22.3实际问题与二次函数

如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上．（1）设矩形的一
边AB＝x m那么AD边的程度如何表示？（2）设矩形
的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值
是多少？
3
AD30 x
4
30m D
C
y3x2 30x
4
B
A
当x=20时，y最大＝300
40m
做一做
河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，
建立如图所示的坐标系,其函数的解析式为
百度文库
y 1 x2，当水位线在AB位置时，水面宽 25
AB30米,这时水面离桥顶的高度h是（）
A、5米 B、6米；C、8米；D、9米
y
x
0
h
A
B
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的
长是8m，宽是2m，抛物线可以用
y
1
x2
建立平面直角坐标系。 ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
2a22
a0.5
∴这条抛物线所表示的二
次函数为:
y0.5x2
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:
30.5x2
x 6
这时水面宽度2为6m
∴当水面下降1m时,水面宽度 增加了 (2 64)m
问题
一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测 得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面 的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵 洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
探究
图中是抛物线形拱桥，当水面在 L 时，拱 顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度 增加了多少？
解一
如图所示， 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对y称轴为 轴，
用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长，宽 各为多少时？菜园的面积最大，面积是多 少？
活动
练习:有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置 时，水面的宽度是 4 6 m，水位上升4 m就达到 警戒线CD，这时水面宽是4 3 米．若洪水到来 时，水位以每小时0.5 m速度上升，求水过警戒 线后几小时淹到拱桥顶端M处．
y
Ｍ ＣＮ ＡＯ
Ｄ Ｂx
2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知 球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水 平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到 最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物 线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到 的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?
解二
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线
的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
yax2 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即:抛物线过点(2,0)
0a222
a0.5
∴这条抛物线所表示的二 次函数为:
y0.5x22
4
4
表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧
道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡
车是否可以通过？
（1）卡车可以通过.
3
提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.
1O
（2）卡车可以通过.
－3 －1
1
3
－1
提示：当x=±2时，y =3, 3＋2>4.
－3
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物, 大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为 4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶 部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否 顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若 不能,请简要说明理由.
ya(x2)22
∵抛物线过点(0,0)
0a(2)22
a0.5
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y0.5(x2)22
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
10.5(x2)22
x126,x226
∴这时水面的宽度为:
x2x12 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度
增加了 (2 64)m
返回
练习
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
10.5x22 x 6 这时水面宽度2为6m
∴当水面下降1m时,水面宽度 增加了 (2 64)m 返回
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中
的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
∴汽车能顺利经过大门.
练习
某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所 示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为 4.4m。现有一辆满载货物的汽车欲通过大门， 货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m。请判 断这辆汽车能否顺利通过大门．
练习 1.有一辆载有长方体体状集装箱的货车
要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图， 已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的 宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面 2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由.
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
yax2 4.4
∵抛物线过A(-2,0)
4a4.40
a1.1
∴抛物线所表示的二次函数为 y1.1x24.4
当 x 1 .2 时 y 1 ， .1 1 .2 2 4 .4 2 .8 1 2 .7 6