第五章 第一节

第一节

数列的概念与简单表示法

1．数列的有关概念

n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ，

则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

S 1，n ＝1，

S n －S n －1

，n ≥2.

5．数列的分类

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( )

(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )

(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√

2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9＋12n ，则在下列各数中，不是{a n }的项的是( ) A ．21 B ．33 C ．152

D ．153

解析：选C 由9＋12n ＝152，得n ＝143

12

∉N *.

3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1

a n －1

(n ≥2)，则a 4＝( ) A.32 B.53 C.74

D.85

解析：选B 由题意知，a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝5

3.

4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55

D ．109

解析：选C 由题意知，a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.

5．数列1，23，35，47，5

9

，…的一个通项公式a n ＝________.

解析：由已知得，数列可写成11，23，3

5，…，故通项公式可以为a n ＝n 2n －1.

答案：

n

2n －1

6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式是________________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －

1－3)＝2n －2n －

1＝2n －

1.

又a 1＝－1不适合上式，

故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

－1，n ＝1，

2n －1，n ≥2.

答案：a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－1，n ＝1，

2n －1，n ≥2

考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n (基础送分型考点——自主练透)

[考什么·怎么考]

n n 1．已知S n ＝3n ＋2n ＋1，则a n ＝____________. 解析：因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －

1＋2(n －1)＋1]

＝2·3n －

1＋2，

由于a 1不适合此式，

所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.

答案：⎩

⎪⎨⎪⎧

6，n ＝1，

2·3n －1＋2，n ≥2

2．(2017·全国卷Ⅲ改编)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝____________.

解析：因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 故当n ≥2时，

a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)． 两式相减得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝

2

2n －1

(n ≥2)． 又由题设可得a 1＝2，满足上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝2

2n －1

(n ∈N *)． 答案：

2

2n －1

(n ∈N *) [题型技法] 已知S n 求a n 的3步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；

(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；

(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． 考法(二) 由S n 与a n 的关系，求a n ，S n

3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n

D ．2n －1

解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n .

4．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.

解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.

∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1

S n

＝－1.

又1

S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列． ∴1S n

＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .

答案：－1

n

[题型技法] S n 与a n 关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．

考点二 由递推关系式求数列的通项公式 (基础送分型考点——自主练透)

[考什么·怎么考]

1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝

n －1

n a n －1

(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为__________． 解析：∵a n ＝n －1

n a n －1(n ≥2)，

∴a n －1＝

n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2

a n －3，…，a 2＝1

2a 1.

以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·2

3

·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .

当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．∴a n ＝1

n (n ∈N *)． 答案：a n ＝1

n (n ∈N *)

[方法点拨] 叠乘法求通项公式的4步骤