一元回归分析
一元回归分析(书本)
二、数学模型
设在试验中，因素A有r个水平A1 , , Ar , 水平Ai下的指标为随机变量X i～N ( i , )
其中
Lxx x nx
i 1 n 2 i
n
2
ˆL SS R 1 xy ˆL SS E Lyy 1 xy Lxy ˆ 1 Lxx
Lyy y ny
i 1 n 2 i
2
Lxy xi yi nx y
i 1
r 检验法 SS R 当ST固定时，SS E 越小，则SS R占的比重 越大， SST 回归效果越明显.由于 2 ˆ 2L L SS R xy 1 xx , SST Lyy Lxx Lyy 因此称r SS R SST Lxy Lxx Lyy 为x与y的相关系数，且 r 1.
当r 0时，y 与x 之间不存在相关关系； 0 r 1时，y 与x 之间存在一定相关关系，r 0时，正相关， r 0时，负相关; r 1时，SS R SST，y 与x 之间完全线性相关，存在确定的 相关关系.
t检验法 ˆ 1 1 t Lxx t (n 2) SS E / n 2 当H 0成立时， ˆ 1 t Lxx t (n 2) SS E / n 2 H 0的拒绝域 t t
2
三、回归效果的显著性检验
y1),( x2, y ), ,( x ,n y )n 2 ^ ^ ^ 用最小二乘法总是可以求出一条回归直线：y x
0 1
一般地，对测定出来的数据 ( x1,
但变量 X 与Y 是否真有线性相关的关系？ 这是需要作检验的。
F 检验（方差分析）
把 Y 的观测值的总离差平方和 分解成两部分：SS
一元线性回归分析
C=α+βy + µ
其中， µ是随机误差项。 是随机误差项。 其中， 是随机误差项 根据该方程， 的值， 根据该方程，每给定一个收入 y 的值，消 并不是唯一确定的， 费C并不是唯一确定的，而是有许多值， 并不是唯一确定的 而是有许多值， 他们的概率分布与µ的概率分布相同 的概率分布相同。 他们的概率分布与 的概率分布相同。 线性回归模型的特征： 线性回归模型的特征： 有随机误差项！ 有随机误差项！
21
说
明
一、严格地说，只有通过了线性关系的检验，才 严格地说，只有通过了线性关系的检验， 能进行回归参数显著性的检验。 能进行回归参数显著性的检验。 有些教科书在介绍回归参数的检验时没有考虑线 性关系的检验，这是不正确的。 性关系的检验，这是不正确的。因为当变量之间 的关系没有通过线性检验时， 的关系没有通过线性检验时，进行回归参数显著 性的检验是没有意义的。 性的检验是没有意义的。 在一元线性回归分析中， 二、在一元线性回归分析中，即只有一个解释变 量时，这两种检验是统一的。 量时，这两种检验是统一的。但在多元回归分析 这两种检验的意义是不同的。 中，这两种检验的意义是不同的。 为了说明该问题， 为了说明该问题，我们在本章中依然把两种检验 分开论述。 分开论述。
13
为了达到上述目的， 为了达到上述目的，我们直观上会采 用以下准则： 用以下准则： 选择这样的SRF，使得： 选择这样的 ，使得：
残差和∑ ε i = ∑ ( yi − yi )尽可能小！ ˆ
但这个直观上的准则是否是一个很好 的准则呢？我们通过以下图示说明： 的准则呢？我们通过以下图示说明：
14
12
ˆx i + ε i yi = α + β ˆ ˆ 即：y i = y i + ε i ˆ ∴ ε i = yi − yi
一元回归分析
一元回归分析
一元回归分析是统计学中一个重要的研究方法，是探讨一个或多个特征对一个变量的影响程度的有效工具。
即对一个变量（称为因变量）的变化，由另一变量（称为自变量）决定的这种关系强度的大小，分析方法就是一元回归分析。
回归的最基本形式是一元线性回归，也就是说，自变量和因变量之间的关系是一条直线。
一元回归分析中的最重要的因素是多元线性回归模型，也被称为最小二乘法。
其核心思想是寻找一条能够最好地拟合给定数据的直线，以评估每一条直线的拟合错误率为目标函数，通过最小二乘法求解最优化模型，来获得其参数估计值。
最后，一元回归分析也有诊断检验来测试模型的有效性。
诊断检验包括残差检验、正态性检验、相关性检验和自相关性检验等，这些检验可以帮助检查模型是否满足预先设定的假设，因此可以确定模型的可靠性。
从上面可以看出，一元回归分析是一种重要的统计学研究方法，它不仅可以用来研究一个或多个特征对因变量的影响程度，而且还可以通过诊断检验来测试模型的有效性。
因此，它应用广泛，可以为不同领域的研究者提供有价值的结果，如社会、医学、经济和心理等。
实际的应用中，除了研究因变量的影响，还可以使用回归分析来预测未来的值，同时可以采用回归模型来识别与所研究的变量关联的模式和关系。
此外，一般会使用协方差分析识别两个变量之间的关系，这可以使用线性回归模型来完成，即计算变量之间的协方差和相关系
数来评估两个变量之间的强弱程度。
总之，一元回归分析是一种有效的统计分析工具，其主要用途是研究一个或多个特征对一个变量的影响程度，进而识别出两个变量之间的关系，并利用诊断检验来测试模型的有效性，它的应用非常广泛，可用于社会、医学、经济和心理等许多领域。
一元回归分析
一元回归分析1. 简介回归分析是统计学中重要的分析方法之一，用于研究变量之间的关系。
在回归分析中，一元回归是指只涉及一个自变量和一个因变量的分析。
一元回归分析的目的是建立一个数学模型，描述自变量对因变量的影响关系，并通过拟合数据来确定模型的参数。
通过一元回归分析，我们可以研究自变量和因变量之间的线性关系，预测因变量的值，并进行因变量的控制。
2. 原理2.1 线性回归模型一元线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用以下方程来表示：Y = β0 + β1 * X + ε其中，Y 表示因变量，X 表示自变量，β0 和β1 分别表示模型的截距和斜率，ε 表示误差项。
2.2 最小二乘法拟合回归模型的常用方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来确定模型的参数。
残差是指观测值与模型预测值之间的差异。
最小二乘法通过计算观测值与回归线之间的垂直距离来确定参数值，使得这些距离的平方和最小化。
3. 回归分析步骤一元回归分析通常包括以下步骤：3.1 数据收集收集与研究问题相关的数据。
数据包括自变量和因变量的观测值。
3.2 模型设定根据问题和数据，选择适当的回归模型。
对于一元回归分析，选择一元线性回归模型。
3.3 模型估计利用最小二乘法估计模型的参数值。
最小二乘法将通过最小化残差平方和来确定参数值。
3.4 模型诊断对拟合的模型进行诊断，检查模型是否满足回归假设。
常见的诊断方法包括检查残差的正态分布性、检查残差与自变量的关系等。
3.5 结果解释解释模型的结果，包括参数估计值、模型拟合程度、因变量的预测等。
3.6 模型应用利用拟合的模型进行预测、推断或决策。
4. 注意事项在进行一元回归分析时，需要注意以下几点：•数据的收集应当尽可能准确和全面，以确保分析的可靠性；•模型的设定应当符合问题的实际情况，并选择合适的函数形式；•模型诊断是确定模型是否可靠的重要步骤，需要进行多种检验；•需要注意回归分析的局限性，不能因为有了一元回归模型就能解释所有的问题。
一元回归分析模型
一元回归分析模型一元回归分析模型是统计学中最常用的模型之一，它在一个给定数据集上进行单变量分析，以确定这个变量和某个受试变量（即因变量）之间的关系。
一元回归模型的基本概念是，它假定因变量可以从一个或多个自变量的和的函数中获得，因此，它假设自变量与因变量之间存在线性关系。
一元回归分析模型可以帮助我们弄清楚在数据集中包含的变量之间存在什么样的关系，特别是在通过线性函数计算因变量的值时。
通过检查线性关系，可以确定自变量对因变量的重要性，并为投资者提供有效的决策。
此外，回归模型也可用于预测未来的值，只要用户给出一组自变量的值，即可预测出因变量的值。
回归分析的步骤特别简单，只需执行以下步骤：-观察自变量与因变量之间的关系-收集有关自变量与因变量的数据-计算自变量的一元线性回归公式-对回归方程进行拟合-检查模型的准确度-使用模型来预测未来结果-将结果应用到复杂的数据集中一元回归分析有许多应用，尤其适合预测模型，其中自变量是单调的，因变量也是连续的变量。
它也可以用于研究多个自变量，但因变量仍然是连续的变量。
一元回归模型还用于探索分类变量之间的关系，该模型利用变量的差异而不是变量的平均值，因此可以得出有意义的结果。
然而，一元回归模型也有几个缺点，包括缺乏多元关系，假定关系是线性的，忽略多重共线性等问题。
此外，一元回归模型在预测未来结果方面会出现一定的误差，该误差通常取决于自变量和因变量之间的不一致性。
总而言之，一元回归分析模型是一个有用的统计分析模型，它可以帮助分析人员更好地理解数据集中变量之间的关系，从而更好地决策和预测未来结果。
虽然一元回归分析模型的缺点不可忽视，但其可靠性仍然是不容置疑的。
一元线性回归分析
模型评估指标
模型评估指标用于衡量回归模型的拟合优度和预测精度。常用的指标包括均 方误差、决定系数和标准化残差等，可以帮助我们评估模型的有效性和适用 性。
参数估计方法
参数估计是确定回归模型中各个参数的取值的过程。常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估 计法和贝叶斯估计法等，可以帮助我们找到最优的参数估计结果。
一元线性回归分析
回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。本演示将介绍一元线性 回归模型的构建、参数估计、模型假设检验以及模型预测和应用。
回归分析的概述
回归分析是一种通过建立变量之间的关系来描述和预测现象的统计方法。它 可以帮助我们理解变量之间的因果关系，并从中推断出未知的检验
模型假设检验用于验证回归模型的假设是否成立。常见的假设检验包括检验回归系数的显著性、整体模 型的显著性以及模型的线性关系等，可以帮助我们判断模型是否可靠。
回归诊断和残差分析
回归诊断和残差分析通过检查模型的残差来评估模型的拟合优度和假设的满 足程度。常用的诊断方法包括残差图、QQ图和离群值分析等，可以帮助我们 发现模型的不足和改进方向。
模型预测和应用
回归模型可以用于预测未知观测值，并帮助我们做出决策和制定策略。它在经济学、社会科学、医学等 领域具有广泛的应用，可以为决策者提供有力的数据支持。
第9章 一元线性回归分析
9.1.2相关关系的类型
从涉及的变量数量看
简单相关 多重相关（复相关）
从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散点图接近一条直线(左图) 非线性相关——散点图接近一条曲线(右图)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2
11
10.8 10.6 10.4 10.2 10
若在定距变量分布不满足正态性的条件，可将定距变 量降级为定序变量
如要研究考试中学生交卷的名次是否与成绩有关，
交卷名次与考试名次之间的关系
交卷名 次
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
考试成 绩
94 74 74 60 68 86 92 60 78 74
78
64
参阅《统计学在经济和管理中的应用》
2 i i 2 i i
__
^
__
^
2
总离差平方和
回归平方和
残差平方和
判定系数定义：
r
2
(Y Y ) (Y Y )
i i
^
2 2
判定系数的特点
判定系数是非负的统计量； 判定系数取值范围： 0 r 2 在一元线性回归中，判定系数在数值上是
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关
回归方程
描述因变量y的期望值如何依赖于自变量x的方程称为回归方程。
E( y) b0 b1 x
估计的回归方程
(estimated regression equation)
第15讲 一元线性回归分析
n
i 1
2
2 2 ˆ ˆ 2b yi y xi x b xi x i 1 i 1
i 1
n
i 1
n
ˆS /S ˆ b ˆ2 S S bS ˆ . b S yy 2bS xy xx xy xx yy xy
例2 求例1中误差方差的无偏估计。
采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间 一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散 点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函 数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得 到的数据用假设检验方法来判断。
即要检验假设 H0 : b 0, H1 : b 0, 若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则， 若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程 无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：
将每对观察值( xi , yi )在直角坐标系中描出它相应的点 （称为散点图），可以粗略看出 ( x)的形式。
基本思想
(x, Y)
回归分析 回归方程
采集样本信息 ( xi, yi )
散点图
回归方程参数估计、显著性检验
对现实进行预测与控制
一元回归分析:只有一个自变量的回归分析 多元回归分析:多于一个自变量的回归分析
x1 x2 x3
xi
xn
整理得 na ( xi )b yi ,
( xi )a ( xi )b xi yi .——正规方程组
2 i 1 i 1 i 1
n
i 1
n
i 1
n
na ( xi )b yi ,
i 1 i 1
n
n
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
一元线性回归分析PPT课件
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
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ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页
一元回归分析
一元回归分析一元回归是统计学中的一种方法，它是在一组观察点之间进行变量间关系分析的有效方法。
这种分析方法运用统计学中的最小二乘法来选择一组观察变量和一个预测变量，并建立一个拟合变量之间的线性关系，以预测预测变量的值。
一元回归也可以称为“线性回归模型”，这是因为它假设观测变量和预测变量之间的关系是线性的。
一元回归分析的基本假设是一个观察变量和一个预测变量之间存在强烈的线性关系。
具体而言，一元回归假定观察变量可以在一定程度上解释预测变量的变化，即观察变量可以作为预测变量的预测因子。
因此，一元回归将使用统计学方法建立一个线性模型，以最大程度地说明观测变量和预测变量之间的关系。
一元回归分析有很多应用，包括了营销、金融、管理等领域。
在营销领域，一元回归可以帮助企业了解客户的偏好和行为，并采取有效的措施来满足客户的需求。
在金融领域，一元回归可以帮助投资者了解投资的风险和回报，并采取有效的策略来实现最佳收益。
在管理领域，一元回归可以帮助企业评估工人和设备的工作效率，并有效地进行资源调配。
一元回归分析的模型需要满足如下几个基本要求：(1)型需要包含一个观察变量和一个预测变量；(2)观察变量和预测变量之间必须存在线性关系；(3)观察变量和预测变量之间的关系不能有多重共线性；(4)观察变量和预测变量的数据必须具有正态分布特征；(5)观察变量和预测变量之间不能存在缺失值；(6)观察变量和预测变量之间不能存在异常值。
一元回归分析可以有效地分析观察变量和预测变量之间的关系，从而更有效地预测结果变量的值。
然而，鉴于基本假设的限制，它的应用范围是有限的，因此，在对变量进行回归分析之前，最好首先对数据属性进行充分的研究。
此外，它也不能有效地解释少量观察变量的变化，因此在多变量情况下，其他分析方法可能更有效。
总之，一元回归是一种有效的分析方法，它通过在一组观察变量和一个预测变量之间建立强有力的线性关系，可以有效地推断预测变量的值，并为企业提供重要的决策支持。
一元线性回归分析的原理
一元线性回归分析的原理
一元线性回归分析是一种用于研究变量之间相互关系的统计分析方法。
它旨在
在一组数据中，以一个线性方程的式子去拟合变量之间的关系。
借此，分析一个独立变量（即自变量）和一个取决变量（即因变量）之间的关系，求出最合适的回归系数。
一元线性回归分析可以用来发现和描述变量之间的复杂方程式，用来估计参数，以及构建预测模型。
具体而言，一元线性回归分析指的是自变量和因变量之间有线性关系的回归分析。
也就是说，自变量和因变量均遵从一元线性方程，也就是y=βx+α，其中y
为因变量，x为自变量，β为系数，α为常数。
通过一元线性回归分析可以精确
的定义出变量之间的关系，从而可以得出最佳的回归系数和常数，并估计每个参数。
一元线性回归分析用于研究很多方面，例如决策科学、经济学和政治学等领域。
例如，在政治学研究中，可以使用一元线性回归分析来分析政府的软性政策是否能够促进社会发展，以及社会福利是否会影响民众的投票行为。
在经济学研究中，则可以使用一元线性回归分析来检验价格是否会影响消费水平，或检验工资水平是否会影响经济增长率等。
总结而言，一元线性回归分析是一种有效的研究变量之间关系的统计分析方法，精确地检验独立变量和取决变量之间的关系，从而求得最合适的回归系数和常数，并用该回归方程式构建预测模型，为决策提供参考。
一元线性回归分析
9--36
判定系数与回归估计标准差的计算
根据前述计算公式计算判定系数与回归估计标准差 ，需先根据样本回归方程计算出 X 的各观测值 xi 对 应的回归估计值 yi ，计算过程比较繁琐。
借助于 EXCEL 的“回归”分析工具可轻松得到其数 值。显示在 EXCEL 的回归输出结果的第一部分
判定系数（ R Square ）
也称为可解释的平方和。
3. 残差平方和（ SSE 、 Q ）
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影 响，
9--29
可决系数（判定系数 r2 或
R2 ）
1. 可决系数 = 回归平方和占总离差平方和的
比例
r2
SSR SST
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归平方和 总离差平方和
1
残差平方和 总离差平方和
综合度量回归方程对样本观测值拟合优度， 衡量变量之间的相关程度。
称为古典线性回归模型。
9--12
2. 样本回归方程（ SRF ）
实际中只能通过样本信息去估计总体回归方程的参 数。
一
元
线
性回归的
yˆi ˆ
样
本ˆx回i
归
方
a
程
的形
bxi
式
：
ˆ a, ˆ b 是样本回归方程的截距和斜率
yˆ ； i 是与 xi 相对应的 Y 的条件均值的估计 ； 9--13
样本回归方程与总体回归方程之关系
i 1
n2
�n ( yi yˆi ) 2
i 1
n2
9--34
回归估计标准差的作用
1. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状 况；反映因变量各实际值与其回归估计值之
一元回归分析
二、一元回归分析
相关分析与回归分析的研究目标和研究方法是有明 显区别的。从研究目的上看，相关分析是用一定的数量 指标度量变量间相互联系的方向和程度，通过抽象的相 关系数来反映变量之间相关关系的程度；而回归分析是 要寻求变量间联系的数学形式，建立的回归方程反映的 是变量之间的具体变动关系，而不是抽象的系数。根据 回归方程，利用自变量的给定值可以估计或推算出因变 量的数值。
存关系的研究，用适当的数学模型去近似地表达或估计变量
之间的平均变化关系，其目标是要根据已知或固定的自变量
的数值去估计因变量的总体平均值。
二、一元回归分析
2 相关分析与回归分析的联系和区别 .
相关分析和回归分析是互相补充、密切联 系的。相关分析需要回归分析来表明数量关系的 具体表现形式，而回归分析则应该建立在相关分 析的基础上。只有依靠相关分析，对现象的数量 变化规律判明具有密切相关关系后，再进行回归 分析，求其相关的具体表现形式，这样才具有实 际意义。
二、一元回归分析
3. 样本回归函数
通常总体包含的单位数很多，无法掌 握所有单位的数值，故总体回归函数实际 上是未知的，我们能做到的就是对应于自 变量X的选定水平，对因变量Y的某些样本 进行观测，然后通过对样本观测获得的信 息去估计总体回归函数。
二、一元回归分析
以例8-5中100个家庭的 可支配收入与消费支出为例， 假设从100个家庭的总体中各 随机抽取10个家庭进行观测， 形成了两个随机样本，可将两 个随机样本的数据绘制成散点 图，如图8-9所示。
二、一元回归分析
1 回归的概念 .
“回归”一词是由英国生物学家高尔顿（Galton）在遗
传学研究中首先提出的。他发现相对于一定身高的父母，子
女的平均身高有朝向人类平均身高移动或回归的趋势。这就
一元回归
全部y 与其预测值的偏差平方和记为： 全部yi与其预测值的偏差平方和记为：
Q (b0 , b1 ) = ∑ ( y i y i )
i =1
n
2
y = b0 + b1 x
使 Q 值最小问题 — 实际上是一个求极值问题 。 值最小问题— 实际上是一个求极值问题。 根据微积分原理，分别求偏导数且使其等于0 根据微积分原理，分别求偏导数且使其等于0：
y = b 0 + b1 x
表达两个变量（记为x 表达两个变量（记为x，y）之间的关系，利用 之间的关系， x（自变量）来估算y（因变量）； 自变量）来估算y 因变量） b0和b1——待求解的未知参数。 ——待求解的未知参数 待求解的未知参数。
400 350 侵蚀量（t/km2 ） 300 250 200 150 100 50 0 0
安徽岳西某小区土壤流失量与雨量关系图
100
200 300 降雨量（mm）
400
500
构造某种标准－>来评价拟合直线方程的效果； 对所有xi，如yi与其预测值偏差最小，则该直线方程最 优。 为消除偏差正负符合的影响，采用偏差平方和 偏差平方和（离差 偏差平方和 平方和）最小作为标准－最小二乘法 最小二乘法
∑ (y
i =1
n
i
yi )( yi y ) = 0
n n
所以： 所以：
∑( y y) =∑( y y ) + ∑( y y)
2 2 i =1 i i =1 i i i =1 i
n
2
∑ ( y y) =∑ ( y y ) + ∑ ( y y)
2 2 i =1 i i =1 i i i =1 i
相关分析实例：小区实验降雨量－ 相关分析实例：小区实验降雨量－侵蚀量
一元线性回归分析
第二节 一元线性回归分析回归是分析变量之间关系类型的方法，按照变量之间的关系，回归分析分为：线性回归分析和非线性回归分析。
本节研究的是线性回归，即如何通过统计模型反映两个变量之间的线性依存关系。
回归分析的主要内容：1. 从样本数据出发，确定变量之间的数学关系式；2. 估计回归模型参数；3. 对确定的关系式进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出影响显著的变量。
一、一元线性回归模型：一元线性模型是指两个变量x 、y 之间的直线因果关系。
（一）理论回归模型：εββ++=x y 10理论回归模型中的参数是未知的，但是在观察中我们通常用样本观察值),(i i y x 估计参数值10,ββ，通常用10,b b 分别表示10,ββ的估计值，即称回归估计模型：x b b y10ˆ+= 二、模型参数估计：用最小二乘法估计10,b b ：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=∑∑∑∑∑xb y b x x n y x xy n b 10221)( 三．回归系数的含义（2）回归方程中的两个回归系数，其中b0为回归直线的启动值，在相关图上变现为x=0时，纵轴上的一个点，称为y 截距；b1是回归直线的斜率，它是自变量（x ）每变动一个单位量时，因变量（y ）的平均变化量。
（3）回归系数b1的取值有正负号。
如果b1为正值，则表示两个变量为正相关关系，如果b1为负值，则表示两个变量为负相关关系。
四．回归方程的评价与检验：当我们得到一个实际问题的经验回归方程后，还不能马上就进行分析与预测等应用，在应用之前还需要运用统计方法对回归方程进行评价与检验。
进行评价与检验主要是基于以下理由：第一，在利用样本数据估计回归模型时，首先是假设变量y 与x 之间存在着线性关系，但这种假设是否存在需要进行检验；第二，估计的回归方程是否真正描述了变量y 与x 之间的统计规律性，y 的变化是否通过模型中的解释变量去解释需要进行检验等。
一般进行检验的内容有：1.经济意义的检验：利用相关的经济学原理及我们所积累的丰富的经验，对所估计的回归方程的回归系数进行分析与判断，看其能否得到合理的解释。
简单线性相关(一元线性回归分析)
第十三讲简单线性相关（一元线性回归分析）对于两个或更多变量之间的关系，相关分析考虑的只是变量之间是否相关、相关的程度，而回归分析关心的问题是：变量之间的因果关系如何。
回归分析是处理一个或多个自变量与因变量间线性因果关系的统计方法。
如婚姻状况与子女生育数量，相关分析可以求出两者的相关强度以及是否具有统计学意义，但不对谁决定谁作出预设，即可以相互解释，回归分析则必须预先假定谁是因谁是果，谁明确谁为因与谁为果的前提下展开进一步的分析。
一、一元线性回归模型及其对变量的要求（一）一元线性回归模型1、一元线性回归模型示例两个变量之间的真实关系一般可以用以下方程来表示：Y=A+BX+方程中的 A 、B 是待定的常数，称为模型系数，是残差，是以X预测Y 产生的误差。
两个变量之间拟合的直线是：y a bxy 是y的拟合值或预测值，它是在X 条件下 Y 条件均值的估计a 、b 是回归直线的系数，是总体真实直线距，当自变量的值为0 时，因变量的值。
A、B 的估计值， a 即 constant 是截b 称为回归系数，指在其他所有的因素不变时，每一单位自变量的变化引起的因变量的变化。
可以对回归方程进行标准化，得到标准回归方程：y x为标准回归系数，表示其他变量不变时，自变量变化一个标准差单位（ Z XjXj），因变量 Y 的标准差的平均变化。
S j由于标准化消除了原来自变量不同的测量单位，标准回归系数之间是可以比较的，绝对值的大小代表了对因变量作用的大小，反映自变量对Y 的重要性。
（二）对变量的要求：回归分析的假定条件回归分析对变量的要求是：自变量可以是随机变量，也可以是非随机变量。
自变量 X 值的测量可以认为是没有误差的，或者说误差可以忽略不计。
回归分析对于因变量有较多的要求，这些要求与其它的因素一起，构成了回归分析的基本条件：独立、线性、正态、等方差。
（三）数据要求模型中要求一个因变量，一个或多个自变量（一元时为 1 个自变量）。
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数据挖掘工作总结：首先确定数据集，数据的读取多种方式：Matlab:读取时用load test.textTextread():D=textread('D:\2012aMATLAB\R2012a\bin\shuju.txt');[a1,a2,a3,a4]=textread('test1.txt','%s%s%s%s','headerlines',4) 说明：%s可以是其他形式，跟读入的数据类型有关，比如这里也可以用%n,%f等。
这里%s的个数和[a1,a2,a3,a4]对应.C 语言读取时：使用StreamReader和StreamWriter 文件头：using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; using System.IO; StreamReader读取文件：StreamReader objReader = new StreamReader(文件路径); string sLine=""; ArrayList LineList = new ArrayList(); while (sLine != null) {sLine = objReader.ReadLine(); if (sLine != null&&!sLine.Equals("")) LineList.Add(sLine); } objReader.Close(); return LineList; StreamWriter写文件： FileStream fs = new FileStream(文件路径, FileMode.Create); StreamWriter sw = new StreamWriter(fs);通过数据集看用哪几种方法！将这些方法运用的环境是什么？检验变量之间的关系：用：回归分析、时间序列分析、方差分析、判别分析、联合分析、逻辑回归、结构方程模型、以及联列表和相和性分析用于发现数据之间可能关系的方法有：因子分析、聚类分析、多维排序、高维联列表和神经网络。
结构检验的方法：主要进行原因分析。
前提是知道其中的逻辑关系。
回归分析：描述一个因变量和另一个因变量或多个自变量之间的影响关系时间序列分析：描述和解释变量发展的趋势，对变量进行预测，估计未来某个时间段或时间点的值。
方差分析：如果自变量为名义测度，应变量是为基数测度可以使用方差分析。
研究一种产品的不同包装或产品的摆放位置对销量的影响。
判别分析：如果应变量为名义测度，并且自变量是为基数测度可以使用判别分析。
适用于信用评价逻辑回归：与判别分析非常相似的问题也可以用逻辑回归的方法进行研究。
如病人的心肌梗塞风险与他们的年龄以及胆固醇水平之间的关系。
联列表和相合性分析：例如检验吸烟（烟民和非烟民）与肺部疾病（是和否）之间统计的关系问题。
这个检验可以借助于联列表形式的数据进行。
联合分析：找出产品或其他对象的单个特征对对象总效用的贡献。
新产品设计为此方法的一个重要领域，例如不同的材料、形状、颜色或价格水平对效用评价的影响和贡献数值之间的关系非线性回归：估计任意模型结构。
在研究广告效应时，广告记忆与广告联系的数量相关，销量与广告支出的金额相关；对新产品增长率的研究也要用到非线性回归。
结构方程模型：检验多个因变量，多级因果关系和隐性变量之间的关系。
基于选择的联合分析：传统的联合分析可以利用哑变量得到估计值，而在基于选择的联合分析使用最大似然估计。
因子分析使变量压缩或捆绑，而聚类分析最求的对象捆绑。
其目的在于，将对象归于组（类）中，使一组中的对象尽可能相似，而组与组之间尽可能异常。
神经网络：主要用于对象的分类。
多维排序：主要用于定位分析。
在没有或大致了解哪些特征与主观评价对象（例如：产品品牌，企业和政治家）相关时，研究者尤其偏好于使用MDS多维排序一元线性回归function yyxxhgx=[];y=[];plot(x,y,'*')xlabel('职工工资总额')ylabel('商品零售总额')%计算最佳参数lxx=sum((x-mean(x)).^2);lxy=sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));b1=lxy/lxx;b0=mean(y)-b1*mean(x);%多项式拟合p=polyfit(x,y,n)[p,s]=ployfit(x,y,n)%多项式回归模型的预测及其置信区间y=ployval(p,x0);[Y,Delta]=polyconf(p,x0,s,alpha)拟合回归界面function nhhgjmx=[1,2,3,4,5,6,7,1,2,4,35,6];y=[2,3,4,6,2,4,3,9,6,8,43,1];polytool(x,y,3,0.05)非线性回归：function fxxhg%非线性拟合命令[beta,r,J]=nlinfit(x,y,'model',beta0);%利用inline定义范数model,方法如下：fun=inline('f(x)','参变量','x')%非线性回归预测命令为nlpredic,其调用格式为：ypred=nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J);一元回归：首先：（1）作散点图。
根据散点图拟合出相对应函数的曲线。
（2）建立直线回归方程。
估计出回归函数后，应该先检验决定系数的显著水平。
若未达到显著的检验结果，则必须否定整个回归方程。
接着，应该分别检验各回归系数，在逻辑上检验符号，在统计上检验显著水平。
直到检验求得的回归方程是否遵守线性回归模型的前提。
可能要从方程中剔除变量或选入新的变量。
直到满足前提。
（3）误差估计与可决系数。
（主要运用最小二乘的思想，找出真实值与估计值差值的平方，估计出系数。
）（4）回归方程关系显著性的F检验。
（5）回归关系显著的T检验。
（6）预测。
例如：X=[];Y=[];Plot(x,y,’*’)Xlabel(‘x()’);Ylabel(‘y()’);(2)N=size(x,1);[p,s]=polyfit(x,y,1);Y1=polyval(p,x);Hold onplot(x,y1);(3)TSS=sum((y-mean(y)).^2)RSS=sum((y1-mean(y)).^2)ESS=sum((y-y1).^2)R2=RSS/TSS;(4)F=(n-2)*RSS/ESSF1=finv(0.95,1,n-2)F2=finv(0.99,1,n-2)(5)T=p(2)/sqrt(ESS/(n-2))*sqrt(sum((x-mean(x)).^2)) T1=tinv(0.975,n-2);T2=tinv(0.995,n-2);(6)X1=[]; %测试数据Yc=polyval(p,x1)[y,delta]=polyconf(p,x1,s);I1=[y-delta,y+delta];%在程序中加入：Polytool(x,y)Bar(x,y-y1);Legend(‘残差’)H=lillietest(y-y1)%残差正态性检验例如：销量价格拜访次数支出2585.00 12.50 109.0 2000.001819.00 10.00 107.0 550.001647.00 9.95 99.0 100.001496.00 11.50 70.0 800.00921.00 12.00 81.0 1182.322278.00 10.00 102.0 1500.001810.00 8.00 110.0 800.001967.00 9.00 92.0 1200.001612.00 9.50 87.0 1100.001913.00 12.50 79.0 1300.002118.00 8.50 91.8 1550.001438.00 12.00 91.6 550.001834.00 9.50 91.4 1980.001869.00 9.00 91.3 1600.001574.00 7.00 91.1 500.002597.00 11.00 90.9 2000.002026.00 10.00 90.8 1680.002016.00 9.50 90.6 1700.001566.00 10.00 65.0 1400.002169.00 13.00 90.0 1800.001996.00 11.00 76.0 1600.002501.00 8.00 89.0 2000.002604.00 8.50 108.0 1800.00通过分析再到回归，再到线性，确定因变量，自变量的销售波动由这三个自变量解释，这对于此类市场研究而说明了F检验，在回归regression这行，先给出由回归模型解释的标准差（平方和），旁边是自由度和已解释的方差，F=23.864将此值与F分布表的值查出，算的实际F 与理论F比较大于，因而是高度显著，拒绝原假设。
在实际spss中上述犯错概率即实际F值的显著水平，在显著这列给出。
这里，改值为0.00，因而不存在是否接受的问题。
Coefficients aSpss程序中，在讲各自变量写入回归方程前，都要先检查其容许度。
若容许度低于0.0001的临界值，则自变量不能记入方程。
该临界值可有用户更改，不过，它不能预防共线性，只能保证回归分析的计算可行性。
得到结果销量=718.247-43.837*价格+0.483*支出+10.922*拜访次数多元回归基本步骤：（1）对问题进行直观分析，选择因变量与解释变量，做出因变量与各解释变量的散点图，决定设定多元线性回归模型的参数个数。
（2）输入因变量与自变量的观测数据（y,x）,调用命令为：[b,bint,r,rint,s]=regress(y,x,alpha)计算参数的估计。
（3）调用命令rcoplot(r,rint),分析数据的异常点情况。
（4）作显著性检验，若通过，则对模型作预测。
（5）对模型进一步研究，如残差的正态性检验，残差的异方差检验，残差的自相关性检验等。
多元回归建模命令多元回归建模命令为regeress,其调用格式有一下三种：b=regress(y,x),[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)第三种方式称为全参数方式。
其中输入参数：输入量Y表示模型中因变量的观测值（y1,y2,y3,…yn）的转置；x是一个nx(p+1)的矩阵，其中第一列元全部是数1，其余为x的向量，对于一元线性回归，取p=1即可，alpha为显著水品（默认值为0.05）输出参数：输出向量b为回归系数估计值，bint为回归系数的（1-alpha）置信区间；输出向量r 表示残差列向量，输出量rint为模型的残差的（1-alpha）的置信区间；输出量stats是用于检验回归模型的统计量，有4个分量值：第一个是R平方，其中R是相关系数；第二个是F统计量值；第三个是与统计量F对应的概率P，当P<alpha时拒绝H，即认为线性回归模型有意义；第四个是方差sigemad的无偏估计。