第二章 信号与噪声分析-确知信号
合集下载
ch2-信号与噪声分析
（2.3-2）
式中 P(xi )(i 1, 2,3, ) ，是随机变量X取值为xi 的概率。
31
2、概率密度函数
对于连续随机变量X ，其分布函数 F(x) 对于一个非负函数 f (x) 有下式成立:
x
F (x) f (u)du f (x) dF(x) dx
（2.3-3） （2.3-4）
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
由以上两式可见，互相关函数反映了一 个信号与另一个延迟τ秒后的信号间相关 的程度。需要注意的是，互相关函数和 两个信号的前后次序有关，即有
R21( ) R12 ( )
23
24
25
26
27
28
29
2.3 随机变量的统计特征
E(X ) xf (x)dx
（2.3-13）
式中， f (x)为随机变量X的概率密度。
38
2、方差
方差反映随机变量的取值偏离均值的程度。方差定义 为随机变量X与其数学期望E(X ) 之差的平方的数学期 望。即
D[X ] E X E(X )2
（2.3-18）
39
2.4随机过程的一般表述
37
1、数学期望 数学期望（简称均值）是用来描述随机变量X的统计平
均值，它反映随机变量取值的集中位置。
对于离散随机变量X，设 P(xi )(i 1, 2, , k) 是其取值 xi的概率，则其数学期望定义为
k
E( X ) xi P(xi ) i 1
（2.3-12）
对于连续随机变量X，其数学期望定义为
2.4.1 随机过程的概念
第2章 确知信号分析
{
x1 ( t ) → y1 ( t ) x2 ( t ) → y 2 ( t )
⇒ [ x1 (t ) + x2 (t )] → [ y1 (t ) + y2 (t )]
（一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 非线性系统： 非线性系统：凡是不满足叠加定理的系统
F (ω ) = T0 V n
F (ω )
：谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。 谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。
3）矩形脉冲的频谱函数；门函数的频谱函数 ）矩形脉冲的频谱函数；
τ τ A − <t< 2 2 f (t ) = τ τ 0 t < − , t > 2 2
2）时不变和时变系统 ） 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 ）：
{
y ( t ) = f [ x ( t )] y ( t −t 0 ) = f [ x ( t −t 0 )]; −∞ <t ,t 0 < ∞
时变系统（变参/随参系统）： 随参系统）： 时变系统（变参 随参系统 3）物理可实现和物理不可实现系统 ） 物理可实现系统： 物理可实现系统：系统的响应不可能在加上激励以前出现 物理不可实现系统： 物理不可实现系统：
F (ω) = F [ f (t )]
付氏正变换 付氏反变换
f (t ) = F −1 [ F (ω)]
或者记为： 或者记为： F (ω) ↔ f (t ) ， f (t ) ↔ F (ω)
2） (ω ) 与 Vn 、 Cn ） F
的关系
1 Vn = T0
第2章确知信号
当 = 0时，R(0)等于信号的能量：
R(0) s 2 (t)dt E
R()是 的偶函数
(2.3-2)
R( ) R( )
(2.3-3)
自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换：
S( f ) 2 R( )e j2f d
R( ) S ( f ) 2 e j2f df
第2章 确知信号
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
周期信号： s(t) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限，
0 E s2 (t)dt
功率信号：功率有限
归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
1e j 0t
2
e 1 j 0t
2
[( 0) ( 0)]
S( f )
1 [ ( f
2
f0) ( f
f0 )]
t
(a) 波形
－f0
0
f0
(b) 频谱密度
第2章 确知信号 量纲分析：
2.2.3 能量信号的能量谱密度
S(ω) → V/Hz
定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理
S(ω) 2 → V/Hz2
P 1
T0
T0 / 2 s 2 (t)dt
T0 / 2
Cn
n
2
式中 |Cn|2 －第n次谐波的功率
利用函数可将上式表示为
P
Cn
2(f
nf0 )df
(2.2-45) (2.2-46) (2.2-47)
上式中的被积因子就是周期信号的功率谱密度P(f)，即
第2章随机信号与噪声
●随机过程：尽管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机 的，但它们具有一定的统计规律。从统计学的观点看，均可 表示为随机过程。
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时
间函数描述。
统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分
析中来。
2021/5/12
通信原理
3
பைடு நூலகம்
第2章 随机信号与噪声分析
2021/5/12
通信原理
5
第2章 随机信号与噪声分析
x1 (t)
角度1：对应不同随机试验结
果的时间过程的集合。
x2 (t)
角度2：随机过程是随机变量
概念的延伸。
xn (t)
讨论：
t1
t2
t
图 2- 1 n图 图 图 图 图 图 图 图 图
●在任一给定时刻t1上，每一个样本函数xi (t)都有一个确定的
●全部随机函数的集合－－随 机过程：
X(t) ={x1(t), x2(t), …, xn(t)} ●每一条曲线xi(t)都是随机过 程的一个实现/样本－－为确 定的时间函数。
角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
●在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值x(t1) ，发现 他们的值是不同的－－ 是一个随机量（随机变量）。
过程。
意义： ●具有各态历经性平稳随机过程－－十分有趣，非常有用。 ●通信系统中所遇到的信号与噪声，大多数可视为平稳、具 有各态历经性的随机过程。
2021/5/12
通信原理
21
第2章 随机信号与噪声分析
2.3.2 平稳随机过程的各态历经性
●问题的提出 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的 所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量 的样本。 问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平 稳过程的数字特征呢?
信号与噪声
f (t ) f (t nT ), n 0, 1, 2. 3,, t （2. 1）
式中，为的周期，是满足式（2.1）条件 的最小时段。非周期信号是不具有重复 性的信号。
《通信原理课件》
2.1.3
功率信号与能量信号
如果一个信号在整个时间域 （ , ）内都存在，因此它 具有无限大的能量，但其平均功 率是有限的，我们称这种信号为 功率信号。
R12 ( ) f1 (t ) f 2 (t )dt
（2.28）
两个功率信号 函数定义为
《通信原理课件》
f1 (t )和
f 2 (t ) 的互相关
1 T R12 ( ) lim 2T f1 (t ) f 2 (t )dt T T 2
E
f (t )
f (t )dt
2
也可以从频域的角度来研究信号的 能量由于 1
2
F ( )e jt d
《通信原理课件》
所以信号的能量可写成
（2.30） F ( )e jt d dt 1 f (t )e jt dt d 1 F ( )F ( )d 1 F ( ) 2 d F ( ) 2 2 2 E
2
FT 1 T/ 2 2 1 P lim f (t)dt Tlim T dω T T T/ 2 2π
（2.33）
《通信原理课件》
F 式中，T ( ) 是 f (t )的截短函数 fT (t ) 的 频谱函数。 类似能量谱密度的定义，单位频带 内信号的平均功率定义为功率谱密度 （简称功率谱），单位：瓦/赫，用 Pf 来表示。
式中，为的周期，是满足式（2.1）条件 的最小时段。非周期信号是不具有重复 性的信号。
《通信原理课件》
2.1.3
功率信号与能量信号
如果一个信号在整个时间域 （ , ）内都存在，因此它 具有无限大的能量，但其平均功 率是有限的，我们称这种信号为 功率信号。
R12 ( ) f1 (t ) f 2 (t )dt
（2.28）
两个功率信号 函数定义为
《通信原理课件》
f1 (t )和
f 2 (t ) 的互相关
1 T R12 ( ) lim 2T f1 (t ) f 2 (t )dt T T 2
E
f (t )
f (t )dt
2
也可以从频域的角度来研究信号的 能量由于 1
2
F ( )e jt d
《通信原理课件》
所以信号的能量可写成
（2.30） F ( )e jt d dt 1 f (t )e jt dt d 1 F ( )F ( )d 1 F ( ) 2 d F ( ) 2 2 2 E
2
FT 1 T/ 2 2 1 P lim f (t)dt Tlim T dω T T T/ 2 2π
（2.33）
《通信原理课件》
F 式中，T ( ) 是 f (t )的截短函数 fT (t ) 的 频谱函数。 类似能量谱密度的定义，单位频带 内信号的平均功率定义为功率谱密度 （简称功率谱），单位：瓦/赫，用 Pf 来表示。
第二章1信号与噪声课件
复信号如果信号的取值为复数，则称此类信号为 复值信号，简称复信号。
9
2.信号的分类
▪ 时间连续信号与时间离散信号
根据数学上连续与离散的概念区分连续信号与离散 信号。 为时间的连续函数时，称为“连续信号” 。 在时间上离散时，称为“离散信号”。
▪ 模拟信号与数字信号
取值是连续的或取无穷多个值，称为模拟信号。 在时间上和取值上都离散，称为数字信号。
15
2.信号的分类
▪ 普通信号与奇异信号 若信号本身有不连续点，其导数或高阶导数出现奇 异值，而且不能以普通函数的概念来定义，则称此 类信号为奇异信号，反之，则称为普通信号。
16
3.普通信号
▪ 正弦信号
正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差 ，经常统 称为正弦信号，其表达式一般写作 f (t) K sin(t )
▪ 单位斜变信号是理想信号，是不可实现的。现实中常见的充电 过程可以理想化地表示为截顶的单位斜变信号
s s
22
4.奇异信号
▪ 单位阶跃信号
单位阶跃信号u(t)的函数表达式为 ▪ 其波形为：
单位阶跃信号
延时的单位阶跃信号
▪ 单位阶跃函数的物理背景是，在t=0时刻对某一路电 路接入单位电源，并且无限持续下去。(开关开合过 程)
E f 2 (t) dt
▪ 能量信号 信号能量为有限值，全部时间的平均功率为0的
信号。
▪ 功率信号 具有无限的能量，但它的平均功率为有限值的周期
信号。
周期信号的归一化平均功率（简称功率）－周期信号在单位电
阻上所消耗功率的平均值。其瞬时功率等于| f ( t )|2，在周期T
内的平均功率为
P
t
特点：
(1) Sa函数是偶函数 (2) 过零区间宽度 (3) Sa函数过零位置
9
2.信号的分类
▪ 时间连续信号与时间离散信号
根据数学上连续与离散的概念区分连续信号与离散 信号。 为时间的连续函数时，称为“连续信号” 。 在时间上离散时，称为“离散信号”。
▪ 模拟信号与数字信号
取值是连续的或取无穷多个值，称为模拟信号。 在时间上和取值上都离散，称为数字信号。
15
2.信号的分类
▪ 普通信号与奇异信号 若信号本身有不连续点，其导数或高阶导数出现奇 异值，而且不能以普通函数的概念来定义，则称此 类信号为奇异信号，反之，则称为普通信号。
16
3.普通信号
▪ 正弦信号
正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差 ，经常统 称为正弦信号，其表达式一般写作 f (t) K sin(t )
▪ 单位斜变信号是理想信号，是不可实现的。现实中常见的充电 过程可以理想化地表示为截顶的单位斜变信号
s s
22
4.奇异信号
▪ 单位阶跃信号
单位阶跃信号u(t)的函数表达式为 ▪ 其波形为：
单位阶跃信号
延时的单位阶跃信号
▪ 单位阶跃函数的物理背景是，在t=0时刻对某一路电 路接入单位电源，并且无限持续下去。(开关开合过 程)
E f 2 (t) dt
▪ 能量信号 信号能量为有限值，全部时间的平均功率为0的
信号。
▪ 功率信号 具有无限的能量，但它的平均功率为有限值的周期
信号。
周期信号的归一化平均功率（简称功率）－周期信号在单位电
阻上所消耗功率的平均值。其瞬时功率等于| f ( t )|2，在周期T
内的平均功率为
P
t
特点：
(1) Sa函数是偶函数 (2) 过零区间宽度 (3) Sa函数过零位置
信号与噪声分析
信号与噪声分析确知信号分析1、周期信号的傅里叶级数任何一个周期为T 的周期信号)(t f ，只要满足狄里赫利条件，则可展开为傅里叶级数0()jn tnn f t F eω∞=-∞=∑ （2-1）式中，⎰--=2/2/0)(1T T t jn n dt e t f T F ω (0,1, 2.3,,n =±±±)；000a c F ==; 2nj n n c F e ϕ-=(称为复振幅)；*2nj n n n c F e F ϕ-==（是n F 的共轭）。
一般地，n F 是一个复数，由n F 确定周期信号)(t f 的第n 次谐波分量的幅度，它与频率之间的关系图形称为信号的幅度频谱。
由于它不连续，仅存在于0ω的整数倍处，故这种频谱是离散谱。
许多情况下，利用信号的频谱进行分析比较直观方便。
2、非周期信号的傅里叶变换ωωπωd e F t f t j ⎰∞∞-=)(21)( （2-2）⎰∞∞--=dt et f F tj ωω)()( （2-3）式（2-2）和式（2-3）分别称为傅里叶正变换和傅里叶反变换，两式称为)(t f 傅里叶变换对，表示为)()(ωF t f ⇔ 信号的傅里叶变换具有一些重要的特性，灵活运用这些特性可较快地求出许多复杂信号的频谱密度函数，或从谱密度函数中求出原信号，因此掌握这些特性是非常有益的。
其中较为重要且经常用到的一些性质和傅里叶变换对见附录二。
3、卷积与相关函数 （1）、卷积设有函数)(1t f 和)(2t f ，称积分⎰∞∞--τττd t f f )()(21为)(1t f 和)(2t f 的卷积，常用)()(21t f t f *表示，即121221()()()()()()f t f t f f t d f f t d ττττττ∞-∞∞-∞*=-=-⎰⎰（2-4）时域卷积定理：令)()(11ωF t f ⇔，)()(22ωF t f ⇔，则有)()()()(2121ωωF F t f t f ⇔* （2-5） 频域卷积定理：令)()(11ωF t f ⇔，)()(22ωF t f ⇔，则有[])()(21)()(2121ωωπF F t f t f *⇔（2-6） （2）、相关函数信号之间的相关程度，通常采用相关函数来表征，它是衡量信号之间关联或相似程度的一个函数。
第2章-信号与噪声
coscE[cos2 (ct )]sincE[cos ( ct )sin(ct
coscE[1
cos2(ct
2
)] sincE[sin2(2ct
)]
1 2
cosc
1 2
cosc
2
0
cos2(ct
)
1
2
d
1 2
sinc
2
0
sin2(ct
)
1
2
d
（4）平稳随机过程的遍历性
设X( t )是一个平稳随机过程，如果它的统计平均可用时间平均来代 替，它的统计方差可用时间方差来代替，它的统计自相关函数也可 用时间自相关函数来代替，则称该平稳随机过程具有遍历性（各态 历经）。
信号分类（续）
能量信号和功率信号
功率：电压u(t)或电流i(t)在电阻R上的瞬时功率。
其归一化功率为：p（t）=f2（t），其中f（t）为电压或电流信号。
能量：功率对时间的积分。
P=0 E=∞
能量信号：指的是一个有界的、持续时间有限的信号， 信号能量为有限值，全部时间的平均功率为零。
时间平均：随机过程X( t )的某一特定实现，对时间求平均。设x( t )是随 机过程X( t )的一个典型的样本函数。
1）平均值（直流分量）m x A [x ( t) ]T l i T 1 m T T // 2 2 x ( t) d
2）均方值（总平均功率）
A [x 2 (t) ]lim 1T /2x 2 (t)dt
f(t)f1(t)f2(t)
（2）相关 设两个信号f1(
t
)和f2(
t
)
，
R 12() f1 (t)f2(t)dt
R 21() f2 (t)f1(t)dt
信号与噪声
2
T/2
−∞
1 T/2 2 f ( t )dt T ∫−T / 2
1 T/2 2 1 P = lim { ∫ f ( t )dt } = − T / 2 2π T T →∞
功率谱密度 W ( ω ) = lim
T →∞
∫ lim
−∞ T →∞ 2
∞
FT ( ω ) dω T
2
FT ( ω ) T
瓦特/赫兹
k = −∞
∫
T0 / 2
−T0 / 2
f ( t )e jkω0t * k
=
k = −∞ ∞
∑C
∞
2 k
由采样性质∫ f ( t )δ ( t − t0 ) = f ( t0 )
−∞
∴∫
−∞
k =−∞ ∞
∑ Ck δ ( ω − kω 0 )dω =
2 ∞ 2 −∞ k = −∞
k =−∞
∑C
2 k
e j 2 kπτ / T0
§2.2 确定信号通过线性系统
一.卷积定理
1.时域：
δ (t)
f(t)
∞ −∞
线性系统
h (t) y(t)
Y(ω)=H(ω)F(ω)
y( t ) = ∫ f ( τ )h( t − τ )dτ = ∫ h( τ ) f ( t − τ )dτ
−∞ ∞
双边功率谱密度 单边功率谱密度
定义在（-∞，+∞） 定义在（0，+∞）
例：试求功率信号为周期性信号时的功率谱密度 解：取截短周期 T=NT0
∞
用f ( t ) =
P = lim
k = −∞
∑C e
k
jkω0t
代入
T/2
−∞
1 T/2 2 f ( t )dt T ∫−T / 2
1 T/2 2 1 P = lim { ∫ f ( t )dt } = − T / 2 2π T T →∞
功率谱密度 W ( ω ) = lim
T →∞
∫ lim
−∞ T →∞ 2
∞
FT ( ω ) dω T
2
FT ( ω ) T
瓦特/赫兹
k = −∞
∫
T0 / 2
−T0 / 2
f ( t )e jkω0t * k
=
k = −∞ ∞
∑C
∞
2 k
由采样性质∫ f ( t )δ ( t − t0 ) = f ( t0 )
−∞
∴∫
−∞
k =−∞ ∞
∑ Ck δ ( ω − kω 0 )dω =
2 ∞ 2 −∞ k = −∞
k =−∞
∑C
2 k
e j 2 kπτ / T0
§2.2 确定信号通过线性系统
一.卷积定理
1.时域：
δ (t)
f(t)
∞ −∞
线性系统
h (t) y(t)
Y(ω)=H(ω)F(ω)
y( t ) = ∫ f ( τ )h( t − τ )dτ = ∫ h( τ ) f ( t − τ )dτ
−∞ ∞
双边功率谱密度 单边功率谱密度
定义在（-∞，+∞） 定义在（0，+∞）
例：试求功率信号为周期性信号时的功率谱密度 解：取截短周期 T=NT0
∞
用f ( t ) =
P = lim
k = −∞
∑C e
k
jkω0t
代入
第2-1章：确知信号分析：信号
二、信号的描述和典型示例
由泰勒级数展开 3 5 7 2 4 6 cos 1 sin 2 4 6 3 5 7 j 同样若 e 展开，可得到 2 3 4 j j j j e j 1 1! 2! 3! 4! 2 4 6 3 5 7 1 j 2 4 6 3 5 7
sin t t sin 8t t
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint t sin8t t
sin t sin 8t
sint sin8t
t
t
三、信号的运算
2、平移：
f (t ) f (t t0 )
前（左）移或后（右）移，f(t)变成f(t+t0)， t0 >0时，左移； t0 <0时，右移。
n
二、信号的描述和典型示例
设 复 数 A Ke A
j
则A为复常数；
设f ( t ) Ae jt A e j (t )
复常数乘以ejwt,则成为复指数函数，可以 描述一个点在复平面上的圆周运动。 取该函数的实部，得cos函数，取虚部得sin函数；通过复指 数函数进行电路分析，可以简便计算。 而且计算结果也比较直观， |A|代表相应实函数的振幅，θ代表相应实函数的初相角。 对共轭的两个复指数函数加减运算，可得cos和sin函数。
sin t t d t π
二、信号的描述和典型示例
7、复指数信号 表达式：
f (t ) Kest
其中：
s j
借助欧拉公式，可以展开如下：
Ke st Ke ( j ) Ket cost jKet sin t
第2章 确知信号分析
例
求周期余弦信号 的自相关函数和功率谱 f t E cosω0t 求复指数信号 jω t f t E e 的自相关函数和功率谱
0
2.4 确知信号的频域特性
一、能量信号的能量和能量谱密度 二、无限非周期信号的平均功率和功率谱密度 三、周期信号的平均功率和功率谱密度
2 T
e
j0t
2 ( 0 )
1 cos 0t [e j0t e j0t ] [ ( 0 ) ( 0 )] 2 1 sin 0t [e j0t e j0t ] [ ( 0 ) ( 0 )] 2j j
f (t ) nf (0) (t ) jt
F ( x)dx
卷积性质：
f1 (t ) f 2 (t )
F1 () F2 ()
1 F1 ( ) F2 ( ) 2
f (t ) (t ) f (t )
f (t ) (t T ) f (t T )
平均功率P为
1 T /2 2 lim f (t )dt T T T / 2
能量信号：时间有限的信号，信号能量有 限，在全部时间内的平均功率为0。 功率信号：时间无限的信号，具有无限的 能量，但平均功率有限。
2.2 确知信号的频域分析
一、周期信号 二、付立叶变换 三、付氏变换的性质 四、常用信号的付氏变换
一、能量信号
能量信号的频谱密度 ——该信号的傅利叶变换
1 f (t ) 2Fra bibliotek
F ( )e jtd
F ( ) f (t )e jtdt F ( ) e j ( )
2-确知信号
ì V ï ï s(t ) = í ï0 ï î
- t /2 £ t /2 t /2 < ( T - t /2 ) -ゥ < t<
方 波 的 周 期 为 T， 脉冲宽度为t， 幅度为V
s(t ) = s(t - T )
第2章 确知信号
频谱：
Cn = 1 T
t /2
ò
-t / 2
Ve
- j 2 p nf0t
2
信号的功率为：
¥
P =
ò
- ?
C(f )
2
d ( f - n f 0 )d f
第2章 确知信号
小结：
能量谱密度表示信号的能量随频率变化的情况，功 率谱密度表示功率密度随频率变化的情况。 功率谱密度只与信号的幅度谱有关，与相位谱无关。 也就是说从功率谱中只能获得信号的幅度信息，得 不到相位信息。
) = lim
T
1 T
T /2
ò
- T /2
s (t ) s (t + t )d t
-ゥ < t <
τ =0时，自相关函数就是信号的平均功率。
R ( 0 ) = P = lim
1 T
T /2
ò
- T /2
s (t )dt
2
性质1：R(τ )是关于τ 的偶函数
R ( t ) = R (- t )
第2章 确知信号
- T /2 - ?
ST ( f )
2
df
式中频率遍及正负无限大
定义功率谱密度(单位频率间隔的功率)
P ( f ) = lim
T
1 T
ST ( f )
2
第2章 确知信号
北交 通信系统原理 主要知识点第2章
第2章信号与噪声分析知识点及层次1. 确知信号时－频域分析(1) 现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。
(2) 几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。
(3) 信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。
2. 随机过程统计特征(1) 二维随机变量统计特征。
(2) 广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。
(3) 高斯过程的统计特征。
3. 高斯型白噪声统计特征(1) 理想白噪声及限带高斯白噪声特征。
(2) 窄带高斯白噪声主要统计特征。
以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是系统分析的最主要的数学方法。
第2章信号与噪声分析知识点及层次1. 确知信号时－频域分析（1）现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。
（2）几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。
（3）信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。
2.随机过程统计特征（1）二维随机变量统计特征（2）广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。
（3）高斯过程的统计特征。
3. 高斯型白噪声统计特征（1）理想白噪声及限带高斯白噪声特征。
（2）窄带高斯白噪声主要统计特征。
以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是统分析的最主要的数学方法。
傅里叶分析是从时域、频域描述信号的有效方法。
狭义而言，通信过程更是信号与传输信道在频域相适应的过程。
往往信号和系统的频域特征分析更有利于解决传输问题。
第二章信号与噪声分析经典例题[例 2-1] 求图2-1所示信号f(t)的频谱。
解：这一结果表明，频谱是两部分构成，为虚轴上奇对称于原点。
证实了奇对称实信号的频谱为虚频谱奇对称形式。
[例2-2] 由随机过程定义，典型的数学表达式是无法写出的。
一般地，在一个确知形式的时间函数中，若其中一个（或2个）变量是随机的，称准随机过程。
设随机过程，其中是均值为0、方差为的高斯变量，是内均匀分布的相位随机变量，且与统计独立。
第二章 确知信号分析
周期信号（续）
Fn ~ω 幅度谱 n ~ω 相位谱 周期信号为功率信号
P
n
F
2
n
二、付立叶变换
f (t ) F ( )
变换式为：
1 f (t ) 2
F ( )e jtd
F ( )
f (t )e jtdt F ( ) e j ( )
常用信号的付氏变换(续)
信号 3.门函数 (单脉冲) 周期性脉冲 串 4.三角波 5.阶越函数 6.指数函数
f (t )
A |t| 2 G (t ) { 0 |t| 2
n
F ( )
A Sa (
A1
2
)
1
2 T
AG (t nT )
n
Sa (
2.2 信号的分类
数字信号与模拟信号 周期信号与非周期信号 确定信号与随机信号 能量信号与功率信号
信号的分类（续）
信号的功率（能量）：电压（电流） f(t) 加在单位电阻上消耗的功率（或能量）。 信号的瞬时功率为 f 2 (t) 总能量E为 f 2 (t)dt
平均功率P为
R F F F
2
2.4 确知信号的频域特性
一、能量信号的能量和能量谱密度 二、无限非周期信号的平均功率和功率谱密度 三、周期信号的平均功率和功率谱密度
一、能量信号
能量信号的频谱密度 ——该信号的傅利叶变换
1 f (t ) 2
F ( )e jtd
单位冲激函数(函数)
通信原理课件——信号与噪声
*
(t)e
j
2n T
t
dt
因此
P FnFn* | Fn |2
(2.23)
n
n
这就是帕什瓦尔功率定理。 它表明: 一个周期信号的归
一化平均功率值等于信号的所有谐波分量的平方之和，
即总功率等于各谐波单独贡献出的功率之和。
对于一个有界的、待续时间有限的信号，信号的能量为有限值， 全部时间的平均功率为零，这类信号叫做能量信号。
解：在一个周期内，f(t)可表示为
A
f
(t)
0
/ 2 t / 2
其它
利用式（2.6），并令ω0=2π/T，有：
12
j2 T
n
t
F T Ae dt n
2
A S (n / 2)
A e jn0t
jn T 0
2
2
2A
n T 0
sin(n 0
/ 2)
Ta
0
2.1.2 傅立叶变换
前面介绍了用傅里叶级数表示一个周期信号的方法，那么对 于非周期性信号，可不可以用傅里叶级数表示呢？
(2.7) (2.8)
Fn
1 T
T 2
T 2
fT (t )e jn0t dt
(2.9)
式中Fn为频率nw0分量的振幅，是nw0的函数，是离散的，当T增大时， 基频w0变小，频谱变密，而当T向于无穷大时，Fn变成w的连续函数。
令： 这样Fn成为wn的函数Fn(wn),令：
n0 n
于是：
TFn (n) F(n )
若
f1(t) F1(), f2 (t) F2 ()
则
f1(t) * f2 (t) F1()F2 ()
通信原理(第二版)第2章确知信号与随机信号分析
通信原理(第二版)第 2章确知信号与随机
信号分析
目录
• 确知信号分析 • 随机信号分析 • 确知信号与随机信号的应用 • 信号分析的现代方法
01
确知信号分析
定义与分类
定义
确知信号是指在任何时刻都已知 其全部信息的信号，如正弦波、 方波等。
分类
连续信号和离散信号，周期信号 和非周期信号，实信号和复信号 等。
小波变换具有多分辨率分析的 特点，能够适应不同频率的信 号处理需求。
小波变换在信号降噪、特征提 取、模式识别等领域有着广泛 的应用。
神经网络在信号分析中的应用
神经网络能够通过学习自动提取信号 中的特征，具有很强的自适应性。
神经网络在语音识别、图像处理、雷 达信号处理等领域有着广泛的应用。
神经网络可以处理非线性信号，对于 一些难以用传统方法处理的复杂信号 非常有效。
随机信号的时域分析
自相关函数
描述随机信号取值在时间上的相关性。
互相关函数
描述两个随机信号在时间上的相关性。
谱估计
通过时域数据估计随机信ห้องสมุดไป่ตู้的功率谱密度的方法。
03
确知信号与随机信号的应 用
确知信号在通信中的应用
载波信号
用于调制信息信号，实现信息的 传输。
脉冲信号
用于数字通信中表示二进制状态， 如脉冲编码调制（PCM）。
确知信号的频域分析
01
02
03
傅里叶级数
将确知信号表示为无穷多 个正弦波的叠加，每个正 弦波具有不同的幅度、频 率和相位。
频谱密度函数
描述信号中各频率分量的 强度，通常用图形表示， 即频谱图。
频谱分析
通过频谱图分析信号中各 频率分量的特性，如频率 范围、幅度和相位等。
信号分析
目录
• 确知信号分析 • 随机信号分析 • 确知信号与随机信号的应用 • 信号分析的现代方法
01
确知信号分析
定义与分类
定义
确知信号是指在任何时刻都已知 其全部信息的信号，如正弦波、 方波等。
分类
连续信号和离散信号，周期信号 和非周期信号，实信号和复信号 等。
小波变换具有多分辨率分析的 特点，能够适应不同频率的信 号处理需求。
小波变换在信号降噪、特征提 取、模式识别等领域有着广泛 的应用。
神经网络在信号分析中的应用
神经网络能够通过学习自动提取信号 中的特征，具有很强的自适应性。
神经网络在语音识别、图像处理、雷 达信号处理等领域有着广泛的应用。
神经网络可以处理非线性信号，对于 一些难以用传统方法处理的复杂信号 非常有效。
随机信号的时域分析
自相关函数
描述随机信号取值在时间上的相关性。
互相关函数
描述两个随机信号在时间上的相关性。
谱估计
通过时域数据估计随机信ห้องสมุดไป่ตู้的功率谱密度的方法。
03
确知信号与随机信号的应 用
确知信号在通信中的应用
载波信号
用于调制信息信号，实现信息的 传输。
脉冲信号
用于数字通信中表示二进制状态， 如脉冲编码调制（PCM）。
确知信号的频域分析
01
02
03
傅里叶级数
将确知信号表示为无穷多 个正弦波的叠加，每个正 弦波具有不同的幅度、频 率和相位。
频谱密度函数
描述信号中各频率分量的 强度，通常用图形表示， 即频谱图。
频谱分析
通过频谱图分析信号中各 频率分量的特性，如频率 范围、幅度和相位等。
02第二章 确知信号
学习目标
通信原理【 第二章 确知信号】
Southwestern University
学习要点
1、信号的分类及其特征； 2、信号的频域分析法和频谱的概念； 3、傅里叶级数的物理意义； 4、傅里叶变函数的定义和性质；
8、相关函数与谱密度的关系。
第二节
通信原理【 第二章
确知信号的频域分析
确知信号】
Southwestern University
Cn
T
1
/2
/2
Ve
j 2nf0t
1 V j 2nf0t dt e T j 2nf 0 / 2 n sin nf 0 sin c nf 0T T T V
西南大学电子信息工程学院
电路与通信教研室 高渤
学习目标
通信原理【 第二章 确知信号】
Southwestern University
难点
1、信号类型的区别与关系。 2、狄利克雷条件。 3、傅里叶级数的物理意义——频谱。 4、周期信号频谱的特点。 5、周期信号频谱Cn 的意义。 6、傅里叶变换及其性质的意义。 7、频谱密度和频谱的区别。 8、双边谱和单边谱的概念。 9、函数及其常用性质。
j n
|Cn|——振幅（谱），n——相位（谱）； Cn信号分量的复振幅，双边谱（物理上没有负频率）。
西南大学电子信息工程学院 电路与通信教研室 高渤
第二节
通信原理【 第二章
确知信号的频域分析
确知信号】
Southwestern University
2、周期性功率信号的频谱性质 对于物理可实现的实信号，由式（2.2－1）有
lim
T
I
第2章信号与噪声分析
第 2 章信号与噪声分析 2.1 通信常用信号和系统响应 2.2 信号频谱分析概述 2.3 随机变量的统计特性 2.4 随机过程返回主目录通信过程是有用信号通过通信系统的过程，且在通信系统各点常常伴随有噪声的加入及此加入噪声在系统中的传输。
由此看来，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。
实际的信号通常是随机的，加之通信系统中毡榇嬖诘脑肷 际撬婊 模 远运婊 藕诺姆治鍪欠浅Ｖ匾 摹?从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
因此，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声的分析中来。
本章将在先修课程的基础上，首先介绍通信系统常用信号并对确知信号的分析作必要的复习巩固，然后在复习概率论基本概念的基础上，讨论随机信号和噪声的数学模型——随机过程。
2.1 通信常用信号和系统响应 2.1.1常用信号由语音、图像、数码等形成的电信号，其形式可以是多种多样的，从不同的角度进行分类可以得出各种不同的名称。
但是从信号数学分析的角度来说，通常采用下面的几种分类。
⑴数字信号与模拟信号⑵确知信号与随机信号⑶周期信号与非周期信号⑷能量信号与功率信号在通信过程中，信号的变换和传输是由系统完成的。
系统是指包括有若干元件或若干部件的设备。
系统有大有小，大到由很多部件组成的完整系统，小到由具体几个电路组成的部件。
信号在系统中的变换和传输可用图2.1表示，图中假设输入信号为x(t)，通过系统后得到的输出响应为y(t)。
从数学的观点来看，和之间存在着如下的函数关系：y(t)=f[x(t)] 图2.1 系统示意图 2.1.2系统响应⑴线性系统与非线性系统一个系统如果是线性的，那么叠加原理一定适用。
对于线性系统而言，一个激励的存在并不影响另一个激励的响应。
⑵时不变与时变系统时不变系统也称恒参系统，时变系统也称变参（随参）系统。
2.2信号频谱分析概述我们知道，信号可以分为确知信号和随机信号。
对于确知信号，频谱分析是研究它的有效工具；对于随机信号，则要用统计的方法来分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
确知信号
n n n n
随机信号
n n n
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
本章内容安排
Ø
~3 1 . 确知信号（1 节）
Ø
时域：表达式和波形（函数及其相关、卷积 运算）
一、付氏（F ）级数
②正弦信号的付氏级数
1 jω 0 t f ( t ) = cos ω 0 t = (e + e − jω0 t ) 2
1 C 1 = C −1 = 2
Cn
1/2
− ω0 0
1/2
ω0
nω 0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
第二节 信号的频谱分析
n
一、付氏（F ）级数 二、F 变换 三、卷积与相关 四、能量谱、功率谱及帕什瓦尔定理
n
n
n
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
一、信号分类
Ø
常用信号举例
Ø
脉冲信号Arect( t/τ) 冲激信号 δ (t ) 取样信号Sa(x) 复指数信号 e 正弦信号
jω0t
Arect ( )
t
τ
A t -τ/2
Ø
Ø
τ/2
Ø
Ø
sin ω0t、c o s ω0t
Sa ( x )
2π 0 π
x
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
一、付氏（F ）级数
Ø
1 、 F 级数定义 2 、 F 系数的物理意义 3 、 F 级数举例
Ø
Ø
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
一、付氏（F ）级数
u
基带信号：信号能量或功率主要集中在低频段 频带信号：信号能量或功率主要集中在高频f0附近，且f0远远大 于信号带宽
u
Ø
5 . 模拟信号与数字信号
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
二、F 变换
Ø
2、 F 变换主要性质
f (t )
F (ω )
时移性: 互易性: 频移性:
f (t − t0 ) ⇔ F (ω )e− jωt0
F (t ) ⇔ 2π f ( −ω )
f (t )e jω0t ⇔ F (ω − ω0 )
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
3、F 变换举例
④非周期信号f(t)周期化信号fT(t)的付氏级数
f (t )
fT ( t )
F (ω )
ωτ
2
)
τ
ω
0
2π/τ
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
−∞
+∞
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
性质
若 则
f1 (t ) f1 (t ) ∗ f 2 (t ) f1 (t ) ⋅ f 2 (t )
1、 F 变换定义和物理 含义
1 非周期信号f(t)可以表示为 f ( t ) = 2π
∫
+∞
−∞
F (ω )e jωt dω
其中，
F (ω ) = ∫
+∞
−∞
f ( t )e − jωt dt
付氏变换 包括振幅谱和相位谱
F (ω ) = F (ω ) e jϕ (ω )
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
三、卷积与相关
n
1 、卷积
信号f1(t) 与f2(t)的卷积
f (t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ
F ( nω 0 ) Cn = T
如：f ( t ) = Arect ( t ) τ
f T ( t ) = A ∑ rect (
n = −∞ +∞
F (ω ) = AτSa (
)
ωτ
2
)
t − nT
τ
1 ωτ FT (ω ) = AτSa ( ) T 2 ω = nω 0
Aτ nω 0τ = Sa( ) T 2
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
3、F 变换举例
③周期信号f( t ) 的付氏变换
f (t ) f (t )
Cn
F (ω ) =
n = −∞
F1 (ω )
f 2 (t )
F2 (ω )
F1 (ω ) F2 (ω )
1 [ F1 (ω ) ∗ F2 (ω )] 2π
信号f(t)通过系统h(t)的输出y(t)为：
y( t ) = f ( t ) ∗ h( t )
Y (ω ) = F (ω ) H (ω )
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
一、付氏（F ）级数
Ø
2 、 F 系数的物理意义
① f (t ) =
jnω 0 t C e 的含义, Cn ~ f (t ) ； ∑ n +∞
n = −∞
② Cn = C ( nω0 ) 是周期信号的频谱；
jϕ n C = C e ③ n 包括振幅谱和相位谱； n
④ n = 0,±1,±2, L 频谱的离散性和谐波性。
二、F 变换
Ø
3、 F 变换举例
①矩形脉冲信号的付氏变换
f (t ) = Arect ( ) t
τ
F (ω ) = AτSa (
F (ω )
ωτ
2
)
f(t) A t -τ/2
τ/2
ω
0
2π
τ
②低通滤波器的冲激响应
F (ω ) = Arect (
ω
W
)
AW Wt f (t ) = Sa( ) 2π 2
n = −∞
+∞
t − nT
τ
)
…
τ
•
…
0 T t
Aτ nω 0τ Cn = Sa ( ) T 2
Cn
2π
0 ω0
τ ·
nω 0
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
本章内容安排
Ø
2 . 随机信号（4 ~8 节）
随机信号（5 节） 统 计 特 性 概率分布 概率密度 均值/ 方差 相关函数 功率谱 随机信号通过系统（6 节） 统 计 特 性 均值/ 方差 相关函数 功率谱
随机变量（4 节） 统 计 特 性 概率分布 概率密度 均值/ 方差 相关函数
典型随机信号（7 、8 节） 统 计 特 性
∑ 2πC δ (ω − nω )
n 0
+∞
如：
f (t ) = e jω0t f (t ) = cos ω0t f (t ) = sin ω0t
F (ω ) = 2πδ （ω − ω0） F (ω ) = πδ（ω − ω0） + πδ（ω + ω0）
F (ω ) =
π
j
[δ（ω − ω0） − δ（ω + ω0） ]
二、F 变换
Ø
1、 F 变换定义和物理含义 2、 F 变换主要性质 3、 F 变换举例
Ø
Ø
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
二、F 变换
Ø
二、系统分类
Ø
1 . 线性时不变系统 2 . 线性时变系统 3 . 非线性时不变系统 4 . 非线性时变系统
Ø
Ø
Ø
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
通信系统中常见的 噪声或信道特征
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.
第一节 信号与系统表示法
Ø
一、信号分类 二、系统分类
Ø
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.