(完整)爱提分几何第01讲等高模型
几何第20讲等高模型
几何第20讲_等高模型（比例关系）一．三角形中的面积比例关系直线形计算中，最重要的就是找到两个三角形面积与边长之间的关系．当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比．如图所示：12::S S a b=baS 2S 1ab S 2S 1S 1aS 2b二．梯形中的面积比例关系在梯形中，对角线把梯形分成两个分别以上底、下底为底边的等高三角形，则它们的面积比与对应上下底之比．如图所示：12::S S a b=abS 2S 1重难点：三角形等高模型与梯形中的等高模型题模一：三角形中的等高例1.1.1如图，:3:2BD CD =，:2:5CE AC =．已知△ABC 的面积是10，阴影部分的面积是__________．AEDCB例1.1.2如图所示，已知△ABC 的面积为1，且12BD DC =，12AF FD =，CE EF =，则△DEF 的面积是多少？AFEDCB例1.1.3如图，在△ABC 中，已知△ADE 、△DCE 、△BCD 的面积分别是89，26，28，那么△DBE的面积是_______例1.1.4如图7，已知2AB =，3BG =，4GE =，5ED =，△BCG 和△EFG 的面积和是24，△AGF 和△CDG 的面积和是51，则△ABC 与△DEF 的面积和是__________．DCBAFEG题模二：梯形中的等高例1.2.1如图，梯形ABCD 的面积是10，E 为CD 中点，求三角形ABE 的面积是___________．DEB CA 例1.2.2如图，在梯形ABCD 中，E 是AB 的中点．已知梯形ABCD 的面积为35平方厘米，三角形ABD 的面积为13平方厘米．三角形BCE 的面积为多少平方厘米？A B DCE例1.2.3如下中图，DF 与BC 平行，2AE EC =，△BOD 与△EFC 面积相等，△BOC 与△EOC 面积相等，那么BD 是AB的__________分之__________．例1.2.4如图，在梯形ABCD 中，线段CE 和CF 把梯形分成的面积相等的三个部分：三角形BCE 、四边形AECF 和三角形CDF ，现在连接EF ，得到三角形CEF ，已知三角形CEF 的面积为2002，且线段:3:2BE AE =．那么梯形ABCD 的面为______．BA DCEF 随练1.1如图，:2:3AD DC =，三角形ABC 的面积是60平方厘米，求三角形ABD 的面积．AB CD随练1.2如图，:2:5CE AE =，:7:5CD DB =，三角形ABC 面积为120，求三角形AED 的面积是__________．AEDCB随练1.3如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =．直线AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65．请问：三角形ADG 的面积是多少？ABCDE FG随练1.4如图，AC 的长度是AD 的45，且三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的一半．请随堂练习问：AE 是AB 的几分之几？ABCDE随练1.5如图，梯形ABCD 上底为4，下底为6，则△ADC 与△ABC 的面积比为多少？ADCB 作业1如图，:3:5AD DB =，三角形ABC 的面积是80平方厘米，求三角形ACD 的面积．A B CD作业2图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米?作业3如图，:5:7AD DB =，:2:3AE EC =，三角形ABC 的面积是120平方厘米，求三角形BED 的面积为多少平方厘米．AB CDE作业4如图，一个边长为120cm 的等边三角形被分成了面积相等的五等份，那么，AB =__________cm．作业5如图，已知5CD =，4DE =，9EF =，3FG =．直线AB 将图形分成两部分，左边部分面积是42，右边部分面积是62．那么三角形ADG 的面积是多少？AFGE D CB作业6如图，梯形ABCD 中，上底AB 是下底CD 的一半，DE 长10厘米，BC 长6厘米，求梯形ABCD 的面积．ED CBA。
4-3-1 三角形等高模型与鸟头模型(一).教师版
（ 4（
（ 5（
【例 2】 如图，BD 长 12 厘米，DC 长 4 厘米，B、C 和 D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？
A
B
C
D
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为三角形 ABD、三角形 ABC 和三角形 ADC 在分别以 BD、BC 和 DC 为底时，它们的高都是从 A
【答案】4
【例 9】 如 右 图 ， AD DB ， AE EF FC ， 已 知 阴 影 部 分 面 积 为 5 平 方 厘 米 ， ABC 的 面 积 是 平方厘米．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】2008 年，四中考题
【解析】连接 CD ．根据题意可知， DEF 的面积为 DAC 面积的 1 ， DAC 的面积为 ABC 面积的 1 ，所
【答案】4
【例 7】 如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与△ BEC 等积的三角形
一共有哪几个三角形？
A
FD
E
B
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【解析】 △ AEC、△ AFC、△ ABF． 【答案】△ AEC、△ AFC、△ ABF．
C 【题型】解答
【例 5】 长方形 ABCD 的面积为 36， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是 多少？
4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型 题库
page 4 of 40
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享
小学奥数-几何五大模型(等高模型)模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三角形等高模型与鸟头模型两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。
【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBAFC DB A G D CB A⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
小学奥数-几何五大模型(等高模型)
模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时1发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来3的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S i :S2 a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD •④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.你有多少种方法将任意一个三角形分成： ⑴3个面积相等的三角形； ⑵4个面积相等的三角形； ⑶ 6个面积相等的三角形。
⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考:如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？⑵求三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍?因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从 A 点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
几何的五大模型
5、 想想？正方形ABCD中，还有哪些没有包块进去，及与份数之间旳关系
6、SΔADE =S2+S3，S ΔBCF =S4+S3 想想？为何，用了什么模型
7、∴正方形ABCD被提成了24份 S阴影=S2+S4=6÷24×12=3cm2
例题：相同模型
例题4：如图，长方形ABCD中，E为AD旳中点，AF与BE、BD分别交于
例题：二分之一模型
例题3：如图ABFE和CDEF都是矩形，AB旳长是4厘米，BC旳长是3厘 米，那么图中阴影部分旳面积是多少平方厘米。
分析：阴影部分是一种个三角形，矩形CDEF中阴影 A
B
部分旳三角形底边长度为矩形旳长，高与矩 E
F
形宽相等，根据面积公式可知S阴影=SEDCF÷2
D
C
思索：二分之一模型是什么意思？
分析：SΔ黄+SΔ绿=S长方形÷2（=宽×长÷2）
黄色三角形面积21cm2，占长方形面积百分比
黄
50%-15%=35% 所以，长方形面积=21÷35%=60cm2
红
红
绿
例题：等积变换
例题2：图中ABCD是个直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF， 其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC，则图 中阴影部分旳面积是多少平方厘米？
AB
S1 S2
a
b
图1
CD 图2
概念
2、鸟头定理（共角定理）模型
1）两个三角形中有一种角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形
2）共角三角形旳面积比等于相应交（相等或互补角）两夹边旳乘积之比
D
E
A
D
A
A
E D
BC
小学奥数 几何面积(1)等底等高模型 知识点+例题+练习 (分类全面)
教学过程课堂精讲一、知识梳理1、三角形的面积=底边长 高÷2;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。
2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。
3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。
4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；例1、如图，直角三角形ABC中AB=2,BC=2，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？拓展、如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？例2、如下图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为6平方厘米，ABC ∆的面积是多少平方厘米？FE DCBA拓展、如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，三角形ADE 面积为3，三角形BDE 、三角形ABC 面积分别是多少？拓展、如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．F E DCBA拓展、如图,一个长方形被分成4个不同颜色的三角形,红色三角形的面积是9平方厘米,黄色三角形的面积是21平方厘米,绿色三角形的面积是10平方厘米,那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米?例5、图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？E D GCFBA拓展、正图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，E 、F 都是所在边的中点，三角形AEF 的面积是多少？例6、已知正方形ABCD的边长是10厘米，正方形EFGH的面积是多少？拓展、已知大正方形的边长是12厘米，中间最小正方形的面积是多少？拓展、如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？例7、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．拓展、右图是由大、小两个正方形组成的，大正方形的边长是6厘米，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．G4AB CDEF例8、四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积是7平方厘米。
三角形等高模型与鸟头模型(一).学生版
- -板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比方当高变为原来的3倍，底变为原来的13，那么三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，那么可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．例题精讲4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型【例 2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？D CBA【例 3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影局部的面积是平方厘米．ED CA【稳固】(2009年四中小升初入学测试题)如下图，平行四边形的面积是50平方厘米，那么阴影局部的面积是平方厘米．【稳固】如下列图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，那么它部阴影局部的面积是．CDE【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影局部的面积．E BA E BA【稳固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影局部的面积是．E GCBBCG E【例 5】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影局部面积是多少？EDEE【稳固】在边长为6厘米的正方形ABCD任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影局部面积．【例 6】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？EDCBA【例 7】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与△BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【稳固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？EDCBA【稳固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODCBA【例 8】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【例 9】 如右图，AD DB =，AE EF FC ==，阴影局部面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是平方厘米．AA- -【稳固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【稳固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【稳固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA【稳固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？- -FE CBA【例 10】 如下图，A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。
小学五年级逻辑思维学习—等高成比
小学五年级逻辑思维学习—等高成比知识定位本讲中的主要知识点可以概括为三种基本模型，并不难理解。
三角形、平行四边形、长方形、正方形这些基本图形的面积公式在学校里都已经学过，这三种模型不外乎是在这些公式的基础上延伸。
等高成比在平面几何题中应用十分广泛，需要重点掌握.知识梳理1、模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系 (1) 两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
S 1：S 2 =a ：b ；条件 ：共线比例a ：b应用 ：以比例线段为底边找三角形 延伸 ：已知面积比求线段比（2）模型一是最关键的模型，虽然简单但应用范围很广，出现形式多样，一定要让学生完全掌握。
2、模型二：等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二是模型一的一种简单拓展，可适当进行推导让学生加深对模型一的理解认识，进一步强调模型一的重要性。
3、模型三：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） （1）①S 1：S 2=S 4：S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 （对角面积之积相等）应用：知道三个面积就能求第四个面积 ②AO ：OC=（S 1+S 2）：（S 4+S 3）（2）模型三虽然不常见，但是在解任意四边形的面积问题时很实用。
同时，这个结论也是由模型一推到而来，过程较模型二稍微复杂一些，可作适当讲解，进一步加深学生对模型一的理解。
4、重点难点解析bS 4S 3s 2s 1O DCBA(1)模型一与其他知识混杂的各种复杂变形 (2)在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”5、竞赛考点挖掘 (1)三角形面积等高成比 (2)“鸟头定理” (3)“蝴蝶定理”例题精讲【题目】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.【题目】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．【题目】如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FABCDEG HFE D CBA【题目】如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。
六年级等高模型知识点
六年级等高模型知识点在学习过程中，我们常常会遇到各种各样的知识点，这些知识点承载着我们的学习任务和目标。
其中，六年级等高模型知识点是六年级学生们要重点掌握的知识点之一。
本文将介绍六年级等高模型知识点的基本概念和应用，帮助同学们更好地理解和运用这些知识。
一、等高模型概念等高模型是数学中一种常见的几何模型，它可以用来描述和解决一些与平行四边形和三角形相关的问题。
在等高模型中，由于存在一条或多条等高线，使得图形呈现出等高、等边等特点。
二、等高模型的构成要素1. 平行四边形：平行四边形是等高模型中最基本的图形之一，它具有两组平行的边和相等的对边。
在等高模型中，平行四边形通常用来代表某种物体或空间的形状。
2. 等高线：等高线是等高模型中的关键要素，它是连接平行四边形上相同高度点的曲线。
等高线的形状和位置可以准确地描述出整个等高模型的外观和特征。
3. 高度：在等高模型中，高度是指从平行四边形的底边上一点到对边上相应点的垂直距离。
高度的长度对于确定等高线的形状和位置起到重要作用。
三、等高模型的应用等高模型不仅是数学学科中的一种抽象模型，也应用到了我们实际生活和学习中的各个方面。
下面是几个常见的等高模型应用场景。
1. 地理地形图：地理地形图是使用等高模型来描述和展示地球表面的地理特征。
通过等高线的分布，我们可以了解到不同地方的海拔高度和地势变化情况。
2. 地图制图：在制作地图时，使用等高模型可以准确地表示和描绘出山脉、河流等地理地貌，为我们提供了更加真实和直观的地理信息。
3. 建筑设计：在建筑设计中，等高模型被广泛用于描述建筑物的平面布局和外观形状。
通过等高线的展示，我们可以更好地了解建筑物的整体结构和比例尺度。
4. 自然科学研究：在自然科学研究中，等高模型也被应用于地震、气象等领域。
通过等高线的分布和变化，科学家们可以研究和探索自然界中的规律和现象。
四、六年级等高模型知识点的学习和应用在六年级数学学科中，等高模型的学习和应用是一个重要的内容。
三角形等高模型
等高三角形模型知识框架三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．例题精讲【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成 3个面积相等的三角形．【巩固】你有多少种方法将任意一个三角形分成4个面积相等的三角形．【例 2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？D CBA【巩固】如右图，E在AD上，AD垂直BC， AD=12厘米，DE=3厘米。
几何模型知识点汇总
平面直线型几何知识汇总
赵奕凯一、等高模型（共顶点，同线段）
二、平行线间的等积变形（找到平行线）
三、一半模型
四、风筝模型
注意：风筝模型可谓最重要的模型之一，要出难题一定会涉及到
这个结论告诉我们：在做几何题目时候多数情况下应该将面积之比与线段之比联系起来，如果只盯着面积比或者线段比，一般难题绝对无法做出。
风筝模型就是面积比与线段比的桥梁。
风筝模型可以将面积比推到线段比，知晓线段比后就可以用很多其他的模型！
五、蝴蝶模型 (其中AB：CD=a:b)
小朋友们已经能够发现：蝴蝶模型和风筝模型的区别仅仅在于蝴蝶模型是发生在梯形当中，偷偷告诉你：其实广义蝴蝶模型包含两种：梯形中的蝴蝶模型和普通四边形中的蝴蝶模型（也就是现在我们学习的风筝模型啦）
类蝴蝶模型
六、鸟头模型（又称共角模型：角相同或者角互补）
两类特殊的鸟头模型：金字塔模型和沙漏模型
七、燕尾模型(三角形中有“×”)
八、共边模型：风筝模型中长出一个三角形。
几何模型(小学奥数必会6大模型)
模型一：等高模型定义：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
如果固定三角形的底（或高）不变，另一者变大（小）n 倍，三角形的面积也就变大（小）n 倍。
六种基本类型：两个三角形高相等，面积比等于底之比；两个三角形底相等，面积比等于高之比公式：DCBDS S ADC ABD =∆∆；FCEDS S ABC ABD =∆∆其中，BC=EF 且两三角形的高相等公式：1=∆∆DEFABCS S夹在一组平行线之间的等积变形公式：1==∆∆∆ABDABCBCD ACD S S等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可看作特殊的平行四边形）公式：1=CDEFABCDS S三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半公式：ABCDEDC S S 21=∆两个平行四边形高相等，面积比等于他们底的比公式：EFABS S DEFG ABCD =例题：长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？()5.135.418185.43681211836212136212121=-=-=∴=⨯=⨯⨯=+=++=⨯=++=++∴=++====∴===∴=∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆BEF BEF BEF DGH BFH BEH CDH BCH ABH DGH BFH BEH CDH BCH ABH ABCD CDH DGH BCH BFH ABH BEH CGHDGH CFH BFH BEHAEH S S BF BE S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S EB AE HC BH 阴影阴影，，，，同理，、如图，连接模型二：相似模型定义：形状相同，大小不相同的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型。
两种基本类型：（一）金字塔模型（二）沙漏模型①相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；公式：AGAFBC DE AC AE AB AD ===②相似三角形的面积比等于他们相似比的平方；公式：22::AG AF S S ABC ADE =∆∆③连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
六年级数学【小升初】等高等底+等积变形+一半模型+蝴蝶定理
（一）等高等底◆知识导航◆等高模型△ABC 被AD 分为△ADB 与△ADC,这两个三角形公用高AE，因此称△ADB 与△ADC 共高，因此S △ADB＝BD×AE÷2，S △ADB ＝DC×AE÷2，所以。
当然，△ADB,△ADC 与△ABC 也是共高的，因此，S △ADB :S △ADC :S △ABC ＝BD:DC:BC。
即：高相等，面积之比等于底之比。
◆等底模型△ABC 与△DBC 共用底BC，因此称△ABC 与△DBC 等底，高分别为AE 和DF，因为S△ABC＝BC ×AE÷2,S△DBC＝BC×DF÷2,所以，DFAE DF BC S S DBC ABC =÷⨯÷⨯=∆∆22DF BC 。
即：底相等，面积之比等于高之比。
精准练习1.如图，在△ABC 中，已知三角形DCE 的面积是12，AE:EC=5:2，AD:BD=3:1。
那么△BEC 的面积是多少？2.△ABC 与△DBC 中高AE=10，高DF=4，则两个三角形的面积之比为：_________；若S △ABC =40，则S △DBC =________。
3.△ABC 与△DBC 中高AE＝5，高DF＝6，则这两个三角形的面积之比为：_________；若S △DBC ＝30，则S △ABC ＝_________。
4.已知S △ABC ＝120,S △DBC ＝70，则这两个三角形的高之比为：_______；若AE＝24，则DF＝_________。
5.△ABD 与△ACD 中AD⊥BC，且S △ACD ＝280，S △ABD ＝280,则△ABD 与△ACD 的高之比为：________；若CE＝21，则BE＝_________。
6.△ABD 与△CBD 共用高BE，若AD＝5，CD＝4，则这两个三角形的面积之比为：_________，若S △ABD ＝20，则S △CBD ＝_________。
三角形等高模型
三角形等高模型在数学的奇妙世界里，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而三角形的等高模型，则是解决众多与三角形面积相关问题的有力工具。
让我们先来理解一下什么是三角形的等高。
简单来说，就是两个或多个三角形，如果它们的顶点在同一条平行线上，且底边在同一条直线上，那么这些三角形的高是相等的。
为什么要研究三角形的等高模型呢？这是因为它在计算三角形面积以及解决几何问题时，能提供简洁而有效的思路。
假设我们有一个三角形 ABC，底边为 BC，高为 h。
那么它的面积S 就可以表示为 S ＝ 1/2 × BC × h 。
现在，如果我们有另一个三角形 ABD，它与三角形 ABC 等高，底边为 BD，那么三角形 ABD 的面积就可以表示为 S' ＝ 1/2 × BD × h 。
通过对比这两个面积公式，我们可以发现，当两个三角形等高时，它们面积的比就等于底边长度的比。
例如，有一个三角形 ABC，底边 BC 的长度为 6 厘米，高为 4 厘米，面积就是 1/2 × 6 × 4 ＝ 12 平方厘米。
如果有一个与它等高的三角形ACD，底边 CD 的长度为 3 厘米，那么三角形 ACD 的面积就是 1/2 × 3 × 4 ＝ 6 平方厘米。
很明显，三角形 ABC 与三角形 ACD 的底边长度之比为 6 ： 3 ＝ 2 ： 1，面积之比也是 12 ： 6 ＝ 2 ： 1 。
再来看一个稍微复杂一点的例子。
在一个大三角形 ABC 中，D 是BC 边上的一点，BD ： DC ＝ 2 ： 1 。
如果三角形 ABC 的面积是 30 平方厘米，那么三角形 ABD 和三角形 ADC 的面积分别是多少呢？因为三角形 ABD 和三角形 ADC 等高，所以它们面积的比就等于底边 BD 和 DC 的长度比，即 2 ： 1 。
那么三角形 ABD 的面积就是 30 × 2 ／（2 ＋ 1) ＝ 20 平方厘米，三角形 ADC 的面积就是 30 × 1 ／（2 ＋ 1) ＝ 10 平方厘米。
等高模型【几何】
等高模型癸酉0311 Your heart is full of fertile seeds,waitingto sprout.个人简介Ø姓名：癸酉0311Ø性别：男Ø兴趣爱好：篮球、足球、羽毛球、桌球、跑步、健身、爬山、摄影、音乐、文学…Ø教学特点：充分挖掘学生自身潜力，用“爱”与“智慧”陪伴学生成长Ø教育理念：入乎耳，着乎心，布乎四体，形乎动静目录1知识概述总结归纳32例题讲解课后作业4C O N T E N T S1知识概述重要程度等高模型是诸多几何模型的基础，其它模型大都可以根据等高模型进行推导基本内容高一定，三角形面积比等于对应底边的长度比，实则是正比例关系的应用基本条件三点共线，三线共点解题步骤找等高模型，列比例，求解BCCD S S BCBD S S CDBD S S ABC ACD ABC ABD ACD ABD ：：：：：：===∆∆∆∆∆∆2例题讲解挑战1如图，AD：AE=3:1，BD：CD=1:3，已知三角形ABD 的面积是 30 平方厘米，求三角形 CDE 的面积.例题2如图，平行四边形 ABCD 中，BE：CE=2:1，AF：CF=1:3，已知三角形CEF 的面积是 60 平方厘米，求平行四边形 ABCD 的面积.例题3如图，三角形 ABC 中，BC=3BD，AC=3CE，AG=FG，DF=FH=HE，已知三角形 ABC 的面积是27，求三角形 GHE 的面积．练习3如图，等腰三角形 ABC 被分成面积相等的 5 个小三角形，已知 AB=AC=15 厘米，求 AD、AG 的长.挑战3如图，三角形 ABC 中，D、E、F、G 是BC 边的五等分点，H、I、J 是AB 边的四等分点，已知三角形EFI 的面积是 1，求三角形 ABC 的面积．挑战4如图，长方形 ABCD 中，E、F、G 分别是各边的中点，H 是AD 边上任意一点，已知长方形 ABCD 的面积是36，求图中阴影部分的面积.挑战5如图，正三角形 ABC 被分成面积相等的 15 个小三角形，已知正三角形 ABC 的边长是 112，求AD+BE+CF 的长.3总结归纳列比例，求解构造基础模型找基础模型正比例三角形1234564课后作业作业1如图，三角形 ABC 中，D、E、F 分别是各边的三等分点，已知三角形 DEF 的面积是 5，求三角形 ABC 的面积.作业2如图，正方形 ABCD 中，E 是 AB 的四等分点 ，F 是 BD 的五等分点 ，已知正方形 ABCD 的面积是 10，求三角形 CEF 的面积.作业3如图，正六边形 ABCDEF 被分成 4 块，其中 3 块的面积已知，求图中阴影部分的面积.作业4如图，正方形 ABCD 被分成面积相等的 8 个三角形，已知 BI=5 厘米，求正方形 ABCD 的面积.例题如图，三角形 ABC 被分成 9 块面积相等的小三角形，其中 AC=90 厘米，BC=63 厘米，求线段 CF 和 CG 重现的长度.下节课见If you want to be loved, be lovable.例题解析.12034904390330311.165240524031120311.2105473074302512521=⨯=⇒==∆=⨯=⇒==∆=⨯=⇒==∆=⨯=⇒==∆=⨯=⇒==∆=⨯=⇒==∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆CDE CDE ACD ACD ACD ABD BDE ABD BDE ABD ABC ABD ABC ABC ACD ACD ACD ADE S DE AD S S CDE S CD BD S S ABC S AB BE S S ABD S BC BD S S ABC S BC CD S S ABC S AC AE S S ACD 中，根据等高模型，在；中，根据等高模型，：在挑战中，根据等高模型，在；中，根据等高模型，：在练习中，根据等高模型，在；中，根据等高模型，：在例题例题解析.10865.43384521832445431254322144218832121232181832273.2135234545233030242723292923332320228080202======⇒===⇒===⇒===⇒===⨯==⨯==⨯==⨯==⨯==⨯==⨯===⨯==⨯===⨯⨯===∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ABC ABG BGH BFH BFI AEG ADG AEF AEG ABF AEF ABC ABF EGH EFG AEF ADE ACD ABC ACD ACE ABC ABD BDE ABCD ACE AEF S S S S S AD AE AD S S AG AF AG S S AE AB AE S S AF AC AF S S S S S S S S S S S S S S S S AE ，，，，：挑战；；；；：练习；，，，，：例题，，：挑战；，，：练习；，，，：连接例题例题解析.5.13838141418121212141)(21214121214414121214332324146015412121433232414==-+==⋅⨯==+⨯=+=⋅⋅=∆==-=⨯=====-=⨯===∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ab ab ab ab S ab b a S ab DH AH a S S ab b a S BH BEF S S S S S S S S S S S S S S S S S S BEF DGH BEH AFH ABC ABC ABC ABC ABC ACD ADF ABC ADE ABC ABC ABC ABC ABC ACD CDF ABC ACE阴，，，，，连接：加上挑战；，则，，：差不变原理，练习；，则，，：差不变原理，例题例题解析.15111053215896143232437411214314354657687112158961581125153042284518702055.3724752572181002090155=++=++=⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯===================CF BE AD CF AD BE CF EF CG GH CE BE CH AH GH EF HC HI CE DE CI AI CD BD ，；，：挑战；，，，，，，，：练习；，，，，，，，，，：例题例题解析.11205231616375.3325.1211034434325.14121110215124135232452452315151==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+÷==--⨯-==⨯===⋅⨯==⨯⨯===⨯==⨯==∆∆∆∆∆∆∆∆阴阴，：作业；，，，，：连接作业；，，：作业S S S S S a a S S S AF S S S ABCDEF ABF AEF BCE CDF ADF ABC ACD ADE例题解析.5.64885838121//218121812141422：略作业，，则根据勾股定理，的中点，为，，垂足为作过，的距离为到，的距离为到的中点，为，，且则，的距离相等，均为到、，则的中点，是，边上的高是，则，，：作业===⊥=======∆∆∆ABCD EGI BGI EFG S a a BI BC H H BC HI I a BC I a AD G AF G a GI AB GI a GI E B a S S AF G a EF a S a EF a CE DF。
(完整)爱提分几何第01讲等高模型
几何第 01 讲 _等高模型知识图谱几何第 01 讲 _等高模型 -一、等高模型（比例关系）三角形中的等高梯形中的等高一：等高模型（比例关系）知识精讲一．三角形中的面积比例关系直线形计算中，最重要的就是找到两个三角形面积与边长之间的关系．当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比．如图所示：二．梯形中的面积比例关系在梯形中，对角线把梯形分成两个分别以上底、下底为底边的等高三角形，则它们的面积比与对应上下底之比．如图所示：三点剖析重难点：三角形等高模型与梯形中的等高模型题模精讲题模一三角形中的等高例 1.1.1 、如图，，．已知△ABC的面积是10，阴影部分的面积是．答案：2.4解析：△ABD 积是和△ACD 是等高，它们的面积比是．同理△CDE 和△ADE，所以阴影部分的面积是，所以△ACD 的面是等高，它们的面积比是．例 1.1.2 、如图所示，已知△ ABC 的面积为 1 ，且，，，则△DEF 的面积是多少？答案：解析：易知，，．故．例 1.1.3 、如图，在△ABC 中，已知△ADE 、△DCE、△BCD 的面积分别是 89 ，26 ，28 ，那么△DBE 的面积是 _______答案：解析：，故，．例 1.1.4 、如图 7 ，已知，，，，△BCG和△EFG的面积和是 24 ，△AGF 和△CDG 的面积和是 51 ，则△ABC 与△DEF 的面积和是．答案：23解析：△ABC 、△BCG、△CDG 的面积比等于底边比，即，所以设它们的面积分别是2x 、3x 、9x ；同理设△AGF、△EFG、△DEF 的面积分别是 5y 、4y 、5y ．根据条件，可列方程，所以△ABC与△DEF 的面积和是．题模二梯形中的等高例 1.2.1 、如图，梯形 ABCD 的面积是 10 ， E 为 CD 中点，求三角形ABE 的面积是．答案：5解析：如图，延长 AE 交 BC 延长线于 F，因为 E 是 CD 的中点，且，所以，且．所以△ADE的面积等于△CEF，所以△ABF的面积等于梯形 ABCD 的面积．△ABE 的面积等于△BEF 的面积，所以△ABE 的面积等于△ABF 面积的一半，即△ABD 的面积等于梯形面积的一半，．例 1.2.2 、如图，在梯形 ABCD 中， E 是 AB 的中点．已知梯形 ABCD 的面积为 35 平方厘米，三角形 ABD 的面积为 13 平方厘米．三角形BCE 的面积为多少平方厘米？答案：11平方厘米解析：连接 AC ．由于 E 是 AB 的中点，则△BCE 的面积就是△ABC 面积的一半．在梯形 ABCD 中，平方厘米．而△ABC 与△DBC 同底等高．所以它的面积也是22 平方厘米．于是△BCE 的面积为平方厘米．例 1.2.3 、如下中图， DF 与 BC 平行，面积相等，那么 BD 是 AB 的，△BOD分之与△EFC 面积相等，△BOC．与△EOC答案：解析：△BOC 与△EOC 面积相等，那么．由蝴蝶模型知△ BOD和△OCF相等，所以△OFC 和△EFC 面积相等，所以．设△ABC面积为1，则由共角模型知△BCE 面积为，△BCF面积为，由等高模型知△ BCD面积为，由共角模型得知BD 是 BA 的．例 1.2.4 、如图，在梯形 ABCD 中，线段 CE 和 CF 把梯形分成的面积相等的三个部分：三角形 BCE、四边形 AECF 和三角形 CDF，现在连接 EF，得到三角形 CEF，已知三角形 CEF 的面积为 2002 ，且线段．那么梯形ABCD的面为______．答案：6930解析：如左图所示，连接AC ，，设三角形BCE的面积为“ 3”份，则三角形 ACE 的面积为“ 2”份，三角形 BCE、四边形 AECF 和三角形 CDF 面积相等，因此均为“3”份，三角形 ACF 的面积为“ 1 ”份．如右图所示，连接BD ，三角形 ACD 的面积为“ 4”份，则三角形ABD 的面积也为“ 4 ”份，由鸟头模型可得三角形AEF 的面积为份，三角形 CEF 的面积为份，“1 ”份为，梯形ABCD 的面积为．随堂练习随练 1.1 、如图，，三角形 ABC 的面积是 60 平方厘米，求三角形ABD 的面积．答案：24解析：BD 切分△ABC 成两个等高三角形，则，所以三角形 ABD 的面积为平方厘米．随练 1.2 、如图，，，三角形ABC面积为120，求三角形AED 的面积是．答案：50解析：△ACD 与△ABC 同高，所以它们的面积比是，所以△ACD的面积是．同理△AED 与△ACD 同高，所以它们的面积比是，所以△AED 的面积是．随练 1.3 、如图，已知，，，．直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是 38 ，右边部分面积是65 ．请问：三角形ADG 的面积是多少？答案：40解析：由题目条件可得，，．设△ADE 的面积为，△AEG的面积为，三角形CEB的面积为，三角形EFB 的面积为，则有解得．所以△ADG的面积是40．随练 1.4 、如图，AC 的长度是 AD 的，且三角形AED的面积是三角形ABC面积的一半．请问： AE 是 AB 的几分之几？答案：<解析：因为，因此；又因为，因此，．随练 1.5 、如图，梯形 ABCD 上底为 4，下底为 6，则△ADC 与△ABC 的面积比为多少？答案：解析：由图形可知，△ADC 与△ABC 高相等，都为梯形的高，而底的比为，面积比也为．课后作业作业 1、如图，，三角形 ABC 的面积是 80 平方厘米，求三角形ACD 的面积．答案：30解析：CD 切分△ABC 成两个等高三角形，则，所以三角形 ACD 的面积为平方厘米．作业 2、图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米， D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的3 倍， EF 的长是 BF 长的 3 倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米?答案：22.5解析：，，．作业 3、如图，，，三角形ABC的面积是120平方厘米，求三角形 BED 的面积为多少平方厘米．答案：28解析：BE 切分△ACB 成两个等高三角形，然后DE 再切分△ABE 为等高三角形．，所以三角形AEB 面积为平方厘米．，所以三角形 BED 面积为平方厘米．作业 4、如图，一个边长为120cm的等边三角形被分成了面积相等的五等份，那么，__________cm．答案：45解析：因为，所以，．因为，所以．作业 5、如图，已知左边部分面积是，，42 ，右边部分面积是，．直线62 ．那么三角形AB 将图形分成两部分，ADG 的面积是多少？答案：40 解析：由题目条件可得，设△ADE 的面积为，△AEG 的面积为，，三角形CEB 的面积为．y，三角形EFB 的面积为 y，则有解得．所以△ADG的面积是40．作业 6、如图，梯形 ABCD 中，上底 AB 是下底 CD 的一半， DE 长 10 厘米， BC 长 6 厘米，求梯形 ABCD 的面积．答案：解析：连结BD ，．由可知，，因此．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识图谱
几何第01讲_等高模型-一、等高模型（比例关系）三角形中的等高梯形中的等高
一：等高模型（比例关系）
知识精讲
一．三角形中的面积比例关系
直线形计算中，最重要的就是找到两个三角形面积与边长之间的关系．
当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比．如图所示：
二．梯形中的面积比例关系
在梯形中，对角线把梯形分成两个分别以上底、下底为底边的等高三角形，则它们的面积比与对应上下底之比．如图所示：
三点剖析
重难点：三角形等高模型与梯形中的等高模型
题模精讲
题模一三角形中的等高
例1.1.1、
如图，，．已知△ABC的面积是10，阴影部分的面积是__________．
答案：
2.4
解析：
△ABD和△ACD是等高，它们的面积比是，所以△ACD的面积是．同理△CDE和△ADE是等高，它们的面积比是
，所以阴影部分的面积是．
例1.1.2、
如图所示，已知△ABC的面积为1，且，，，则△DEF的面积是多少？
答案：
解析：
易知，，．
故．
例1.1.3、
如图，在△ABC中，已知△ADE、△DCE、△BCD的面积分别是89，26，28，那么△DBE的面积是_______
答案：
解析：
，故，
．
例1.1.4、
如图7，已知，，，，△BCG和△EFG的面积和是24，△AGF和△CDG的面积和是51，则△ABC与△DEF的面积和是__________．
答案：
23
解析：
△ABC、△BCG、△CDG的面积比等于底边比，即，所以设它们的面积分别是2x、3x、9x；同理设△AGF、△EFG、△DEF的面积分
别是5y、4y、5y．根据条件，可列方程，所以△ABC 与△DEF的面积和是．
题模二梯形中的等高
例1.2.1、
如图，梯形ABCD的面积是10，E为CD中点，求三角形ABE的面积是
___________．
答案：
5
解析：
如图，延长AE交BC延长线于F，因为E是CD的中点，且，所以，且．所以△ADE的面积等于△CEF，所以△ABF的面积等于梯形ABCD的面积．△ABE的面积等于△BEF的面积，所以△ABE的面
积等于△ABF面积的一半，即△ABD的面积等于梯形面积的一半，．
例1.2.2、
如图，在梯形ABCD中，E是AB的中点．已知梯形ABCD的面积为35平方厘米，三角形ABD的面积为13平方厘米．三角形BCE的面积为多少平方厘米？
答案：
11平方厘米
解析：
连接AC．由于E是AB的中点，则△BCE的面积就是△ABC面积的一半．在梯形ABCD中，平方厘米．而△ABC与△DBC同底等高．所以它的面积也是22平方厘米．
于是△BCE的面积为平方厘米．
例1.2.3、
如下中图，DF与BC平行，，△BOD与△EFC面积相等，△BOC与△EOC 面积相等，那么BD是AB的__________分之__________．
答案：
解析：
△BOC与△EOC面积相等，那么．由蝴蝶模型知△BOD和△OCF相等，所以△OFC和△EFC面积相等，所以．设△ABC面积为1，则由共角模型知△BCE面积为，△BCF面积为，由等高模型知△BCD面积为，由共角模型得知BD是BA的．
例1.2.4、
如图，在梯形ABCD中，线段CE和CF把梯形分成的面积相等的三个部分：三角形BCE、四边形AECF和三角形CDF，现在连接EF，得到三角形CEF，已知三角形CEF的面积为2002，且线段．那么梯形ABCD的面为______．
答案：
6930
解析：
如左图所示，连接AC，，设三角形BCE的面积为“3”份，则三角形ACE的面积为“2”份，三角形BCE、四边形AECF和三角形CDF 面积相等，因此均为“3”份，三角形ACF的面积为“1”份．
如右图所示，连接BD，三角形ACD的面积为“4”份，则三角形ABD的面积也为“4”份，由鸟头模型可得三角形AEF的面积为份，
三角形CEF的面积为份，“1”份为，梯形ABCD 的面积为．
随堂练习
随练1.1、
如图，，三角形ABC的面积是60平方厘米，求三角形ABD的面积．
答案：
24
解析：
BD切分△ABC成两个等高三角形，则，所以三角形ABD的面积为平方厘米．
随练1.2、
如图，，，三角形ABC面积为120，求三角形AED的面积是__________．
答案：
50
解析：
△ACD与△ABC同高，所以它们的面积比是，所以△ACD的面积是．同理△AED与△ACD同高，所以它们的面积比是
，所以△AED的面积是．
随练1.3、
如图，已知，，，．直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65．请问：三角形ADG的面积是多少？
答案：
40
解析：
由题目条件可得，，．
设△ADE的面积为，△AEG的面积为，三角形CEB的面积为，三角形EFB的面积为，则有解得．所以△ADG的面积是40．随练1.4、
如图，AC的长度是AD的，且三角形AED的面积是三角形ABC面积的一半．请问：AE是AB的几分之几？
答案：
<
解析：
因为，因此；又因为，因此
，．
随练1.5、
如图，梯形ABCD上底为4，下底为6，则△ADC与△ABC的面积比为多少？
答案：
解析：
由图形可知，△ADC与△ABC高相等，都为梯形的高，而底的比为，面积比也为．
课后作业
作业1、
如图，，三角形ABC的面积是80平方厘米，求三角形ACD的面积．
答案：
30
解析：
CD切分△ABC成两个等高三角形，则，所以三角形ACD的面积为平方厘米．
作业2、
图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?
答案：
22.5
解析：
，
，
．
作业3、
如图，，，三角形ABC的面积是120平方厘米，求三角形BED的面积为多少平方厘米．
答案：
28
解析：
BE切分△ACB成两个等高三角形，然后DE再切分△ABE为等高三角形．，所以三角形AEB面积为平
方厘米．，所以三角形BED面积为
平方厘米．
作业4、
如图，一个边长为120cm的等边三角形被分成了面积相等的五等份，那么，__________cm．
答案：
45
解析：
因为，所以，．因为，所以
．
作业5、
如图，已知，，，．直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是42，右边部分面积是62．那么三角形ADG的面积是多少？
答案：
40
解析：
由题目条件可得，，．设△ADE的面积为，△AEG的面积为，三角形CEB的面积为y，三角形
EFB的面积为y，则有解得．所以△ADG的面积是40．
作业6、
如图，梯形ABCD中，上底AB是下底CD的一半，DE长10厘米，BC长6厘米，求梯形ABCD的面积．
答案：
解析：
连结BD，．由可知，
，因此．。