北理826六年真题

一．（30分）简述题（每小题3分）1． 一个LTI 系统有多种描述方法，试给出五种方法，并指出它们之间的联系。

2． 一个确定信号在频域用傅里叶变换表示，试按信号在时域是周期、非周期、连续、离散，分别写出相应形式的傅里叶变换。

离散傅里叶变换（DFT ）是其中一种形式吗？3． 一个存在全部时域),(+∞-∞的周期信号，如果要求在变换域求其作用于LTI 系统的响应，应采用傅里叶变换还是拉氏变换？或者两种变换都可采用？为什么？ 4． 若由下列系统函数描述的离散时间系统是稳定的，那它一定是因果的吗？为什么？z z z H 311211)(--=5． 根据下列微分方程，能否判定该系统是稳定的吗？为什么？)()(2)('t x t y t y =-6． 由下式描述的系统是时不变的吗？为什么？（式中的)(n x ，)(n y 分别表示系统的输入和输出）∑+∞-∞=--=k kn n k x n y )()31(3)( 7． 试给出设计数字滤波器的一般步骤。

8． 能否仅根据其频率响应的有限个取样值，确定出该数字滤波器？说明你的理由。

9． 如何保证所设计的FIR 数字滤波器具有线性相位？10． 分别给出序列线性卷积、圆周卷积和周期卷积的定义，并指出它们间的联系。

二．（25分）考虑一个离散时间LTI 系统，当其输入为)1(21)()(-+=N n n x δδ相应的输出为)()21()(n u n y n =1.（10分）用时域法求此系统的单位抽样响应)(n h ； 2．（10分）用z 变换法求此系统的单位抽样响应)(n h ； 3．（5分）给出描述此系统的差分方程，并画出模拟框图。

三．（25分）考虑一个输入、输出分别为)(t f 和)(t y 的连续时间系统，其系统函数为14)(22--=s s s H1．（3分）画出)(s H 的极点和零点图；2． （5分）假定)(s H 是稳定的，确定其收敛域，并求系统的单位冲激响应)(t h ； 3．（5分）求描述此系统的线性常系数微分方程，并画出其直接II 型框图； 4．（5分）若输入)5.0exp()(t t f -=，对全部t ，求系统输出)(t y ；5． （7分）确定描述此系统的状态方程和输出方程，并求状态转移矩阵)(t ϕ。

四．（25分）已知系统框图如图1（a ）所示，其中输入信号)(t x 为周期性矩形脉冲，如图1（b ）所示；)(t T δ为周期性单位冲激串，其周期)(),(;121t h t h T =分别是图中两个子系统的冲激响应，其表达式分别为+∞<<∞-=+∞<<∞-=t t t h t tt t h ,)3sin(2)(,)sin(2)(21ππππ1．（5分）求)(t x 的频谱)(ωj X 的表示式，并画出其频谱图（注明过零点的频率值）；2．（5分）求)(1t y 的频谱)(1ωj Y 的表示式，并画出其频谱图；3．（5分）求)(2ωj Y 的表示式（以)(1ωj Y 表示），并画出其频谱图；该频谱会发生混叠吗？为什么？4．（5分）写出)(3ωj Y 的表示式（以)(1ωj Y 表示），并画出其频谱图；5．（5分）写出)(t y 的频谱)(ωj Y 的表示式，指明)(ωj Y 对应的原信号)(t y 有何特点。

五．（20分）设有两个实序列)(1n x 和)(2n x ，其长度分别为8192和64，试给出快速计算)(1n x 和)(2n x 线性卷积的方法步骤及其相应的运算量。

要求利用基2FFT ，同时尽量减少乘法运算次数。

六．（25分）关于IIR 数字滤波器：1．（15分）给出一般形式的IIR 数字滤波器的三种基本结构，即直接型、级联型和并联型，并指出上述三种结构的优缺点及应用场合。

2．（10分）证明采用双线性变换方法设计的IIR 数字滤波器与原模拟滤波器具有相类似的特性。

一．（30分）简述题（每小题5分）11． 画出函数)(cos t δ的波形，并计算积分值：⎰+-+=ππδdt t t A )(cos )1(12． 已知)]4()()[1()(--+=n u n u n n x ，画出下列函数的图形：)()2()12()(n x n n x n y -δ++=13． 已知LTI 系统的输入和输出满足如下关系∑-∞==nk nk k x n y )()31(3)( 试确定该系统是否因果、稳定，并说明理由。

14． 系统函数111)(--=zz H α，其中1||<α，试问}arg{α无论如何取值，)(z H 代表的一定是低通滤波器吗？为什么？15． 已知序列}4,3,2,1{)(=n x 和}1,1,0,0{)(=n y ，给出)(n x 和)(n y 的4点圆周卷积和4点圆周相关的结果。

16． 利用双线性法，从模拟低通设计数字低通滤波器时，为什么要预畸？简单说明预畸的作法？二．（25分）已知一个因果LTI 离散时间系统的初始条件为2)0(0=y ，1)1(0=y ，当输入序列)()(n u n x =时，其完全响应为)(])3(5.2)2(45.0[)(n u n y n n -+=要求：1.（8分）系统的零输入响应)(0n y 。

2．（5分）系统函数)(z H ，并画出其零极点图。

3．（5分）判断此系统的频率响应函数)(ωj e H 是否存在。

如存在，请写出其表示式；如不存在，请说明原因。

4．（7分）由)(z H 写出系统的状态方程的A 、B 、C 、D 矩阵。

三．（25分）某系统由两个LTI 子系统并联而成，其中一个子系统的单位抽样响应为)()31()(1n u n h n =，并联后的系统频率响应为ωωωω2712512)(j j j j ee e e H ---+-+-= 1．（8分）求另一个子系统的单位抽样响应)(2n h ； 2．（8分）假设系统输入)()21()(n u n x n=，用频域分析法分别求两个子系统的输出)(1n y 和)(2n y ；3．（4分）在相同输入的情况下，求并联系统的输出)(n y ；4．（5分）写出并联系统联系输入和输出的差分方程，并画出模拟图。

四．（25分）已知一个LTI 系统在以下三种输入信号的情况下具有相同初始条件，当输入信号为)()(1t t x δ=时，其全响应为)()()(1t u e t t y t -+=δ；当输入信号为)()(2t u t x =时，其全响应为)(3)(2t u e t y t -=。

要求：1．（12分）根据以上两个条件，求出该系统的)(s H ，)(t h 和系统的零输入响应)(0t y ； 2．（8分）用拉氏变换法求当输入信号)1()1()()(3--+=t u t t tu t x 时的零 状态响应及全响应；3．（5分）画出该系统的任意一种模拟图和幅频特性曲线。

五．（25分）关于FFT 及其应用：1．（15分）设有一有限长实序列)(n x ，10-≤≤N n ，试给出利用基2FFT 计算自相关序列)(n y 的方法步骤，要求尽量减少乘法运算次数。

（提示：自相关指)(n x 与其自身的线性相关）2．（10分）给出按频率抽取（DIF ）基2FFT 算法的蝶形运算公式，画出N=8时相应的算法流图，并说明其特点。

六．（20分）设理想数字带通滤波器的幅频响应为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤=πωππωπωπω||2,4||02||41|)(|j d e H要求用频率取样设计法设计相应的N=17时的线性相位FIR 数字带通滤波器：1．（5分）确定频率取样值)(k H ，1,,1,0-=N k；2．（5分）给出系统函数)(z H ； 3．（5分）给出频率响应)(ωj e H ；4．（5分）画出系统的任意一种结构图。

一．（30分）简述题（每小题5分）17． 由差分方程][][][n x n y n y =-+12描述的系统在什么条件下是稳定的。

18． 已知LTI 系统，给定初始状态不变，当输入为)()(t u t x =时，系统全响应为)()()(t u e e t y t t 3232---=；当输入为)()(t u t x 3=时，系统全响应为)()()(t u e e t y t t 3254---=；问给定初始状态下的零输入响应)(t y 0为何？19． 两个离散时间信号都是从0时刻开始取值为1，长度为4的序列， 分别求它们的线性卷积和4点圆周卷积。

20． 确定如下信号的奈奎斯特抽样率)(s i n )(s i n )(t c t c t x 50200+=21． 一个连续时间信号的拉氏变换)(s X 有两个极点1221-==s s ,，指出)(s X 所有可能的收敛域（ROC ），并对每一种ROC 指出其反变换)(t x 可能是下述哪一种函数：右边；左边；双边。

22． 已知一个连续时间信号的最高频率成分不超过5kHz ，按10kHz 进行抽样，得到离散信号；对此离散信号作DTFT ，在πω30.=处存在一个冲激串。

问：（1）在ω轴其它位置是否也有冲激，若有，写出其位置的值； （2）这个冲激对应的模拟信号的频率值是多大？二．（25分）已知系统的单位冲激响应)()()(T t u t u t h --=，求：（1）（9分）系统函数)(s H 及频率响应)(ωj H ，并画出)(ωj H 的幅频特性和相频特性；（2）（8分）当输入为)()()(T t u t u t h --=时，求系统的零状态响应)(t y x ，并画出其波形；（3）（8分）当输入为)()()(nT t et x n ts --=∑∞=-δ031时，求系统的零状态响应)(t y x ，并画出其波形。

三．（25分）已知系统如图3所示2001]sin [)(tt t x πωωπ=⎩⎨⎧<<=05310ωωωω||)(A H⎩⎨⎧<=031ωωω||)(B H求：（1）（7分）写出)(ω1X 的表达式，画出)(ω1X 及)(ω2X 的频谱图；（2）（6分）画出)(ω3X 的频谱图； （3）（6分）画出)(ω4X 的频谱图；（4）（6分）画出)(ω5X 的频谱图，并求出)(t x 5的数学表示式。

四．（25分）已知一个离散时间LTI 系统的抽样响应][n h 如图4（a ）所示，其中k 是未知整数，a,b,c 是未知实数，已知][n h 满足如下条件： （1） 设)(ωj eH 是][n h 的DTFT ，且)(ωj e H 为实偶函数；（2） 若输入n j ne n x ω=-=)(][1，∞<<∞-n ，则输出为0=][n y ；（3） 若输入][)(][n u n x n 21=，则输出292==n n y |][； 试确定：（1）（7分）系统函数)(z H （表达式中允许带未知数）；其它其它（2）（12分）系统的单位抽样响应][n h （即确定][n h 中未知数的值） （提示：先确定k 的值及a 与c 的关系）（3）（6分）系统在如图4（b ）所示][n x 作用下的零状态响应][n y x ；五．（25分）关于DFT 和FFT1．（15分）设有一有限长序列][n x ，1210-=N N ,,,, ，需要用DFT 计算其频谱，为减小栅栏效应和频谱泄漏，通常有效的做法是在序列的末端添加若干零，同时采用窗函数技术。