人教版高中数学课件：轨迹方程
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轨迹方程PPT教学课件
动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
返回
59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
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59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
高中数学必修二《轨迹方程》课件
求“轨迹方程”是求什么？ 求点M的横坐标、纵坐标的关 系等式 归纳步骤：
方法一：直接法
如果已知动点满足的等量关系，那么直 接把动点的坐标代入等式，即得动点的 轨迹方程。
注意规范步骤
练习1：设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点，动 点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 a(a>0)，求P点的轨迹。Zxx``k
先求方程，再说轨迹。
结论：到两定点的距离之比为定 值的点的轨迹为直线或圆。
问题2：如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2=4， 过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N， 且使得|PM|=|PN|，问点P的运动轨迹是什么曲线
？
yP
无系先建系
(x-6)2+y2=33
M
O1 o
P的轨迹是圆
步骤：1、找到动点G与A的坐标关系； 2、把A的坐标用G的坐标表示； 3、把A的坐标代入A的方程； 4、化简后去多补少下结论 。
练习4：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，
r>0.P,B是圆上两点，作矩形PABQ，求点Q的
轨迹。
y
Q
P
GB
oA
x
问题5：已知动点P(x,y)的坐标满足下列关系， 求动点P(x,y)的轨迹方程和轨迹。
高中数学课件
灿若寒星整理制作
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
动点的横坐标 与纵坐标的关 系等式（曲线 方程）
动点的运动 路线（曲线 ）
专题二
《求点的轨迹与轨迹方程 》
F(x,y)=0
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
方法一：直接法
如果已知动点满足的等量关系，那么直 接把动点的坐标代入等式，即得动点的 轨迹方程。
注意规范步骤
练习1：设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点，动 点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 a(a>0)，求P点的轨迹。Zxx``k
先求方程，再说轨迹。
结论：到两定点的距离之比为定 值的点的轨迹为直线或圆。
问题2：如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2=4， 过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N， 且使得|PM|=|PN|，问点P的运动轨迹是什么曲线
？
yP
无系先建系
(x-6)2+y2=33
M
O1 o
P的轨迹是圆
步骤：1、找到动点G与A的坐标关系； 2、把A的坐标用G的坐标表示； 3、把A的坐标代入A的方程； 4、化简后去多补少下结论 。
练习4：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，
r>0.P,B是圆上两点，作矩形PABQ，求点Q的
轨迹。
y
Q
P
GB
oA
x
问题5：已知动点P(x,y)的坐标满足下列关系， 求动点P(x,y)的轨迹方程和轨迹。
高中数学课件
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问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
动点的横坐标 与纵坐标的关 系等式（曲线 方程）
动点的运动 路线（曲线 ）
专题二
《求点的轨迹与轨迹方程 》
F(x,y)=0
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
人教版湖南省长郡中学2020-2021学年上学期高二数学《轨迹方程的求法》(共14张PPT)教育课件
一、温故知新
1、椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫 做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|P 1 | F |P 2 | F 2 a ( 2 a |F 1 F 2 |)
2、椭圆的标准方程
y
P
y M F2
F1 O
F2 x
的 周1长 .求 6 等 顶 A 的 于 点 轨.迹 方 程
二、新知探究
3、利用定义法求动点的轨迹方程.
例3
（2） 一 动 圆C1与 :x2圆 y2 6x50外 切 ,同 时 与 圆 C2 :x2 y2 6x910内 切 ,求 动 圆 圆 心 的 轨 方程 ,并说明它是什 . 么曲线
二、新知探究
O
x
F1
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
y2 x2 a2 b2 1(ab0)
F 1( c,0 )F 2(c,0 )
F 1(0 , c)F 2(0 ,c)
c2 a2b2
【练习1】已知ABC的顶点B,C在椭圆x2 y2 1
3 上,顶点A是椭圆的一个焦 ,且点椭圆的另一个焦点 在边BC上,则ABC的周长是 ( )
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
1、椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫 做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|P 1 | F |P 2 | F 2 a ( 2 a |F 1 F 2 |)
2、椭圆的标准方程
y
P
y M F2
F1 O
F2 x
的 周1长 .求 6 等 顶 A 的 于 点 轨.迹 方 程
二、新知探究
3、利用定义法求动点的轨迹方程.
例3
（2） 一 动 圆C1与 :x2圆 y2 6x50外 切 ,同 时 与 圆 C2 :x2 y2 6x910内 切 ,求 动 圆 圆 心 的 轨 方程 ,并说明它是什 . 么曲线
二、新知探究
O
x
F1
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
y2 x2 a2 b2 1(ab0)
F 1( c,0 )F 2(c,0 )
F 1(0 , c)F 2(0 ,c)
c2 a2b2
【练习1】已知ABC的顶点B,C在椭圆x2 y2 1
3 上,顶点A是椭圆的一个焦 ,且点椭圆的另一个焦点 在边BC上,则ABC的周长是 ( )
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
人教版高中数学选修2-1《轨迹方程的求法》
∵PM、PN 是圆 O1、圆 O2 的切线， ∴△PO1M 和△PO2N 是直角三角形. ∵|PM|= |PN|，∴|PM|2=2|PN|2. ∵由两圆的半径均为 1， ∴|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 设 P（x，y）.
关键： 找等量关系
∴(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，整理，得(x-6)2+y2=33. 故点 P 的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.
代入法
(相关点法)
当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上 的动点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两 动点的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件. 如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找 到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一 个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数 法中常选角、斜率等为参数.
易漏掉x≠－2的情 形！
x2 2 y 1 【2017 课标 II， 理】 设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C：2
上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 NP 2 NM 。 (1) 求点 P 的轨迹方程；
参数法 ——若动点Ｐ (x,y)的横、纵坐标之间 的关系不易找到，则可借助中间变量（参数） 来表示x,y，然后消去参数就得到动点Ｐ (x,y) 的轨迹方程
参数法
高考要求
求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题 之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其 实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化” 将其转化为寻求变量间的关系 。 这类问题除 了考查考生对圆锥曲线的定义，性质等基础知 识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及 一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成 为高考命题的热点！
专题-高中数学数学《轨迹问题》课件(共23张PPT)
45 9 20 16
练习二： 1、（P160变式训练2）若动圆M恒过定点 B（－2，0），且和定圆C：(x-2)2+y2=4外 切，求动圆圆心M的轨迹方程。
x2 y2 2、双曲线 C： 2 2 1( a 0, b 0)的离心率为 2， a b 4 2 2 且 | OA | | OB | | OA |2 | OB |2 , 其中A（ 0, b ) 3 2 y B( 0, a ), 求双曲线 C的方程。 答案：x 2 1 3
练习三：
（ 2 ）求动点 M的轨迹方程。
C
答案：（1）[-1，1］
E
பைடு நூலகம்
M
B
A D
（2）x2=4y，x∈[-2
，2］
2、在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2上 异于坐标原点O的两个不同动点A，B，满足 AO⊥BO，求△AOB的重心G的轨迹方程。 提示：法1：点参数，设A(x1,x12),B(x2,x22) 有x1x2=-1 法2：k参数，设直线AB的方程为y=kx+b, 有b=1
学。科。网
2、已知点 F（ 1,0 ），直线 l : x 1, P为平面上 的动点，过 P作直线l的垂线，垂足为点 Q，且 QP QF ＝FP FQ ，求动点 P的轨迹方程。
y2=4x
3、设M是圆A：x2+y2-6x-8y=0上的动点 ，O是原点，N是射线OM上的点，若 OM· ON＝150，求点N的轨迹方程。 N 提示：如图 M
知识要点 求轨迹方程的基本方法：
（1）直接法 （2）定义法
（3）相关点法（代入法） （4）参数法
学科网
双基固化 题型一：用直接法求轨迹方程
例1：平面内有两个定点B（－1，1）、 C（1，－1），动点A满足条件 tan∠ACB=2tan∠ABC，求动点A的轨迹方 程。 答案：3x-3y-2=0或x+y=0(除去B、C ）
练习二： 1、（P160变式训练2）若动圆M恒过定点 B（－2，0），且和定圆C：(x-2)2+y2=4外 切，求动圆圆心M的轨迹方程。
x2 y2 2、双曲线 C： 2 2 1( a 0, b 0)的离心率为 2， a b 4 2 2 且 | OA | | OB | | OA |2 | OB |2 , 其中A（ 0, b ) 3 2 y B( 0, a ), 求双曲线 C的方程。 答案：x 2 1 3
练习三：
（ 2 ）求动点 M的轨迹方程。
C
答案：（1）[-1，1］
E
பைடு நூலகம்
M
B
A D
（2）x2=4y，x∈[-2
，2］
2、在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2上 异于坐标原点O的两个不同动点A，B，满足 AO⊥BO，求△AOB的重心G的轨迹方程。 提示：法1：点参数，设A(x1,x12),B(x2,x22) 有x1x2=-1 法2：k参数，设直线AB的方程为y=kx+b, 有b=1
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2、已知点 F（ 1,0 ），直线 l : x 1, P为平面上 的动点，过 P作直线l的垂线，垂足为点 Q，且 QP QF ＝FP FQ ，求动点 P的轨迹方程。
y2=4x
3、设M是圆A：x2+y2-6x-8y=0上的动点 ，O是原点，N是射线OM上的点，若 OM· ON＝150，求点N的轨迹方程。 N 提示：如图 M
知识要点 求轨迹方程的基本方法：
（1）直接法 （2）定义法
（3）相关点法（代入法） （4）参数法
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双基固化 题型一：用直接法求轨迹方程
例1：平面内有两个定点B（－1，1）、 C（1，－1），动点A满足条件 tan∠ACB=2tan∠ABC，求动点A的轨迹方 程。 答案：3x-3y-2=0或x+y=0(除去B、C ）
高中数学课件-求轨迹方程
④化简：把方程化成最简形式
⑤证明：证明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上 建系设点---列方程---化简---审查
3.求轨迹方程的常用方法(坐标法)： ⑴直接法(直译法) ⑵定义法 ⑶相关点法(代入法) ⑷参数法 ⑸交轨法
例1.已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0)距离之比为 1
的点的轨迹，求此曲线的方程 2
当 k 1时，点P轨迹方程为 x 1，轨迹为线段OA的中垂线
当k
1 时，点P轨迹方程为
(x
k22k21)2
y2
(k
4k 2 2 1)2
2k 2 轨迹为以点 ( k 2 1,0)
为圆心， 2k k2 1
为半径的圆
阿氏圆
.P
.
O
Ax
例2.已知圆 O：x2 y2 4 和定点A(6,0),点B为圆C上一
动点，求线段AB的中点P的轨迹方程
解法2：取OA的中点Q，连接OB,PQ，因为P为AB的中点
所以PQ为△OAB的中位线 PQ 1 OB 1
定
2 所以点P的轨迹为以Q为圆心，1为半径的圆
义
其方程为 (x 3)2 y2 1
解：(直译法) 设点P(x,y)为所求轨迹上任意一点，则
x2 y2 1 (x 1)2 y2 4 (x 3)2 y2 2
所求曲线的方程为(x 1)2 y2 4
y
M.(x,y)
.
(-1,0) O
A. (3,0)
x
例2.已知圆 O：x2 y2 4 和定点A(6,0),点B为圆C上一
轨迹方程指出轨迹的形状，位置等特征
1.轨迹和轨迹方程的概念：平面上一动点M按一定规则 运动形成的曲线叫做动点M的轨迹，在平面直角坐标系
轨迹方程PPT课件
【解题回顾】注意运用过封闭曲线内的点的直线必与此曲 线相交这一性质.
2020年10月2日
8
3. 若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a 的值.
【解题回顾】对于开放的曲线，Δ=0仅是有一个公共点的充分但 并不一定必要的条件，本题用代数方法解完后，应从几何上验证 一下：当a=0时，曲线y2=ax蜕化为直线y=0，此时与已知直线y=x -1，恰有一个交点(1，0)；当a=-1时，直线y=-1与抛物线y2=-x的 对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次
❖ 即 Δ=(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，
❖ 亦即 5k2≥1-m 对一切实数k成立．
❖ ∴1-m≤0，即m≥1．
❖ 故20m20年的10月取2日值范围为m∈[1，5)．
7
2.
已知椭圆 x y 16 9
1 ，l1、l2为过点(0，m)且相互垂直的
两条直线，问实数m在什么范围时，直线l1、l2都与椭圆有 公共点
轴交于点N(x0，0)求x0
【解题回顾】第二小题中用k表示为x0的函数，即求函数x0 的值域. 本小题是转化为给定区间上二次函数的值域求法
2020年10月2日
返回11
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5. 设A为双曲线x2/16-y2/9=1右支上一点，F为该双曲线的 右焦点，连结AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲 线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点( A )
高中数学 第3课时轨迹方程的求法课件 新人教A必修2
小结：这种求轨迹方程的方法叫参数法。 （动点受某变量制约，可设该变量为参数 建立轨迹的参数方程，消参即可得到轨迹 方程）
变式：过定点M(1,3)作两互相垂直的直
线L1和L2， L1交x轴于A点， L2 交y轴于
点B，求线段AB中点P的轨迹方程。
练习：求方程x2y2 2 a x 23 a y 3 a 20
变式：已知点M与两个距离为4的定点M1,M2 的
距离比是1，求点M的轨迹方程.
例3.已知线段AB的端点B的坐标为(4,3)，
端点A在圆 (x1)2y24
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
小结：这种求轨迹的方法叫代入法，它适合于多动点 问题。A为主动点，M为从动点。
基本步骤： 1、设主动点坐标(a,b)，从动点坐标(x,y)； 2、建立主动点与从动点的坐标关系； 3、用从动点表示主动点； 4、将主动点带入主动点轨迹方程并化简。
例2. 已知点M与两个距离为4的定点
M1,M2 的距离比是1/2，求点M的轨迹方程.
小结：1、建系不同，所得轨迹方程不同；
某点为原点
2、建系方法：以图形的对称轴为坐标轴
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2021/12/162021/12/16December 16, 2021 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2021年12月2021/12/162021/12/162021/12/1612/16/2021 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/12/162021/12/16
《高三数学轨迹方程》PPT课件
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【作业】教材P131闯关训练。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【作业】教材P131闯关训练。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
高三数学轨迹方程课件
详细描述
双曲线有两个分支，且关于其主轴对称。此外，双曲线还有 渐近线的概念，即随着点无限远离主轴，其轨迹将无限接近 于两条直线。
抛物线
总结词
抛物线是一个平面截取一个圆锥面得到的几何图形，其轨迹方程通常表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a 不等于 0。
详细描述
物理学
描述物体在重力、电磁 场等作用下的运动轨迹
。
工程学
在机械、航空、航海等 领域用于计算和预测物
体运动轨迹。
经济学
在统计分析中用于研究 数据点分布和变化趋势
。
02
轨迹方程的求解方法
直接法
定义
直接法是指通过直接代入或消元法， 将几何条件转化为代数方程，从而得 到轨迹方程的方法。
适用范围
步骤
1. 根据题意，设动点坐标为$P(x, y)$ ；2. 代入已知的几何条件，得到代数 方程；3. 化简代数方程，得到轨迹方 程。
实例分析
通过具体实例，如行星运动轨迹、电磁波传播等，展示极坐标系下 轨迹方程的应用。
参数方程与轨迹方程的关系
参数方程的概念
01
参数方程是一种描述轨迹的方法，通过引入参数，将轨迹上的
点的坐标表示为参数的函数。
参数方程与轨迹方程的转化
02
将参数方程转化为轨迹方程是解决许多数学问题的关键步骤。
通过消去参数，可以将参数方程转化为轨迹方程。
高三数学轨迹方程课件
contents
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求解方法 • 常见轨迹方程的解析 • 轨迹方程的实际应用 • 轨迹方程的拓展与提高
01
轨迹方程的基本概念
双曲线有两个分支，且关于其主轴对称。此外，双曲线还有 渐近线的概念，即随着点无限远离主轴，其轨迹将无限接近 于两条直线。
抛物线
总结词
抛物线是一个平面截取一个圆锥面得到的几何图形，其轨迹方程通常表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a 不等于 0。
详细描述
物理学
描述物体在重力、电磁 场等作用下的运动轨迹
。
工程学
在机械、航空、航海等 领域用于计算和预测物
体运动轨迹。
经济学
在统计分析中用于研究 数据点分布和变化趋势
。
02
轨迹方程的求解方法
直接法
定义
直接法是指通过直接代入或消元法， 将几何条件转化为代数方程，从而得 到轨迹方程的方法。
适用范围
步骤
1. 根据题意，设动点坐标为$P(x, y)$ ；2. 代入已知的几何条件，得到代数 方程；3. 化简代数方程，得到轨迹方 程。
实例分析
通过具体实例，如行星运动轨迹、电磁波传播等，展示极坐标系下 轨迹方程的应用。
参数方程与轨迹方程的关系
参数方程的概念
01
参数方程是一种描述轨迹的方法，通过引入参数，将轨迹上的
点的坐标表示为参数的函数。
参数方程与轨迹方程的转化
02
将参数方程转化为轨迹方程是解决许多数学问题的关键步骤。
通过消去参数，可以将参数方程转化为轨迹方程。
高三数学轨迹方程课件
contents
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求解方法 • 常见轨迹方程的解析 • 轨迹方程的实际应用 • 轨迹方程的拓展与提高
01
轨迹方程的基本概念
【高中数学课件】轨迹方程的求法
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yp|
易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3
即yp= ±3，将它代入抛物线方程得
故所求P点坐标为
（
9 8
，3
）h 和（
9
x89 p，= -8 3 ）
它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
（2）分析：如图 椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|，
P为抛物线上的一点， 三角形的高为|yp|，
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yhp|y源自P（x，y） • x•A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是以 A 为焦点，以 n 为准线的抛物线。
h
20
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
a= 12+8 2= 4(3+2 2) =2 3+2 2
人教A版高中数学选修2-2课件轨迹方程的求法
上述五个步骤可简记为： 建系设点；写出关系式；列方程；化简；证明．
2.求轨迹方程的主要方法： (1)直接法（也称“直译法”、“列式法”） (2)定义法 (3)代入法（也称“相关点法”、“转移 法”）
3.轨迹问题还应区别是“求轨迹方程”,还是 “求轨迹”.
主要题型
(一).直接法（也称“直译法”、“列式法”） ---直接将题中所给的几何条件“翻译”成方程式
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左顶点为A,
下顶点为B, 动点P满足
PA AB m 4,(m R) 试求点P的轨迹方程, 使点B关 于该轨迹的对称点落在椭圆C上.
[解析] (1)
MF2
x轴,|
MF2
|
1 2
,由
椭圆的定义得
:|
MF1
|
1 2
2a,
|
MF1
|2
(2c)2
(2)因为动圆P过点N ,所以 | PN | 是该圆的半径, 又因为动圆 P与圆M 外切,
所以 | PM || PN | 2 2, 即 | PM | | PN | 2 2. 故点P的轨迹是以M、N为焦点， 实轴长为2 2的双曲线的左支. 因为实半轴长a 2,半焦距c 2. 所以虚半轴长b c2 a2 2. 从而动圆P的圆心的轨迹方程为 x2 y2 1( x 2).
x0
22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '(
x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m 5
)2
2m 4(
2.求轨迹方程的主要方法： (1)直接法（也称“直译法”、“列式法”） (2)定义法 (3)代入法（也称“相关点法”、“转移 法”）
3.轨迹问题还应区别是“求轨迹方程”,还是 “求轨迹”.
主要题型
(一).直接法（也称“直译法”、“列式法”） ---直接将题中所给的几何条件“翻译”成方程式
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左顶点为A,
下顶点为B, 动点P满足
PA AB m 4,(m R) 试求点P的轨迹方程, 使点B关 于该轨迹的对称点落在椭圆C上.
[解析] (1)
MF2
x轴,|
MF2
|
1 2
,由
椭圆的定义得
:|
MF1
|
1 2
2a,
|
MF1
|2
(2c)2
(2)因为动圆P过点N ,所以 | PN | 是该圆的半径, 又因为动圆 P与圆M 外切,
所以 | PM || PN | 2 2, 即 | PM | | PN | 2 2. 故点P的轨迹是以M、N为焦点， 实轴长为2 2的双曲线的左支. 因为实半轴长a 2,半焦距c 2. 所以虚半轴长b c2 a2 2. 从而动圆P的圆心的轨迹方程为 x2 y2 1( x 2).
x0
22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '(
x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m 5
)2
2m 4(
《轨迹与方程》PPT课件_OK
20
1．如果问题中涉及平面向量知识，那么应从已知向量的特点 出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数 形式进行转化．
2．在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性 质”、“数形结合”、“方程与函数性质”化解析几何问题为代 数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等 式”、“求变量范围构造不等关系”等等．
8
解析：(1)设 F′(－ 5，0)，F( 5，0)，并设圆 C 的半径为 r，
则||CF′|－|CF||＝|(2＋r)－(r－2)|＝4.
又 4<2 5，∴C 的圆心轨迹是以 F′，F 为焦点的双曲线，
且 a＝2，c＝ 5，从而 b＝1.
∴C 的圆心轨迹 L 的方程为：x42－y2＝1.
(2)如图 D20，||MP|－|FP||≤|MF|＝2，
第4讲 轨迹与方程
考纲要求
考纲研读
1.掌握椭圆的定义、几何图形和 标准方程．
1.能够利用的定义或待定系数法
2．了解双曲线、抛物线的定义、
求椭圆、双曲线及抛物线的方 程．
几何图形和标准方程．
3．了解抛物线的定义、几何图 形和标准方程.
2．能够利用相关点法、参数法 等求动点的轨迹方程.
1
求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系， 直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程． (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．先根据 条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数． (3)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭 圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求．
13
考点3 利用相关点法求轨迹方程
例3：已知点 A 在圆 x2＋y2＝16 上移动，点 P 为连接 M(8,0) 和点 A 的线段的中点，求 P 的轨迹方程．
1．如果问题中涉及平面向量知识，那么应从已知向量的特点 出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数 形式进行转化．
2．在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性 质”、“数形结合”、“方程与函数性质”化解析几何问题为代 数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等 式”、“求变量范围构造不等关系”等等．
8
解析：(1)设 F′(－ 5，0)，F( 5，0)，并设圆 C 的半径为 r，
则||CF′|－|CF||＝|(2＋r)－(r－2)|＝4.
又 4<2 5，∴C 的圆心轨迹是以 F′，F 为焦点的双曲线，
且 a＝2，c＝ 5，从而 b＝1.
∴C 的圆心轨迹 L 的方程为：x42－y2＝1.
(2)如图 D20，||MP|－|FP||≤|MF|＝2，
第4讲 轨迹与方程
考纲要求
考纲研读
1.掌握椭圆的定义、几何图形和 标准方程．
1.能够利用的定义或待定系数法
2．了解双曲线、抛物线的定义、
求椭圆、双曲线及抛物线的方 程．
几何图形和标准方程．
3．了解抛物线的定义、几何图 形和标准方程.
2．能够利用相关点法、参数法 等求动点的轨迹方程.
1
求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系， 直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程． (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．先根据 条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数． (3)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭 圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求．
13
考点3 利用相关点法求轨迹方程
例3：已知点 A 在圆 x2＋y2＝16 上移动，点 P 为连接 M(8,0) 和点 A 的线段的中点，求 P 的轨迹方程．
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轨 迹 问 题
高三备课直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的 等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简， 证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意 “挖”与“补”。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如 圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。
7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方 程常用待定系数法求 .
8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个 端点设为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 并代入圆锥曲线方程， 然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程 为 x
2
y
2
1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ 的
比等于常数 ( 0 ) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
2
六、点差法： 例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y
1 2 x
2
上一点，直线 l 过点P且与抛物线C交于另一点Q。 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的 轨迹方程。（图见教材P129页例2）。
说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以 及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求 切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问 题。
3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参 数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。
四、参数法与点差法题型： 例4 经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相 垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC 的中点M轨迹方程。 五、交轨法与几何法题型 例5 抛物线 y 4 px ( p 0 ) 的顶点作互相垂直的 两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射 影M的轨迹。（考例5） 说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。
【小结】 一、求轨迹的一般方法： 1．直接法，2．定义法，3．代入法，4．参数法， 5．交轨法，6．几何法，7.待定系数法， 8.点差法。
二、注意事项： 1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去 参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图 形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然 而得出动点的轨迹方程。
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
tan PMN 1 2 , tan MNP 2 ，且 PMN
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
高三备课直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的 等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简， 证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意 “挖”与“补”。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如 圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。
7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方 程常用待定系数法求 .
8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个 端点设为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 并代入圆锥曲线方程， 然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程 为 x
2
y
2
1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ 的
比等于常数 ( 0 ) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
2
六、点差法： 例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y
1 2 x
2
上一点，直线 l 过点P且与抛物线C交于另一点Q。 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的 轨迹方程。（图见教材P129页例2）。
说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以 及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求 切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问 题。
3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参 数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。
四、参数法与点差法题型： 例4 经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相 垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC 的中点M轨迹方程。 五、交轨法与几何法题型 例5 抛物线 y 4 px ( p 0 ) 的顶点作互相垂直的 两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射 影M的轨迹。（考例5） 说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。
【小结】 一、求轨迹的一般方法： 1．直接法，2．定义法，3．代入法，4．参数法， 5．交轨法，6．几何法，7.待定系数法， 8.点差法。
二、注意事项： 1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去 参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图 形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然 而得出动点的轨迹方程。
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
tan PMN 1 2 , tan MNP 2 ，且 PMN
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？