高数第十二章作业

x 处收敛于 __________；
2. 设 f(x)xx2( x)
的傅立叶级数的展开式为
a20n 1(ancosnxbnsinnx)，其中系
b 数 3 的值为 _______________。
二、下列函数 f ( x ) 为周期函数，
周期为 2 ，试将 f ( x ) 展开成傅
立叶级数，如果 f ( x ) 在 [ , ] 上
1. 级数 11 1 1
23
n
________，而级数
111 1 _______；
22 32
n2
2．由级数 1 n1 n
发散可知级数
1 1 1 ab 2ab 3ab
________。
二、用比较审敛法或极限审敛法判定下 列级数的敛散性：
1.
1
n1 2 n 1
；
2.
12 13 1122 132
[
sin n
n2
1 n
]（
）；
A．绝对收敛； B．条件收敛；
C．发散； D．收敛性与 无关。
2. 设常数 0
且级数
a
2 n
收
n 1
敛，则
(1)n
an
（
）
n1
n2
A．发散；
B．条件收敛；
C．绝对收敛； D．收敛性与 无关。
3.级数
n 1
xn
tan
x 2n
的收敛域为
（
）；
A． [ 1,1] ； B． ( 1,1) ；
2. 级数
n1
(1)n1
n 3n1
是（
）的；
A．收敛；
B．条件收敛；
C．绝对收敛； D．发散。
3. 1111
ln2 ln3 ln4 ln5
一定（
）
A．收敛； C．绝对收敛；
B．条件收敛； D．发散。
三、判断下列级数的敛散性：
1.
( 1) n 1 2 n2
n 1
n!
2.
n 1
2n
sin
3n
3.
( 1) n
1
n2
ln n
。
4. (1)n ln n 1
n1
n
；
5.
n 1
Hale Waihona Puke Baidu( 1) n
1 np
。
四、判定
n
1
1
n1
n ln n
的绝对收敛、条件收敛或发散性。
五、判定
n1
sin
n
1 n
的绝对收敛、条件收敛或发散性。
第35次作业
一、填空题
1.
幂级数
x 2 x 2 3 x 3 n x n
；
3.
1
n1 n n n
；
4. 11 1 25 36 (n1)(n4)
三、用比较审敛法判定下列级数的 收敛性：
1. 3 3 32 3n 12 222 323 n2n
2.
2 n n !
nn
n 1
四、用根值法判定下列级数的收敛性：
1.
(
n
)n
n1 2n 1
；
1
2. n1 [ln(n 1)]n
四、判定下列级数的敛散性，如果收敛 并求其值： 1.（ 1 21 3） （ 2 1 23 1 2） (2 1 n3 1 n)
2. 111 1 3 6 9 3n
3. 8 98 92 28 93 3 (1)n8 9n n
4 234 345
5. ln2ln3ln4 lnn1+
23
n
第33次作业
一、填空题
1 1
lim23 49
2n
1 3n
x
第36次作业
x 一、将下列函数展开成 的幂级数，
并求其展开式成立的区间：
a 1. shx ex ex 2.
x
2
3. ln(ax)(a0) 4.
x 1 x2
二、将函数 y lg x 展开成 ( x 1)
的幂级数，并求展开式成立的区间：
三、将函数 f (x)cosx 展开成 ( x ) 的幂级数
条件收敛，则该级数的收敛半径为
____________；
3.已知级数 (1)n1un2, u2n15
n1
n1
则级数 un ________
；
n1
4.将一个已知函数 f ( x ) 展成正弦
级数需作_______延拓，展成余弦 级数需作_______延拓。
二、选择题
1．设 是常数，则级数
n1
1
(2n)3n ]
。
n
第34次作业
一、填空题
1．如果级数 u n 绝对收敛，则级 n 1
数 u n ______；反之，如果级数 n 1
un
n 1
收敛，则
un
n 1
________。
二、选择题
1．级数 1 1 1 1 234
是（
）；
A．收敛；
B ．条件收敛；
C．绝对收敛； D ．发散。
二、选择题
1．级数 u n n 1
收敛是
lim
n
un
0
的；
（
）
A．充分条件 ； B ．必要条件
C．充分必要条件 ； D．无法确定 。
三、利用级数收敛与发散的定义， 判定下列级数的收敛性：
1．
n1 n ；
n1
1
2．
n1 (5n4)(5n1)
；
3．
1
；
n1 n(n 1)(n 2)
1
4. n1 (2n1)(2n1) 。
x 1
3. f(x)12x1,03xx30
二、将下列函数分别展开成正弦级 数和余弦级数：
1. f (x)lxx,02l xxl2l
2. f(x)x2(0x2)
第40次作业（单元测试题） 一、填空题
1．幂级数
n1
2n
n (3)n
x2n1
的收敛
半径为 ____________；
2.设幂级数 an (1 x)n 在 x 3 n 1
展开成正弦级数和余弦级数。
三、把函数 f (x) x 在 [ 0 , ]
42
上展开成正弦级数。
四、将函数 f (x) 10h0xxh
分别展开成正弦级数和余弦级数。
五、设周期函数 f x 的周期为2 ，证明 (1)如果 fxfx, 则 f x
的付里叶系数
a 0 0 ,a 2 k 0 ,b 2 k 0 k 1 ,2;
高数第十二章作业
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第32次作业
一、填空题
1 n
1．级数 n 1 1 n 2
的前五项是
______________，第五项是
______________；
2．级数 1111 的一般项 357
是_________________； 3．级数 11 1 1 的
5 25 125 625 一般项是_________________。
的和。其中 n(n 1) 为自然数，而
Q1P1 QnPn 表示点 Q i 与 P i 之间 的距离， (i1 ,2 , ,n)
五、求级数
n1
2n 1 2n
x2(n1)
的和函
数，并求级数 2 n 1 的和。 2n n 1
六、将函数 f(x) d (cosx1) dx x
x 展开成 的幂级数，并求其收
C．( 2, 2) ； D． [ 2 , 2 ] 。
三、判断下列级数的敛散性：
1. 1 1 1 a0,b0
ab 2ab 3ab
2.
n1
1 1 an
(a
0)
四、已知: f x1x2 , 用余
弦级数展开，并求 1 n 1 n2 n 1
。
x 四、从点
抛物线 y
P1
(1,
x
0
2
)作
于点
轴的垂线，交
Q 1 (1,1) ，再从 Q 1
x 作这条抛物线的切线与 轴交于 P 2 ，
x 然后又从 P 2 作 轴的垂线，交抛物
线为 Q 2 , 依次重复上述过程，得到一
系列的点； P 1 ,Q 1 ;P 2,Q 2 ; P n,Q n ;
求：1. O P n
2.求级数：
Q 1 P 1 Q 2P 2 Q nP n
的表达式为：。
1. f(x)3x21 ( x)
2. f(x)e2x(x)
3. f (x)baxx0xx0 a , b 为
常数，且 ab0 ；
4.
f
(x)
2
2
x x
x 0 0 x
5. 5.f(x)arcsin(sinx) 。
第38次作业
一、将 f(x)x(0x)
2
展开成正弦级数。
二、将 f(x)2x2(0x)
的收敛域为______________；
2. 1 x x 2 x n ( 1 x 1 )
的和函数为__________________；
3.
x 1x3 1x5 ( 1 )n 1x2 n 1( x )
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
的和函数为_________________。
敛域，并利用此展开式求级数
(1)n 2n1()2n
n1
(2n)! 2
的和。
七、设 f(x)xx2,0x，
又设 s ( x ) 是 f ( x ) 在 ( 0 , ) 内以
2 为周期的正弦级数展开式的和
函数，求当 x(,2) 时，s ( x ) 的
表达式
谢谢观赏
共同学习相互提高
二、求下列级数的收敛半径及收敛域：
11.x2 1 2x2 (1)nn 1 2xn
2.
x 1x 2 1x 3 1 x n 22 4 2 4 6 2 4 62 n
3.
x22x223x3 5 10
n2 2 n1xn
4.
n1
sin31n332xxn
5.
(1
1
n2
) enx
n 1
n
；
6.
[3 (1)n ]n xn
3
四、将函数
f
(x)
x2
1 3x2
展开成 ( x 4 ) 的幂级数。
五、将函数 y 1 展开成 ( x 3)
x
的幂级数。
六、将函数 f(x)exsinx展开成
x 的幂级数，并求其收敛区
间。（选作）
第37次作业
一、填空题
1. 设
1 x0 f(x)1x2 0x
，则
其以 2 为周期的傅立叶级数在点
n1
n
；
7.
132x21334x413536x6 2 24 246
三、求下列密级数的和函数：
1.
n x n 1 2.
n 1
x 4 n 1
n1 4 n 1
3.
x1x31x5 1 x2n 1
35
2n1
4.
xn
n1 n (n 1)
；
5. (2n1)(x1)2n1 。 n1
四、（选做），求：
。
五、判定下列级数的收敛性：
1. 32(3)23(3)3 n(3)n
44 4
4
2. 14 24 n4
；
1! 2!
n!
3. 3.
2n sin
n 1
3n
。
1
六、判定级数
n2 n ln n
的敛散性。
七、求下列级数的极限：
1.
1
lim
1(11)k2
nn k1 3k
k
；
11
2. lim[2349
(2)如果 fxfx, 则 f x
的付里叶系数
a 2 k 1 0 ,b 2 k 1 0 k 1 ,2;
第39次作业 一、将下列各周期函数展开成傅立 叶级数（下面给出函数在一个周期 内的表达式）。
1. f(x)1x2(1x1) 22
x 1 x 0
2.
f ( x) 1
0
x
1 2
1
1 2