(完整)爱提分几何第01讲等高模型

知识图谱

几何第01讲_等高模型-一、等高模型（比例关系）三角形中的等高梯形中的等高

一：等高模型（比例关系）

知识精讲

一．三角形中的面积比例关系

直线形计算中，最重要的就是找到两个三角形面积与边长之间的关系．

当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比．如图所示：

二．梯形中的面积比例关系

在梯形中，对角线把梯形分成两个分别以上底、下底为底边的等高三角形，则它们的面积比与对应上下底之比．如图所示：

三点剖析

重难点：三角形等高模型与梯形中的等高模型

题模精讲

题模一三角形中的等高

例1.1.1、

如图，，．已知△ABC的面积是10，阴影部分的面积是__________．

答案：

2.4

解析：

△ABD和△ACD是等高，它们的面积比是，所以△ACD的面积是．同理△CDE和△ADE是等高，它们的面积比是

，所以阴影部分的面积是．

例1.1.2、

如图所示，已知△ABC的面积为1，且，，，则△DEF的面积是多少？

答案：

解析：

易知，，．

故．

例1.1.3、

如图，在△ABC中，已知△ADE、△DCE、△BCD的面积分别是89，26，28，那么△DBE的面积是_______

答案：

解析：

，故，

．

例1.1.4、

如图7，已知，，，，△BCG和△EFG的面积和是24，△AGF和△CDG的面积和是51，则△ABC与△DEF的面积和是__________．

答案：

23

解析：

△ABC、△BCG、△CDG的面积比等于底边比，即，所以设它们的面积分别是2x、3x、9x；同理设△AGF、△EFG、△DEF的面积分

别是5y、4y、5y．根据条件，可列方程，所以△ABC 与△DEF的面积和是．

题模二梯形中的等高

例1.2.1、

如图，梯形ABCD的面积是10，E为CD中点，求三角形ABE的面积是

___________．

答案：

5

解析：

如图，延长AE交BC延长线于F，因为E是CD的中点，且，所以，且．所以△ADE的面积等于△CEF，所以△ABF的面积等于梯形ABCD的面积．△ABE的面积等于△BEF的面积，所以△ABE的面

积等于△ABF面积的一半，即△ABD的面积等于梯形面积的一半，．

例1.2.2、

如图，在梯形ABCD中，E是AB的中点．已知梯形ABCD的面积为35平方厘米，三角形ABD的面积为13平方厘米．三角形BCE的面积为多少平方厘米？

答案：

11平方厘米

解析：

连接AC．由于E是AB的中点，则△BCE的面积就是△ABC面积的一半．在梯形ABCD中，平方厘米．而△ABC与△DBC同底等高．所以它的面积也是22平方厘米．

于是△BCE的面积为平方厘米．

例1.2.3、

如下中图，DF与BC平行，，△BOD与△EFC面积相等，△BOC与△EOC 面积相等，那么BD是AB的__________分之__________．

答案：

解析：

△BOC与△EOC面积相等，那么．由蝴蝶模型知△BOD和△OCF相等，所以△OFC和△EFC面积相等，所以．设△ABC面积为1，则由共角模型知△BCE面积为，△BCF面积为，由等高模型知△BCD面积为，由共角模型得知BD是BA的．

例1.2.4、

如图，在梯形ABCD中，线段CE和CF把梯形分成的面积相等的三个部分：三角形BCE、四边形AECF和三角形CDF，现在连接EF，得到三角形CEF，已知三角形CEF的面积为2002，且线段．那么梯形ABCD的面为______．

答案：

6930

解析：

如左图所示，连接AC，，设三角形BCE的面积为“3”份，则三角形ACE的面积为“2”份，三角形BCE、四边形AECF和三角形CDF 面积相等，因此均为“3”份，三角形ACF的面积为“1”份．

如右图所示，连接BD，三角形ACD的面积为“4”份，则三角形ABD的面积也为“4”份，由鸟头模型可得三角形AEF的面积为份，

三角形CEF的面积为份，“1”份为，梯形ABCD 的面积为．

随堂练习

随练1.1、

如图，，三角形ABC的面积是60平方厘米，求三角形ABD的面积．

答案：

24

解析：

BD切分△ABC成两个等高三角形，则，所以三角形ABD的面积为平方厘米．

随练1.2、

如图，，，三角形ABC面积为120，求三角形AED的面积是__________．

答案：

50

解析：

△ACD与△ABC同高，所以它们的面积比是，所以△ACD的面积是．同理△AED与△ACD同高，所以它们的面积比是

，所以△AED的面积是．

随练1.3、

如图，已知，，，．直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65．请问：三角形ADG的面积是多少？

答案：

40

解析：

由题目条件可得，，．

设△ADE的面积为，△AEG的面积为，三角形CEB的面积为，三角形EFB的面积为，则有解得．所以△ADG的面积是40．随练1.4、

如图，AC的长度是AD的，且三角形AED的面积是三角形ABC面积的一半．请问：AE是AB的几分之几？