08级数理统计试题及答案
2008级数理统计试题(A)答案
山西财经大学2010—2011 学年第一学期期末数理统计（A）课程试卷1、本卷考试形式为考试时间为2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。
3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。
4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。
5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。
否则，视为作弊。
6、可以使用无存贮功能的计算器。
一、填空题（共10小题，每题2分，共计20分）二、选择题（共10小题，每题2分，共计20分）三、计算题（共2小题，每题10分，共计20分）四、应用题（共3小题，每题10分，共计30分）五、证明题（共1小题，每题10分，共计10分）一、填空题（共10小题，每题2分，共计20分）1、设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 。
2、设61,,X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，26542321)()(X X X X X X Y +++++=，则=c 1/3 。
3、参数估计是统计推断的重要内容，包括参数的点估计和区间估计两类。
4、从总体中随机抽取样本容量n 的样本，用修正样本方差∑=--=n i iX X n S 122)(11~来估计总体方差2σ，则2~S 是2σ的无偏（有效、一致）估计量。
5、设总体是)2,(~μN X ，321,,x x x 是总体的简单随机样本,1ˆμ, 2ˆμ是总体参数μ的两个估计量，且1ˆμ=321414121x x x ++，2ˆμ=321313131x x x ++,其中较有效的估计量是__2ˆμ_______。
6、已知),(~2σμN X ，但2σ未知，令0100:,:μμμμ>≤H H ，抽取样本的容量为n ，则其检验统计量为nS X T /~0μ-=，其中∑=--=n i i X X n S 122)(11~。
2008年(下)概率与数理统计
全国2008年10月高等教育自学考试 概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A 为随机事件，则下列命题中错误．．的是（ ） A ．A 与A 互为对立事件 B ．A 与A 互不相容 C ．Ω=⋃A AD ．A A =2．设A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P （ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6D ．0.83．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数记为)(x F ，则=)31(F （ ）A ．e 31 B ．3eC ．11--eD ．1311--e4．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=,,0,10,)(3其他x ax x f 则常数=a （ ）A ．41B ．31C ．3D ．45．设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为41，43，则{}=-=1XY P （ ）A ．161B ．163 C ．41 D ．836．设三维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=∞+),(x F （ ） A ．0 B ．)(x F X C ．)(y F YD ．17．设随机变量X 和Y 相互独立，且)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则~3Y X Z -=（ ） A ．)21,7(N B ．)27,7(N C ．)45,7(ND ．)45,11(N8．设总体X 的分布律为{}p X P ==1，{}p X P -==10，其中10<<p .设n X X X ,,,21 为来自总体的样本，则样本均值X 的标准差为 （ ） A ．np p )1(- B ．np p )1(- C ．)1(p np - D ．)1(p np -9．设随机变量)1,0(~,)1,0(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~22Y X +（ ） A ．)2,0(N B ．)2(2χ C ．)2(tD ．)1,1(F10．设总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ为来自总体X 的样本，2,σμ均未知，则2σ的无偏估计是（ ） A ．∑=--ni iX Xn 12)(11B ．∑=--ni iXn 12)(11μC ．∑=-ni iX Xn12)(1D ．∑=-+ni iXn 12)(11μ二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
自考2008_概率论与数理统计试题详解(珍藏版)
全国2008年4月自考试题概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为（ ） A ．601B ．457C ．51 D ．157 2．下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（ ） A ．⎩⎨⎧<<=其他,0;10,2)(x x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0;10,21)(x x fC ．⎩⎨⎧-<<=其他,1;10,3)(2x x x fD ．⎩⎨⎧<<-=其他,0;11,4)(3x x x f3．某种电子元件的使用寿命X （单位：小时）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=,100,0;100,100)(2x x x x f 任取一只电子元件，则它的使用寿命在150小时以内的概率为（ ）A ．41B ．31C ．21 D ．32 4．下列各表中可作为某随机变量分布律的是（ ） A ． B ．C ．D ．5．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=,x ,;x ,ce f(x)x -0005则常数c 等于（ ）A ．-51B ．51 C ．1D ．56．设E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y )及Cov(X,Y )均存在，则D (X-Y )=（ ） A ．D (X )+D (Y )B ．D (X )-D (Y )C ．D (X )+D (Y )-2Cov(X,Y )D ．D (X )-D (Y )+2Cov(X,Y )7．设随机变量X ～B （10，21），Y ～N （2，10），又E （XY ）=14，则X 与Y 的相关系数=XY ρ（ ）A ．-0.8B ．-0.16C ．0.16D ．0.88．已知随机变量X 的分布律为E (X )=1，则常数x =（ ） A ．2 B ．4 C ．6D ．89．设有一组观测数据(x i ,y i )，i =1，2，…，n ,其散点图呈线性趋势，若要拟合一元线性回归方程x y 10ˆˆˆββ+=，且n i x y ii ,,2,1,ˆˆˆ10 =+=ββ，则估计参数β0，β1时应使（ ） A ．∑=-ni i iyy1)ˆ(最小 B ．∑=-ni i iyy1)ˆ(最大 C ．∑=-ni i iyy1)ˆ(2最小 D ．∑=-ni i iyy1)ˆ(2最大 10．设x 1,x 2，…，1n x 与y 1,y 2，…，2n y 分别是来自总体),(21σμN 与),(22σμN 的两个样本，它们相互独立，且x ，y 分别为两个样本的样本均值，则y x -所服从的分布为（ ） A ．))11(,(22121σμμn n N +- B ．))11(,(22121σμμn n N -- C ．))11(,(2222121σμμn n N +- D ．))11(,(2222121σμμn n N -- 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
08级本科《概率论与数理统计》A卷答案(教考分离)
上海立信会计学院2009～2010学年第二学期2008级本科《概率论与数理统计》期终考试试卷（A ）（本场考试属闭卷考试，考试时间120分钟，可使用计算器） 共8页学院 班级 学号 姓名一、单项选择题（每题2分，共10分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1．对于事件设B A ,，下列命题正确的是 （ ） A .若B A ,互不相容，则A 与B 也互不相容 B .若B A ,相容，则A 与B 也相容C .若B A ,互不相容，且概率都大于零，则A 与B 也相互独立D .若B A ,相互独立，则A 与B 也相互独立2．将一枚骰子掷两次，记21X X 、分别第一、第二掷出的点数。
记：}10{21=+=X X A ,}{21X X B <=。
则=)|(A B P （ ）A .31 B .41 C .52 D .65 3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)2,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，记}2{1-≤=μX P p ，}5{2+≥=μY P p ，则 （ ）A .对任何实数μ，都有21p p =B .对任何实数μ，都有21p p <C .只对μ的个别值才有21p p =D .对任何实数μ，都有21p p > 4．设随机变量21,X X 独立，且21}1{}0{====i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ）A .21X X =B .1}{21==X X PC .21}{21==X X P D .以上都不正确 5．设21,X X 取自正态总体)2,(μN 的容量为2的样本，下列四个无偏估计中较优的是（ ）A .2114341ˆX X +=μB .2122121ˆX X +=μC .21332ˆX X +=μD .2147374ˆX X +=μ 二、填空题（每题2分，共10分）1．设B A ,为随机事件，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，则=)(B A P2．设离散型随机变量X 的分布列为kA k X P )2/1(}{==（ ,2,1=k ），则常数=A3．设X 的概率密度为21)(x ex f -=π，则=)(X D4．已知随机变量X 的密度为⎩⎨⎧<<=其它010)(x x a x f ，则=a5．设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量292191YY X X U ++++=服从 分布。
课程代码为04183的概率论与数理统计-试题及答案(2008年1月、4月、7月、10月)
课程代码为04183的概率论与数理统计-试题及答案（2007年4月、7月、10月） 2008年1月高等教育自学考试全国统一命题考试概率论与数理统计（经管类） 试卷课程代码 4183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设事件A 与B 相互独立,且P(A)>0,P(B)>0,则下列等式成立的是（ ）A.AB=φB.P(A B )=P(A)P(B )C.P(B)=1-P(A)D.P(B |A )=0 2.设A 、B 、C 为三事件，则事件C B A =（ ）A.A C BB.A B CC.( A B )CD.( A B )C3. 设随机变量X 的取值范围是(-1,1),以下函数可作为X 的概率密度的是（ ）4.设随机变量X~N(1，4)，Φ（1）=8413.0，Φ（0）=0.5，则事件{1≤X ≤3}的概率为（ ）A.0.1385B.0.2413C.0.2934D.0.34135.设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=则A=（ ） A.21 B.1 C.23 D.2 6.Y X0 5 041 61 2 31 41则P{XY=0}=（ ） A. 41 B.125 C.43 D.17.设X~B （10，31），则E （X ）=（ ） A.31 B.1C.310 D. 10 8.设X~N （1，23），则下列选项中，不成立．．．的是（ ） A.E （X ）=1B.D （X ）=3C.P （X=1）=0D.P （X<1）=0.59.设且P(A)=0.8,1000021X ,,X ,X 相互独立,令Y=则由中心极限定理知Y 近似服从的分布是（ ）A.N(0,1)B.N(8000,40)C.N(1600,8000)D.N(8000,1600)二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
华农-2008-2009概率论与数理统计期末试卷解答
华南农业大学2008（1）概率论与数理统计A 试卷参考答案一、填空题（'63⨯=18分）1. 0.9762. 0.3753. 21e --4. 175. 16. 8二.选择题（'63⨯=18分）1. D2.B3.A4.D5.D6.A 三.（5分）解：X 的概率分布为3323()()()0,1,2,3.55k k kP X k C k -===即01232754368125125125125X P26355EX =⨯=……………1分 231835525DX =⨯⨯=四、（10分）解 设B ＝{此人出事故}，A1，A2分别表示此人来自第一类人和第二类人 由已知，有1()0.3P A =，2()0.7P A =，1()0.05P B A =，2()0.01P B A =，（1）由全概率公式有1122()()()()()0.30.050.70.010.022P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式有111()()0.30.0515()0.682.()0.02222P A P B A P A B P B ⨯===≈答：从两类人中任意抽取一人，此人一年内出事故的概率为0.022； 若已知此人出事故，此人来自第一类人的概率约为0.682. 五、（10分） 解：（1）222001()(1)()222a f x dx ax dx x x a +∞-∞==+=+=+⎰⎰ 12a ∴=-（2）X 的分布函数为200,0,0,0,()()(1),02,,02,241,2.1, 2.x xx x x u F x f u du du x x x x x -∞≤⎧≤⎧⎪⎪⎪⎪==-<≤=-<≤⎨⎨⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩⎰⎰（3）32111(13)()(1)24x P x f x dx dx <<==-=⎰⎰六、（14分）解：区域D 的面积2211ln 2e e D S dx x === 1,(,),(,)20,x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它.（1）122011,1,,1,()(,)220,.0,.x X x e dy x e f x f x y dy x +∞-∞⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它22221122111(1),1,1,22111,1,1,()(,)2220,0,e y Y e y e dx y e e y dx e yf y f x y dx y --+∞---∞⎧⎧-≤≤≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪-<≤<≤===⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰其它其它（2）因(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅，所以,X Y 不独立. （3）2(2)1(2)1(,)x y P X Y P X Y f x y dxdy +<+≥=-+<=-⎰⎰22112xdx dy -=⎰⎰1113110.752244=-⨯=-==七、（10分）解： 矩估计：()11()E X xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰由()X E X ==得，矩估计量为2X ()1Xθ=- 极大似然函数为 111211(,,,;)nnn i i L x x x xθ====∏两边同时取对数，得1ln 1)ln nii L n x ==∑令ln ln 02nix d L n d θθ==∑ 故极大似然估计量为21()ln nii nxθ=-=∑八、（10分）解：（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t n αα--+- 其中，X 表示样本均值，S 表示样本标准差，n 表示样本容量，又0.05125, 2.71,7,0.1,(6) 1.943X S n t α=====所以μ的置信度为90%的置信区间为（123，127） （2）本问题是在0.10α=下检验假设 01:124,:124,H H μμ=≠ 由于正态总体的方差2σ未知，所以选择统计量X T =，由题意知，在0H 成立的条件下，此问题的拒绝域为2||0.976(1)T t n α==>-这里显然0.050.976 1.943(71)t <=-，说明没有落在拒绝域中，从而接受零假设0H ，即在显著性水平0.10下，可认为这块土地的平均面积μ显著为124平方米。
2008-2011江西财经大学概率论与数理统计期末试卷及答案
2008-2011江西财经大学概率论与数理统计期末试卷及答案D)(C432171717372X X X X +++ )(D 321313131X X X ++4.在假设检验中，原假设0H ，备择假设1H ，显著性水平α，则检验的功效是指（ ） )(A 为假｝接受00|{H H P （B ）为假｝拒绝00|{H H P)(C 为真｝接受00|{H H P )(D 为真｝拒绝00|{H H P 5. 设),,,(21n X X X 为来自正态总体),(2σμN 的样本，μ已知，未知参数2σ的置信度α-1的置信区间为（ ）)(A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--∑∑=-=)()(,)()(221222112n X n X n i i n i i ααχμχμ )(B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==∑∑)()(,)()(221122212n X n X ni i n i i ααχμχμ )(C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑=-=)1()(,)1()(221222112n X n X n i i n i i ααχμχμ )(D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==∑∑)1()(,)1()(221122212n X n X ni i n i i ααχμχμ三、计算题（要求在答题纸上写出主要计算步骤及结果。
本题10分）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为03.0，第二台出现废品的概率为02.0，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。
（1）求任取一个零件是合格品的概率；（2）如果任取一个零件是废品，求它是第二台机床加工的概率。
四、计算题（要求在答题纸上写出主要计算步骤及结果。
本题10分）设两个总体X 与Y 都服从正态分布)3,20(N ，今从总体X 与Y 中分别抽得容量101=n ，152=n 的两个相互独立的样本，Y X 、分别是总体X 与Y 的样本均值，求}5.0|{|>-Y X P 。
08年理工类课后习题答案-概率论与数理统计PDF版
第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=−=∪∪=∪)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +−−=−=−=−=)(C B A P ∪∪－)(B A P ∪= 0.97－0.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.解. , }{合格品二件产品中有一件是不=A }{二件都是不合格品=B 511)()()()()|(2102621024=−===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: = }{合格品二件产品中有一件是不}{不合格品二件产品中恰有一件是 + }{二件都是不合格品所以; B AB B A =⊃,}{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202−<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______.解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则 121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=×=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ∪B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+−+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1 3.01.04.0)()()(=−=−=AB P A P B A P .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________. 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P −=−==++ =1－0.9×0.8×0.7=0.496.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________. 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c = 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096= 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____.解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P . P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅−⋅−⋅−++.二．单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案. 3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A ∪B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ∪B)P(AB)≤P(A)P(B) (C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)41)()(≥−−A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) =－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B －A)P(A －B) ≤ 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则 (A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案.6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ⊂B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是 (A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = Ω时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324． 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i −=, 31239)|(c c B A P i i −=)()(1)()|()()(3603393713293823193933092312323123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=−−=146.0484007056)201843533656398411()220(12==××+××+××+××=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=××==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率. 解. 球的情况: 白球 红球 甲袋 n m 乙袋 N M 假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)nm mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=−=≥−==X P X P 94)1(2=−p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==−=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________. P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X >a)=1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则有实根的概率为_____.02442=+++k kx x 解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f其它50≤≤k P{有实根} = P{} 02442=+++k kx x 03216162≥−−k k = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=∫dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =−===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为Z = X + Y －2 －1 0 1 2 P24α 66α 251α 126α 72αab = 216α, 5391=α α249)3()1()3,1()2(==−===−===−=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=−==+−===−=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=−==+−==+−====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=−==+−====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==−===−====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为 ⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+∫∫c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +−+=++==∫∫∞+∞−πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+−+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=∫e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时0)(=x X ϕ当1 ≤ x ≤ e 2时∫∫===∞+∞−x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++="服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.X + Y －3 －2 －1 －3/2 －1/2 1 3 P1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12X －Y－1 0 1 3/2 5/2 3 5P 3/12 1/12 1/12 1/12 2/12 2/12 2/12X 2 + Y －2 －15/4 －3 －11/4 －2 －1 5 7P2/12 1/12 1/12 1/12 3/12 2/12 2/12二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F , (B) 0022≥<≤−−<x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) , (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. 是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足),4,2,0(!/)("===−k k ec k X P k λλ(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.),4,2,0(!/)("===−k k ec k X P k λλ3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A) (B)5.0)0()0(=≥=≤X P X p ),(),()(+∞−∞∈−=x x x ϕϕ (C) (D) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p ),(),(1)(+∞−∞∈−−=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是 (A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ～ ⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以 (X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 则1100>≤<≤x x x (A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为, 则Z = max(X, Y)的分布函数是)(),(y F x F Y X (A) = max{} (B) = max{} )(z F Z )(),(z F z F Y X )(z F Z |)(||,)(|z F z F Y X (C) = (D) 都不是)(z F Z )()(z F z F Y X解. }{}),{max()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为, 则Z = min(X, Y)的分布函数是)(),(y F x F Y X (A) = (B) =)(z F Z )(z F X )(z F Z )(z F Y (C) = min{} (D) = 1－[1－][1－] )(z F Z )(),(z F z F Y X )(z F Z )(z F X )(z F Y 解. }{1}),{min(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>−=>−=>−=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X −−−=≤−≤−−因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π解. 2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+−0),()(y x e y x ϕ其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+−021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+−0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) (D) ⎩⎨⎧=−04)(2z Z ze Z ϕ00≤>z z ⎪⎩⎪⎨⎧=−021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z 解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210=∫∞+−dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度:当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时∫∫≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ=12222020+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−∫∫z z z xz y x e ze dx dy e e , (C)是答案.==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧−042z ze 00≤>z z 10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(min(1))2,(min()()(y X P y X P y Y P y F Y >−=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(min(1)(=−=>−=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(min(1)(y y X y X P y F Y >>−=>−=ye y X P y X P λ−−=≤=>−=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(min(1)(y y X y X P y F Y >>−=>−= 0)()(1=≤=>−=y X P y X P于是 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.⎪⎩⎪⎨⎧−=−011)(y Y e y F λ0202<<≤≥y y y三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = , i = 1, 2, 3, 4.9.0)1.0(1⋅−i 当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = . 于是分布律为 4)1.0(X1 2 3 4 5p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00012. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P XPii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P "", (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 1 2 3 4p1310 1311133⋅ 1312132133⋅⋅ 1331321311⋅⋅⋅ 1310)()1(1===A P X P 1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧−=01)(2x cx ϕ其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在21,21(−内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====−==∫∫−∞+∞−c c c x c dx xc dx x3162|arcsin 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==−=−∈∫−ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x −⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ , ii. 其它1||<x ⎪⎩⎪⎨⎧−=02)(x x x ϕ其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时∫∫∞−∞−===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ∫∫∞−−++−=−==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时 ∫∫∞−−=−==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++−=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<−−≤x x xii. 当x < 0时∫∫∞−∞−===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ∫∫∞−===x xx tdt dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110−+−=−+==∫∫∫∞−x x dt t tdt dt t x F x xϕ当2 ≤ x 时1)2()()(211∫∫∫∞−=−+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−+−=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=<<−=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(−Φ−Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(−Φ+Φ=Φ−−Φ= = 0.4931.18944.05987.0−+=(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) = 88.012.01)4931.0(13=−=−6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ100100≤<x x 问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ100100≤<x x . 所以 31100)150(1501002==<∫dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=−piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤−=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤−=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2=54145−=∫ππxdt x当 x > 9π时1)()(65===∫∫∞−dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x 8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为X 0 1 p 0.4 0.6(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为Y1 2 3 p0.4 0.3 0.35.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以X|Y ≠ 1 0 1 p0.5 0.59. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y 因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时当 0 < z < 1时0)(=z F Z z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=∫∫当z ≥ 1时∫∫=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811−=⋅−⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧−−=0)1(24),(y x y y x ϕ其它1,0,0<+>>y x y x 求: i.21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解.i.∫∞+∞−=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==∫∞+∞−dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X −=−−==∫∫−∞+∞−ϕϕ所以 ⎩⎨⎧−=0)1(4)(3x x X ϕ其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧−−−==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧−==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.∫∞+∞−=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==∫∞+∞−dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y −=−−==∫∫−∞+∞−ϕϕ所以 ⎩⎨⎧−=0)1(12)(2y y y Y ϕ其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧−−−==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧−==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x第三章 随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X －Y) = _______. 解. D(2X －Y) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量X ～N(－3, 1), Y ～N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y + 7, 则Z ～____. 解. 因为Z = X －2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)－2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X －2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ～N(0, 5)3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 27616612611=⋅++⋅+⋅" (i= 1, 2, …, n) 又设, 则∑==ni iXX 127)()()(11nX E X E X E ni in i i===∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 ),2(~p B X D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495.5. 设随机变量X 在区间[－1, 2]上服从均匀分布, 随机变量 , 则方差D(Y) = _______.⎪⎩⎪⎨⎧−=101Y 000<=>X X X 解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=031)(x ϕ 其它21≤≤−xY 的分布律为Y 1 0 －1 p2/3 0 1/3因为 3231)0()1(20==>==∫dx X P Y P0)0()0(====X P Y P 3131)0()1(01==<=−=∫−dx X P Y P 于是 313132)(=−=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98)]([)()(22=−=Y E Y E Y D6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布, 则服从⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2.08.010∑==31i i X X_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________.解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.487. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N(0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则= _______.),cov(Y X 解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以= 0.),cov(Y X 8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为:⎩⎨⎧=02)(x x ϕ其它10≤≤x ,, 则E(XY) = ________.⎩⎨⎧=−−0)()5(y e y ϕ其它5>y 解. 322)()(10=⋅==∫∫∞+∞−xdx x dx x x X E ϕ 6)()(5)5(=⋅==∫∫∞+−−∞+∞−dy e y dy y y Y E y ϕ因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1－2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+−==4639441262=×+×+二. 单项选择题1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)－E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. .0)()()(22=−=Y E X E UV E 所以 cov(X,Y) = E(UV)－E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有(A) X 与Y 不独立 (B) X 与Y 独立 (C) X 与Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关 解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2,x 3所对应的概率为(A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3解. 3.223)1(32)(212121332211=−−=−−++=++=p p p p p p p x p x p x X E7.0221=+p p 9.5)1(94)(21213232221212=−−++=++=p p p p p x p x p x X E1.35821=+p p 解得 p 1= 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5. (B)是答案. 4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望 (A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X 表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. X 的分布律为X 6 9 12 p7/15 7/15 1/15157)()6(31038====c c P X P 三张都是二元157),()9(3101228====c c c P X P 一张五元二张二元151),()9(3102218====c c c P X P 二张五元一张二元8.71511215791576)(=⋅+⋅+⋅=X E . (C)是答案. 5. 设随机变量X 和Y 服从正态分布, X ～N(μ, 42), Y ～N(μ, 52), 记P 1 =P{X ≤ μ－4}, P 2 = P{Y ≥μ + 5}, 则(A) 对任何μ, 都有P 1 = P 2 (B) 对任何实数μ, 都有P 1 < P 2(C) 只有μ的个别值, 才有P 1 = P 2 (D) 对任何实数μ, 都有P 1 > P 2解. P 1 = {X ≤ μ－4} =)1(1)1(14Φ−=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤−μX PP 2 = {Y ≥ μ + 5} =)1(115115Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−μμY P Y P(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量ξ = X + Y 与η = X －Y 不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X 2)－E 2(X) = E(Y 2)－E 2(Y) (C) E(X 2) = E(Y 2) (D) E(X 2) + E 2(X) = E(Y 2) + E 2(Y) 解. cov(ξ, η) = E(ξη)－E(ξ)E(η)E(ξη) = )()()])([(22Y E X E Y X Y X E −=−+ E(ξ)E(η) = [E(X)+E(Y)][E(X)－E(Y)] = )()(22Y E X E −所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X 的分布律为1)1()(++==k ka a k X P , k = 0, 1, 2, …, a > 0, 试求E(X), D(X).解. ∑∑∑∞=+∞=+∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+===1111011)1()()(k k k k k k a a k a a ka k X kP X E令 22'2'1211201)1(1)(x x x x x x x kx x kxx f k k k k k k −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛===∑∑∑∞=∞=−∞=+ 2222)11()1(1(a aa a a a a f =+−+=+, 所以a a a X E =⋅=21)(.∑∑∑∞=+∞=+∞=+−+=+===11112022)1()11()1()()(k k kk k k k a a k k a a k k X P k X E ∑∑∑∞=∞=+∞=+−+++=+−++=11111)1()1(11)1()1()1(k k kk k k k k k a a a k k a a a k a a k k 令 3''2''1111)1(21)1()1()(x x x x x x x kx k x kxk x f k k k k k k−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=+=∑∑∑∞=+∞=−∞= 23)1(2)11(121(a a a a a aa a f +=+−+=+,所以2222)1(211)(a a a a a a X E +=−+⋅+=.222222)]([)()(a a a a a X E X E X D +=−+=−=.2. 设随机变量X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0cos 2)(2x x πϕ 其它2||π≤x , 求E(X), D(X).解. 0cos 2)()(222===∫∫−∞+∞−πππϕxdx xdx x x X E∫−=−=222222cos 2)]([)()(πππxdx x X E X E X D211222cos 1222202−=+=∫πππdx x x 3. 设随机变量X 和Y 的联合概率分布为(X, Y)(0, 0)(0, 1)(1, 0)(1, 1)(2, 0)(2, 1)P(X=x, Y=y) 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)(sin Y X E π. 解. 2)(sinY X +π的分布律为 sin π(X + Y)/20 1 －1 p0.45 0.40 0.1525.015.0)1(40.0145.002)(sin =×−+×+×=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Y X E π 4. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X 的概率分布, ii. ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+XE 11 解. 假设X 为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数X 0 1 2 3 p1/2 1/22 1/23 1/23P(X = 0) = P{第一个路口为红灯} =21P(X = 1) = P{第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯} =2212121=⋅ P(X = 0) = P{第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯} =321P(X = 0) = P{第一, 二, 三路口为绿灯} =3219667214121312121211111332=⋅+⋅+⋅+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+X E 5. 设(X, Y)的分布密度⎩⎨⎧=+−04),()(22y xxye y x ϕ其它,0>>y x求)(22Y X E +.解. ∫∫∫∫>>+−∞+∞−∞+∞−+=+=+00)(222222224),()(y x y xdxdy xye y x dxdy y x y x Y X E ϕ434sin cos 02202πθθθπ=⋅⋅⋅⋅=∫∫∞+−rdr e r r d r 6. 在长为l 的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设X, Y 为线段上的两点. 则它们都服从[0, l ]上的均匀分布, 且它们相互独立.X ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l x ϕ, Y ～其它l x ≤≤0⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l y ϕ 其它l y ≤≤0 (X, Y)的联合分布为⎪⎩⎪⎨⎧=01)(2l x ϕ其它l y x ≤≤,0. 又设Z = |X －Y|, D 1={(x, y): x > y, 0 ≤x, y ≤ l }, D 2={(x, y): x ≤ y, 0 ≤ x, y ≤ l } ∫∫∫∫∫∫−+−=−=∞+∞−∞+∞−21221)(1)(),(||)(D D dxdy l x y dxdy l y x dxdy y x y x Z E ϕ ∫∫∫∫−+−=l ylxdy dx x y l dx dy y x l 02002])([1])([13212122022ldy y ldx x ll l =+=∫∫6)(1),()()(2002222l dxdy y x ldxdy y x y x Z E ly lx =−=−=∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤≤≤≤ϕ 1896)]([)()(22222l l l Z E Z E Z D =−=−=7. 设随机变量X 的分布密度为)(,21)(||+∞<<−∞=−−x e x x μϕ, 求E(X), D(X). 解. ∫∫∫∞+∞−−∞+∞−−−∞+∞−+−===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||||)(2121)()(μμϕμ=∫∞+∞−−dt te t ||21+μμμ==∫∫∞+−∞+∞−−0||21dt e dt e t t∫∫∫∞+∞−−∞+∞−−−∞+∞−+−===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||2||222)(2121)()(μμϕμ=∫+∞+−02dt e t t 2022μμμ+==∫∫∞+−∞+−dt e dt e t t 所以22)]([)()(2222=−+=−=μμX E X E X D8. 设(X, Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧=01),(πϕy x , 求E(X), D(Y), ρ(X, Y).其它122≤+y x 解. 01),()(122===∫∫∫∫+∞∞−+∞∞−≤+y x xdxdy dxdy y x x X E πϕ01),()(122===∫∫∫∫+∞∞−+∞∞−≤+y x ydxdy dxdy y x y Y E πϕ41cos 11),()(20132122222====∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+πθθππϕdr r d dxdy x dxdy y x x X E y x 41sin 11),()(20132122222====∫∫∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+πθθππϕdr r d dxdy y dxdy y x y Y E y x 01),()(122===∫∫∫∫∞+∞−∞+∞−≤+y x xydxdy dxdy y x xy XY E πϕ41)]([)()(22=−=X E X E X D , 41)]([)()(22=−=Y E Y E Y D0)()()()()(=−=Y D X D Y E X E XY E XY ρ.9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少? 解. 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则X ～B(5, 0.8),33.0)8.0()0(5===X P 41.0)8.0(2.05)1(4=××==X P , 20.0)8.0(2.0)2(3225=××==c X P 06.020.041.033.01)3(=−−−=≥X P又设Y 为该企业的利润, Y 的分布律为Y 10 5 0 －2p 0.33 0.41 0.20 0.06E(Y) = 10×0.33 + 5×0.41 + 0×0.20 + (－2)×0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度、数学期望和方差.)(t f 解. 假设X 、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则X 、Y 的密度函数如下:⎩⎨⎧<≥=−05)(~,5x x e x f Y X xX 、Y 相互独立, 且 T = X + Y .X 、Y 的联合密度:⎩⎨⎧≥≥=+−,00,0,25),()(5y x e y x f y x 关于T 的分布函数:∫∫≤+=≤+=≤=ty x T dxdy y x f t Y X P t T P t F ),(}{}{)( 当 时0<t∫∫∫∫≤+≤+===≤+=≤=ty x ty x T dxdy dxdy y x f t Y X P t T P t F 00),(}{}{)( 当 时0≥t∫∫∫∫≥≥≤++−≤+==≤+=≤=0,0)(525),(}{}{)(y x t y x y x ty x T dxdy edxdy y x f t Y X P t T P t Ft t tx t y x xt y tx te e dx e e dy e dx e 550055050551|)(525−−−−−−−−−−=−==∫∫∫所以 ⎩⎨⎧<≥−−=−−0,00,51)(55t t te e t F t t T 所以T 的概率密度: ⎩⎨⎧<≥==−0,00,25)]'([)(5t t e t t F t f t T T 所以 ∫∫∞+∞−∞+−===5225)()(052dt e t dt t f t T E t T 所以∫∫∞+∞−∞+−=−=−=−=25225425)52()()]([)()(0532222dt e t dt t f t T E T E T D tT。
08研究生数理统计试题
2008研究生数理统计试题一。
填空（每空3分，共57分）1.已知某地新生婴儿身高X ∼N (µ,σ2)(参数均未知)，取容量为9的样本，样本值为46，47，…，54，则µ的置信水平为1−α的单侧置信上限为；已知t α(8)=2 6/52.若(X,Y )∼N (µ1,µ2,σ21,σ22,ρ)，则Cov (X,Y )=3.某批电子元件的寿命服从均值为θ的指数分布，现从中抽取30个元件在零时刻同时投入寿命实验，截止时刻为6，且已知到截止时刻为止共有20个元件损坏,若此20个元件具体损坏时刻之和为40，则θ的最大似然估计值为4.设需要对某一正态总体的均值进行假设检验H 0:µ≥15,H 1:µ<15。
已知σ2=4.取α=0.05,若要求当H 1中的µ≤13时犯第二类错误的概率不超过β=0.05，则所需的最小样本容量为,已知z 0.05=1.6455.设T ∼t (n ),则1/T 2∼6.X 1,···,X 400iid∼U (0,1),Y = 400i =1X i ,则D (ln(X 1))=,利用中心极限定理求P {Y ≤−400}得到的近似值为7．已知容量均为12的两独立样本来自同一总体,假设样本观察值互不相等,且以R 1表示第一个样本的秩和,则E (R 1)=D (R 1)=8.对于具有s 个水平的单因素(A)试验方差分析(水平A j 对应的总体为N (µj ,σ2),j =1,2,,,s ),现取样,设各水平下的样本容量之和为n,以S A ,S E 分别表示因素A 的效应平方和、误差平方和，在原假设H 0:µ1=···µs 成立的条件下，S A /(s −1)S E /(n −s )∼;在显著性水平α=0.05下，若s =4,n =20,S A =300,S E =400,则我们可以H 0(填”接受”或”拒绝”）F 0.05(3,16)=3.249.X ∼U [a,b ],取一容量为6的样本,样本值为82,82,87,86,83,84，则据此得到的a 的最大似然估计值为;a 与b 的矩估计值之和为10.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度大于3m 。
2008级数理统计试题(B)
山西财经大学2010—2011 学年第一学期期末数理统计（B）课程试卷1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。
2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。
3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。
4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。
5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。
否则，视为作弊。
6、可以使用无存贮功能的计算器。
一、填空题（共10小题，每题2分，共计20分）二、选择题（共10小题，每题2分，共计20分）三、计算题（共2小题，每题10分，共计20分）四、应用题（共3小题，每题10分，共计30分）五、证明题（共1小题，每题10分，共计10分）一、填空题（共10小题，每题2分，共计20分）1、在总体)16,5(~N X 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值X 落在4与6之间的概率为 ；2、设71,,X X 为总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，则=>∑=)4(712i i X P;3、设321,,x x x 是总体)2,(~μN X 的简单随机样本,1ˆμ, 2ˆμ是总体参数μ的两个估计量，且1ˆμ=321414121x x x ++，2ˆμ=321313131x x x ++,其中较有效的估计量是_________.4、从总体中随机抽取样本容量为n 的样本，用样本均值∑==ni i X nX 11来估计总体均值μ，则X 是μ的 估计量。
5、设总体X 服从几何分布 ,2,1,)1(}{1=-==-k p p k X P k ,其中10<<p , n x x x ,,,21 是来自X 的样本值，则未知参数p 的矩估计为__________6、已知),(~2σμN X ，但2σ未知，要对总体均值μ是否显著性大于0μ进行假设检验，令0100:,:μμμμ>≤H H ，抽取样本量n =15，则其检验的统计量为 。
2008年数理统计考试试题B卷答案
2008-2009学年第1学期 《数理统计学》考试试题B 卷1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。
2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。
3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。
4、 可能用到的有关分位数 96.1975.0=z ，1315.2)15(975.0=t ，1199.2)16(975.0=t选择题答案表一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项）。
A B B D D C C C A A二、填空题（每题2分，共20分）。
1、0.00162、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1,1(/,)1,1(/212/12221212/2221n n F S S n n F S S αα 3、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-+),1(n t n SX α4、F(1,1)5、2σ6、rsm-r-s+17、max(n X X X ,,,21 ) 8、1/910、x三、计算题（共60分）。
1（16分)666115551(1)(5)(5)6(5)62EX x x dx xd x x dx θθθθθ++=+-=-=--=-+⎰⎰⎰ 4分 故θ 的矩估计量为 1ˆ26Xθ=-- 4分 似然函数11()(;)(1)(5)nnniii i L f x x θθθθ====+-∏∏, 4分故1151ln ()ln(1)ln(5)ln ()ln(5)01ˆ1ln(5)ni i ni i ii L n x d L nx d nXθθθθθθθθ====++-=+-=+=---∑∑∑的极大似然估计量为 分分分2112（16分）(1) 置信区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--)1(),1(2/2/n t n SX n t nS X αα 2分 又已知306.2)8(,03.16,499,9025.0====t s x n 2分 代人数据得置信水平为0.95的置信区间为(486.68,511.32)。
应用数理统计08年期末试卷一、二
说明：试题仅供参考哈，祝大家考试顺利~~^_^试卷一1.设x1，…，x n为取自总体x∼N(μ,σ2)的样本：(1)求μ,σ2得矩估计和极大似然估计，并说明它们是否是μ,σ2的无偏估计、一致估计；(2)求μ的置信度为1-α的置信区间。
2.设x1，…，x n和y1，…，y n分别是从N(μ1,σ2) 和N(μ2,σ2)的总体中抽取的独立随机样本：(1)如果σ2未知，对检验问题H0：cμ1+dμ2=δ↔ H1：cμ1+dμ2≠δ。
给定水平α，求检验统计量和拒绝域w；(2)如果σ2已知，对检验问题H0：cμ1+dμ2=0 ↔ H1：cμ1+dμ2=1。
给定水平α，求检验的犯两类错误的概率。
3.(1)某汽车销售商对各种颜色的汽车销售情况调查，发现红、黄、银、白、黑的销售量分别为n1，…，n5，问如何检验顾客对颜色是否有偏爱，即检验销售情况是否均匀α=0.05 ；(3)设三组小白鼠分别接种三种不同病菌的存活日分别为x i1，…，x in,i=1,2,3.设存活日数服从方差相等的正态分布。
问如何判断不同细菌对小白鼠平均存活日数的影响是否有显影响α=0.05。
4.(1)设（x 1，…，x n）为取自总体X的样本，求与的相关系数。
(2) 设x1，…，x n为取自总体x∼N(μ,σ2)的样本1≤m≤n，，，，求的分布。
5.在一元线性回归模型，ε∼N(0,σ2)中，(1)求β0，β1的置信区间。
(2)给出检验假设H0：β1=0，设检验统计量与拒绝域。
试卷二1.ξ1，ξ2取自正态分布N(a,σ2)(1)证明：ξ1+ξ2，ξ1-ξ2相互独立。
(2)若a=0，求的概率分布。
2.ξ∼N(a,σ2)，a,σ2未知，ξ1，…，ξn为总体的样本，给定显著水平α，求下列假设检验问题的检验统计量的拒绝域。
(1) H0：a=a0↔ H A：a≠a0(2) H0：σ2=σ20↔ H A：σ2>σ203.设总体ξ的密度函数样本为ξ1，…，ξn，求θ的矩估计以及极大似然估计量。
08级数理统计试题及答案
三、（本题14分） 设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他θθx x x f 0,0,2)(2，其中未知参数0>θ，n X X ,,1 是来自X 的样本，求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计。
解：(1) θθθ322)()(022===⎰⎰∞+∞-x d xx d x f x X E ， 令θ32)ˆ(==X XE ，得X 23ˆ=θ为参数θ的矩估计量。
(2)似然函数为：),,2,1(,022),(1212n i x x x x L i ni i nnni ii =<<==∏∏==θθθθ，， 而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为},,,max{ˆ21nX X X =θ。
四、（本题14分）设总体),0(~2σN X ，且1021,x x x 是样本观察值，样本方差22=s ， （1）求2σ的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知)1(~222χσX Y =，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛32σX D 的置信水平为0.95的置信区间；（70.2)9(2975.0=χ，023.19)9(2025.0=χ）。
解：（1）2σ的置信水平为0.95的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)9(18,)9(182975.02025.0χχ，即为（0.9462，6.6667）；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32σX D =2222222)]1([11σχσσσ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D X D ； 由于2322σσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X D 是2σ的单调减少函数，置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,2σσ，即为（0.3000，2.1137）。
五、（本题10分）设总体X 服从参数为θ的指数分布，其中0>θ未知，n X X ,,1 为取自总体X 的样本， 若已知)2(~221n X U ni i χθ∑==，求： （1）θ的置信水平为α-1的单侧置信下限；（2）某种元件的寿命（单位：h ）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h ），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。
2008级 数理统计解答
(2)由于 σ 2 = Dε = Eε 2 ，故可以用
1 n 2 ∑ ε i 对 σ 2 做矩估计，而 ε i = Yi − axi1 − bxi 2 是未知的，以相 n i =1 1 n − bx )2 ∑ (Yi − ax i1 i2 n i =1
ˆ2 = 应估计量代入,可得 σ 2 的估计为 σ
而 θ 的分布为 f (θ ) = ∫0 q( ρ , θ )d ρ =
1 , θ ∈ [0, 2π ], f (θ ) = 0,θ ∉ [0, 2π ] . 从而知 θ 服从 [0, 2π ] 上的 2π 均匀分布.又 q( ρ , θ ) = R( ρ ) f (θ ) ，故 θ , ρ 是相互独立的。
i =1
n
n
1
−1
, 0 < xi < 1 ，
ln L(θ ) = − n ln θ + (1 / θ −1)∑ i = 1 ln xi = 0, 0 < xi < 1 ，令 ˆ = − n ln X / n . 可得 θ 的最大似然估计为 θ ∑ i =1 i
∂L(θ ) =0， ∂θ
= E ( − ln X ) = θ , Dθ =θ2 /n ; (2). 因 E ( − ln X ) = θ , E ( − ln X )2 = 2θ 2 . Eθ
ln f ( x ,θ ) = − ln θ + (θ −1 − 1) ln x ， I (θ ) = θ −4 E (θ + ln X )2 = θ −2 .
由于
n = 2θ , D(2θ ) = 4θ 2 / n D(2θ ) = (2θ )′ / nI (θ ) = 4θ 2 / n . 2θ ˆ = −2 ln X / n 为 2θ 的 E 2θ ∑ i
2008年数理统计考试试题B卷
2008-2009学年第1学期 《数理统计学》考试试题B 卷1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。
2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。
3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。
选择题答案表一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项）。
1、参数是一个（ ）。
A 、 具体的数B 、 随机变量C 、 既可是具体的数也可是随机变量D 、 估计的量2、设n X X X ,,,21 为总体)1,0(~N X 的一简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有∑=-ni iXX n 221/)1(服从（ ）。
A 、 )1,1(-n FB 、 )1(-n tC 、 )1(2-n χD 、 以上都不对3、设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN (μ未知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是 。
A 、∑=-=n i i X X n 1221)(1σ； B 、∑=--=n i iX X n 122)(11σ；C 、∑=-=n i i X n 1223)(1μσ； D 、∑=--=n i i X n 1224)(11μσ. 4、 在给定的置信度α-1下，被估参数的置信区间（ ）。
A 、 是唯一的 B 、一定包含参数的真实值 C 、包含参数真实值的概率为α D 、以上都不对 5、假设检验时，是否拒绝H 。
，取决于( )。
A 、被研究总体有无本质差别 B 、选用α的大小 C 、抽样误差的大小 D 、以上都是6、在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，若显著性水平为α，则（ ）。
A 、)|(00成立接受H H P B 、)|(11成立接受H H P C 、 )|(01成立接受H H P D 、)|(10成立接受H H P7、以下哪一条不属于方差分析中的假设条件（ ）。
08年7月概率论与数理统计(经管类)试题答案
S
2 n
1 n
n i 1
0,Y
1 D．
4
1
3
x 0, y 0 ，则 其它
(Xi
3 D．
4
D．2
X )2
2
，
2
1 n 1
S 2
A． Z X 0 / n
n
(Xi
i 1
2 未知，采用统计量 T X 0 ． S/ n
X )2
，检验假设
B． T X 0 Sn / n
6．已知 X，Y 的联合概率分布为
F (x, y) 为其联合分布函数，则 F 0, 1 （ D ） 3
0
1
3 1
2 2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2008-211江西财经大学概率论与数理统计期末试卷及答案
江西财经大学2009－2010第二学期期末考试试卷试卷代码：03054C 授课课时：64 考试用时：150分钟课程名称：概率论与数理统计 适用对象：2010本科 试卷命题人 徐晔 试卷审核人 何明【本次考试允许带计算器。
做题时，需要查表获得的信息，请在试卷后面附表中查找】一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。
每小题3分，共15分）1. 设A 和B 是任意两事件，则=))()((B A B A B A _________2. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=303271)(3x x x x F ，则=<<)52(X P _________3. 设随机变量)2,1(~,)1,2(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则~42+-=Y X Z _________4. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2和1，方差分别为1和4，而相关系数为5.0，则根据切比雪夫不等式≤≥--}61{Y X P _________5. 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他01)(b x a a b x f ，而n x x x ,,,21 为来自总体X 样本),,,(21b x x x a n << ，则未知参数a 最大似然估计值为_________，未知参数b 最大似然估计值为_________二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。
答案选错或未选者，该题不得分。
每小题3分，共15分）1. 设B A ,为两个随机事件，且1)(,0)(=>B A P B P ，则必有（ ）)(}{)()(}{)()(}{)()(}{)(B P B A P D A P B A P C B P B A P B A P B A P A ==>>2. 设随机变量()2,~σμN X ，而n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，样本均值和样本修正方差分别为X 和2*S ，1+n X 是对X 的又一独立样本，则统计量11+-=*+n n S X X Y n 是（ ） )(A 服从()1,0N 分布 )(B 服从)1(-n t 分布)(C 服从)(2n χ分布 )(D 服从)1,(+n n F 分布 3. 设4321,,,X X X X 为来自总体),(~2σμN X 的样本，0≠=μEX ,02≠=σDX ，从无偏性、有效性考虑总体均值μ的最好的点估计量是（ ）)(A 432141414141X X X X +++ )(B 212121X X + )(C 432171717372X X X X +++ )(D 321313131X X X ++4.在假设检验中，原假设0H ，备择假设1H ，显著性水平α，则检验的功效是指（ ） )(A 为假｝接受00|{H H P （B ）为假｝拒绝00|{H H P)(C 为真｝接受00|{H H P )(D 为真｝拒绝00|{H H P 5. 设),,,(21n X X X 为来自正态总体),(2σμN 的样本，μ已知，未知参数2σ的置信度α-1的置信区间为（ ）)(A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--∑∑=-=)()(,)()(221222112n X n X n i i n i i ααχμχμ )(B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==∑∑)()(,)()(221122212n X n X n i i n i i ααχμχμ )(C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑=-=)1()(,)1()(221222112n X n X n i i n i i ααχμχμ )(D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==∑∑)1()(,)1()(221122212n X n X n i i n i i ααχμχμ三、计算题（要求在答题纸上写出主要计算步骤及结果。
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4、设 X1, X 2 ,..., X n 为取自总体 X ~ N (, 2 ) 的一个样本，对于给定的显著性水平 ，已
知关于
2
检验的拒绝域为
2≤
2 1
(n
1)
5、设总体 X ~ N (, 2 ) ， 2 已知，在显著性水平 0.05 下，检验假设 H 0 : 0 ,
2、设 X 1, X 2 ,..., X 16 为取自总体 X
P{
16
i 1
X
2 i
8} =有问题_；
~
N
(0,0.52
3、设总体 X ~ N (, 2 ) ，若 和 2 均未知， n 为样本容量，总体均值 的置信水平为
1 的置信区间为 ( X , X ) ，则 的值为________；
（A） ( X 1 X 2 X 3 )
13
3 i1 (X i
)2
（B） X 1 X 2 X 3
2、设 X1, X 2 ,..., X n 为取自总体 X ~ N (, 2 ) 的样本， X 为样本均值，
S
2 n
（A）
1 n
n
(X i
i 1
n ( X 他
（1）求 2 的置信水平为 0.95 的置信区间；（2）已知 Y
信水平为
解：
（1）
（2）
D
2
由于
0.95
的置信区间；（
的置信水平为
X
2 3
D
=
X
1 2
2 3
即为（0.3000，2.1137）。
D
2 2
0.95
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中南大学考试试卷2009——2010学年第一学期 （2010.1） 时间：100分钟《数理统计II 》 课程 24学时 1.5 学分 考试形式：闭卷专业年级：2008级(第三学期) 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体)3,20(~N X 的容量分别为10，15的两独立样本均值差~Y X -________；2、设1621,...,,X X X 为取自总体)5.0,0(~2N X 的一个样本，若已知0.32)16(201.0=χ,则}8{1612∑=≥i i X P =________；3、设总体),(~2σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；4、设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的一个样本，对于给定的显著性水平α，已知关于2σ检验的拒绝域为χ2≤)1(21--n αχ，则相应的备择假设1H 为________；5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，在显著性水平0.05下，检验假设00:μμ≥H ,01:μμ<H ，拒绝域是________。
1、)210(，N ； 2、0.01； 3、nS n t )1(2-α； 4、202σσ<； 5、05.0z z -≤。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（）。
（A ）)(321X X X ++α （B ）321X X X ++ （C ）3211X X X α（D ）231)(31α-∑=i i X2、设n X X X ,.,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，212)(1X X n S i n i n -=∑=，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。
（A ）σμ）-X n ( （B ）nS X n )(μ- （C ）σμ）--X n (1 （D ）n S X n )(1μ--3、设n X X X ,,,21 是来自总体的样本，2)(σ=X D 存在， 212)(11X X n S i ni --=∑=, 则（ ）。
（A ）2S 是2σ的矩估计（B ）2S 是2σ的极大似然估计（C ）2S 是2σ的无偏估计和相合估计（D ）2S 作为2σ的估计其优良性与分布有关4、设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X 相互独立，样本容量分别为21,n n ，样本方差分别为2221,S S ，在显著性水平α下，检验2221122210:,:σσσσ<≥H H 的拒绝域为（ ）。
（A ）)1,1(122122--≥n n F s s α （B ）)1,1(12212122--≥-n n Fs s α（C ）)1,1(212122--≤n n F s s α （D ）)1,1(21212122--≤-n n Fs s α5、设总体),(~2σμN X ，2σ已知，μ未知，n x x x ,,,21 是来自总体的样本观察值，已知μ的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平05.0=α时，检验假设0.5:,0.5:10≠=μμH H 的结果是（ ）。
（A ）不能确定 （B ）接受0H （C ）拒绝0H （D ）条件不足无法检验 1、B ； 2、D ； 3、C ； 4、A ； 5、B.三、（本题14分） 设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他θθx x x f 0,0,2)(2，其中未知参数0>θ，n X X ,,1 是来自X 的样本，求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计。
解：(1) θθθ322)()(022===⎰⎰∞+∞-x d xx d x f x X E ， 令θ32)ˆ(==X XE ，得X 23ˆ=θ为参数θ的矩估计量。
(2)似然函数为：),,2,1(,022),(1212n i x x x x L i ni i nnni ii =<<==∏∏==θθθθ，， 而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为},,,max{ˆ21nX X X =θ。
四、（本题14分）设总体),0(~2σN X ，且1021,x x x 是样本观察值，样本方差22=s ，（1）求2σ的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知)1(~222χσX Y =，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛32σX D 的置信水平为0.95的置信区间；（70.2)9(2975.0=χ，023.19)9(2025.0=χ）。
解：（1）2σ的置信水平为0.95的置信区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛)9(18,)9(182975.02025.0χχ，即为（0.9462，6.6667）； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32σX D =2222222)]1([11σχσσσ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D X D ； 由于2322σσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X D 是2σ的单调减少函数，置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,2σσ， 即为（0.3000，2.1137）。
五、（本题10分）设总体X 服从参数为θ的指数分布，其中0>θ未知，n X X ,,1 为取自总体X 的样本， 若已知)2(~221n X U ni i χθ∑==，求： （1）θ的置信水平为α-1的单侧置信下限；（2）某种元件的寿命（单位：h ）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h ），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。
)585.42)32(,985.44)31((210.0205.0==χχ。
解：(1) ,1)2(2,1)2(222αχθαχθαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>∴-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<n X n P n X n P即θ的单侧置信下限为)2(22n X n αχθ=；（2）706.3764585.425010162=⨯⨯=θ。
六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）解：（1）检验假设H 0：σ2=1，H 1：σ2≠1； 取统计量：222)1(σχs n -=；拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=--n =2.70或χ2≥2025.022)1(χχα=-n =19.023，经计算：96.1212.19)1(2222=⨯=-=σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2，故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。
（2）检验假设101010≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10/10S X t -=~ )9(2αt ；拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210/2.1108.10=-=t <2.2622 ，所以接受0H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。
综上，认为工厂生产正常。
七、（本题10分）设4321,,,X X X X 为取自总体)4,(~2μN X 的样本，对假设检验问题5:,5:10≠=μμH H ，（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若μ=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率β。
解：(1) 拒绝域为96.1254/45025.0=≥-=-=z x x z ; （2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当μ=6时，接受0H 的概率为921.02608.12692.8}92.808.1{=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=<<=X P β。
八、（本题8分）设随机变量X 服从自由度为),(n m 的F 分布，(1)证明：随机变量X1服从 自由度为),(m n 的F 分布；(2)若n m =，且05.0}{=>αX P ，求}1{α>X P 的值。
证明：因为),(~n m F X ,由F 分布的定义可令nV mU X //=，其中)(~),(~22n V m U χχ，U 与V 相互独立，所以),(~//1m n F m U n V X =。
当n m =时，X 与X 1服从自由度为),(n n 的F 分布，故有=>}{αX P }1{α>X P ，从而 95.005.01}{1}1{1}1{}1{=-=>-=>-=<=>ααααX P XP X P X P 。
中南大学考试试卷参考答案2009——2010学年第一学期（2010.1） 时间：100分钟《数理统计II 》 课程 24 学时 1.5 学分 考试形式：闭卷 一、填空题（本题15分，每题3分） 1、)210(，N ； 2、0.01； 3、nS n t )1(2-α； 4、202σσ<； 5、05.0z z -≤。
二、选择题（本题15分，每题3分） 1、B ； 2、D ； 3、C ； 4、A ； 5、B.三、（本题14分）解：(1) θθθ322)()(022===⎰⎰∞+∞-x d xx d x f x X E ，令θ32)ˆ(==X XE ，得X 23ˆ=θ为参数θ的矩估计量。
(2)似然函数为：),,2,1(,022),(1212n i x x x x L i ni i nnni ii =<<==∏∏==θθθθ，， 而)(θL 是θ的单调减少函数，所以θ的极大似然估计量为},,,max{ˆ21nX X X =θ。
四、（本题14分）解：（1）2σ的置信水平为0.95的置信区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛)9(18,)9(182975.02025.0χχ，即为（0.9462，6.6667）； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32σX D =2222222)]1([11σχσσσ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D X D ； 由于2322σσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X D 是2σ的单调减少函数，置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,2σσ， 即为（0.3000，2.1137）。
五、（本题10分）解：(1) ,1)2(2,1)2(222αχθαχθαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>∴-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<n X n P n X n P即θ的单侧置信下限为)2(22n X n αχθ=；（2）706.3764585.425010162=⨯⨯=θ。