单片机C语言求平方根函数

转自：/article/304.html
在单片机中要开平方.可以用到下面算法:
算法1:
本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现，因为它不需要浮点运算，也不需要乘除运算，因此可以很方便地运用到各种芯片上去。

我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。

先看下面两个算式，
x = 10*p + q (1)
公式(1)左右平方之后得：
x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)
现在假设我们知道x^2和p，希望求出q来，求出了q也就求出了x^2的开方x了。

我们把公式(2)改写为如下格式：
q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)
这个算式左右都有q，因此无法直接计算出q来，因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。

我们来一个手工计算的例子：计算1234567890的开方
首先我们把这个数两位两位一组分开，计算出最高位为3。

也就是(3)中的p，最下面一行的334为余数，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值
3 --------------- | 12 3
4 56 78 90 9 --------------- | 3 34
下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。

我们先把p乘以20写在334左边：
3 q --------------- | 12 3
4 56 78 90 9 --------------- 6q| 3 34
我们看到q为5时(60+q*q)的值最接近334，而且不超过334。

于是我们得到：
3 5 --------------- | 12 3
4 56 78 90 9 --------------- 65| 3 34 | 3
25 --------------- 9 56
接下来就是重复上面的步骤了，这里就不再啰嗦了。

这个手工算法其实和10进制关系不大，因此我们可以很容易的把它改为二进制，改为二进制之后，公式(3)就变成了：
q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)
我们来看一个例子，计算100(二进制1100100)的开方：
1 0 1 0 --------------- | 1 10 01 00 1 --------------- 100| 0 10 | 0
00 --------------- | 10 011001| 10 01 --------------- 0 00
这里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移两位，而由于q的值只能为0或者1，所以我们只需要判断余数(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小关系，如果余数大于等于(4*p+q)那么该上一个1，否则该上一个0。

下面给出完成的C语言程序，其中root表示p，rem表示每步计算之后的余数，divisor表示(4*p+1)，通过a>>30取a的最高2位，通过a<<=2将计算后的最高2位剔除。

其中root的两次<<1相当于4*p。

程序完全是按照手工计算改写的，应该不难理解。

unsigned short sqrt(unsigned long a){
unsigned long rem = 0;
unsigned long root = 0;
unsigned long divisor = 0;
for(int i=0; i<16; i++){
root <<= 1;
rem = ((rem << 2) + (a >> 30));
a <<= 2;
divisor = (root<<1) + 1;
if(divisor <= rem){
rem -= divisor;
root++;
}
}
return (unsigned short)(root);
}
算法2 :单片机开平方的快速算法
因为工作的需要，要在单片机上实现开根号的操作。

目前开平方的方法大部分是用牛顿
迭代法。

我在查了一些资料以后找到了一个比牛顿迭代法更加快速的方法。

不敢独享，介
绍给大家，希望会有些帮助。

1.原理
因为排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B[0]，B[1]，...，B[m-1]表示一个序列，其中[x]为下标。

假设：
B[x],b[x]都是二进制序列,取值0或1。

M = B[m-1]*pow(2,m-1) + B[m-2]*pow(2,m-2) + ... + B[1]*pow(2,1) + B[0]*pow
(2,0)
N = b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-2]*pow(2,n-2) + ... + b[1]*pow(2,1) + n[0]*pow
(2,0)
pow(N,2) = M
(1) N的最高位b[n-1]可以根据M的最高位B[m-1]直接求得。

设m 已知,因为pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以pow(2, (m-1)/2) <= N <=
pow(2, m/2)
如果m 是奇数，设m=2*k+1,
那么pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果m 是偶数，设m=2k,
那么pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b[n-1]完全由B[m-1]决定。

余数M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2)
(2) N的次高位b[n-2]可以采用试探法来确定。

因为b[n-1]=1，假设b[n-2]=1，则pow(b[n-1]*pow(2,n-1) + b[n-1]*pow(2,n-2),
2) = b[n-1]*pow(2,2*n-2) + (b[n-1]*pow(2,2*n-2) + b[n-2]*pow(2,2*n-4)),
然后比较余数M[1]是否大于等于(pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4)。

这种
比较只须根据B[m-1]、B[m-2]、...、B[2*n-4]便可做出判断，其余低位不做比较。

若M[1] >= (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设有效，b[n-2] =
1；
余数M[2] = M[1] - pow(pow(2,n-1)*b[n-1] + pow(2,n-2)*b[n-2], 2) = M[1] -
(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；
若M[1] < (pow(2,2)*b[n-1] + b[n-2]) * pow(2,2*n-4), 则假设无效，b[n-2] =
0；余数M[2] = M[1]。

(3) 同理，可以从高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

使用这种算法计算32位数的平方根时最多只须比较16次，而且每次比较时不必把M的各位逐一比较，尤其是开始时比较的位数很少，所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。

2. 实现代码
这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的C语言代码。

-------------------------------------------------------------------------------
-
/****************************************/
/*Function: 开根号处理*/
/*入口参数：被开方数，长整型*/
/*出口参数：开方结果，整型*/
/****************************************/
unsigned int sqrt_16(unsigned long M)
{
unsigned int N, i;
unsigned long tmp, ttp; // 结果、循环计数
if (M == 0) // 被开方数，开方结果也为0 return 0;
N = 0;
tmp = (M >> 30); // 获取最高位：B[m-1]
M <<= 2;
if (tmp > 1) // 最高位为1
{
N ++; // 结果当前位为1，否则为默认的0
tmp -= N;
}
for (i=15; i>0; i--) // 求剩余的15位
{
N <<= 1; // 左移一位
tmp <<= 2;
tmp += (M >> 30); // 假设
ttp = N;
ttp = (ttp<<1)+1;
M <<= 2;
if (tmp >= ttp) // 假设成立
{
tmp -= ttp;
N ++;
}
}
return N;
}。