梯度,散度,旋度以及几个常用的PDE方程

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散度_旋度_梯度

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例题（答案1200 π )
V
r 2π 4 5 2 ∫ (∇ • A)dv = ∫ (3r + 2)rdrdϕdz ∫ dϕ ∫ dz ∫ (3r + 2r )dr
V
0 0 0
= 8π ⋅ ( r 3 + r 2 ) |5 = 1200π 0
∫
S
r r A • ds =
∫
侧面
r r A • ds +
14
特例
1 ∇( ) , R
1 ∇( ) R =
1 ∇′( ) ? R
1 − ∇′( ) R
15
2.矢量的通量和散度
矢量线-----线上每一点的切线方向与该点矢量场的方向相同单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小
v v F × dl = 0
16
2.矢量的通量和散度
矢量在某一有向曲面的面积分称为通过该面的通量。
35
亥姆霍兹定理
定理的本质：
在空间有效区域τ内的任一矢量场F，由它的散度，旋度和边界条件唯一的确定，矢量场F可以表示成一个无源场和一个无旋场之和
r r r F = 两个特殊的场分量之和＝F无旋＋F无散
r ＝ − ∇U ＋∇ × A
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r r r F = 两个特殊的场分量之和＝F无散＋F无旋
矢场的基本微分方程
r r d l = a l dl
C
27
环流的应用
• 环流是描述场的性质的另外一个重要量
C
r r A •dl = 0 ∫
C
r r A •dl ≠ 0 ∫
无旋场
有旋场
28
矢量的 “旋度”
环量描述的是有向闭合曲线所围的区

矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解教学内容

矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解1.梯度 gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy 处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。

如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。

在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。

可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。

梯度的数值有时也被成为梯度。

在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。

旋度散度梯度计算公式

旋度散度梯度计算公式在物理学和工程学中，旋度、散度和梯度是描述场的重要概念。

它们可以用于描述矢量场的变化情况，从而帮助我们更好地理解自然界中的各种现象。

本文将介绍旋度、散度和梯度的计算公式。

旋度旋度是矢量场的一个性质，用于描述一个场在某点旋转的强度和方向。

一般来说，旋度表示矢量场的局部旋转性质。

对于一个三维矢量场$ \vec{F} = (P, Q, R) $，其旋度计算公式如下：$abla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix} $其中$abla \times \vec{F} 表示矢量场 \vec{F} 的旋度， \vec{i} 、 \vec{j} 和 \vec{k}分别表示x、y和z$方向的单位矢量。

散度散度描述了矢量场的流出或流入程度，它表示一个矢量场在某点的流出量与该点周围的体积之比。

对于一个三维矢量场$ \vec{F} = (P, Q, R) $，其散度计算公式如下：$abla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z} $其中$abla \cdot \vec{F} 表示矢量场 \vec{F} $的散度。

梯度梯度描述了标量场在某点的变化率和方向，它表示一个标量场在某点的最大变化率和该点的方向。

对于一个标量场$ \phi $，其梯度计算公式如下：$abla \phi = \begin{pmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial x} \\ \frac{\partial\phi}{\partial y} \\ \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{pmatrix} $其中$abla \phi 表示标量场 \phi $的梯度。

梯度,散度,旋度以及几个常用的PDE方程

梯度，散度，旋度以及几个常用的PDE 方程——蒋小敏2012-05-07在最近的学习过程中，经常碰到梯度、散度、旋度等数学概念。

惭愧的是以前学的不够认真，到了现在，忘记的也差不多了，趁这个机会把这些知识捡回来，做一个总结，以后可以作为一个参考，是为记。

本文按知识点进行小节划分，提到的问题都是我自己经常忘记和搞混的知识点。

先定义一下本文的一些符号表达：矢量：大写黑体斜体字母A ，大写斜体字母加表示矢量的符号标量：小写斜体字母u单位矢量：小写上加倒勾e x一、矢量（1）矢量的定义若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。

例如在直角坐标系中, 矢量A 的三个分量模值分别是Ax ，Ay ，Az ，则矢量A ，z y x A z A y A xA ˆˆˆ++=（2）矢量的模222z y x A A A A ++=（3）矢量的乘积标量积，Dot production 点乘，这是一个标量AB a B A B A cos =⋅2222AA A A A AB A B A B A B A zyxz z y y x x =++=⋅++=⋅A xe矢量积，Cross production 叉乘，这是一个矢量AB a B A nB A sin ˆ=⨯ 其中为A , B 所在平面的右手法向。

zy x z y x B B B A A A zy x B A ˆˆˆ=⨯ 二、通量（1）通量的定义若矢量场A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S ，则⎰⋅=ψSd SA为矢量A 沿有向曲面S 的通量。

（2）通量的物理含义表示穿入和穿出闭合面S 的矢量通量的代数和。

若0>ψ穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；若0<ψ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；若0=ψ，闭合面无源。

梯度、散度、旋度表达式推导

r r a • dr ∫
所以
lim
s →0
L
S
i r ∂ = ∇× a = ∂x ax
i r ∂ = ∇×a = ∂x ax
j ∂ ∂y ay
j ∂ ∂y ay
k ∂ ∂z az
k ∂ ∂z az
即
rotn a = lim
s →0
r r a • dr ∫
L
S
4. 曲线坐标系
a. 曲线坐标的引进，柱坐标系球坐标系曲线坐标的引进，空间中任一点 M 在直角坐标系中是由（x, y, z）三个数唯一决定的。此时矢经 r 的表达式是：
H 1 , H 2 , H 3 称为拉梅系数
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表达式
∂r 考虑到 ∂qi 的大小和方向后，可得下式：
r r r dr = H 1dq1e1 + H 2 dq2 e2 + H 3 dq3e3
这就是弧元素矢量在曲线坐标系中的表达式，它们在坐标轴上的投影分别是：
L
S
i r ∂ = ∇×a = ∂x ax
j ∂ ∂y ay
k ∂ ∂z az
证明如下：因为： L
r r ∫ a • dr =
∫ (a dx + a dy + a dz)
x y z L
3．旋度．
b. 旋度 2) 表示形式再由线积分转化为面积分可得：上式=
∫ [(
L
∂a y ∂ax ∂a ∂a ∂az ∂a y − ) nx + ( x − z ) n y + ( − )n y ]dS ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

散度旋度梯度运算

散度旋度梯度运算散度、旋度和梯度是数学中常用的运算符号，用来描述矢量场的性质和变化规律。

它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

本文将分别介绍散度、旋度和梯度的定义、性质和应用。

一、散度（Divergence）散度是描述矢量场发散或收敛性质的一个概念。

它表示矢量场在某一点上的流出或流入程度。

具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其散度定义为 D = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z。

散度可以理解为该点上各个方向的流量之和。

若散度为正，则表示该点上的流量向外；若散度为负，则表示该点上的流量向内；若散度为零，则表示该点上的流量无净流出或流入。

散度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，根据散度定理，流体的质量守恒可以用散度来描述。

此外，在电场和磁场中，散度也可以用来描述电荷和磁荷的分布情况。

二、旋度（Curl）旋度是描述矢量场的旋转性质的一个概念。

它表示矢量场在某一点上的旋转程度。

具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其旋度定义为 C =∇×F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)。

旋度可以理解为该点上绕着某一轴旋转的程度。

若旋度为正，则表示该点上的旋转方向符合右手定则；若旋度为负，则表示旋转方向符合左手定则；若旋度为零，则表示该点上没有旋转。

旋度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，旋度可以用来描述流体的旋转和涡旋的生成。

此外，在电场和磁场中，旋度也可以用来描述电流和磁场的旋转情况。

三、梯度（Gradient）梯度是描述标量场变化率和方向的一个概念。

它表示标量场在某一点上变化最快的方向和速率。

具体地说，对于一个标量场f(x, y, z)，其梯度定义为∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。

散度,旋度,梯度

《散度,旋度,梯度》1、散度：可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。

当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。

2、旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。

这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。

旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。

旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。

3、梯度：是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值。

对散度的理解梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是"在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围,学过微积分该知道甚么叫极限吧?)纯量值最小处指向周围纯量值最大处.而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度"举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示,纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后,会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡.散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量散度的作用对像是向量场,如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),在这个点上,向量场的发散程度,如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.一样,举例子:因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象,这次要想象一个大广场里挤了很多人,如果每个人都在到处走动,是不是可以把每个人的行动都看成是一个向量,假如现在某人放了一个屁,周围的人(可能包含他自己)都想要赶快闪远一点,就会发现,在这块区域的人都往这小块区域以外的方向移动.对啦…这就是散度(你也可以想说是闪远一点的闪度…冷…),大家如果散得越快,散得人越多,这个散度算出来就就越大.旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量旋度的作用对象也是向量场,这次直接用上面的例子来讲:如果现在散开的众人都是直直的往那个屁的反方向散开,这时候你看到这些人的动线是不是就是一个标准的幅射状?不过事实上,每个人在闻到屁的时候是不会确切的知道屁到底是来自哪个方向的.而可能会走错方向,试过之后才发现不对劲,越找越臭.这时候你看到众人的走向不见得就是一个幅射状(大家都径向移动),而可能有一些切向移动的成份在(以屁发点为中心来看)旋度对应的就是这些切向移动的情况,相对来讲,散度对应的其实就是径向移动的情况.而一个屁,虽然可能会像上述的造成一些切向的移动,但理论上来讲,并不会使散开的众人较趋向于顺时钟转,或逆时钟转.在这种情况,顺时钟转的情况可以看作与逆时钟转的情况抵消,因此,在这情况下,旋度仍然是零.也就是说,一个屁能造成散度,而不会造成旋度…而甚么时候是有旋度的呢?如果这时候音乐一放,大家开始围着中间的营火手拉手跳起土风舞(当然是要绕着营火转的那种啦)这时候就会有旋度没有散度啦.(刚刚一直放屁的那位跑出去找厕所的除外)以上这三个,有一点一定要记得的.不论是梯度,散度,旋度,都是一种local的量(纯量,向量),所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况.以上举的例子因为要容易了解,所以都是针对二度空间向量为例,而且都是很大的东西,但广场是一个点,营火晚会也是一个点,纳须弥于芥子,这就请自行想象吧。

梯度、散度和旋度——定义及公式

梯度、散度和旋度——定义及公式1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为∇。

三维坐标系下，有=i j k x y z∂∂∂∇++∂∂∂ 或者 (,,)x y z ∂∂∂∇=∂∂∂ 其中,,i j k 分别为xyz 方向上的单位矢量。

2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。

(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ∂∂∂∂∂∂=∇=++=∂∂∂∂∂∂ 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。

2.2 梯度的性质∇c=0∇(RS)= ∇R+∇S21()(),0R S R R S S S S∇=∇-∇≠ [()]()f S f S S '∇=∇其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。

3 散度（Divergence ）散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。

设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z∂∂∂∂∂∂=∇==++∂∂∂∂∂∂ 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。

它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。

当0div f >，该点有散发通量的正源（发散源）；当0div f <，该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当=0div f ，该点无源。

4 旋度（Curl, Rotation ）旋度是哈密顿算子与矢量函数f 叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则旋度：=rot ()()()y y x x z z x y zij k f f f f f f curl f f f i j k xy z y zz x x y f f f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。

梯度、发散和旋度——定义及公式

梯度、发散和旋度——定义及公式梯度、发散和旋度是矢量场分析中常用的概念，它们用于描述矢量场的特性和变化。

以下是它们的定义及相关公式：1. 梯度（Gradient）梯度表示矢量场在给定点上最大变化的方向和速率。

我们可以将一个标量场（Scalar field）与一个矢量场（Vector field）的梯度进行计算。

梯度的定义：$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partialf}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$f$ 表示标量场，$\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$ 表示坐标轴的单位向量。

2. 发散（Divergence）发散用于描述矢量场的流出和流入情况，它表示在给定点的矢量场流量的变化率。

发散的定义：$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\cdot$ 表示点乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。

3. 旋度（Curl）旋度用于描述矢量场的旋转和循环性质，它表示在给定点的矢量场环量的变化率。

旋度的定义：$$\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partialF_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partialy}\right)\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\times$ 表示叉乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。

直角坐标系梯度散度旋度公式大全

直角坐标系梯度散度旋度公式大全梯度、散度和旋度是数学中的向量运算符，它们在直角坐标系中具有重要的应用。

本文将介绍直角坐标系下梯度、散度和旋度的定义以及它们的具体计算公式。

梯度梯度是一个向量，它表示标量函数在空间中变化最快的方向和速率。

在直角坐标系中，梯度可以使用以下公式进行计算：grad(f) = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k其中，f是一个标量函数，i、j和k分别表示直角坐标系中的单位向量。

散度散度是一个标量，它表示向量场的源或汇在给定点的密度。

在直角坐标系中，散度可以使用以下公式进行计算：div(F) = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z其中，F是一个向量场，Fx、Fy和Fz分别表示该向量场在x、y和z方向的分量。

旋度旋度也是一个向量，它表示向量场在给定点的旋转程度。

在直角坐标系中，旋度可以使用以下公式进行计算：curl(F) = ( ∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z )i + ( ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x )j + ( ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y )k其中，F是一个向量场，Fx、Fy和Fz分别表示该向量场在x、y和z方向的分量。

梯度、散度和旋度的物理意义梯度、散度和旋度在物理学和工程学中有广泛的应用。

梯度描述了标量场的变化速率和方向，它在物理学中常用于描述场的势能分布、温度分布或者电势分布。

散度描述了向量场的源和汇的密度，它在物理学中常用于描述电场分布中的电荷密度或者流体力学中的流体源。

旋度描述了向量场的旋转程度，它在物理学中常用于描述流体力学中的涡旋运动或者电磁场中的涡旋流。

结语本文介绍了直角坐标系下梯度、散度和旋度的定义和计算公式，以及它们在物理学和工程学中的应用。

这些向量运算符在求解偏微分方程、分析场的性质和描述物理现象中起着重要的作用。

对于深入理解这些概念，进一步探索它们在不同领域和问题中的应用非常有帮助。

梯度散度旋度公式大全

梯度散度旋度公式大全梯度、散度和旋度是向量场的重要性质，在多个领域中都有广泛的应用。

本文将综述梯度、散度和旋度的定义和主要公式，并分析它们的物理意义和数学性质。

1. 梯度（Gradient）梯度是一个标量函数的偏导数的向量。

假设有一个标量函数f(x,y,z)，其梯度为∇f，表示函数f在其中一点上最大的变化率和方向。

在直角坐标系中，梯度可以表示为：∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)其中∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z表示函数f对应的偏导数。

梯度向量的方向指向函数变化最快的方向，并且梯度大小表示函数变化的速率。

梯度的物理意义很直观，它可以表示物理场中的力的方向和大小，也可以表示温度场中的温度梯度。

梯度具有以下重要性质：（1）梯度的方向垂直于等值面，且指向函数增加的方向。

（2）梯度的大小表示函数在该点上的最大变化率。

（3）梯度为零的点为函数的极值点。

2. 散度（Divergence）散度是一个矢量场的发散的量度。

假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其散度为∇·F，表示矢量场在其中一点上的流入和流出的总量。

在直角坐标系中，散度可以表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z表示矢量场对应的分量的偏导数。

散度可以理解为矢量场的源或汇，具有以下重要性质：（1）散度为正表示矢量场在该点上流入，为负表示矢量场在该点上流出。

（2）散度为零的点为矢量场的源或汇。

（3）散度为正相关于区域密度增加，散度为负相关于区域密度减少。

3. 旋度（Curl）旋度是一个矢量场的旋转量的量度。

假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其旋度为∇×F，表示矢量场在其中一点上的旋转程度和方向。

在直角坐标系中，旋度可以表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z,∂P/∂z-∂R/∂x,∂Q/∂x-∂P/∂y)其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示矢量场对应的分量的偏导数。

1-3梯度-散度-旋度

∂ ∂φ
如何记忆？
d ⇒∇ dl
笛卡儿坐标系中微分长度 G G
G
G
dl = axdx + aydy + azdz
∇
=
G ax
∂ ∂x
+
G ay
∂ ∂y
+
G az
∂ ∂z
dU ⇒ ∇ dl
柱面坐标系中微分长度
G dl
=
G ar
dr
+
G aφ
(
r
⋅
dφ
)
+
G az
dz
∇
=
G ar
∂ ∂r
+
G aφ
1 r
v∫
GG A • dS
=
∫ (∇ •
AG) dV
=
∫ 源dV
S
V
V
Example: Net positive flux
v∫
G A
•
G dS
>
0
S
Streamlines are directed away from the origin
4
矢量的“环量”
矢量的环量：该矢量沿闭合路径的标量线积分
G
GG
∫ 矢量 A沿G闭合路径 C的环量＝ A •dl
G ∇×B
=
G∂ ax(∂y
Bz
−
∂ ∂z
By)
G +ay
∂ ( ∂z
Bx
−?Bz
)
+aGz(∂∂x
By
−?Bx)
∇
=
G ax
∂ ∂x
+
G ay

梯度、散度、旋度的关系

麦克斯韦方程组向量场数量场有源场无源场保守场（无旋场）有旋场（非保守场）保守场=有势场=无旋场------环流等于零!有源场-------闭合曲面的通量不等于零!------这些是指场的宏观特性!3.含时磁场可以感生出电场4.含时电场可以感生处磁场上面四个方程可逐一说明如下：在电磁场中任一点处（1）电位移的散度 == 该点处自由电荷的体密度；（2）磁感应强度的散度 --- 处处等于零。

（3）电场强度的旋度 == 该点处磁感强度变化率的负值；（4）磁场强度的旋度 == 该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和\把不明白的字母列举一下：E 是电场强度矢量D 是电位移矢量（也叫电感应强度）应该还有一个电传导向量 E=D+?B 是磁感应强度矢量H 是磁场强度矢量 H=B+?其中内在的联系是：D=εEB=μH注意上面这些大写字母都是矢量物理都是循序渐进的，你看看懂麦克斯韦方程组，必须学过微积分和数学物理方程。

∮是环路积分，求是对闭合的回路求积分▽是哈密顿算符，就是对XYZ三个方向求全导数（偏导数就是如果有几个变量，其他的不变，只求一个的导数，全导数就是把不同变量的偏导数全求出来，再加起来）·是点乘，×是叉乘，不一样的，这是微积分里的第一个说的是，电场的源是电荷。

＜你看它的微分形式，是不是：电场三个方向都求散度后的结果是电荷的密度，（散度通俗理解就是对三个空间方向求微分）这样就说明了电场不能凭空产生，它是有一个源头的，源头就是电荷。

这与我们通常的理解也是一样的，到目前为止我们也没有发现，单独的正电荷或负电荷，电场线都是从正电荷出发负电荷截止。

第二个方程，知道第一个方程的含义第二个就很好理解了，他就是说磁场是无源的，也就是说磁场是没有源头的，即磁场线是一条连续的曲线。

它不像电场线一样，必须从一个东西发出到一个东西结束。

第三个公式，也是看微分形式。

这里对电场取了旋度，＜旋度就相当于在电场线的垂直方向上求导＞我们看到最后它等于磁场对时间的求导。

旋度散度梯度

1. 梯度（Gradient）当∇作用于标量 s 时即可得到该标量在空间中的梯度，下面列出了CFD中梯度的各种表达形式：grad s=∇s=∂s∂xi=∂s∂xi+∂s∂yj+∂s∂zk可以看出标量场的梯度是一个矢量场，它表示s 在空间某一位置沿某一方向的变化量。

如果想要的到 s 在某一特定方向 el（方向 l 上的单位矢量）上的梯度，即方向导数，则可以根据矢量点乘的几何意义来进行计算：dsdl=∇s⋅el=‖∇s‖cos(∇s,el)由此可见，当 cos(∇s,el)=1 ，即空间任意方向 l 与梯度方向一致时沿该方向具有最大梯度，因此∇s 代表了空间中任意点上梯度变化最大的方向和变化量，而且∇s 垂直于该点处的等值线或等值面。

2. 散度（Divergence）根据矢量点乘的运算规则，∇与一个矢量的点乘是一个标量，它代表了矢量场的散度：div v=∇⋅v=∂ui∂xi=∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z可以看出矢量的散度是一个标量，在CFD中它表示空间中某一区域流入或流出的矢量的多少，比较典型的例子有点源或者点汇。

如下图是一个点汇，周围的矢量均流向该点。

标量的梯度为矢量，因此对该矢量可以继续求散度，从而引入拉普拉斯算子∇2 :∇⋅(∇s)=∇2s=∂2s∂x2+∂2s∂y2+∂2s∂z2上式代表了梯度的散度，可以看出标量经过拉普拉斯算子运算以后仍然是标量。

矢量的散度为标量，因此对该标量可以继续求梯度：∇(∇⋅v)=∇2v=∇2ui=(∇2u)i+(∇2v)j+(∇2w)k由这两个公式可以看出，拉普拉斯算子对标量的运算结果为标量、对矢量的运算结果为矢量。

3. 旋度（curl）旋度是由∇与矢量的叉乘得到，它的运算结果是一个矢量，代表了矢量做旋转运动的方向和强度：∇×v=(∂∂xi+∂∂xj+∂∂xk)×(ui+vk+wk)=|ijk∂∂x∂∂y∂∂zuvw|=(∂w∂y−∂v∂z)i+(∂u∂z−∂w∂x)j+(∂v∂x−∂u∂y)k一个典型的有旋流场是点涡，如下图所示，它展示了一个散度为0的有旋矢量场。

实用文档之三种常见坐标系中梯度散度旋度的计算公式

实用文档之三种常见坐标系中梯度散度旋度的计算公式在物理、数学和工程学等领域，常常会遇到需要计算梯度、散度和旋度的问题。

梯度、散度和旋度是描述矢量变量随空间坐标变化的变化率的重要工具。

在实用文档中，对于三种常见的坐标系下的梯度、散度和旋度计算公式进行详细说明，使读者能够理解和应用这些公式。

一、笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是三维空间中经常使用的坐标系。

在笛卡尔坐标系下，梯度、散度和旋度的计算公式如下：1.梯度：梯度用于描述标量函数在空间各个方向上的变化率。

对于标量函数f(x,y,z)，其梯度可表示为：∇f=(∂f/∂x)i+(∂f/∂y)j+(∂f/∂z)k其中，∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z分别表示f对x、y和z的偏导数，i、j 和k分别是笛卡尔坐标系的基底单位矢量。

2.散度：散度描述矢量场在其中一点的流入或流出情况。

对于矢量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其散度可表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中，∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示F的每个分量对应坐标的偏导数。

3.旋度：旋度描述矢量场的旋转情况。

对于矢量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其旋度可表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k其中，∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示F的每个分量对应坐标的偏导数。

二、柱坐标系柱坐标系适用于具有圆柱对称性的问题，在极坐标的基础上，引入了z轴方向的坐标。

在柱坐标系下，梯度、散度和旋度的计算公式如下：1.梯度：梯度的计算公式同样适用于柱坐标系，∇f的表达式保持不变。

2.散度：散度的计算公式在柱坐标系下为：∇·F=(1/ρ)∂(ρP)/∂ρ+(1/ρ)∂Q/∂φ+∂R/∂z其中，P、Q和R为矢量场F的每个分量。

191(梯度,散度,旋度)

u 例5：设为内的调和函数，证明：
u
(
1
)
ds n
0
,
u
(
2
)
u
ds n
u
2 dxdydz.
证明：⑴
uds n
u
nds
div
udxdydz
2udxdydz 0
divF F
(
2
)
u
uds n
u
u
nds
div
u
u
dxdydz
uu dxdydz u u u u dxdydz
(2) ( f g) ( f ) (g);
(3) ( fg) f (g) g ( f );
(4) 设是单变量函数 ,则( f ) (' f )f .
例1 设径向量 p ( x, y, z), 令p || p ||, 求梯度p. 解： p2 p p x2 y2 z2,
2 pp p2 ( x2 y2 z2 ) 2( x, y, z) 2 p,
因此，当p 0时, p p p . || p || p
三、散度场
设 F( x, y, z) (P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z))
为空间区域V上的向量值函数, 定义数量函数
D( x, y, z) P Q R x y z
称为向量函数F在( x, y, z)处的散度, 记为 divF .
例4 设径向量 p ( x, y, z), 令p || p ||, 求证向量场 F ( x, y, z) f ( p) p的旋度rotF 0, 其中 f是单变量函数, p 0. 证： p 0,
( f p) f p f p f p f '( p)p p f '( p) p p 0. p

梯度散度旋度公式大全

梯度散度旋度公式大全1. 梯度公式梯度是矢量场的一个重要概念，它表示了场在各个方向上的变化率。

对于一个标量场f(x, y, z)，梯度可以通过以下公式计算得到：∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k其中，∇表示梯度算子，i、j、k分别表示空间坐标轴的单位向量。

2. 散度公式散度描述了矢量场在某点的流入或流出情况，它是梯度的一种推广。

对于一个矢量场F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k，散度可以通过以下公式计算得到：∇·F = (∂P/∂x) + (∂Q/∂y) + (∂R/∂z)其中，·表示点乘运算。

3. 旋度公式旋度用于描述矢量场的旋转情况，对于一个矢量场F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k，旋度可以通过以下公式计算得到：∇×F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z)i + (∂P/∂z - ∂R/∂x)j + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)k其中，×表示叉乘运算。

4. 梯度、散度和旋度的关系梯度、散度和旋度之间存在一定的关系，这是基于矢量分析的一个重要结论。

根据向量分析的基本定理，我们可以得到以下等式：∇×(∇f) = 0 （梯度的旋度为零）∇·(∇×F) = 0 （旋度的散度为零）这两个等式说明了梯度和旋度的性质，即梯度场是无旋场，旋度场是无散场。

5. 应用示例梯度、散度和旋度在物理学和工程学中具有广泛的应用。

以下是一些应用示例：5.1 流体力学在流体力学中，梯度场描述了流速在各个方向上的变化率，散度场描述了流体在某点的流入或流出情况，旋度场描述了流体的旋转情况。

这些概念对于流体的运动和力学特性的分析具有重要意义。

5.2 电磁学在电磁学中，梯度场描述了电势的变化率，散度场描述了电场的流入或流出情况，旋度场描述了磁场的旋转情况。

散度,旋度,梯度

散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。

div F=▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。

简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。

用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。

表示辐合、辐散的物理量为散度。

微积分学→多元微积分→多元函数积分：设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i+ Q(x.y,z)j+ R(x,y,z)k给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n是Σ 在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·n dS 叫做向量场A通过曲面Σ 向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A的散度，记作div A，即div A= δP/δx + δQ/δy + δR/δz。

上述式子中的δ 为偏微分（partial derivative）符号。

梯度gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。

如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。

标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。

更严格的说，从欧氏空间R n到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。

在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

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