高考文数题型秘籍【18】三角函数的图象和性质(原卷版)

专题十八 三角函数的图像和性质

【高频考点解读】

1．画出y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的图象、了解三角函数的周期性． 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]、正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π

2上的性质． 【热点题型】

题型一 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 例1、函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫

π4－x 的定义域为( )

A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

x ≠π

4，x ∈R B.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

x ≠－π

4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈R ，x ∈R D.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪

⎪ x ≠k π＋3π

4，k ∈R ，x ∈R

【提分秘籍】

1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π

2

(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成、单调增区间是

⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π、k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数、如π4<3π4、但是tan π4>tan 3π4

、正

切函数不存在减区间．

2．求三角函数的单调区间时、应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式、再根据三角函数的单调区间、求出x 所在的区间、应特别注意、考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同．

(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫π

4－ωx . 3．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 、而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．

4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π

|ω|、y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周

期为π|ω|

.

【举一反三】

函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π

2是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 【热点题型】

题型二 三角函数的定义域 值域

例2、 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________． (2)已知sin x ＋sin y ＝23、则2

3＋sin y －cos 2x 的取值范围是( )

A.⎣⎡⎦⎤112，73

B.⎣⎡⎦⎤－1，7

3 C.⎣⎡⎦⎤112，1 D.⎣⎡⎦

⎤112，79

【举一反三】

求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值． 【热点题型】

题型三 三角函数的单调性 例3、求下列函数的单调区间： (1)y ＝1

2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3；(2)y ＝－⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 【提分秘籍】

1．熟练掌握正、余弦函数y ＝sin x 、y ＝cos x 单调区间是迅速正确求解正、余弦型函数的单调区间的关键．特别提醒、当单调区间有无穷多个时、别忘了注明k ∈Z.

2．在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时、要特别注意A 和ω的符号、若ω<0、则通过诱导公式先将ω化正再求．

【举一反三】

已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)、x ∈R 、其中ω＞0、－π<φ≤π、若f (x )的最小正周期为6π、且当x ＝π

2

时、f (x )取得最大值、则( )

A ．f (x )在区间[－2π、0]上是增函数

B ．f (x )在区间[－3π、－π]上是增函数

C ．f (x )在区间[3π、5π]上是减函数

D ．f (x )在区间[4π、6π]上是减函数 【热点题型】

题型四 三角函数的奇偶性与周期性、对称性

例4、 (1)若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0、则( ) A ．f (x －2)一定是奇函数 B ．f (x ＋1)一定是偶函数 C ．f (x ＋3)一定是偶函数 D ．f (x －3)一定是奇函数

(2)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2的最小正周期为( ) A.π4 B.π

2

C ．π

D ．2π (3)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1、x ∈R 、若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点

⎝⎛⎭

⎫－π3，0对称、且α∈(0、π)、则α＝( ) A.π3 B.π4 C.π2 D.π6 【提分秘籍】

1．求y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|.

2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性

对称轴方程ωx ＋φ＝k π＋π

2

、k ∈Z 求出x .

对称中心ωx ＋φ＝k π、k ∈Z 求出x 可得中心横坐标． 对于y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴、对称中心横坐标可类似求出． 【举一反三】

设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0、|φ|<π

2)的最小正周期为π、且f (－x )＝f (x )、则

( )

A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π

2内单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫

π4，3π4内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π

2内单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫

π4，3π4内单调递增 【热点题型】

题型五 利用三角函数在某区间上的单调性求参数范围

例5、设ω>0、m >0、若函数f (x )＝m sin ωx 2cos ωx

2在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递增、则ω的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫0，23

B.⎝⎛⎦⎤0，3

2 C.⎣⎡⎭

⎫3

2，＋∞ D ．[1、＋∞)

【举一反三】

已知ω>0、函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π

2，π上单调递减、则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎤12，54 B.⎣⎡⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，1

2 D ．(0,2] 【高考风向标】

1．(2014·安徽卷) 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c 、且b ＝3、c ＝1、△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．

2．(2014·福建卷) 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位、得到函数y ＝f (x )的图像、则

下列说法正确的是( )

A ．y ＝f (x )是奇函数

B ．y ＝f (x )的周期为π

C ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π

2

对称