两总体可看作成数
此时上式中检验 统计量 Z 可简化为
② 若零假设中两总体成数
，那么它们的点估计值有
此时上式中 检验统计量Z为
2020/10/2
（5）判定
8
[例]有一个大学生的随机样本，按照性格“外向”和 “内向”，把他们分成两类。结果发现，新生中有73％
属 于“外向”类，四年级学生中有58％属于“外向”类。