材料力学例题及

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材料力学例题及解题指导
（第二章至第六章）

第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-1 试画出图a直杆的轴力图
解：此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力
先求AB段轴力
在段内任一截面1-1处将杆件截开
考察左段（图2-5b）
在截面上设出正轴力N1

由此段的平衡方程SX＝0得
N1－6＝0
N1＝＋6kN
N1得正号说明原先假设拉力是正确的
同时也就表明轴力是正的
AB段内任一截面的轴力都等于+6kN

再求BC段轴力
在BC段任一截面2-2处将杆件截开
仍考察左段（图2-5c）
在截面上仍设正的轴力N 2
由SX＝0得
－6＋18＋N2＝0
N2＝－12kN
N2得负号说明原先假设拉力是不对的（应为压力）
同时又表明轴力N2是负的
BC段内任一截面的轴力都等于－12kN
同理得CD段内任一截面的轴力都是－4kN

画内力图
以水平轴x表示杆的截面位置
以垂直x的坐标轴表示截面的轴力
按选定的比例尺画出轴力图
如图2-5（d）所示
由此图可知数值最大的轴力发生在BC段内

解题指导：利用截面法求轴力时,在切开的截面上总是设出正轴力N
然后由SX＝0求出轴力N
如N 得正说明是正轴力（拉力）
如得负则说明是负轴力（压力）

例2-2 试求自由悬挂的直杆（图2-6a）由纵向均匀分布荷载q（力／长度）引起的应力和纵向变形
设杆长l、截面积A及弹性模量E均已知

解：在杆上距下端为x处取一任意横截面m-m
则该截面轴力为N(x)＝qx
根据此式可作出轴力图如图2-6b所示
m-m截面的应力为s（x）＝N(x)/A＝qx/A
显然
悬挂端有最大轴力Nmax＝ql及最大正应力

求杆纵向变形
由于各横截面上轴力不等
不能直接应用公式(2-4)
而应从长为dx的微段出发
在x处取微段dx
其纵向伸长可写为

杆件的总伸长

研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时
杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力
此时单位杆长的分布力q＝A×1×g
此处g是材料单位体积的重量即容重
将q代入上式得到

此处G＝Alg是整个杆的重量
上式表明等直杆自重引起的总伸长等于全部重量集中于下端时伸长的一半

解题指导：对于轴力为变数的杆
利用虎克定律计算杆件轴向变形时
应分段计算变形
然后代数相加得全杆变形
当轴力是连续函数时则需利用积分求杆变形

例2-3 图2-7所示两根圆截面杆材料相同
试计算两杆的应变能
并比较其大小

解：a杆：
b杆：
两杆应变能之比：
解题指导：从本例可看出
在受力相同的情况下
刚度小的杆件应变能大


例2-4平行杆系1、2、3悬吊

着刚性横梁AB如图2-8a所示
在横梁上作用着荷载G
如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同
分别为A、l、E
试求三根杆的轴力N1、N2、N3
-
解：设在荷载G作用下
横梁移动到A￠B￠位置（图2-8b）
则杆1的缩短量为Dl1
而杆2、3的伸长量为Dl2、Dl3
取横梁AB为分离体
如图2-8c
其上除荷载G外
还有轴力N1、N2、N3以及X
由于假设1杆缩短
2、3杆伸长
故应将N1设为压力
而N2、N3设为拉力

(1) 平衡方程
（a）
三个平衡方程中包含四个未知力
故为一次超静定问题

(2) 变形几何方程 由变形关系图2-8b可看出B1B￠＝2C1C￠
即

或
(b)
(3) 物理方程
(c)

将(c)式代入(b)式
然后与(a)式联立求解
可得

解题指导：在解超静定问题中：假定各杆的轴力是拉力、还是压力
要以变形关系图中各杆是伸长还是缩短为依据
两者之间必须一致
经计算三杆的轴力均为正
说明正如变形关系图中所设
杆2、3伸长
而杆1缩短


例题及解题指导
例2-5 图3-6所示螺钉承受轴向拉力F
已知许可切应力[t]和拉伸许可应力[s]之间的关系为：[t]=0.6[s]
许可挤压应力[sbs]和拉伸许可应力[s]之间的关系为：[sbs]=2[s]
试建立D
d
t三者间的合理比值

解：(1) 螺钉的拉伸强度




(2) 螺帽的挤压强度



(3) 螺帽的剪切强度



得：D : d : t = 1.225: 1 : 0.415
解题指导：注意此题的剪切面、挤压面

例2-6 一托板用8只铆钉铆于立柱上
如图3-7a
铆钉间距为a
F＝80kN
距离l＝3a
已知铆钉直径d＝20mm
许可切应力[t]＝130MPa
试校核铆钉剪切强度

解：铆钉群的形心C位于立柱的y轴上
将力F向C点平移得到一个过C点的y向力F和一个顺时针转动的力偶Fl
通过C的力F在每个铆钉受剪面上引起的剪力相等
其值为F/8
图3-7(c)所示
图中只示出1、2、8三个铆钉沿负y方向的剪力F/8
力偶Fl在每一铆钉中也引起剪力
假设剪力方向与该铆钉中心至C的连线正交
而大小与连线长度成正比
图3-7(b)示出Fl引起的铆钉剪力；铆钉1、3、5、7的剪力都是Q￠1；2、4、6、8的剪力都是Q￠2
诸铆钉的剪力对C之矩之和等于Fl
即

再利用
代入上式得

铆钉2的总剪力Q2＝F/8＋F/4＝3F/8
铆钉1的总剪力是

所以铆钉1、3受力最为危险
故
＝115MPa<[t]
解题指导：在对铆钉群构成的连接件进行剪切强度计算时
要正
确分析每个铆钉的受力
当外力通过铆钉群中心时
可以近似看作每个铆钉受力相同
当外力不通过铆钉形心时则应根据实际受力情况分析铆钉受力


















第三章 例题和解题指导

例

3.1已知传动轴（图4-5(a)）的转速n＝300r/min
主动轮A输入的功率P＝400kW
三个从动轮输出的功率分别为PB＝120kW
PC＝120kW
PD＝160kW
试画轴的扭矩图


解：(1) 计算作用在各轮上的扭矩m
因为A是主动轮
故mA的转向与轴的转向一致；而从动轮上的转矩是轴转动时受到的阻力
故从动轮B、C、D上的转矩方向与轴的转向相反



（2）求各段轴的扭矩
先求1-1截面扭矩

从该截面切开
保留右段
并在截面上设出
正扭矩MT1（图4-5（b））

由平衡条件 Smx＝0
有
mD－mA－MT1＝0
得

这里MT1得负号说明该截面的扭矩是负号

在A、B轮之间所有截面的扭矩都
等于－12.74kNm

仿此可得出MT2＝－8.92kNm
MT3＝－10kNm

（3） 画扭矩图
以横坐标表示截面位置
以纵坐标表示扭矩
按选定的比例尺作出AB、BC、CD三段轴的扭矩图
因为在每一段内扭矩为常数
故扭矩图由三段水平线组成
如图4-5(c)
最大的扭矩7.64kNm发生在中间段

解题指导：求轴横截面扭矩时
在截面上总是设出正扭矩MT
再用Smx＝0求此扭矩
如MT得正号说明是正扭矩
如得负号则说明是负扭矩

若将此例中的A、B轮对调
则扭矩图如图4-5(d)所示
由此可知
合理布置荷载可以降低内力的最大值
提高杆件的承载能力

例3.2 已知传动轴为钢制实心轴
最大扭矩MT＝7.64kNm
材料的许可切应力[t]＝30MPa
切变模量G＝80GPa
许可扭角[q]＝0.3°/m
试按强度条件和刚度条件设计轴径d

解：根据强度条件式(4-6)得出：

再根据刚度条件式(4-9b )得出：

两个直径中应选其中较大者
即实心轴直径不应小于117mm
说明在此设计中刚度是主要的

例3.3 已知圆轴受外力偶矩m＝2kNm
材料的许可切应力[t]＝60MPa

（1）试设计实心圆轴的直径D1;
（2）若该轴改为a=d/D=0.8的空心圆轴
式设计空心圆轴的内、外径d2 、D2
解：（1）扭矩MT=m=2kNm
实心圆截面直径

（2）若改为a＝0.8的空心圆轴
设计外径

内径d2=0.8×D2=0.8×66.0＝52.8mm

（3）比较二者面积
空心轴的截面积：
实心轴的截面积：
=
解题指导：由此例可见使用空心圆轴比实心圆周可以节约很多材料
其主要原因是空心圆轴的材料布置离轴心较远
充分发挥了材料的承载能力

例3.4 计算图4-6受扭圆轴的应变能
设d1=2d2
材料的切变模量为G


解 此轴扭矩是常数
MT=m
但AB和BC截面尺寸不同
因此应分段计算应变能
然后-再相加
有


























附录部分 例题和解题指导
例1 求图5-5所示截面的形心C的位置

解：该截面具有纵对称轴
则形心一定在此对称轴上
因此只要求出形心在高度方向的值即可确定形心
选

取参考坐标系
以对称轴为y轴
x0轴选择截面的下边缘
下面用两种方法计算形心C的座标yc















解法1
将该组合截面分割为①、②、③三个矩形截面
如图5-5
它们的面积Ai和形心Ci的纵座标yci分别是

于是截面形心C在参考轴xoy系内的纵坐标yc为

解法2
也可将以上组合截面看作在①200×310矩形的基础上
挖去一个②180×300的矩形
挖去矩形的面积取为负值
于是矩形①、②的面积及形心坐标y'ci分别为

截面形心C在参考轴xoy系内的纵坐标yc为

两种解法结果完全相同

解题指导：计算形心时参考坐标轴可以任意选取
但好的选择可以使计算更容易
本题的第二种解法称为负面积法
是计算截面几何性质时常用的方法

例2 试计算图5-7所示图形对水平形心轴x的的形心主惯性矩

解 （1）求形心
建立参考坐标轴x 1、y
形心显然在对称轴y上
只需求出截面形心C距参考轴x1的距离yc
将该截面分解为两个矩形
各矩形截面的面积Ai及自身水平形心轴距参考轴x 1的距离yci分别为：
Ac1=200×50=10000(mm)2
yc1＝150mm; Ac2=50×150=7500(mm)2
yc2＝25mm;
则

（2）求形心主惯性
（略）

























第四章弯曲内力 例题及解题指导
例4.1写出图6-3示各梁的剪力方程和弯矩方程
并做剪力图和弯矩图

解：（1）分两段列Q、M方程：
AC段

CB段

（2）作图：
AC段剪力：剪力方程是x的一次函数
剪力图是斜直线
由两点即可确定该直线
当x=0
QA=0；当x=a
得QC=－qa

BC段剪力：剪力图是水平线
由于C点无集中力作用
C点剪力连续
Q＝QC=－qa

AC段弯矩：弯矩方程是x的二次函数
由q＝c<0
q与弯矩的关系知
弯矩图是下凸抛物线
当x=0
MA=0；当x=a
得

BC段弯矩：弯矩方程是剪力图是x的一次函数
弯矩图是斜直线
因梁上没有集中力偶
弯矩图在C点应连续
x=2a时

作出剪力图和弯矩图如图示

例4.2 试绘出图6-4所示梁的剪力图和弯矩图

解：(1) 利用平衡条件求出A、B支座的支反力YA和YB

SmA＝0
20×1－40＋YB×4－10×4×2＝0
∴ YB＝25kN
SmB＝0
20×5－YA×4＋10×4×2－40＝0
∴ YA＝35kN
(2) 列CA段Q、M方程：建立坐标系
以C端为x轴坐标原
点
CA段距左端为x的任意截面
取左侧为对象
则
Q1＝－20
（0＜x＜1m） (a)
M1＝－20x
（0≤x＜1m＝ (b)
(3) 列AB段Q、M方程： AB段距C端为x的任意截面
如取右侧为对象
则
Q2＝－YB＋q(5－x)＝－25＋10(5－x) （1＜x＜5＝ (c)
M2＝YB (5－x)－q(5－x) (5－x)/2＝25 (5－x)－5(5－x)2
（1＜x≤5＝ (d)
利用(a)、(b)和(c)、(d)式可绘出CA和AB段的Q、M图（图6-2b
c）

(4) 检查Q、M图的正

确性
a、利用集中力、集中力偶作用处的突变关系

梁上C、A、B三处分别有集中的力20kN(↓)、35kN(↑)、25kN(↑)
因而由左向右经过上述各处时
剪力图分别突变20kN(↓)、35kN(↑)、25kN(↑)
因C、B在梁的两端
上述突变表现为C右截面剪力为－20kN
B左截面剪力为－25kN

梁上A处有顺时针集中力偶40kN×m
因而A处左截面至右截面的弯矩突变+40kN×m

b、利用微分关系
对于CA段
分布荷载集度q＝0
剪力图为水平直线
弯矩图为斜直线
对于AB段
q＝－10kN/m
剪力图为斜直线
并在A右1.5m处（D截面）剪力为零
弯矩图为下凸的二次抛物线
并在D截面有极大值

解题指导：截面的内力既可以用截面的左半部分计算也可以用截面的右半部分计算
所得结果相同
画出内力图后利用微分关系和Q、M图的规律检查内力图的正确性
可以确保结果正确

例4-3 作出图示具有中间铰链（图6-5a）梁的弯矩图

解：(1)求支反力：在中间铰链处将梁拆开成两部分
其间的相互作用力以QB代替
如图6-5(b)所示
显然
拆开后连续梁可以看成一个受集中力偶的简支梁和一个梁上受均布力、自由端受集中力QB的悬臂梁

由简支梁AB很容易求出QB:

(2)分别作简支梁AB和悬臂梁BC的弯矩图
如图6-5（c）
因单个梁的弯矩图很容易得到
作图过程在此不再赘述
注意两个梁的弯矩图应合并画在同一条水平轴线上

解题指导：(1)求解有中间铰链的连续梁问题
一般都从铰接处拆开
拆开后能独立存在的部分称为主梁
如图中的BC梁；不能独立存在的部分称为辅梁
如图中的AB梁
先从辅梁上解出铰链处的约束力
再把此约束力当作外荷载加到主梁上
这样就变成了两个简单梁
作这两个简单梁的内力图并连接到一起
即为有中间铰链梁的内力图

(2对转动
固中间铰链只能传递力不能传递力偶
因此只要铰链左右两侧没有集中力偶
其弯矩应为零

例4.4 利用剪力、弯矩与荷载集度的关系作图6-6所示梁的剪力图和弯矩图

解：计算支座反力YA＝YB＝qa/4
AC段剪力：q=c<0
剪力为下降的斜直线

A点剪力：QA = qa/4
C点偏左剪力：
QC左 =－3qa/4

AC段弯矩：q=c<0
弯矩为下凸抛物线


A点
弯矩：MA =0
C点偏左弯矩：
在距离A端支座为a/4的D处
剪力等于零

弯矩在此截面应有极值：

BC段剪力：q=c>0
剪力为上升的斜直线

C点剪力：因C点无集中力
剪力在C点连
续
C点偏右剪力：QC右 = QC左 =－3qa/4；B点剪力：QB = qa/4

BC段弯矩：q = c>0
弯矩为上凸抛物线
C点偏右弯矩：MC右 =qa2/4
B点弯矩：MB =0
在距离B端支座为a/4的E处
剪力等于零
弯矩有极值:
根据以上分析和计算

画出剪力、弯矩图如图6-6(b)、(c)所示

解题指导：熟练掌握剪力、弯矩图的规律
可以不写剪力、弯矩方程
直接绘图

对称结构承受反对称荷载时
剪力图是对称的
弯矩图是反对称的

第五章 弯曲应力 例题和解题指导
例5.1将一根直径d＝1mm的直钢丝绕于直径D＝1m的卷筒上（图7-7）
已知钢丝的弹性模量E＝200GPa
试求钢丝由于弹性弯曲而产生的最大弯曲正应力
又材料的屈服极限ss＝350MPa
求不使钢丝产生塑性变形的卷筒轴径D1应为多大

解：（1）最大弯曲正应力
由式(7-2)
有曲率与弯矩间的关系
即
又
（2）求轴径D1

则

得轴径D1＝0.571m
解题指导：钢丝的直径d远小于卷筒的直径径D
因此钢丝的曲率半径可以近似为

例5.2 T字形截面铸铁梁的荷载及截面尺寸如图7-8(a)示
C为T形截面的形心
惯矩Iz＝6013×104mm4
材料的许可拉应力[st]＝40MPa
许可压应力[sc]＝160MPa
试校核梁的强度

解：梁弯矩图如图7-8(b)所示
绝对值最大的弯矩为负弯矩
发生于B截面上
应力分布如图7-8 (c)所示
此截面最大拉、压应力分别发生于截面上、下边缘各点处

＝36.2MPa<[st]
＝78.6MPa<[sc]
虽然A截面弯矩的绝对值|MA|<|MB|
但MA为正弯矩
应力分布如图7-8 (d)所示
最大拉应力发生于截面下边缘各点
由于y1>y2因此
全梁最大拉应力究竟发生在哪个截面上
必须经计算才能确定
A截面最大拉应力为
＝39.3MPa<[st]
最大压应力在B截面下边缘处
最大拉应力在A截面下边缘处
都满足强度条件

解题指导：由此例可知
对于铸铁等脆性材料
由于拉、压许可应力不等
通常制成上、下不对称截面
以充分发挥材料的承载潜力
应特别注意此种梁的弯矩有正、有负时
可能出现两个危险截面
而且两个危险点可能不在同一个截面上

例5-3矩形截面悬臂梁如图7-9示
试计算梁的最大切应力和最大正应力并比较大小

解：梁的最大弯矩在固定端处
Mmax=Pl,剪力在梁的各截面均为常数
危险截面在固定端处



应力比
：
解题指导：对于细长梁
如l＝5h
则有tmax＝0.05smax
亦即最大切应力远小于最大正应力
这一结论适用于通常的非薄壁截面梁（指厚壁截面梁及实心截面梁）

一般说来
非薄壁截面细长梁横力弯曲的强度计算可以只考查正应力强度
不必考虑切应力
但对于顺纹方向抗剪强度差的材料如木制梁及切应力较大的薄壁截面梁或短梁（跨度与梁的高

度比小于5）则需同时进行正应力和切应力的计算

例5.4 图7-10所示悬臂梁由三块胶合在一起
截面尺寸为：b=100mm
a=50mm
已知木材的[s]＝10MPa
[t]＝1MPa
胶合面的[tj]＝0.34Mpa试求许可荷载[P]

解：（1）由梁的抗拉强度确定的许可荷载P1
（a）

（2）由梁的剪切强度确定的许可荷载P2


（3）由胶合面的剪切强度确定的许可荷载P3




在三个荷载中选择最小的
得胶合梁的许可荷载[P]=3.75kN

解题指导：在上面胶合梁中假如胶合层发生破坏
则杆的弯曲特性随之而改变
抗弯强度将会显著降低
设三个梁接触面间摩擦力甚小
每个梁可以自由弯曲
且弯曲曲率完全一样
这时
可近似认为每个梁上承担的外力等于P/3
则每一梁的最大正应力等于

与式（a）比较
最大正应力增加了三倍





第六章弯曲变形 例题及解题指导
例6.1用积分法求图8-2所示梁挠曲线方程时
要分几段积分？将出现几个积分常数？列出确定其积分常数条件
（弹簧刚度为k）

图8-2
解：（a）分两段积分
1. AC段
2.CB段
4个积分常数

边界条件：vA=0
vB= RB/ k (RB 为B点支反力)
连续条件：vC1＝vC2 q C1＝qC2
（b）分三段积分
1. AD段
2.DC段
3.CB段
6个积分常数

边界条件：vA=0
q A=0
vB=0

连续条件：vD1＝yD2
q D1＝q D2
vC2＝yC3


解题指导：（1）在荷载突变处、中间约束处、截面变化处（惯性矩I突变处）及材料变化处（弹性模量E值突变处）均应作为分段积分的分段点

（2）中间铰链连接了两根梁
也应作为分段点

（3）各分段点处都应列出连续条件
中间铰链只限制了两梁在该点的相对位移
不能限制转动
故只有一个挠度连续条件



图8-3 例6.2 变截面简支梁受到集中力P的作用
如图8-3(a)所示
试用叠加法计算梁自由端B处的挠度vB和转角q B

解：由于梁在C截面处截面尺寸发生变化
须分两段计算变形
再进行叠加
首先将梁沿截面变化处C截开
把CB段梁暂时看作是在C处固支的悬臂梁（图8-3(b)）
利用材料力学教
材上的典型梁变形表可得B点位移：
（ ）

（↓）
再求AC段C截面位移
将外力P向C点
平移
C点受两个外力：集中力P和集中力
偶Pl/2
查表可得

注意梁CB段的C截面是固定在梁AC段的
C截面上
AC段C截面的位移必然会牵动
CB段
因此将梁CB段下移vC
再使整个CB段转动qC角
则CB段即与图8

-3(c)的AC段衔接而得到整个梁的变形
如图8-3(d)
在此拼合过程中B点又获得额外的转角qB2和挠度vB2
由图8-10c可知


于是B端的挠度和转角为


解题指导：此例题设所给出的结构无法由手册或表格中查到
因此对结构进行了分解
将其等效化处理为可查表结构
然后再对结构叠加
叠加原理
即可以用于荷载的叠加
也可以用于结构的叠加


例6.5 试解图8-6所示的超静定梁

解：（1）选择静定基
以B点约束作为多余约束
将其除去
代之以约束反力RB
称之为静定基
如图8-6(b)

(2) 变形协调条件
多余约束B处梁的挠度应有: vB＝0

(3)利用叠加法求vB

对应图8-6(b)应有：
vBR＋vBP＝0 (a)

查表得
（↓）

（↑）
将vBR、vBP代入式（a）


解出
解题指导：用变形比较法求解超静定梁
可以选择不同的静定基
以便于求解为准
例如此例也可以选择A端的转角约束作为多余约束
其静定基如图8-7所示



??

??

??

??




1