专题14 阅读理解问题(第03期)-2017年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)

一、选择题

二、填空题

1．（2017河北省）对于实数p ，q ，我们用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，如{}min 1,21=，

因此{}

min 2,3--= ；若{}

22

min (1),1x x -=，则x = ．

三、解答题

2．（2017四川省达州市）设A =2

23121a a a a a a -⎛

⎫÷- ⎪+++⎝⎭

． （1）化简A ；

（2）当a =3时，记此时A 的值为f （3）；当a =4时，记此时A 的值为f （4）；… 解关于x 的不等式：

()()()27341124

x x

f f f ---≤+++ ，并将解集在数轴上表示出来．

3．（2017四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：()

()

2

2

122121PP x x y y =-+-他还利用图2证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式：122x x x +=

，12

2

y y y +=．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；

运用：（2）①已知点M （2，﹣1），N （﹣3，5），则线段MN 长度为 ；

②直接写出以点A （2，2），B （﹣2，0），C （3，﹣1），D 为顶点的平行四边形顶点D 的坐标： ； 拓展：（3）如图3，点P （2，n ）在函数4

3

y x =

（x ≥0）的图象OL 与x 轴正半轴夹角的平分线上，请在OL 、x 轴上分别找出点E 、F ，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值． 4．（2017山东省枣庄市）我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n =p ×q （p ，q 是正整数，

且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并

规定：F（n）=p

q

．

例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）

=3

4

．

（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．

求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；

（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．

5．（2017山东省济宁市）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC 的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点M是曲线

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y

x

（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（3，0）时，求点P的坐标；

（2）如图3，当点M的坐标是（3，3），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2017江苏省盐城市）（探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多

次操作发现，当沿着中位线DE 、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．

【拓展应用】

如图②，在△ABC 中，BC =a ，BC 边上的高AD =h ，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在边AB 、AC 上，顶点Q 、M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为 ．（用含a ，h 的代数式表示） 【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB =32，BC =40，AE =20，CD =16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB =50cm ，BC =108cm ，CD =60cm ，且tan B =tan C =4

3

，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积． 7．（2017江苏省连云港市）问题呈现：

如图1，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE =DG ，求证：2ABCD EFGH S S =矩形四边形．（S 表示面积）

实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E 、G 作BC 边的平行线，再分别过点F 、H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1．

如图2，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近（DG ＞AE ），经过探索，发现：2S

四边形

EFGH =S

矩形

ABCD +S

．

如图3，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近（DG ＜AE ），请探索S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD 与S 之间的数量关系，并说明理由． 迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4，点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S 四