人教版高中数学课件：轨迹方程

【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程 为 x
2
y
2
1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ 的
比等于常数 ( 0 ) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
轨 迹 问 题
高三备课组
基本知识概要：
一、求轨迹的一般方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的 等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简， 证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意 “挖”与“补”。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如 圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。
3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参 数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。
2
六、点差法： 例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y
1 2 x
2
上一点，直线 l 过点P且与抛物线C交于另一点Q。 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的 轨迹方程。（图见教材P129页例2）。
说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以 及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求 切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问 题。
7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方 程常用待定系数法求 .
8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个 端点设为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 并代入圆锥曲线方程， 然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
tan PMN 1 2 , tan MNP 2 ，且 PMN
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
四、参数法与点差法题型： 例4 经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相 垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC 的中点M轨迹方程。 五、交轨法与几何法题型 例5 抛物线 y 4 px ( p 0 ) 的顶点作互相垂直的 两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射 影M的轨迹。（考例5） 说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。
【小结】 一、求轨迹的一般方法： 1．直接法，2．定义法，3．代入法，4．参数法， 5．交轨法，6．几何法，7.待定系数法， 8.点差法。
二、注意事项： 1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
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5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去 参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图 形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然 而得出动点的轨迹方程。
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。