第七章 最小多项式
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定义： 设 A P nn , 在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.
二、最小多项式的基本性质
1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 g1( x), g2( x) 都是A的最小多项式. 由带余除法，g1( x) 可表成
g1( x) q( x)g2( x) r( x) 其中 r( x) 0 或 (r( x)) ( g2( x)).
| E B | ( x 1)2( x 2)2
即 | E A || E B | . 所以，A与B不相似.
5.（引理3）设A是一个准对角矩阵
A
A1 0
0 A2
并设 A1, A2 的最小多项式分别为 g1( x), g2( x).
则A的最小多项式为 g1( x), g2( x)的最小公倍式.
0
0
(J
aE
)k 1
MO 0 10
O L
0
0.
J 的最小多项式为 ( x a)k .
6.（定理13） A Pnn与对角矩阵相似 A 的最小多项式是P上互素的一次因式的积.
证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系，
a
的最小多项式为 ( x a)k .
证：J的特征多项式为 ( x a)k (J aE)k 0.
而
0
1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
J
aE
10 OO
0,
O
O 1
0
0
0 0
(J
aE )2
1
0 O
0 O
O
0,
LLLLL
O
O 1
O 0
零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵.
1 1 0
例2、求
A
0 0
1 0
0 1
的最小多项式.
解：A的特征多项式为
x 1 1 0 f ( x) | xE A | 0 x 1 0 ( x 1)3
0 0 x1
证：记 g( x) [g1( x), g2( x)]
首先，
g(
A)
g( A1) 0
0 g( A2
)
0
即A为 g( x) 的根.
所以 g( x) 被A的最小多项式整除. 其次，如果 h( A) 0,
则
h(
A)
h( A1 0
)
0 h( A2
)
0
从而 h( A1) 0, h( A2 ) 0.
设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A， 则 的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 g( x), 则 g( )(V ) 0.
若 g( x)为P上互素的一次因式的乘积： g( x) ( x a1)( x a2 )...( x as )
则 V V1 V2 ... VS ,
g1( x) h( x), g2( x) h( x).
从而 g( x) h( x).
故 g( x)为A的最小多项式.
推广： 若A是一个准对角矩阵
A1
A2
O
As
且 Ai 的最小多项式为 gi ( x), i 1, 2,..., s
则A的最小多项式是为 [g1( x), g2( x),..., gs ( x)].
其中 Vi { | V ,( ai E)( ) 0}.
把 V（1,此V2结,L论,V的S各证自明的步基骤合同起定来理就12是）V的一组基.
在这组基中，每个向量都属于某个 Vi ， 即是 的 特征向量. 所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.
从而A相似于对角矩阵.
8. A C nn与对角矩阵相似 A 的最小多项式没有重根.
特别地，若 g1( x), g2( x),..., gs ( x) 两两互素，即
g1( x), g2( x),..., gs ( x) 1
则A的最小多项式是为 g1( x)g2( x)...gs ( x).
6.（引理4）k 级若当块
a
1 a
J
1O OO
O
O 1
注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.
如：
1 1 0 0
1 1 0 0
A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 2
,
B
0 0 0
1 0 0
0 2 0
0
0 2
的最小多项式皆为( x 1)2( x 2), 但A与B不相似.
Q | E A | ( x 1)3( x 2),
于是有
g1( A) q( A)g2( A) r( A) 0 r( A) 0 由最小多项式的定义， r( x) 0,
即， g2( x) g1( x).
同理可得， g1( x) g2( x).
g1( x) cg2( x), c 0 又 g1( x), g2( x) 都是首1多项式, 故 g1( x) g2( x).
c 1
2.（引理2）设 g( x)是矩阵A的最小多项式，则 f ( x) 以A为根 g( x) f ( x).
证：充分性显然，只证必要性 由带余除法，f ( x)可表成
f ( x) q( x)g( x) r( x), 其中 r( x) 0 或 (r( x)) (g( x)). 于是有 f ( A) q( A)g( A) r( A) 0 r( A) 0
而
A( A nE) 0.
A 的最小多项式为 x( x n).
练习：
1 1 L 1
求矩阵
A
1 L1
1 L 1
L L L
1
L 1
的最小多项式.
解： 的特征多项式
x 1 1 L 1
f ( x) | E AE |
1 L
x1 L LL
1
1 1 L x 1
( x n)xn1
又 A 0, A nE 0, A2 0
由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使 B T 1AT . 从而 gA(B) gA(T 1AT ) T 1gA( A)T 0 gA( x) 也以B为根， 从而 gB ( x) gA( x).
同理可得 gA( x) gB ( x). 又 gA( x), gB ( x)都是首1多项式， gA( x) gB ( x).
是A的特征多项式，则 f ( A) 0. 因此，对任定一个矩阵 A Pnn，总可以找到一个
多项式 f ( x) P[x], 使 f ( A) 0. 此时，也称 多项式 f ( x) 以A为根.
本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系.
一、最小多项式的定义
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义 二、最小多项式的基本性质
引入
由哈密尔顿―凯莱定理，A Pnn, f ( ) | E A |
又 A E 0,
( A E)2 A2 2A E
1 2 0 2 2 0 1 0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
2 0
0 2
0 0
1 0
0 1
0
∴ A的最小多项式为 ( x 1)2.
4. 相似矩阵具有相同的最小多项式.
证：设矩阵A与B相似，gA( x), gB ( x)分别为它们的 最小多项式.
由最小多项式的定义， r( x) 0. g( x) f ( x). 由此可知： 若 g( x)是A的最小多项式，则 g( x)整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子.
例1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 x k; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x 1 ；
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.
二、最小多项式的基本性质
1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 g1( x), g2( x) 都是A的最小多项式. 由带余除法，g1( x) 可表成
g1( x) q( x)g2( x) r( x) 其中 r( x) 0 或 (r( x)) ( g2( x)).
| E B | ( x 1)2( x 2)2
即 | E A || E B | . 所以，A与B不相似.
5.（引理3）设A是一个准对角矩阵
A
A1 0
0 A2
并设 A1, A2 的最小多项式分别为 g1( x), g2( x).
则A的最小多项式为 g1( x), g2( x)的最小公倍式.
0
0
(J
aE
)k 1
MO 0 10
O L
0
0.
J 的最小多项式为 ( x a)k .
6.（定理13） A Pnn与对角矩阵相似 A 的最小多项式是P上互素的一次因式的积.
证：由引理3的推广，必要性显然. 只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系，
a
的最小多项式为 ( x a)k .
证：J的特征多项式为 ( x a)k (J aE)k 0.
而
0
1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
J
aE
10 OO
0,
O
O 1
0
0
0 0
(J
aE )2
1
0 O
0 O
O
0,
LLLLL
O
O 1
O 0
零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵.
1 1 0
例2、求
A
0 0
1 0
0 1
的最小多项式.
解：A的特征多项式为
x 1 1 0 f ( x) | xE A | 0 x 1 0 ( x 1)3
0 0 x1
证：记 g( x) [g1( x), g2( x)]
首先，
g(
A)
g( A1) 0
0 g( A2
)
0
即A为 g( x) 的根.
所以 g( x) 被A的最小多项式整除. 其次，如果 h( A) 0,
则
h(
A)
h( A1 0
)
0 h( A2
)
0
从而 h( A1) 0, h( A2 ) 0.
设V上线性变换 在某一组基下的矩阵为A， 则 的最小多项式与A的最小多项式相同,设为 g( x), 则 g( )(V ) 0.
若 g( x)为P上互素的一次因式的乘积： g( x) ( x a1)( x a2 )...( x as )
则 V V1 V2 ... VS ,
g1( x) h( x), g2( x) h( x).
从而 g( x) h( x).
故 g( x)为A的最小多项式.
推广： 若A是一个准对角矩阵
A1
A2
O
As
且 Ai 的最小多项式为 gi ( x), i 1, 2,..., s
则A的最小多项式是为 [g1( x), g2( x),..., gs ( x)].
其中 Vi { | V ,( ai E)( ) 0}.
把 V（1,此V2结,L论,V的S各证自明的步基骤合同起定来理就12是）V的一组基.
在这组基中，每个向量都属于某个 Vi ， 即是 的 特征向量. 所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵.
从而A相似于对角矩阵.
8. A C nn与对角矩阵相似 A 的最小多项式没有重根.
特别地，若 g1( x), g2( x),..., gs ( x) 两两互素，即
g1( x), g2( x),..., gs ( x) 1
则A的最小多项式是为 g1( x)g2( x)...gs ( x).
6.（引理4）k 级若当块
a
1 a
J
1O OO
O
O 1
注：反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.
如：
1 1 0 0
1 1 0 0
A
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 2
,
B
0 0 0
1 0 0
0 2 0
0
0 2
的最小多项式皆为( x 1)2( x 2), 但A与B不相似.
Q | E A | ( x 1)3( x 2),
于是有
g1( A) q( A)g2( A) r( A) 0 r( A) 0 由最小多项式的定义， r( x) 0,
即， g2( x) g1( x).
同理可得， g1( x) g2( x).
g1( x) cg2( x), c 0 又 g1( x), g2( x) 都是首1多项式, 故 g1( x) g2( x).
c 1
2.（引理2）设 g( x)是矩阵A的最小多项式，则 f ( x) 以A为根 g( x) f ( x).
证：充分性显然，只证必要性 由带余除法，f ( x)可表成
f ( x) q( x)g( x) r( x), 其中 r( x) 0 或 (r( x)) (g( x)). 于是有 f ( A) q( A)g( A) r( A) 0 r( A) 0
而
A( A nE) 0.
A 的最小多项式为 x( x n).
练习：
1 1 L 1
求矩阵
A
1 L1
1 L 1
L L L
1
L 1
的最小多项式.
解： 的特征多项式
x 1 1 L 1
f ( x) | E AE |
1 L
x1 L LL
1
1 1 L x 1
( x n)xn1
又 A 0, A nE 0, A2 0
由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使 B T 1AT . 从而 gA(B) gA(T 1AT ) T 1gA( A)T 0 gA( x) 也以B为根， 从而 gB ( x) gA( x).
同理可得 gA( x) gB ( x). 又 gA( x), gB ( x)都是首1多项式， gA( x) gB ( x).
是A的特征多项式，则 f ( A) 0. 因此，对任定一个矩阵 A Pnn，总可以找到一个
多项式 f ( x) P[x], 使 f ( A) 0. 此时，也称 多项式 f ( x) 以A为根.
本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系.
一、最小多项式的定义
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核
§2 线性变换的运算 §7不变子空间
§3 线性变换的矩阵 §8 若当标准形简介
§4 特征值与特征向量 §9 最小多项式
§5 对角矩阵
小结与习题
§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义 二、最小多项式的基本性质
引入
由哈密尔顿―凯莱定理，A Pnn, f ( ) | E A |
又 A E 0,
( A E)2 A2 2A E
1 2 0 2 2 0 1 0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
2 0
0 2
0 0
1 0
0 1
0
∴ A的最小多项式为 ( x 1)2.
4. 相似矩阵具有相同的最小多项式.
证：设矩阵A与B相似，gA( x), gB ( x)分别为它们的 最小多项式.
由最小多项式的定义， r( x) 0. g( x) f ( x). 由此可知： 若 g( x)是A的最小多项式，则 g( x)整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子.
例1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 x k; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x 1 ；