材料力学例题及
材料力学例题
0.75m 1m
A
D 1.5m
B
F
横梁BC为刚杆，自重Q＝2KN，力P＝10KN可在横 梁BC上自由移动。AB杆的许用应力为[σ]=100MP ａ，设计AB杆的横截面面积。如果AB杆采用直径 为10毫米的细丝，需要几根？
P C
30°
Ｂ
• [例] 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，
例题 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构，受力如图.AB杆的外径 D=140mm，内外 径之比α= d/D=0.8，材料的许用应力[] = 160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的 强度。 解:（1）外力分析 将力向AB杆的B截面形心简化得
10kN
0.8m A
B D
F 25kN
M e 15 1 . 4 10 0 . 6 15 kN m
G=80GPa ，许用剪应力 []=30MPa，试设计杆
的外径；若[]=2º /m ，试校核此杆的刚度，并
求右端面转角。
[例题] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 500 马力， 输出功率分别 P2 = 200马力及 P3 = 300马力，已 知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º /m ，试确定： ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排,轴的受力合理？ P2 A 500 B 400 P3 C
y Me A x B l/2 F1
F2
D F2 D M e C ( F1 F 2 ) 2 2 20 F2 kN 3 F 20kN
轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平 面弯曲
材料力学典型例题及解析 12.冲击问题典型习题解析
击构件瞬间的速度为 υ
，只须将前面（a）式右端改为
1 2
⋅
Pυ2 g
= Vε
，即可导出 kd
=
υ2 。 g∆st
（4）、前面推导过程中，冲击物的势能取为 Ep = P(h + ∆d ) ，一般情况下 ∆d << h ，可将其忽
略，取 Ep = Ph ，读者可仿照上面推导一下，并讨论忽略后对 kd 有什么影响。
所以本问题的动载荷因数为： kd
=
∆d ∆st
=1+
1+ 2h = 1+ ∆st
1+
2
× 440 ×10 −3 2 ×10 −3 m
m
= 22
讨论：（1）、在线弹性范围内，载荷、变形、应变、应力之间都是线性关系，也就是说，当
外载荷被放大 kd 倍，则变形、应力、应变也同样被放大 kd 倍。所以有σ d = kdσ st 。有了 kd 很
动能完全转化为橡皮筋的应变能。即 Ek = Vε 。
解：设小球离开木拍瞬间速度为υ ，则其动能 Ek
=
1 2பைடு நூலகம்
W g
υ 2 ；而橡皮筋被拉至最长时应变能
Vε
=
1 2
F ⋅ ∆L ，其中
F
为小球速度为零时橡皮筋所受拉力。由于假设橡皮筋为线弹性变形，
3
所以 F
=σ
A
=
Eε
A=
∆L L0
EA ，于是Vε
=
∆d
=
∆d ∆st
P 。定义
∆d ∆st
= kd 为动载荷因数，则有
Fd P
=
∆d ∆st
= σd σ st
材料力学典型例题与详解(经典题目)
= 3.64
2、按挤压强度条件确定铆钉数：挤压面面积 A = δ d ，铆钉挤压强度条件为
σ bs
=
Fb Abs
=
F nδ d
≤ [σ
bs]
得
n
≥
δ
d
F [σ
bs
]
=
10
× 10 −3
m
×
160 ×103 20 ×10−3 m
N × 320
× 10 6
N/m 2
= 2.5
两者取大值，最后确定铆钉数 n = 4。
衡条件得 F 作用截面上侧轴力为
FNB +
=
L a2ρ 2
=
4 m × (0.2 m)2 2
× 20 × 103
N/m 3
= 1.6 × 103 N = 1.6 kN
然后将杆沿 F 作用截面（B-B）下侧截开，设截面上轴力为压力 FNB− ，研究上半部分
杆段。这时杆段受本身重量作用和集中力 F 作用，所以由静力平衡条件得 F 作用截面下侧 轴力为
FNB−
=
L a2ρ 2
+
F
=
4 m × (0.2 m)2 2
× 20 ×103
N/m 3
+ 10 ×103
N = 11.6 ×103 N = 11.6 kN
4、计算 A-A 截面轴力：从 A-A 截面将杆截开，设截面上轴力为压力 FNA ，则 FNA 应与该杆
上所有外力平衡。杆所受外力为杆的自重和集中力 F ，杆段自重为 La 2 ρ ，方向向下。于是
2 图示石柱桥墩，压力 F = 1000 kN，石料密度 ρ = 25 kN / m3 ，许用应力 [σ ] =1 MPa。试 比较下列三种情况下所需石料体积。（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等 强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力 [σ ] ）。 解题分析：设计这样的桥墩时，要考虑桥墩自重对强度的影响。可以想象，在桥墩顶截面只 有压力 F 作用，轴力最小；在桥墩底截面，除压力 F 外，还承受桥墩本身重量，该处轴力 最大。当桥墩采用等截面石柱时，只要考虑底部截面的强度即可。如果采用阶梯型石柱，需 考虑每段的强度。如果要求各个截面强度相等，则需要对石柱的各截面进行特别设计。 解：1、采用等截面石柱
材料力学考试典型题目
2
(4)
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
(4)
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
C2 0
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
边界条件x=0 和 x=l时, w
0
x
q
wmax B
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
A
l
B
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
FN 3 l3 -4 1.58 10 m uB ΔlCD Δl BC -0.3mm EA3
-4
Δl AD Δl AB Δl BC ΔlCD -0.47 10 mm
例题5 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性
模量G=80GPa，DB=1°. 试求：
x= l , M = 0
M 0
+
Mb l
梁上集中力偶作用处左、右两侧
FRA
A a
M
FRB
C b l B
横截面上的弯矩值(图)发生突变，其
突变值等于集中力偶矩的数值.此处 剪力图没有变化.
M /l
+ +
Mb l
Ma l
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max w
材料力学复习例题
t
P
d
t
P/4
1
2
3
工程力学教程电子教案
20
1
2
3 P
3板(杆)拉伸强度计算 板 杆 拉伸强度计算
σ max =
FN P = (b 2 d )t Amin
3
1 110 × 10 = = 200 MPa ≥ [σ ] 4 (8 . 5 1 .6 × 2 ) × 1 × 10
P/4
一拉伸压缩 1,轴力图 2,强度条件应用:校核,设计,计算 3,低碳钢拉伸实验,应力-应变曲线 4,连接件强度:剪切,挤压实用计算
例题
30 kN A B 3 30 kN A 2
3
B 2
作轴力图. 要作ABCD杆的 作轴力图. 解:要作 杆的 20 kN 20 kN 轴力图, 轴力图,则需分别将 C D AB,BC,CD杆的轴 杆的轴 20 kN 1 20kN 力求出来.分别作截 力求出来. x 1 面1-1,2-2,3-3,如 , , , D C 20kN 左图所示. 左图所示. F
Me B
(a)
(b)
图示为一受集中荷载F作用的简支 图示为一受集中荷载 作用的简支 试作其剪力图和弯矩图. 梁.试作其剪力图和弯矩图. a F b 根据整体平衡, 解:根据整体平衡,求 A B 得支座约束力 C FA FB x FA=Fb/l, FB=Fa/l
例
梁上的集中荷载将 梁分为AC和 两段 两段, 梁分为 和CB两段, 根据每段内任意横截面 左侧分离体的受力图容 易看出, 易看出,两段的内力方 程不会相同. 程不会相同.
σ x1 σ x2
σ x3
FNx1 400 × 10 3 = = 160 × 10 6 Pa = 160MPa = 6 A1 2500 × 10 FNx 2 -100 × 10 3 = = -40 × 10 6 Pa = -40MPa = A2 2500 × 10 6
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
材料力学例题及
材料的许可切应力[t]＝30MPa
切变模量G＝80GPa
许可扭角[q]＝0.3°/m
试按强度条件和刚度条件设计轴径d
解：根据强度条件式(4-6)得出：
再根据刚度条件式(4-9b )得出：
两个直径中应选其中较大者
即实心轴直径不应小于117mm
画内力图
以水平轴x表示杆的截面位置
以垂直x的坐标轴表示截面的轴力
按选定的比例尺画出轴力图
如图2-5（d）所示
由此图可知数值最大的轴力发生在BC段内
解题指导：利用截面法求轴力时,在切开的截面上总是设出正轴力N
然后由SX＝0求出轴力N
如N 得正说明是正轴力（拉力）
如得负则说明是负轴力（压力）
等于－12.74kNm
仿此可得出MT2＝－8.92kNm
MT3＝－10kNm
（3） 画扭矩图
以横坐标表示截面位置
以纵坐标表示扭矩
按选定的比例尺作出AB、BC、CD三段轴的扭矩图
因为在每一段内扭矩为常数
故扭矩图由三段水平线组成
如图4-5(c)
最大的扭矩7.64kNm发生在中间段
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材料力学例题及解题指导
（第二章至第六章）
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-1 试画出图a直杆的轴力图
解：此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力
图中只示出1、2、8三个铆钉沿负y方向的剪力F/8
力偶Fl在每一铆钉中也引起剪力
假设剪力方向与该铆钉中心至C的连线正交
工程力学--材料力学(第五、六章)经典例题及讲解
P
A
0.5 m
C D
0.4 m 1m
B
20
40
解：C点的应力 σ C = E ε = 200 × 10 3 × 6 × 10 − 4
= 120M Pa
C截面的弯矩
M C = σ C W z = 640 N ⋅ m
由 M C = 0.5 R A = 0.5 × 0.4 P = 0.2 P = 640 N ⋅ m 得 P = 3.2kN
度减小一半时，从正应力强度条件考虑， 该梁的承载能力将是原来的多少倍？ 解： 由公式
σ max
M max M max = = 2 Wz bh 6
可以看出：该梁的承载能力将是原来的2 可以看出：该梁的承载能力将是原来的2倍。
例4：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD AB，跨度为l 采用加副梁CD
的方法提高承载能力， 的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料 相同，截面尺寸相同， 相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？ 为多少？
2 2
2
bh b( d − b ) Wz = = 6 6
2 2 2
∂ Wz d 2 b 2 = − =0 ∂b 6 2
d 由此得 b = 3
d
2 2
h
h = d −b =
h = 2 ≈3:2 b
2 d 3
b
例12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、 12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示 已知材料许用拉、 的铸铁梁受力如图示,
10 kN / m
200 2m 4m 100
10 kN / m
200
2m
Fs( kN ) 25 Fs(
45 kN
4m
100
工程力学材料力学-知识点-及典型例题
作出图中AB杆的受力图。
A处固定铰支座B处可动铰支座作出图中AB、AC杆及整体的受力图。
B、C光滑面约束A处铰链约束DE柔性约束作图示物系中各物体及整体的受力图。
AB杆：二力杆E处固定端C处铰链约束（1）运动效应：力使物体的机械运动状态发生变化的效应。
（2）变形效应：力使物体的形状发生和尺寸改变的效应。
3、力的三要素：力的大小、方向、作用点。
4、力的表示方法：（1）力是矢量，在图示力时，常用一带箭头的线段来表示力；（注意表明力的方向和力的作用点！）（2）在书写力时，力矢量用加黑的字母或大写字母上打一横线表示，如F、G、F1等等。
5、约束的概念：对物体的运动起限制作用的装置。
6、约束力（约束反力）：约束作用于被约束物体上的力。
约束力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反。
约束力的作用点，在约束与被约束物体的接处7、主动力：使物体产生运动或运动趋势的力。
作用于被约束物体上的除约束力以外的其它力。
8、柔性约束：如绳索、链条、胶带等。
(1)约束的特点：只能限制物体原柔索伸长方向的运动。
(2)约束反力的特点：约束反力沿柔索的中心线作用，离开被约束物体。
（）9、光滑接触面：物体放置在光滑的地面或搁置在光滑的槽体内。
（1）约束的特点：两物体的接触表面上的摩擦力忽略不计，视为光滑接触面约束。
被约束的物体可以沿接触面滑动，但不能沿接触面的公法线方向压入接触面。
（2）约束反力的特点：光滑接触面的约束反力沿接触面的公法线，通过接触点，指向被约束物体。
（）10、铰链约束：两个带有圆孔的物体，用光滑的圆柱型销钉相连接。
约束反力的特点:是方向未定的一个力；一般用一对正交的力来表示，指向假定。
（）11、固定铰支座（1）约束的构造特点：把中间铰约束中的某一个构件换成支座，并与基础固定在一起，则构成了固定铰支座约束。
（2）约束反力的特点：固定铰支座的约束反力同中间铰的一样，也是方向未定的一个力；用一对正交的力来表示，指向假定。
()12、可动铰支座（1）约束的构造特点把固定铰支座的底部安放若干滚子，并与支撑连接则构成活动铰链支座约束，又称锟轴支座。
材料力学典型例题及解析7.应力应变状态典型习题解析
应力、应变状态分析典型习题解析1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力F S =120 kN 及弯矩m kN 10⋅=M 。
绘出表示1、2、3及4点应力状态的微体，并求出各点的主应力。
b = 60 mm ，h = 100 mm 。
解题分析：从图中可分析1、4点是单向应力状态，2点在中性轴上为纯剪切应力状态，31取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。
则各点处的应力状态如图示。
2、梁截面惯性矩为点微体上既有正应力又有切应力。
解：、画各点处微体的应力状态图计算各点处主应力4843333m 1050012m 10100(106012−−−×=×××==）bh I z 1点处弯曲正应力（压应力）MPa 100Pa 10100m10500m 1050m N 101064833−=×=×××⋅×==−−z I My σ1点为单向压缩受力状态，所以021==σσ，MPa 1003−=σ2点为纯剪切应力状态，MPa 30Pa 1030m10100602N1012036263=×=×××××=−τ（向下）容易得到，MPa 301=σ，02=σ，MPa303−=σ3点为一般平面应力状态弯曲正应力MPa50Pa 1050m 10500m 1025m N 101064833=×=×××⋅×==−−z I My σ弯曲切应力σ14τ2F S =120 kN题图1中性轴324hστ25 mm 31b M =10 kN·mσ3150 mm 1MPa 5.22Pa 1050.22m10500m 1060m 105.372560N 101206483393*S =×=××××××××==−−−zz bI S F τMPa6.8MPa6.58Pa)10522()2Pa 1050(2Pa 1050)2(22626622minmax −=×+×±×=+−±+=x y x yx τσσσσσσ所以 MPa 6.581=σ，02=σ，MPa 6.83−=σ4点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与1点相等。
材料力学力法典型例题解
l
q
RB
B
l q
X1
B Δ1F
B δ11
1
Example 2 .画图示钢架旳弯矩图，EI=const .
P
a
B
A
CP B
A
a
CP
a
B
C
B
C
X1
M
1
M
A
A
Pa
a
解 : 1）选图示相当系统（：一次超静定）
2）力法方程：
X 0
11 1
1P
3）利用图乘法求系数:
a
P
a
B
A
a
C
P
a
B
C
B
C
M
1
M
A
A
PPal
X1
2）力法方程
F
X 0
11 1
1P
3）图乘法求系数
11
2 EI
(1 2
aa
2 3
a)
2a3 3EI
1P
2 EI
(1 2
a
Fa
2 3
a)
a a
2Fa3
M
3EI
4）解得:
1
C
X1
1P
11
F
1
C
Fa
X1=1 Fa
F
1
M
F
F1 C
F
Example 1 . 求RB (EI=const.).
解: 1）选图示相当系统 （一次超静定）
B
CP
P
P
a
a
X1
a a
X1 1
A
Pa
解：1）选图示静定基及相当系统
材料力学例题
Ⅲ
FRD
Ⅱ
F3
DⅢ l3
C
Ⅱ
B
l2
（2） 杆的最大正应力max
AB段 AB
FN1 176.8MPa A1
()
BC段 BC
FN2 A2
74.6MPa
()
DC段 DC
FN3 A3
110.5MPa
()
Ⅰ
F2
F1
ⅠA
l1
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN ( - ) FN3 =- 50kN ( - )
max = 176.8MPa
发生在AB段.
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F2
F1
B
A Ⅰ
l1
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Δl AB
FN1l1 EA1
2.53 10-4m
ΔlBC
FN2l2 EA2
1.42 10-4m
ΔlCD
FN 3 l3 EA3
1.58 10-4m
uB ΔlCD ΔlBC -0.3mm
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
F
FN3 1 2
EA
cos3
E3 A3
FN1
FN 2
2 cos
F E
E3 A3
A cos2
Δl3
1
3
2
A
1 3F 2
A
Δl1
A'
例题10 图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁AB，在 横梁上作用着荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量 均相同，分别为A，l，E.试求三杆的轴力 FN1, FN2, FN3.
工程力学材料力学_知识点_及典型例题
说明：一、二强度理论适用于脆断破坏，三、四强度理论适用于塑性破坏。上述四个强度理论的强度条件中，不等式右面部分就是相应的强度理论所对应的相当应力。
5、应力状态分类
（１）、只有一个主应力不为零的应力状态，称为单向应力状态。也称为简单应力状态。
（２）、两个主应力不为零的应力状态，称为二向应力状态。
（３）、三个主应力全不为零的应力状态，称为三向应力状态。
单向应力状态和二向应力状态又称为平面应力状态。
二向应力状态和三向应力状态又称为复杂应力状态。
6、平面应力状态任一斜截面上正应力和切应力公式为：
11、轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式：
12、极限应力（σu）：材料失效时的应力。
塑性材料的极限应力是屈服极限（σs）；脆性材料的极限应力是强度极限（σb）。
13、许用应力[σ]：保证构件安全工作，材料许可承担的最大应力。
其中：n---安全系数
14、安全系数：为保证构件具有一定安全贮备而选取的一个大于1的系数。安全系数越大构件越安全，但越不经济。
知识点：
1、剪切的受力特点：构件受到一对大小相等、方向相反、作用线相隔很近的平行力作用。
2、剪切的变形特点：沿平行两力作用线之间的面发生相对错动。发生相对错动的面称为剪切面。
剪切变形是工程实际中常见的一种基本变形。常出现于联接件中，如：铆钉联接、螺栓联接、销钉联接、键联接、榫头联接等等。
材料力学典型例题及解析 1.拉伸应力典型习题解析
轴向拉压应力与材料的力学性能典型习题解析1 图示直杆截面为正方形，边长a =200 mm ，杆长L = 4 m ，F = 10 kN ，材料密度3m /kN 20=ρ. 考虑杆的自重，计算1-1和2 -2截面轴力，并画轴力图。
解题分析：杆的自重为体积力。
当杆件重量与外载荷大小在同一数量级时，应考虑杆自重对内力、应力的影响。
为画轴力图，要先计算一些特殊截面上的轴力，如集中力作用的截面和A-A 截面。
解：1、计算1-1截面轴力：从1-1截面将杆截成两段，研究上半段。
设截面上轴力为1N F ，为压力（见图b ），则1N F 应与该杆段所受外力平衡。
杆段所受外力为杆段的自重，大小为ρ24a L ，方向向下。
于是由静力平衡条件∑=0y F 得 042N1=+−ρa L F N 800N/m 1020m 2.0m 2.04m 44332N1=××××==ρa L F 2、计算2-2截面轴力：从2-2截面将杆截成两段，研究上半段。
设截面上轴力为N2F ，为压力（见图c ），则N2F 应与该杆段所受外力平衡。
杆段所受外力为杆段的自重和集中力F ，杆段自重为ρ243a L ，方向向下。
于是由静力平衡条件∑=0y F 得(c)(a) (b)题1图(d)kN 12.4N 104.12N/m 1020m 2.0m 2.04m43N 10104333332N2=×=×××××+×=+=ρa L F F 3、计算集中力F 作用截面上的轴力：首先将杆沿力F 作用截面（B-B ）上侧截开，设截面上轴力为压力+B F N ，研究上半部分杆段。
由于只受本身重量作用，所以由静力平衡条件得F 作用截面上侧轴力为kN 1.6N 106.1N/m 1020)m 2.0(2m 4233322N =×=×××==+ρa L F B 然后将杆沿F 作用截面（B-B ）下侧截开，设截面上轴力为压力−B F N ，研究上半部分杆段。
材料力学例题及解题指导总结
材料力学例题及解题指导（第二章至第六章）第二章 拉伸、压缩与剪切 例2-1 试画出图a 直杆的轴力图解：此直杆在A 、B 、C 、D 点承受轴向外力。
先求AB 段轴力。
在段内任一截面1-1处将杆件截开，考察左段（图2-5b ）。
在截面上设出正轴力N 1。
由此段的平衡方程∑X ＝0得 N 1－6＝0， N 1＝＋6kNN 1得正号说明原先假设拉力是正确的，同时也就表明轴力是正的。
AB 段内任一截面的轴力都等于+6kN 。
再求BC 段轴力，在BC 段任一截面2-2处将杆件截开，仍考察左段（图2-5c ），在截面上仍设正的轴力N 2，由∑X ＝0得－6＋18＋N 2＝0 N 2＝－12kNN 2得负号说明原先假设拉力是不对的（应为压力），同时又表明轴力N 2是负的。
BC 段内任一截面的轴力都等于－12kN 。
同理得CD段内任一截面的轴力都是－4kN 。
画内力图，以水平轴x 表示杆的截面位置，以垂直x 的坐标轴表示截面的轴力，按选定的比例尺画出轴力图，如图2-5（d ）所示。
由此图可知数值最大的轴力发生在BC 段内。
解题指导：利用截面法求轴力时,在切开的截面上总是设出正轴力N ，然后由∑X ＝0求出轴力N ，如N 得正说明是正轴力（拉力），如得负则说明是负轴力（压力）。
图2-5例2-2试求自由悬挂的直杆（图2-6a）由纵向均匀分布荷载q（力／长度）引起的应力和纵向变形。
设杆长l、截面积A及弹性模量E均已知。
解：在杆上距下端为x处取一任意横截面m-m，则该截面轴力为N(x)＝qx，根据此式可作出轴力图如图2-6b所示。
m-m截面的应力为σ（x）＝N(x)/A＝qx/A。
显然，悬挂端有最大轴力N max＝ql及最大正应力Aql/max=σ。
求杆纵向变形，由于各横截面上轴力不等，不能直接应用公式(2-4)，而应从长为d x的微段出发。
在x处取微段d x，其纵向伸长可写为()()EAxxNxdd=∆杆件的总伸长()EAqlxxEAqxEAqxEAxxNllll2ddd2====∆⎰⎰⎰研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时，杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力，此时单位杆长的分布力q＝A⋅1⋅γ，此处γ是材料单位体积的重量即容重。
材料力学经典例题
Ip R
称为抗扭截面 系数(模量 模量)， 系数 模量 ， 单位： 单位：mm3。
Nm mm
3
MT = W p
=10 MPa
3
五、Ip和Wp公式
π D4
32
工程上采用空心截面构件：提高强度， 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约 材料， 材料，重量轻 结构轻便，应用广泛。 结构轻便，应用广泛。
Ip =
例题2.4 例题2.4 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。 D=350mm，油压p=1MPa 螺栓许用应力[σ]=40MPa p=1MPa。 [σ]=40MPa， D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa， 求螺栓的内径。 求螺栓的内径。 解： 油缸盖受到的力 F = D 2 p
目录
FN 1 = 2 F1 ≤ [σ ] A1
失效、 §2.7 失效、安全因数和强度计算
3、根据水平杆的强度，求许可载荷 根据水平杆的强度， 查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm2 =2×
FN 2 = − FN 1 cos α = − 3F
FN 2 = 3F2 ≤ [σ ] A2
FN 1
（kN·m） ）
MT
2. 校核强度
MT1 10×103 ×16 ×103 = 50.9MPa＜ [τ] (τmax )1 = W = π×1003 p1
MT2 3×103 ×16 τmax ) 2 = = ×103 = 70.7 MPa ＞ [τ] ( Wp2 π×603
MT1 180 10×103 ×32 180 ⋅ = ⋅ = 0.7 o m ＜[θ] θ1 = GIp1 π 80×109 ×π×1004 ×10−12 π MT2 180 3×103 ×32 3 180 ⋅ = ×10 ⋅ = 1.7 o m ＞[θ] θ2 = GIp2 π 80×π×604 π
材料力学各单元的题
[4] 图示杆件受到大小相等的四个轴向力P的作用。其中 ____段的变形为零。
A、AB
B、AC
C、AD
D、BC
[5] 设一阶梯形杆的轴力沿杆轴是变化的，则在发生破坏 的截面上___。 A、外力一定最大，且面积一定最小 B、轴力一定最大，且面积一定最小 C、轴力不一定最大，但面积一定最小 D、轴力与面积之比一定最大
C
a
F
FNAB FNBC
B F
求BC杆的正应力
BC
FNBC 17.32 103 ABC 602
4.8 N mm 2 4.8 MPa
例题2-4 图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20kN， F2=35kN，F3=35kN。l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm， d2=16mm，d3=24mm。E=210GPa 试求： (1) Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ 截面的轴力并作轴力图 (2) 杆的最大正应力max (3) B 截面的位移及AD 杆的变形
[1]设低碳钢拉伸试件工作段的初始横截面积为 A0 ，试件被拉 断后，断口的横截面积为A，试件断裂前所能承受的最大荷载 为 Pb ，则下列结论中____是正确的。
Pb A、材料的强度极限 b A0 P B、材料的强度极限 b b A
C、当试件工作段中的应力达到强度极限 b 的瞬时。试件的 横截面积为A．
[8] 下列结论中正确的是（ ） A. 内力是应力的代数和 B. 应力是内力的平均值 C. 应力是内力的集度 D. 内力必大于应力 [9] 长度和横截面面积均相同的两杆，一为钢杆，一为铝
杆，在相同的拉力作用下（ ）
A. 铝杆的应力和钢杆相同，而变形大于钢杆 B. 铝杆的应力和钢杆相同，而变形小于钢杆
材料力学计算题库完整
实用文档第一章绪论【例 1-1 】钻床如图1-6a 所示，在载荷P 作用下，试确定截面m-m上的内力。
【解】（ 1）沿 m-m 截面假想地将钻床分成两部分。
取m-m 截面以上部分进行研究（图1-6b ），并以截面的形心O为原点。
选取坐标系如图所示。
（ 2）为保持上部的平衡，m-m 截面上必然有通过点O的内力 N 和绕点 O的力偶矩M。
（ 3）由平衡条件∴【例 1-2 】图 1-9a 所示为一矩形截面薄板受均布力p 作用，已知边长=400mm，受力后沿 x 方向均匀伸长=0.05mm。
试求板中 a 点沿 x 方向的正应变。
【解】由于矩形截面薄板沿x 方向均匀受力，可认为板内各点沿x 方向具有正应力与正实用文档应变，且处处相同，所以平均应变即 a 点沿 x 方向的正应变。
x 方向【例 1-3 】图 1-9b 所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。
若在 p 力作用下CD杆下移b=0.025，试求薄板中 a 点的剪应变。
【解】由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。
第二章拉伸、压缩与剪切【例题 2.1 】一等直杆所受外力如图 2. 1 (a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的轴力图。
解：在 AB段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体( 如图 2. 1 (b)所示)，假定轴力 F N1为拉力 ( 以后轴力都按拉力假设) ，由平衡方程F x0 ， F N1300得F N130kN结果为正值，故 F N1为拉力。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力( 如图 2. 1 (c)所示)为F N230 4070(kN)在求 CD段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体( 如图 2. 1 (d)所示)，因为右段杆上包含的外力较少。
由平衡方程F x0 ，F N330 200.得F N330 20 10(kN)结果为负值，说明 F N3 为压力。
同理，可得段内任一横截面上的轴力F N4 为DEF N4 20kN30kN 40kN80kN30kN 20kN(a)40kN 80kN 30kN 20kN30kNA (a)CDEB20kN30kN40kN80kN30kN(b) 30kN (a)A (a)BC DE40kN 80kN F30kN20kN30kN40kN 80kN 30kN 30kN20kNCDE(a)B30kN30kN(b) 40kN A F N1(a)(c)BD F N2EA30kN C(b)40kN(b)FABC D30kN20kN30kN80kNE30kN30kN(c)40kNF N2(b)F N330kN 20kN30kN(a)F(d)F 30kN40kN(b)F N2(c) BCDE30kN20kN30kNA(d)F N340kNF N2(c)30kN(c)30kN (b)e)F N420kN40kN(d)20kN(c)F N2 FF N330kN(d)30kN (e)F N370kN 30kN 20kN F N420kN(d) (c)F N3 40kN 30kN F N2 20kN(e) 30kN70kN20kN(f)(d)20kN F N4 (e)FN420kNN3 70kN30kN(e)(d)(f)F20kN 30kN20kN20kNF N470kN10kN30kN(f)20kN70kN(f) (e) 30kN(e) 20kN FN410kN20kN(f)30kN70kN20kN10kN10kN(f)30kN 10kN20kN10kN(f)图 2.1 例题 2.1 图【例题 2.2 】 一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图 2.8(a) 所示。
材料力学(5)
A
Iz
∫ ∫∫ z dydz = ∫ y dA = ∫∫ z dydz
2 2 2 A
则分别定义为图形对 y 轴和 z 轴的惯性矩（也称为 二次矩） 惯性矩性质： 惯性矩性质：当一个平面图形是由若干个简单图 形组成时，可以先算出每一个简单图形对某一轴 的惯性矩，然后求其总和，即等于整个图形对同 一轴的惯性矩。
z o y x
5-1 梁纯弯曲时的正应力
正应力计算公式的使用条件和范围
正应力公式是在纯弯曲情况下导出的。但是按弹性力 学理论与工程实践表明：在有些情况下，横力弯曲的 正应力分布规律与纯弯曲的完全相同；在有些情况下 虽略有差异，但是当梁跨度与截面高度之比大于5时， 误差是非常小的。所以，该公式应用于横力弯曲的正 应力计算有足够的精度，完全可以应用于横力弯曲时 的正应力计算。 对于具有纵向对称截面的梁，包括不对称于中性轴的 截面（即无横向对称面，如T字型截面），正应力公式 都可以使用。 正应力公式不适用于非对称弯曲的情况。 当梁的材料不服从胡克定律时，正应力公式不适用。 正应力公式只适用于直梁。但可近似地用于曲率半径 较梁高大得多的曲梁。对变截面梁也可近似地应用。
平行移轴公式:截面对任一轴的惯性矩， 平行移轴公式 等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩， 加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
5-2 惯性矩计算
T字型截面对其形心轴(z轴)的惯性矩为：
I z = I zI + I zII
y
矩形Ⅰ和矩形Ⅱ对 z 轴的惯性矩 可以通过平行移轴公式写成如下形式：
z1
a
b
E
5-1 梁纯弯曲时的正应力
（三）静力学关系(续3)
Mz = ∫A yσdA = ML(e)
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例3.4 计算图4-6受扭圆轴的应变能
设d1=2d2
材料的切变模量为G
解 此轴扭矩是常数
MT=m
但AB和BC截面尺寸不同
因此应分段计算应变能
然后-再相加
有
则扭矩图如图4-5(d)所示
由此可知
合理布置荷载可以降低内力的最大值
提高杆件的承载能力
例3.2 已知传动轴为钢制实心轴
最大扭矩MT＝7.64kNm
材料的许可切应力[t]＝30MPa
切变模量G＝80GPa
许可扭角[q]＝0.3°/m
试按强度条件和刚度条件设计轴径d
解：根据强度条件式(4-6)得出：
以垂直x的坐标轴表示截面的轴力
按选定的比例尺画出轴力图
如图2-5（d）所示
由此图可知数值最大的轴力发生在BC段内
解题指导：利用截面法求轴力时,在切开的截面上总是设出正轴力N
然后由SX＝0求出轴力N
如N 得正说明是正轴力（拉力）
如得负则说明是负轴力（压力）
例2-2 试求自由悬挂的直杆（图2-6a）由纵向均匀分布荷载q（力／长度）引起的应力和纵向变形
图3-7(c)所示
图中只示出1、2、8三个铆钉沿负y方向的剪力F/8
力偶Fl在每一铆钉中也引起剪力
假设剪力方向与该铆钉中心至C的连线正交
而大小与连线长度成正比
图3-7(b)示出Fl引起的铆钉剪力；铆钉1、3、5、7的剪力都是Q￠1；2、4、6、8的剪力都是Q￠2
诸铆钉的剪力对C之矩之和等于Fl
而应从长为dx的微段出发
在x处取微段dx
其纵向伸长可写为
杆件的总伸长
研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时
杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力
此时单位杆长的分布力q＝A×1×g
此处g是材料单位体积的重量即容重
将q代入上式得到
此处G＝Alg是整个杆的重量
上式表明等直杆自重引起的总伸长等于全部重量集中于下端时伸长的一半
解：（1）扭矩MT=m=2kNm
实心圆截面直径
（2）若改为a＝0.8的空心圆轴
设计外径
内径d2=0.8×D2=0.8×66.0＝52.8mm
（3）比较二者面积
空心轴的截面积：
实心轴的截面积：
=
解题指导：由此例可见使用空心圆轴比实心圆周可以节约很多材料
其主要原因是空心圆轴的材料布置离轴心较远
自己收集整理的
错误在所难免
仅供参考交流
如有错误
请指正！谢谢
材料力学例题及解题指导
（第二章至第六章）
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-1 试画出图a直杆的轴力图
解：此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力
于是矩形①、②的面积及形心坐标y'ci分别为
截面形心C在参考轴xoy系内的纵坐标yc为
两种解法结果完全相同
解题指导：计算形心时参考坐标轴可以任意选取
但好的选择可以使计算更容易
本题的第二种解法称为负面积法
是计算截面几何性质时常用的方法
例2 试计算图5-7所示图形对水平形心轴x的的形心主惯性矩
解法1
将该组合截面分割为①、②、③三个矩形截面
如图5-5
它们的面积Ai和形心Ci的纵座标yci分别是
于是截面形心C在参考轴xoy系内的纵坐标yc为
解法2
也可将以上组合截面看作在①200×310矩形的基础上
挖去一个②180×300的矩形
挖去矩形的面积取为负值
再根据刚度条件式(4-9b )得出：
两个直径中应选其中较大者
即实心轴直径不应小于117mm
说明在此设计中刚度是主要的
例3.3 已知圆轴受外力偶矩m＝2kNm
材料的许可切应力[t]＝60MPa
（1）试设计实心圆轴的直径D1;
（2）若该轴改为a=d/D=0.8的空心圆轴
式设计空心圆轴的内、外径d2 、D2
则
Q1＝－20
（0＜x＜1m） (a)
M1＝－20x
（0≤x＜1m＝ (b)
(3) 列AB段Q、M方程： AB段距C端为x的任意截面
剪力图是斜直线
由两点即可确定该直线
当x=0
QA=0；当x=a
得QC=－qa
BC段剪力：剪力图是水平线
由于C点无集中力作用
C点剪力连续
Q＝QC=－qa
AC段弯矩：弯矩方程是x的二次函数
由q＝c<0
q与弯矩的关系知
弯矩图是下凸抛物线
当x=0
MA=0；当x=a
得
先求AB段轴力
在段内任一截面1-1处将杆件截开
考察左段（图2-5b）
在截面上设出正轴力N1
由此段的平衡方程SX＝0得
N1－6＝0
N1＝＋6kN
N1得正号说明原先假设拉力是正确的
同时也就表明轴力是正的
AB段内任一截面的轴力都等于+6kN
再求BC段轴力
在BC段任一截面2-2处将杆件截开
∴ YB＝25kN
SmB＝0
20×5－YA×4＋10×4×2－40＝0
∴ YA＝35kN
(2) 列CA段Q、M方程：建立坐标系
以C端为x轴坐标原
点
CA段距左端为x的任意截面
取左侧为对象
PC＝120kW
PD＝160kW
试画轴的扭矩图
解：(1) 计算作用在各轮上的扭矩m
因为A是主动轮
故mA的转向与轴的转向一致；而从动轮上的转矩是轴转动时受到的阻力
故从动轮B、C、D上的转矩方向与轴的转向相反
（2）求各段轴的扭矩
先求1-1截面扭矩
从该截面切开
保留右段
并在截面上设出
如图3-7a
铆钉间距为a
F＝80kN
距离l＝3a
已知铆钉直径d＝20mm
许可切应力[t]＝130MPa
试校核铆钉剪切强度
解：铆钉群的形心C位于立柱的y轴上
将力F向C点平移得到一个过C点的y向力F和一个顺时针转动的力偶Fl
通过C的力F在每个铆钉受剪面上引起的剪力相等
其值为F/8 解 （1）求源自心 建立参考坐标轴x 1、y
形心显然在对称轴y上
只需求出截面形心C距参考轴x1的距离yc
将该截面分解为两个矩形
各矩形截面的面积Ai及自身水平形心轴距参考轴x 1的距离yci分别为：
Ac1=200×50=10000(mm)2
yc1＝150mm; Ac2=50×150=7500(mm)2
解题指导：对于轴力为变数的杆
利用虎克定律计算杆件轴向变形时
应分段计算变形
然后代数相加得全杆变形
当轴力是连续函数时则需利用积分求杆变形
例2-3 图2-7所示两根圆截面杆材料相同
试计算两杆的应变能
并比较其大小
解：a杆：
b杆：
两杆应变能之比：
解题指导：从本例可看出
按选定的比例尺作出AB、BC、CD三段轴的扭矩图
因为在每一段内扭矩为常数
故扭矩图由三段水平线组成
如图4-5(c)
最大的扭矩7.64kNm发生在中间段
解题指导：求轴横截面扭矩时
在截面上总是设出正扭矩MT
再用Smx＝0求此扭矩
如MT得正号说明是正扭矩
如得负号则说明是负扭矩
若将此例中的A、B轮对调
-
解：设在荷载G作用下
横梁移动到A￠B￠位置（图2-8b）
则杆1的缩短量为Dl1
而杆2、3的伸长量为Dl2、Dl3
取横梁AB为分离体
如图2-8c
其上除荷载G外
还有轴力N1、N2、N3以及X
由于假设1杆缩短
2、3杆伸长
故应将N1设为压力
而N2、N3设为拉力
(1) 平衡方程
试建立D
d
t三者间的合理比值
解：(1) 螺钉的拉伸强度
(2) 螺帽的挤压强度
(3) 螺帽的剪切强度
得：D : d : t = 1.225: 1 : 0.415
解题指导：注意此题的剪切面、挤压面
例2-6 一托板用8只铆钉铆于立柱上
（a）
三个平衡方程中包含四个未知力
故为一次超静定问题
(2) 变形几何方程 由变形关系图2-8b可看出B1B￠＝2C1C￠
即
或
(b)
(3) 物理方程
(c)
将(c)式代入(b)式
然后与(a)式联立求解
可得
解题指导：在解超静定问题中：假定各杆的轴力是拉力、还是压力
在受力相同的情况下
刚度小的杆件应变能大
例2-4平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁AB如图2-8a所示
在横梁上作用着荷载G
如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同
分别为A、l、E
试求三根杆的轴力N1、N2、N3
正扭矩MT1（图4-5（b））
由平衡条件 Smx＝0
有
mD－mA－MT1＝0
得
这里MT1得负号说明该截面的扭矩是负号
在A、B轮之间所有截面的扭矩都
等于－12.74kNm
仿此可得出MT2＝－8.92kNm
MT3＝－10kNm
（3） 画扭矩图
以横坐标表示截面位置
以纵坐标表示扭矩