高数第八章
高数课件第八章
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和．
解
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
x x0
lim f [ ( x)] lim f (u ) A.
u a
意义：
x x0
lim f [ ( x )]
令 u ( x)
a lim ( x )
x x0
lim f ( u)
u a
ห้องสมุดไป่ตู้
(无穷小因子分出法)
小结:当a 0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
a0 , 当 n m , b 0 m m 1 a 0 x a1 x am lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
1 2 1 2 2 , 有界， B( B ) B , 故 B( B ) B 2
( 3)成立.
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
2
0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零. ( 型 ) 0 先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
《高等数学》第八章复习要点
第八章 多元函数微分法及其应用 复习要点多元函数的微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，深刻理解，融会贯通。
1. 会求多元函数的偏导数对二元函数),(y x f z =， x y x f y x x f x z f x ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 01，yy x f y y x f y z f y ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 02 因此求x z ∂∂时，暂时将y 看作常数，对x 求导; 求y z ∂∂时，暂时将x 看作常数，对y 求导.同理，会求三元函数的偏导数。
2. 会求多元函数的高阶偏导数对二元函数),(y x f z =，有)(2211x z x x z f ∂∂∂∂=∂∂=''， )(212xz y y x z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(221y z x x y z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(2222y z y yz f ∂∂∂∂=∂∂=''. 定理：xy z y x z x y z y x z ∂∂∂∂∂∂⇔∂∂∂=∂∂∂2222, 连续 3. 会求多元函数的全微分对二元函数),(y x f z =，dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= 对三元函数),,(z y x f u =，dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=4. 掌握多元复合函数的求导法则设)],(),,([),(),,(),,(y x v y x u f z y x v v y x u u v u f z =⇒===则 xv f x u f x v v z x u u z x z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21yv f y u f y v v z y u u z y z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21 重点：会求复合函数的二阶偏导数。
大学《高等数学》课件-第八章
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
则有
由勾股定理得
因
得两点间的距离公式:
对两点
与
例4. 求证以
证:
即
为等腰三角形 .
的三角形是等腰三角形 .
为顶点
例5. 在 z 轴上求与两点
等距
解: 设该点为
解得
故所求点为
及
思考:
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.
解: A、B、 C、M 四点共面
展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程
即
内容小结
设
1. 向量运算
加减:
数乘:
点积:
叉积:
混合积:
2. 向量关系:
思考与练习
1. 设
计算
并求
夹角 的正弦与余弦 .
答案:
2. 用向量方法证明正弦定理:
总之:
运算律 :
结合律
分配律
因此
定理1.
设 a 为非零向量 , 则
( 为唯一实数)
, 取 ＝±
且
再证数 的唯一性 .
则
反向时取负号,
则
例1. 设 M 为
解:
三、空间直角坐标系
由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
坐标原点
坐标轴
x轴(横轴)
y轴(纵轴)
z 轴(竖轴)
过空间一定点 O ,
备用题
解: 因
1. 设
求向量
在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分
向量. P13(19)
高数大一第八章知识点
高数大一第八章知识点近年来，数学在大学教育中的地位越来越重要，尤其是高等数学这门课程。
高等数学作为一门综合性的数学课程，不仅为学生提供了数学基础知识，也对他们培养了逻辑思维和解决问题的能力。
在大一的课程中，第八章是高等数学的重要一环。
本文将介绍高数大一第八章的知识点。
第八章主要内容为无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
首先，我们来看无穷级数的概念。
无穷级数是由一连串的数相加（或相减）所得到的无穷和。
其中，部分和是指对级数中的前n 项（n是一个整数）进行求和。
当部分和的极限存在时，我们称此无穷级数是收敛的；当部分和的极限不存在或正负无穷大时，我们称此无穷级数是发散的。
接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性判别法。
在第八章中，我们学习了几种常见的判别法，比如比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。
这些判别法可以帮助我们判断一个无穷级数是收敛还是发散，并且有时还可以估计出它的收敛域。
在学完无穷级数之后，我们来了解一下幂函数的泰勒展开。
泰勒展开是一种用无穷级数表示函数的方法，通过将一个函数表示成一系列的多项式来近似描述函数的行为。
泰勒展开的核心思想是将函数在某个点x=a处展开为幂级数。
通过求导和求导数值的换元，我们可以推导出求幂函数的泰勒展开的方法，并运用它来计算函数的近似值。
除了以上介绍的知识点，第八章还包括对数函数和指数函数的性质以及它们的图像、对数级数和指数级数等内容。
这些内容都是为了加深对高等数学的理解和应用。
总结来说，高数大一第八章是无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
通过研究这些知识点，我们可以理解数列的收敛性质，掌握无穷级数的收敛性判别法，学会求解幂函数的泰勒展开，进而提高数学推理和解题的能力。
这些知识点不仅对高等数学的学习有帮助，也对其他数学学科的学习有重要意义。
在实际应用中，第八章的知识点在物理学、工程学和经济学等学科中起着重要作用。
通过无穷级数的理论，我们可以对物理学中的波动和振动进行分析；通过幂函数的泰勒展开，我们可以在工程学中进行精确计算；通过收敛性的判别法，我们可以在经济学中对收益和成本进行预测和分析。
高等数学第八章
1 , x r Q ， x Q， D( x r ) D( x ) . x I. 0 , x r I, 即任意正有理数是 D( x ) 的周期，但正有理数
中不存在最小值， D( x ) 无最小正周期 故 .
负整数集： {， 2,1} , 整数集： {， 1 0， } Z Z ，1 ， ，
有理数集： {全体有理数 , Q } 无理数集： {全体无理数 , I } 实数集： Q I . R
3.常用不等式:
x , x0, 绝对值 : x R , x x , x 0 .
1 . x R, x 0 .
o
2 . x R, x x x .
o
3 . x h (h 0) h x h .
o
4 . x h (h 0) x h 或 x h .
o
5 . x, y R , x y x y x y .
1.1 函数的概念及其初等性质
1.1.1 预 备 知 识
1.一些常用的符号
“对每一个” . : 表示“对任意一个”或 “至少有一个” . ：表示“存在一个”或 “ ：表示“可推出”或若，则”.
或 ：表示“当且仅当”“充分必要” 或“等价” .
2.常用数集 自然数集： * {0,1,2,} , 正整数集： ( N ) {1,2,3,} , N Z
若 在周期函数 f ( x ) 的所有周期中存在 最小的正 周期 T ， 则称这个最小正周期T 为 f ( x ) 的 基本周期 . 通常我们所说的函数的 周期都是指基本周期.
常 用
f ( x ) sinx, cos x 的周期为T 2 , f ( x ) tan x, cot x 的周期为 T , F ( x) Asin( x B) C 的周期为T 2 ,
高等数学第八章知识点总结
高等数学第八章知识点总结第八章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
本文将对数列和级数的基本概念、极限、收敛性以及常见的数列和级数进行总结和归纳。
1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以有界，也可以无界。
数列的性质包括有界性、单调性和有界单调性。
1.1 有界性：如果存在一个正数M，对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么称数列是有界的。
1.2 单调性：如果对于数列的每一项a_n，都有a_n≤a_(n+1)（或a_n≥a_(n+1)），那么称数列是递增的（或递减的）。
1.3 有界单调性：如果数列既是递增的又是有界的，那么称数列是有界递增的；如果数列既是递减的又是有界的，那么称数列是有界递减的。
2. 数列的极限数列的极限是数列中的数值趋于无穷时的极限值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
2.1 数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-a|<ε，那么称数列{a_n}收敛于a。
反之，如果不存在这样的实数a，则称数列{a_n}发散。
2.2 数列的极限存在唯一性：如果数列{a_n}收敛于a，并且又收敛于b，那么a=b。
3. 数列的运算数列的运算包括数列的加法、数列的乘法和数列的数乘。
3.1 数列的加法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n + b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的和。
3.2 数列的乘法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n * b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的乘积。
3.3 数列的数乘：若{a_n}是一个数列，k是一个实数，定义数列{b_n} = {k * a_n}，则称{b_n}为{a_n}的数乘。
4. 级数的概念和性质级数是数列的和，级数的性质包括收敛性、发散性和级数的收敛域。
高数知识点总结大一第八章
高数知识点总结大一第八章高数知识点总结——大一第八章第八章是大一学生学习高等数学课程的一个重要章节，主要涉及到微分方程与微分方程应用。
微分方程作为高数的重要分支之一，对于大一学生来说是一个相对较难掌握的概念。
在本文中，我们将对大一第八章的知识点进行总结和梳理，着重讲解微分方程的基本概念以及应用。
1. 微分方程的定义与类型微分方程是含有未知函数的导数或微分的方程，通常由函数本身、函数的导数和自变量构成。
根据方程中未知函数的阶数和方程中导数的最高阶数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
常微分方程只涉及未知函数的一阶及以下导数，而偏微分方程涉及到未知函数的高阶导数。
2. 微分方程的解与解的存在唯一性对于一个微分方程，如果存在一个函数能够使方程成立，那么我们称这个函数为微分方程的解。
解的存在性和唯一性是微分方程研究中非常重要的问题。
根据解的存在性和唯一性定理，对于一阶线性常微分方程，只需满足某些条件，就能够保证存在唯一解。
3. 齐次与非齐次线性微分方程齐次线性微分方程的特点是其当中只有未知函数及其导数，不含自变量，且各项的次数都相同。
非齐次线性微分方程则多了一个非齐次项，依据齐次与非齐次方程的性质，我们可以采用特解叠加原理求解齐次线性微分方程。
4. 一阶线性微分方程的求解一阶线性微分方程是我们学习微分方程的一个重要的基础，其形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)。
可以通过分离变量的方法、两端除以积分因子的方法以及其他一些方法来求解这类微分方程。
其中，积分因子是一个非常关键的概念，能够将一些无法直接求解的微分方程转化为可以求解的形式。
5. 高阶线性微分方程与欧拉方程高阶线性微分方程是指二阶及以上的微分方程。
与一阶线性微分方程相比，高阶线性微分方程的求解要更加复杂。
在求解高阶线性微分方程时，我们可以采用特征根法、常系数法以及其他一些方法来求解。
欧拉方程是高阶线性微分方程中的一种特殊情况，通过一定的转化和代换，可以将欧拉方程转化为常系数线性微分方程，并进一步求解。
高等数学教材第八章
高等数学教材第八章第八章：多元函数的微分学第一节：多元函数的极限与连续性在高等数学中，多元函数是指与多个自变量相关的函数。
多元函数的微分学则是研究多元函数的导数、极限和连续性的数学分支。
多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值的变化趋势。
与一元函数类似，我们也可以讨论多元函数在某一点处的左极限、右极限，以及无穷远处的极限。
根据多元函数极限的定义，我们可以得到一元函数极限的特例。
多元函数的连续性则是指函数在某一点的极限等于函数在该点的函数值。
如果一个多元函数在定义域的每一点都是连续的，我们称其为连续函数。
与一元函数连续性的概念类似，多元函数的连续性包括点连续性和区间连续性两种情况。
第二节：多元函数的偏导数和全微分在研究多元函数的微分学时，最重要的概念之一就是偏导数。
偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，而将其他自变量视为常数。
通过偏导数，我们可以研究多元函数在不同自变量方向上的变化情况。
与偏导数相关的概念是全导数和全微分。
全导数是指多元函数对于所有自变量的导数，而全微分则是全导数与自变量的微小增量之积。
全微分在多元函数微分学中具有重要的应用价值。
第三节：多元函数的微分多元函数的微分是指函数在某一点处的局部线性近似。
通过微分，我们可以求得函数在某点处的切线、法线以及在该点附近的变化情况。
多元函数的微分是通过偏导数和全微分推导而来的。
通过求得多变量的微分，我们可以进一步研究函数的最值、优化问题等。
第四节：多元函数的导数多元函数的导数是指函数在某一点处的变化率。
与一元函数的导数类比，多元函数的导数也可以用于求得函数的极值、切线与法线方程等问题。
多元函数的导数是通过偏导数推导而来的。
通过求得各个自变量的偏导数，并将其组合成一个向量，我们可以得到多元函数的导数。
第五节：多元函数的高阶导数多元函数的高阶导数是对多层次的导数求导的结果。
与一元函数的高阶导数类似，多元函数的高阶导数可以用于求函数的高阶变化率，进一步研究函数的性质和行为。
高等数学第八章笔记
高等数学第八章笔记一、多元函数的基本概念。
1. 多元函数的定义。
- 设D是n维空间R^n中的一个非空子集，映射f:D→ R称为定义在D 上的n元函数，记为z = f(x_1,x_2,·s,x_n)，(x_1,x_2,·s,x_n)∈ D。
- 当n = 2时，z=f(x,y)，(x,y)∈ D，D是xy-平面上的一个区域。
2. 多元函数的极限。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数varepsilon，总存在正数δ，使得当0<√((x - x_0))^2+(y - y_{0)^2}<δ时，都有| f(x,y)-A|成立，则称常数A为函数z = f(x,y)当(x,y)to(x_0,y_0)时的极限，记作lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=A。
- 注意：(x,y)to(x_0,y_0)是指(x,y)以任何方式趋向于(x_0,y_0)。
3. 多元函数的连续性。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，如果lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)，则称函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)处连续。
- 如果函数z = f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称函数z = f(x,y)在区域D内连续。
二、偏导数。
1. 偏导数的定义。
- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，固定y = y_0，函数z = f(x,y_0)在x = x_0处的导数，称为函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)对x的偏导数，记作f_x(x_0,y_0)或(∂ z)/(∂ x)|_(x_{0,y_0)}，即f_x(x_0,y_0)=lim_Δ xto0frac{f(x_0+Δ x,y_0) - f(x_0,y_0)}{Δ x}。
高等数学第八章课件.ppt
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
高数第八章知识点
, y(t)
( t )
给出，函数 f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f [x(t), y(t)]
x2 (t) y2 (t)dt
( )
L
注意:
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的.
特殊情形
(1) L : y y(x) a x b.
f (x, y)ds
b
f [x, y(x)]
1 y2 (x)dx.
(a b)
L
a
(2) L : x x( y) c y d.
f (x, y)ds
d
f [x( y), y]
1 x2 ( y)dy.
第一卦限部分。
x2 y2在
三、第二类曲面积分的概念
变力F P(x, y) i Q(x, y) j沿L AB所作的功：
W P(x, y)dx Q(x, y)dy
L
第二类曲线积分又称为对坐标的曲线 积分。
性质
也称为对坐标的曲线积分
(1) L P(x, y)dx Q(x, y)dy L P(x, y)dx LQ(x, y)dy
y 2
ds
1
dy
2
dx
dx
1 1 dx 2x
y2=2x
yds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y 2 , 0≤y≤2 2
大一高数笔记第8章知识点
大一高数笔记第8章知识点第8章知识点总结在大一的高数课程中，第8章是一个非常重要的章节，主要涵盖了极限与连续的概念和性质。
通过学习本章的知识点，我们能够更好地理解数学中的极限概念，并能够应用这些知识解决实际问题。
1. 极限的定义与性质极限的概念是微积分学中最基础也是最重要的概念之一。
在第8章中，我们学习了极限的定义和一些基本性质。
首先，我们了解到当一个数列或函数的值随着自变量趋向某个数时，如果它的值越来越接近一个确定的常数，那么这个常数就是该数列或函数的极限。
其次，极限的性质包括唯一性、有界性和保序性。
也就是说，如果一个数列或函数有极限，那么它的极限是唯一的，并且有界性和保序性也成立。
2. 无穷小与无穷大在学习极限的同时，我们也要了解无穷小和无穷大的概念。
无穷小是指当一个数趋向于零时，与它等价的数。
而无穷大则是指当一个数趋向于无穷大时，与它等价的数。
我们可以通过一些简单的例子来理解无穷小与无穷大的概念。
例如，当一个数x无限接近于零时，我们可以用1/x来表示无穷小。
而当一个数x趋向于无穷大时，我们可以用x来表示无穷大。
3. 极限的运算法则在高数中，我们经常需要对具有极限的数列或函数进行运算。
在第8章中，我们学习了一些极限的运算法则。
首先是两个函数的和、差、积、商的极限法则。
这些法则告诉我们，当两个函数的极限存在时，它们的和、差、积、商的极限也存在，并且可以通过将两个函数的极限相加、相减、相乘、相除来计算。
其次是复合函数的极限法则。
当一个函数由两个函数复合而成时，我们可以利用复合函数的极限法则来计算其极限。
最后是数列的极限法则。
当一个数列由两个或多个数列组合而成时，我们可以利用数列的极限法则来计算整个数列的极限。
通过掌握这些极限的运算法则，我们能够更加便捷地计算复杂函数的极限。
4. 极限存在准则在高数中，我们经常需要判断一个数列或函数是否存在极限。
在第8章中，我们学习了一些判断极限存在的准则。
首先是夹逼准则。
高等数学第八章知识点总结
高等数学第八章知识点总结1.常微分方程：常微分方程是指只涉及一个自变量的微分方程。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和二阶常微分方程两种。
2. 一阶常微分方程：一阶常微分方程的一般形式为dy/d某 =f(某,y)，其中f(某,y)是已知函数。
可以通过分离变量、变量代换和齐次方程等方法求解。
一阶线性常微分方程的一般形式为dy/d某 + P(某)y = Q(某)，可以用积分因子法求解。
3.二阶常微分方程：二阶常微分方程的一般形式为y''+P(某)y'+Q(某)y=f(某)，其中P(某)、Q(某)和f(某)是已知函数。
可以通过齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加得到二阶常微分方程的通解。
常见的二阶线性常微分方程有齐次线性方程、非齐次线性方程和欧拉方程。
4.偏微分方程：偏微分方程是指涉及多个自变量的微分方程。
偏微分方程的求解方法与常微分方程有所不同。
常见的分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程。
5. 二阶线性偏微分方程：二阶线性偏微分方程的一般形式为Au_某某 + 2Bu_某y + Cu_yy + Du_某 + Eu_y + Fu = 0，其中A、B、C、D、E和F为已知函数。
可以通过分离变量、变量代换和变系数法等方法求解。
6.泊松方程和拉普拉斯方程：泊松方程的一般形式为△u=f(某,y,z)，拉普拉斯方程是泊松方程的特例，即泊松方程中f(某,y,z)为零。
泊松方程和拉普拉斯方程在物理学中有广泛应用。
7.边值问题和初值问题：求解偏微分方程时，通常需要给出边界条件或初值条件。
边值问题是指在一定边界上给出方程的解，初值问题是指在某一初始时刻给出方程的解。
8.分离变量法和变量代换法：分离变量法将偏微分方程中的变量分离出来，变成常微分方程来求解；变量代换法通过适当的变量代换，将偏微分方程转化为常微分方程来求解。
总的来说，高等数学第八章主要讲述了常微分方程和偏微分方程的求解方法和应用，为后续学习微分方程的相关内容打下基础。
高数笔记大一第八章知识点
高数笔记大一第八章知识点高数笔记：大一第八章知识点第一节：极限与连续在数学中，极限与连续是非常重要的概念。
在大一第八章中，我们将学习极限和连续的相关知识点。
1. 极限的定义和性质极限是函数和数列的重要概念，它描述了函数在某一点或者数列在无限项中的表现。
极限的定义是：对于函数f(x)，当自变量x无限趋近于a时，如果函数值f(x)无限接近于L，则称L为函数f(x)在点a处的极限。
极限的性质包括四则运算法则、复合函数极限法则等。
2. 极限运算法则在计算函数极限时，可以应用四则运算法则。
例如，两个函数f(x)和g(x)的极限可以通过求和、差、乘积和商来计算。
此外，还有极限的倒数法则和复合函数的极限法则等。
3. 连续与间断连续是指函数在某一点上没有间断，即函数在该点和附近都存在极限，并且两极限相等。
间断则指函数在某一点上发生了不连续的情况，可以分为可去间断、跳跃间断和无穷间断等。
4. 初等函数的连续性初等函数包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在定义域内都是连续的，即在其定义域内每一点都存在极限。
第二节：导数与微分导数与微分是微积分的重要内容之一，在大一第八章中，我们将学习导数和微分的相关知识点。
1. 导数的定义和性质导数的定义是函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它的导数f'(x)表示当自变量x无限接近于某一点a时，函数值f(x)的变化率。
导数的性质包括可导和连续的关系、导数与函数的单调性等。
2. 常见函数的导数常见函数的导数有一些基本的公式。
例如，多项式函数的导数就是各项的指数减一，指数函数的导数等于函数本身乘以自然对数的底数e。
对于三角函数和反三角函数，也有相应的导数公式。
3. 高阶导数和隐函数求导除了一阶导数外，函数还可以有高阶导数。
高阶导数表示导数的导数，可以通过多次求导来获得。
隐函数求导是指当一个函数关系不能直接表示出y关于x的函数表达式时，通过一些方法求得它们之间的导数关系。
高等数学第六版（同济版）第八章复习资料汇总
高等数学第六版（同济版）第八章复习资料汇总第一篇：高等数学第六版(同济版)第八章复习资料汇总第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算一、向量的相关概念1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2.向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为或.3.向量的模：称向量的大小为向量的模，记为.4.自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5.单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作.6.零向量：称模为0的向量为零向量，记作7.两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作.(即两个向量平移后重合 8.两向量的夹角：，9.两向量平行：若非零向量与所成的角或，则称的与平行，记作.规定: 零向量与任何向量平行10.两向量垂直：若非零向量与所成的角，则称的与垂直，记作注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直 11.向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线 12.向量共面：将个向量的起点放到同一点时，若个终点与公共起点在一个平面上，则称这个向量共面.二、向量的线性运算1．向量的加减法(1).向量的加法①．运算法则：设有向量与，求与的和.I.三角形法则： II.平行四边形法则：.②.运算规律：1°.交换律：2°.结合律：注:，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即.(2).向量的减法①．负向量：称与向量同模反向的向量为它的负向量，记作②.两向量的差：称向量与向量的负向量的和为与的差向量，记作.注：特别地，当时，.③．运算法则：设有向量与，求与的差.I.平行四边形法则：.II.三角形法则：.(3).运算定理：.2．向量与数的乘法(1).定义：称向量与实数的乘积为向量的数乘.注：1°.规定是一个向量2°.3°.若，则与同向；若，则与反向；若，则.(2).运算规律：①．结合律：.②．分配律：.(3).性质①．向量的同向单位向量：，.②．向量平行的充要条件(定理)：若向量，则向量平行于唯一的实数，使③．数轴上的点的坐标为的充要条件为：，其中向量为数轴的单位向量，实数称为有向线段的值.例1.如图，用、表示、、以及，进而.又，故，进而三、空间直角坐标系解：由于，故1.空间直角坐标系：坐标系或坐标系2.坐标面：面；面；面.3.卦限：；；；；；；；4.空间点的坐标：(向径).(1).向量的坐标分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐标：.(4).点的坐标：注：1°.面上点的坐标：；2°.轴上点的坐标：；面上点的坐标：；轴上点的坐标：；面上点的坐标：.z轴上点的坐标：四、利用坐标作向量的线性运算：设，.1.向量线性运算的坐标表示：(1).加减法：.(2).数乘：(3).两向量平行：注：1°.若，则2.若，则例2.已知，求线性方程组的解向量解：方程①乘2减去方程②乘3得：，方程①乘3减去方程②乘5得：例3.已知两点、在直线AB上求一点M，使.及实数，解：因为，因此有，整理得，代入坐标得，从而得到点M的坐标注：线段AB中点坐标公式五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间距离公式：(1).向量的模：，.(2).两点间距离公式：点与之间的距离：推导：因为，所以例4.求证以三点、、为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点间距离公式，有；；，由于，故为等腰三角形.例5.在z轴上求与两点、等距离的点.解：由题可设所求点为，有，即，整理得，故所求点为.例6.已知两点、，求与同向的单位向量解：因为，所以，于是 2.方向角与方向余弦(1).向量的方向角：称非零向量与三条坐标轴的夹角为向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.；2°..例7.已知两点、，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，从而有于是，，由此可得例8．设点A位于第I卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为的坐标、，且，求点A，解：由于，并且，有由题可知，故，于是，故点A的坐标为.3.向量在轴上的投影(1).向量在轴上的投影：设向量与u轴正向的夹角为，称数为向量在u轴上的投影，记作或注：向量在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即，(2).投影的性质：①．.②．例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|= a，求在解：记，有，于是.§8.2数量积、向量积一、两向量的数量积1．常力沿直线所作的功：2.两向量的数量积(1).定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积为与的数量积，内积或点积，记作注：1°.2°..3°..(2).运算规律①．交换律：.(由定义可知)②．分配律：③．结合律：； 3.两向量数量积的坐标表示式：若，则4.两非零向量夹角余弦的坐标公式：例1.试用向量证明三角形的余弦定理：.解：在中，记，，，有，从而，即例2.已知三点、和，求解：由题可得，于是，故例3.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m(液体的密度为解：单位时间内经过该区域的液体的体积为，所求质量为.二、两向量的向量积1.力对支点的力矩：模：；方向：与及的方向成右手规则.2.两向量的向量积(1).定义：设有向量与，夹角为，称为与的向量积(叉积、外积)，其中，方向与和的方向符合右手规则，记作.注：1°.2°.3°.的几何意义：以与为邻边的平行四边形的面积.(2).运算规律①．反交换律：.②．分配律：.③．结合律：(3).两向量的向量积的坐标表示式：设，则.例4..证明：在三角形中，记，，由于，即，整理得.例5.设，计算解：.例6.已知三角形ABC 的顶点分别是、和，求三角形ABC的面积解：由于，有，于是.例7.设刚体一角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解：在轴l上引进一个角速度向量，使，其方向与旋转方向符合右手法则，在l上任取一点O，作向径，它与的夹角为，则点M离开转轴的距离，由物理学中线速度和角速度的关系可知，且、、符合右手规则，于是.§8.3曲面及其方程一、曲面方程的相关概念1.曲面方程：若曲面S上任一点的坐标都满足方程，且不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S的方程，而称曲面S为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1).已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2).已知关于点的坐标、、之间的一个方程，研究该方程所表示曲面的形状例1.建立球心在点、半径为R的球面方程解：设为所求球面上任一点，有，即，整理得例2.设有点和，求线段AB的垂直平分面的方程.解：设为所求平面上任一点，由题意，有，即，整理得例3.方程表示怎样的曲面？解：原方程变形为，表示以为球心，以5为半径的球面.二、旋转曲面1.定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2.旋转曲面的方程：曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.(绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁推导：在曲线C上任取一点，有，且点到z轴的距离.当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴旋转到点，其中，点到z轴的距离，由于，有，即，代入曲线方程有注：1°.曲线C：绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：2°.曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：；绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：3.常见旋转曲面及其方程(1).圆锥面及其方程①．圆锥面：称由直线L绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角为圆锥面的半顶角②．圆锥面的方程：以坐标原点o为顶点，以为半顶角，以z轴为旋转轴的圆锥面的方程为：，其中推导：在坐标面上，过原点且与z轴夹角为的直线方程为，于是，直线L绕z轴旋转而成的圆锥面的方程为，整理得注：1°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以x，其中2°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以y，其中(2).旋转双曲面及其方程①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双叶双曲面②．旋转双曲面的方程：(双曲线：.旋转单叶双曲面的方程：(绕z轴旋转.旋转双叶双曲面的方程：(绕x轴旋转)三、柱面1.柱面的定义：称由直线L沿定曲线C平行于定直线l 移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C为柱面的准线，动直线L为柱面的母线.2.几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁(1).圆柱面：.(准线为坐标面上的圆：，母线平行z轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行x 轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行y轴(2).过坐标轴的平面：，过z 轴，准线为坐标面上的直线，过x轴，准线为坐标面上的直线.，过y 轴，准线为坐标面上的直线四、二次曲面 1.椭球面：.2.椭圆锥面： 3.单叶双曲面：.4.双叶双曲面：5.椭圆抛物面：.6.双曲抛物面：7.椭圆柱面：.8.双曲柱面： 9.抛物柱面：§8.4空间曲线及其方程一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C.二、空间曲线的方程1.一般式(面交式)方程：例如：表示圆柱面与平面的交线.表示上半球面又如：与圆柱面的交线 2.参数方程：，其中点随着参数t的变化遍历曲线C 例1.称由点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，又同时以线速度v沿平行z轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程解：取时间t为参数，对应点，对应点，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋线的参数方程为，令，则螺旋线的参数方程为三、空间曲线在坐标面上的投影 1．投影柱面：称以空间曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面为曲线C关于坐标面的投影柱面2.空间曲线的投影：称空间曲线C关于坐标面的投影柱面与坐标面的交线为空间曲线C在坐标面上的投影曲线，也称为投影3.空间曲线的投影方程：空间曲线C：在坐标面上的投影方程，其中为方程组消去z所得的投影柱面方程.注：1.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为2°.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为例2.求曲线在坐标面上的投影方程.解：现求曲线C在关于坐标面上的投影方程，将方程组消去z 得投影柱面方程：，于是所求投影方程为例3.求由上半球面和锥面所围成的立体在坐标面上的投影解：先求曲线关于坐标面的投影方程，消去z 在坐标面上的投影方程为，从而所求投，故曲线影为圆域：§8.5平间及其方程一、平面的点法式方程1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量2.平面的点法式方程：过点，以向量为一法向量的平面推导：在平面上任取一点，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点不在平面上，则向量不垂直法向量，从而，即不在平面上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面的点法式方程.例1.求过点且以为法向量的平面的方程解：由平面的点法式方程得，整理得.例2.求过三点、和的平面的方程解：先求所求平面的一个法向量，由题可得向量，可取，于是所求平面的方程为，整理得.二、平面的一般方程1.平面的一般方程：(*)推导：若点满足方程(*)，则有，(**)两方程相减得，(*** 方程(***)为过点，以向量为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)为平面的一般方程，其一法线向量为2.几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁(1).过原点的平面方程：，法向量为.(2).平行x轴的平面方程：，法向量为(3).垂直于x轴(平行坐标面)的平面方程：，法向量为.例3．求通过x轴和点的平面的方程解：由题意，可设所求平面的方程为：，(*)又点在该平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.设一平面与x、y、z轴的交点依次为、，求该平面的方程解：设所求平面的方程为，(*)将PQR三点坐标代入得，，代入方程(*)，从而有所求平面方程为，称之为平面的截距式方程三、两平面的夹角及点到平面的距离得1.两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角 2.两平面夹角的余弦：设平面1的法线向量为，平面，两平面的夹角为，则注：1°..2°.3.点到平面的距离：平面外一点到平面的距离为推导：在平面上任取一点，过点作平面的一法向量，有，由于，，由于于是，又点在平面上，故有，从而例5.求两平面和的夹角.解：由两平面夹角余弦公式，故所求夹角为例6.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程.解：设所求平面的一个法线向量为，由题可知向量在平面上，已知平面的一个法线向量为，由题意有，有；，有；由以上两方程可得，故所求平面的法线向量为，于是所求平面的方程为，整理得另解：由题可知所求平面上一向量，又已知平面的一个法线向量为，易知不平行于，故可取所求平面的一个法线向量为，于是所求平面方程为：，整理得第六节空间直线及其方程一、空间直线：称空间两平面1、的交线为空间直线.二、空间直线的方程1.一般(面交式)方程：2.对称式(点向式)方程(1).直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量(2).直线的点向式方程：过点以向量为方向向量的直线L.推导：在直线L上任取一点，有向量，由于，故有，(*)即直线L上点的坐标都满足方程(*)反之，若点不在直线L上，则由于不平行，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L 的方程，称为直线的对称式或点向式方程.注：1°.mnp不同时为零2°.若，则直线L的方程为，即平面上的直线3°.若，则直线L的方程为，即平面与交线，过点且平行z轴 3.参数方程：注：一般式对称式参数式例1.用对称式方程以及参数方程表示直线解：先找出该直线上一点：不妨取，代入原方程组得，解得，即为该直线上一点再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为，故可取.，得到所给直线的参数方程：令.三、两直线的夹角 1.两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角 2.两直线夹角的余弦：直线的方向向量为，直线的方向向量 ,两直线的夹角为，则注：1°.2°.例2.求直线.和的夹角.解：由题可知直线的方向向量为，直线的方向向量为，设的夹角为，则由两直线夹角余弦公式得故四、直线与平面的夹角 , 1.直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影直线的夹角为直线与平面的夹角..2.直线与平面夹角的正弦：若直线的方向向量为，平面为.与的夹角为，则.注：1°.2°..例3.求过点且与平面垂直的直线的方程解：由题意，可取为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为.五、平面束及其方程1.平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束2.平面束的方程：设有直线，其中与不成比例则通过直线的平面束的方程为：.注：该平面束不包含平面例4.求直线在平面上的投影直线的方程解：过直线的平面束的方程为，即，其中为待定常数.由题可知，该平面与已知平面垂直，故，即，解得.由此可得所给直线关于所给平面的投影平面的方程为，整理得,故所求投影直线的方程为.六、点到直线的距离：直线外一点到直线的距离为：为直线上的一点推导：在直线上任取一点，有向量，设点到直线的距离为，由于，故例5.求点的距离.解：由题可知，所给直线的方向向量为，点，由平面外一点到直线的距离公式得：.七、杂例：例6.求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程.解法一(点向式由题可知两已知平面的法向量分别为和，故可取线的一个方向向量，即，于是所求直线方程为.解法二(一般式过点且与平面平行的平面方程为，过点平行的平面方程为以所求直线方程为例7.与平面的交点.解：易知所给直线的参数方程为，，解得，代入直线的参数方程得所求交点的坐标例8.求过点垂直相交的直线方程.第二篇：高等数学第六版(同济版)第九章复习资料[模版]第九章多元函数微分法及其应用引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至元函数上去第一节多元函数的基本概念一、平面点集的相关概念 1.平面点集：具有性质P} 例如：，其中点表示点2.邻域：(1).邻域：(2).去心邻域：3.坐标面上的点与平面点集的关系：(1).内点：若，使，则称为的内点.(2).外点：若，使，则称为的外点(3).边界点：若，且，则称为的边界点边界：的边界点的全体称为它的边界，记作.(4).聚点：若，则称为的聚点导集：的聚点的全体称为它的导集注：1°.若为的聚点，则可以属于，也可以不属于2°.内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点.例如：；.4.一些常用的平面点集：(1).开集：若点集的点都是其内点，则称为开集(2).闭集：若点集的边界，则称为闭集.(开集加边界(3).连通集：若中任何两点都可用属于的折线连接，则称为连通集.(4).开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域.(5).闭区域：开区域加上其边界称为闭区域例如：为区域.为闭区域.(6).有界集：若，使，则称为有界集.(7).无界集：若，使，则称为无界集二、维空间：对取定的自然数，称元数组的全体为维空间，记为.注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到维空间.三、多元函数的概念 1.，或，其中因映自变变量射量定义域：D 值域：注：可推广：元函数：，.例: 1.，2.，2.几何表示：函数对应空间直角坐标系中的一张曲面:.四、二元函数的极限1.定义：设函数的定义域为，点若，，为，满足，则称为当，称之为的二重极限例1.设证明：，要使不等式，求证成立，只须取，于是，，总有，即例2.不存在，其中证明：当沿直线趋于时，总有，随着的不同而趋于不同的值，故极限不存在例3.求极限五、二元函数的连续性 1.二元函数的连续性:设函数的定义域为D，点为D的聚点，且，则称在点连续 2.二元函数的间断点: 设函数的定义域为D，点为D的聚点，若在点不连续，则称为的间断点.注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点.3.性质：设D为有界闭区域(1).有界性：，有(2).最值性：，使得，有(3).介值性：，使得.4.二元连续函数的运算性质(1).和、差、积仍连续；(2).商(分母不为零)连续；(3).复合函数连续.5.二元初等函数及其连续性(1).二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.(2)..例4.，则解：令例5...(分子有理化)第二节偏导数引入：在一元函数微分学中，我们研究了一元函数的变化率—导数，并利用导数研究了函数的性态.对于多元函数，我们也要讨论它的变化率，但由于多元函数的自变量不止一个，所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多.我们还是以二元函数为例来研究多元函数的变化率，先把二元函数中某一自变量暂时固定，再讨论二元函数关于另一个自变量的变化率，这就是数学上的偏导数.一、偏导数的相关概念1.偏导数：设函数在点的某邻域内有定义，把暂时固定在，而处有增量时，相应地有增量.若极存在，则称此极限值为函数在点处对的；或注: 1°..2°..2.偏导函数：若函数在区域D内每一点处对或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数, 或；或.注：可推广：三元函数在点处对的偏导数定义为例1.求在处的偏导数.，.例2.求的偏导数.，.例3.求的偏导数.，..3.偏导数的几何意义(1).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率(2).偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率.4.函数偏导数存在与函数连续的关系：函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系.(1).函数在点处偏导数存在，但它在点却未必连续例如：函数在点的两个偏导数都存在，即，.不存在，故在点不连续(2).函数在点连续，但它在点处却未必存在偏导数例如：函数在点连续，但它在点对及的偏导数都不存在，这是因为：，即在点对及的偏导数都不存在.二、高阶导数1.二阶偏导数：若函数对及的偏导数及对及的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数记作：；；(二阶纯偏导数)；.(二阶混合偏导数)(二阶纯偏导数注：1°.一般地，二元函数的阶偏导数的偏导数称为它的阶偏导数2°.二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数.3°.二元函数的阶偏导数至多有个.例4.设，求它的二阶偏导数.；；；；；.总结：从这一例题，我们看到：，即两个二阶混合偏导数相等，与求导顺序无关.那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢？我们说不是的，例如：，在点，有，事实上，；而，，于是，，即那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢？有下面的定理：2.二阶混合偏导数的性质定理：若函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续，则它们在D内必相等，即注：1°.可推广：高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关.2°.一般地，若二元函数的高阶混合偏导数都连续，则的阶偏导数只有个第三节全微分一、全微分的相关概念1.偏增量：称为函数对的偏增量称为函数对的偏增量2.偏微分：称与为对及的偏微分.注：，但在实际应用中，往往要知道函数的全面的变化情况，即当自变量有微小增量、时，相应的函数增量与自变量的增量、之间的依赖关系，这涉及到函数的全增量.3.全增量：称为函数在点、的全增量一般来讲，计算全增量是比较困难的，我们总希望像一元函数那样，利用、的线性函数来近似代替函数的全增量，为此，引入了全微分4.全微分：若函数在点的某领域内有定义，且在的全增不依赖于、，可表示为，其中而仅与、有关，则称在点可微分，而称为在点的全微分，记作，即若在区域D内每一点都可微分，则称在D内可微分.注：我们知道，当一元函数在点的微分存在时，那么，当二元函数在点的全微分存在时，、又为何值呢？下面讨论二元函数可微分与连续、可微分与偏导数存在的关系，从中得到、的值.二、二元函数可微分与偏导数存在、可微分与连续的关系1．函数可微分的必要条件定理1.若函数在点可微分，则它在点的两个偏导数必定存在，且在点的全微分证明：由于在点可微分，则有，。
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
精品课件-高等数学-第八章
dz=AΔx+BΔy 也称函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微．
对二元函数，可以证明如果函数z=f(x，y)在点(x，y)的 某一邻域内有连续的偏导数fx′ (x，y)，fy′ (x，y)，则函 数z=f(x，y)在点(x，y)处可微，并且
dz=fx′ (x，y)Δx+fy′ (x，y)Δy
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 8.2 高阶偏导数与全微分 8.3 多元函数的极值
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 一、 多元函数的概念 在很多自然现象和实际问题中，经常会遇到多个变量之间 的依赖关系． 引例1 [直角三角形面积] 直角三角形面积S与底边长x， 高y之间具有关系
类似地，有
第八章 多元函数微分学及其应用
r
2y
y
y 2 x2 y 2 z 2 r
r
2z
z
z 2 x2 y 2 z 2 r
例6 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)，求证：
证明 因为
p V T 1 V T p
p RT , V
V RT , p
T pV , R
p V
RT V2
p RT (V>0，T>0，R为常量)
大一高数第8章知识点归纳
大一高数第8章知识点归纳大一的高数课程是大多数理工类专业学生必须学习的一门基础课程。
在高数的学习过程中，第8章是一个相对较为重要的章节，它主要讲述了一元函数的微分与导数运算，以及函数的图形和性质。
一、一元函数的微分与导数在第8章中，我们首先学习了一元函数的微分与导数。
微分是导数的基本概念，通过微分可以研究函数在某一点的变化情况。
而导数是函数在某一点的变化速率，可以用来描述函数的斜率。
1.1 函数的导数定义在第8章中，我们首先学习了函数的导数定义。
对于一元函数f(x)，在其定义域内，若存在极限lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h=λ〗，则称函数f(x)在点x处可导，其导数值为f'(x)=λ。
导数的计算与函数关系密切，它可以用来研究函数的变化性质。
1.2 微分与导数的关系微分是导数的微小变化，它与导数有着密切的联系。
微分是函数在某一点的增量，当自变量发生微小变化时，函数的微分随之产生。
通过微分可以刻画函数在某一点的变化趋势，进而研究函数的性质和图形。
1.3 导数的基本运算法则在第8章中，我们学习了导数的基本运算法则，包括：（1）常数函数的导数为0；（2）幂函数的导数为其幂次减1与系数的乘积；（3）指数函数的导数等于其自身与底数的乘积。
二、函数的图形与性质在第8章中，我们还学习了函数的图形与性质。
通过研究函数的图像，可以更加直观地理解函数的性质与变化规律。
2.1 函数的增减与极值函数的增减性与极值是函数性质的重要特征。
在第8章中，我们学习了如何通过导数的符号变化来判断函数的增减性，并通过导数为零的点来找到函数的极值。
2.2 函数的凹凸与拐点函数的凹凸性与拐点也是函数图像的重要性质。
在第8章中，我们学习了如何通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性，并通过二阶导数为零的点来找到函数的拐点。
2.3 曲线的渐近线曲线的渐近线是指当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数图像接近的一条直线。
在第8章中，我们学习了曲线的水平渐近线和斜渐近线的判定方法，并通过求出函数的极限来确定渐近线的方程。
高数大一知识点第八章总结
高数大一知识点第八章总结第八章高数大一知识点总结在大学的数学课程中，高数是一门重要且基础的学科。
第八章是高数课程中的一部分，涉及到了一些重要的知识点。
本文将对这些知识点进行总结和概述。
1. 无穷级数无穷级数是指由无数个项组成的级数。
常见的无穷级数有等比级数和调和级数等。
等比级数是指每一项与前一项之比都相等的级数，调和级数是指每一项与自然数之和之倒数成反比的级数。
对于一个无穷级数，我们可以通过数列收敛的性质来判断它是否收敛。
当级数的各项趋近于0，并且无穷级数的部分和能够趋近于一个有限的值时，我们说这个无穷级数是收敛的；当部分和趋近于无穷大时，我们说这个无穷级数是发散的。
2. 幂级数幂级数是指以一个变量为自变量，以系数递增的幂为函数表达式的级数。
常见的幂级数有收敛半径有限的幂级数和收敛半径为无穷的幂级数等。
对于一个幂级数，我们需要确定它的收敛半径。
根据柯西-阿达玛公式，我们可以通过计算级数的极限值来确定收敛半径。
3. 泰勒级数泰勒级数是一种特殊的幂级数，是用幂次递增的项来表示一个函数的级数展开式。
泰勒级数可以用来近似计算一个函数的值，并且在数学和物理领域中有着广泛的应用。
对于一个函数，我们可以通过求导和代入极限的方法来计算它的泰勒级数展开式。
当给定某个函数在某个点的无穷次导数时，我们可以通过泰勒级数来近似计算函数在该点附近的值。
4. 常微分方程常微分方程是指一个函数和它的导数之间的关系式。
在实际问题中，常微分方程可以用来描述各种动态变化的现象。
常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程。
一阶常微分方程是指一个未知函数的导数只出现一次的方程，而二阶常微分方程是指一个未知函数的二阶导数只出现一次的方程。
求解常微分方程的方法主要有分离变量法、线性微分方程的常系数法以及变量变换法等。
通过这些方法，我们可以得到常微分方程的解析解。
5. 空间解析几何空间解析几何是研究空间中点、直线、平面和曲线等几何对象的位置关系和性质的数学分支。
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高数第八章第八章第一节 向量及其线性运算重点：1.方向角与方向余弦 2.向量在轴上的投影典型题目：例7.已知两点M 1(2，2，2)和M 2（1.，3，0），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。
解：21M M =（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2），|21M M |=2222)(-(1)(-1)++=2211=++;COS α=-21,COS β=21,COS γ=-22;α=π32,β=3π,γ=43π.例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|=a ，求.P OM OA OA rjOM方向上的投影在解：记∠MOA=θ，有COS θ=31||||=OM OA ，θθ于是OA rjOMP =|3aθ||=COS OA ．θ马云赵振第二节数量积向量积混合积1.两向量的数量积a·b=│a││b│cos θθ为两向量间的角度（1）a·a=│a│2（2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然（3）数量积满足交换律，分配率结合律如下时才成立(Λa)·b=Λ（a·b）2.向量积a·b=│a││b│sin θ（1）b×a=-a×ba×b=0的充分必要条件是a平行于b（2）满足分配率 结合律如下时才成立（3）(Λa)×b=a×（Λb ）=Λ（a×b ） 用三阶行列式表示i j ka×b=│a x a y a z│b x b y b z例题1.已知三角形ABC 的顶点分别是A （1,2,3）,B （3,4,5）,C （2,4,7），求三角形的面积解：S ABC =1∕2│c ││b │sinA=1∕2│c ×b │i j kc ×b=│2 2 2│=4i-6j+2k1 2 4S ABC =1∕2│4i-6j+2k │=2222)6(4+-+=142.a=3i-j-2k ，b=i+2j-k ，求3.（-2a ）·（3b ）4.a 、b 夹角的余弦解：（1）（-2a ）·（3b ）=-6（a·b ）=18 二、cos<a,b>=a·b/│a │·│b │=3/221张浩康 赵奇第三节 曲面及其方程要点：1.几种常见二次曲面的标准方程： 球面 ()()()22022R z z y y x x =-+-+-椭球面 1222222=++cz b y a x单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x双叶双曲面 1222222=--c z b y a x椭圆抛物面z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面） z b y a x =-22222.空间曲面方程1）一般方程()0xF；yz,,=2）显式方程()y x F=；z,3）参数方程()v u x x,=()()平面上某区域y∈u,v=,y，其中uv为DDvu()v u z=z,3.设()平面上的曲线，则,C0:=z为yOzyf1）();0,22=z绕C轴旋转所得的曲面为fx+±zy2）().0y2,2=C轴旋转所得的曲面为f绕y+±zx旋转曲面由母线和旋转轴确定。
求旋转曲面方程时，平面曲线绕某坐标轴旋转，则该坐标轴对应的变量不变，而曲线方程中另一变量改写成该变量与第三变量平方和的正负平方根。
4.柱面方程1）()；z=Fx，轴的柱面方程为母线平行于0y2）()；xyGx=，轴的柱面方程为母线平行于03) ()；y=xH轴的柱面方程为，母线平行于0y当曲面方程中缺少一个变量时，则曲面为柱面，柱面方程须注意准线与母线两个要素。
练习题：已知椭球面S1是椭圆+=1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点（4,0）且与椭圆+=1相切的直线绕x轴旋转而成。
<1>.求S1及S2的方程；<2>.求S1与S2之间的立体的体积。
答案：解：<1>.S1的方程为+=1,过点（4,0）与+=1的切线为y=(x-2).切点为（1，）.所以S2的方程为=.<2>.记y1=x-2,则y2=,V=-x==闫润秋陆成杰第四节空间曲线及其方程（高等数学下册p32-p37）一、空间曲线的一般方程空间曲线可看做两个曲面的交线。
设有两个曲面的的方程F(x,y,z)=0 和G(x,y,z)=0它们的交线为C。
因曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组F(x,y,z)=0 （1）G(x,y,z)=0反之，如M点不在曲线C上，则M点的坐标不满足方程组（1）。
因此，曲线C可用方程组（1）表示例题：方程组221+=表示怎样的曲线？x y2x+3y+3z=6解：221+=表示母线平行于z轴的圆柱面，准线是xoy面上的圆，圆心为原点，x y半径为1. 2x+3y+3z=6表示平面，因此方程组表示平面与圆柱面的交线，交线为椭圆二、空间曲线的参数方程空间曲线C的方程也可用参数形式表示，只要将C上动点的坐标x,y,z表示为参数t的函数：x=x(t)y=(t)z=(t)随着t的变动可得曲线C的全部点。
例题：将一般曲线方程 2229x y z ++= 化为参数方程y=x解：将y=x 代入2229x y z ++=得2229x z +=，变换得22221332x z += 由椭圆的参数方程，得 2x θ=2y θ=（02θπ≤≤） 3sin z θ= 即为已知曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C 的一般方程为 F （x,y,z ）=0 （1）G （x,y,z ）=0方程组（1）消去变量z 后所得方程H （x ，y ）=0 （2）、则当x ，y ，z 满足方程组（1）时，x ，y 必满足方程（2）.即曲线C 在方程（2）所表示的曲面上。
而方程（2）表示母线平行于z 轴的柱面（该柱面包含曲线C ）以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫空间曲线C 关于xoy 面的投影柱面 投影柱面与xoy 面的交线叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，简称投影则方程（2）所表示的曲面包含投影柱面，方程 H （x ，y ）=0Z=0表示的曲线必包含空间曲线C 在xoy 面上的投影例题：求曲线C 222z x y =--在各坐标面上的投影Z=1 解：（1），在xoy 面上将方程组消去z 得 221x y +=Z=1所以在xoy 面上的投影为 221x y += Z=0 （2），在yoz 面上222z x y =-- 中z=1是母线平行于x 轴的柱面 Z=1所以 ':yoz yoz c c ⊆ z=1x=0所以在yoz 面上的投影为线段 z=1 |y|≤1x=0（3），同理在zox 面上投影也为线段 z=1 |x|≤1y=0第三组：万程 蔡苏超第五节 平面及其方程概要：一、平面的点法式方程：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫该平面的法线向量。
平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直。
平面上一点M 0（x 0，y 0，z 0）和它的一个法线向量n=（A ，B ，C ），设M （x,y,z ）是平面上任一点，向量M 0M 必与平面法线向量n 垂直，即n ·M 0M=0二、平面的一般方程：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，任取满足方程的一组数x 0，y 0，z 0即Ax 0+By 0+Cz 0+D=0,把上述两式相减得A （x-x 0）+B （y-y 0）+C （z-z 0）=0三、两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角设两平面的法线向量依次为n 1=（A 1，B 1，C 1）和n 2=（A 2，B 2，C 2） cos θ =222222222111212121C B A C B A C C B B A A ++•++++3. 求平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角。
解： cos θ=222222112)1(121)1(2121++•+-+⨯+⨯-+⨯=21 因此，所求夹角3πθ=。
4. 一平面通过两点1M （）和2M （）Q 且垂直于平面x+z+y=0,求它的方程。
解：设所求平面的一个法向量为n=(A,B,C) (1) 因为)20,1(--=MM 在所求平面上，他比与n 垂直，所以有-A-2C=0 (2) 又因所求的平面垂直于已知平面xyz ，所以有 A+B+C=0由（1）（2）得到 A=-2C B=C由平面的点式法方程可知，所求平面方程为 A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0. 将A=-2C 及B=C 代入上式并约去C （c 0≠）便得 2x-y-z=0- -----------------------------魏晨斌，邢浩坤第八章第六节 空间直线及其方程<1>知识要点 一、直线方程1.一般方程（交面式方程）0022221111=+++=+++D z C y B x A D z C y B x {A2.对称式方程（点向式方程）p z z n y y mx x 000-=-=- 其中()000,,z y x P 为直线上给定的已知点，()p n m s ,,=为直线的方向向量。
3.参数式方程ptz z nt y y mt x x +=+=+=000其中()000,,z y x P 为直线上的定点，()p n m s ,,=为直线的方向向量。
4.两点式方程()()是直线上两个定点。
其中，22221111121121121,,,,,z y x P z y x P z z z z y y y y x x x x --=--=--二、直线与直线、直线与平面间的关系 1、直线与直线的位置关系 设直线和直线的方程分别为：当两条直线 相交时，设两条直线的夹角为 ，而方向向量 的夹角为 ，则 或2、直线与平面的位置关系 设直线L 的方程为： 平面 的方程为：2222:222y y x x z z L m n p ---==1111:111y y x x z z L m n p ---==1111212222////p m n L L S S m n p ==12121212120L L s s m m n n p p ⊥⊥++=θ12s s 、12L L 、ϕϕθ=ϕπθ=-000y y x x z z m n p---==πAx By Cz D +++=//0L s n mA nB pC π⊥++=当直线 和平面 相交时，直线 与它在平面上的投影线之间的夹角 称为直线 与平面 的夹角。
设直线的方向向量与平面法向量 的夹角为 ，则：<2>例题例1、求过点（-3.2.5）且与两平面的交线平行的直线方程。