向量组的线性相关习题 PPT

向量组B线性无关, 则向量组A也线性无关.
(2)设
aj
=aa12jj
,
arj
a1j a2j
bj = ,
arj
ຫໍສະໝຸດ Baidu
向量组的线a性r相+1关,习j 题
(j =1,2,,m),
6
即aj 添上一个分量后得向量bj. 若向量组A: a1, a2, ···, am线性无关, 则向量组B: b1, b2, ···, bm也线性无关; 反
言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关.
(3) m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量 个数m时一定线性相关
(4) 设向量组A: a1, a2, ···, am线性无关, 而向量组 B: a1, a2, ···, am, b 线性相关, 则向量b 必能由向量组A
线性表示, 且表示式是唯一的.
最大无关组所含向量个数r 称为向量组的秩.
定理1: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于 它的行向量组的秩.
定理2: 设向量组B能由向量组A线性表示, 则向量 组B的秩不大于向量组A的秩, 即 R(B)R(A).
推论1: 等价的向向量量组组的线的性相秩关习相题等.
8
推论2: 设Cmn = Ams Bsn, 则 R(C)R(A), R(C)R(B).
向量按照矩阵运算法则进行运算. 向量的相等; 负向量; 零向量. 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算, 满足下列八条运算规则:
向量组的线性相关习题
2
(1) 加法交换律: a +b = b + a ; (2) 加法结合律: (a +b ) + g = a + ( b +g ) ; (3) 对任一向量a , 有a +O = a; (4) 对任一向量a, 存在负向量–a , 有a +(–a ) = O ;
给定向量组A: a1, a2, ···, am和向量b, 如果存在一 组数1, 2, ···,m, 使
b = 1a1 + 2a2 + ···+ mam
则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量
组A线性表示.
向量组的线性相关习题
4
定理1: 向量b能由向量组A线性表示的充分必要
条件是矩阵A=(a1, a2, ···, am)与B=(a1, a2, ···, am, b)的
由其余 m–1个向量线性表示.
定理3: 向量组a1, a2, ···, am线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, ···, am)的秩小于向
量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.
定理4: (1)若向量组A:a1, a2, ···, am线性相关, 则 向量组B: a1, a2, ···, am, am+1也线性相关; 反言之, 若
若a, b V, 则 a+b V;
若aV, R, 则 aV. 一般地, 由向量组a1, a2, ···, am所生成的向量空间
为: V = x = 1 a 1 + 向2 量a 组2 的+ 线 性相+ 关习题m a m | 1 , 2 , , m R 9
七、子空间
定义: 设有向量空间V1及V2, 若有V1V2. 则称V1 是V2的子空间.
除了上述八条运算规则, 显然还有以下性质:
(1) 0a =O; (2) 若 ka = O, 则或者k=0, 或者a = O; (3) 向量方程: a + x = b, 有唯一解 x = a - b ;
其中a, b 为n维向量, 0向为量组数的线零性相,关k习任题 意数, O为零向量.3
三、线性组合
秩相等.
定义: 设有两向量组
A: a1, a2, ···, am 与 B: b1, b2, ···, bs .
若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量 组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可 以相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
四、线性相关性
定义: 给定向量组A: a1, a2, ···, am , 如果存在不全
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组.
定义: 给定向量组A: a1, a2, ···, am, 对于任何一组
实数k1, k2, ···,km, 向量
k1a1 + k2a2 + ···+ kmam 称为向量组A: a1, a2,···, am一个线性组合, k1,
k2, ···,km称为这个线性组合的系数.
为零的数 k1, k2, ···,km , 使
k1a1 + k2a2 + ···+ kmam = O
则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关.
向量组的线性相关习题
5
定理2: 向量组 a1, a2, ···, am (当 m2 时)线性相关 的充分必要条件是a1, a2, ···, am中至少有一个向量可
向量组的线性相关习题
7
五、向量组的秩
定义: 设有向量组A, 如果在A中能选出r 个向量
A0: a1, a2,···, ar, 满足 (1)向量组A0: a1, a2,···, ar, 线性无关;
(2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线
性相关. 那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无 关向量组(简称最大无关组).
推论3: 设向量组B是向量组A的部分组, 若向量组 B线性无关, 且向量组A能由向量组B线性表示, 则向量 组B是向量组A的一个最大无关组.
六、向量空间
定义: 设V为n维向量的集合, 如果集合V非空, 且 集合V对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合V 为向量空间.
集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指:
(5) 1 a = a ; (6) 数乘结合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 数乘对向量加法的分配律: k( a + b ) = ka + kb ; (8) 数量加法对数乘的分配律: ( k + l ) a = ka + l a ;
其中a, b, g为n维向量, 1, k, l为数, O为零向量.
第一章 习题课
向量组的线性相关习题
1
一、向量的定义
定义: n 个有次序的数a1, a2, ···, an所组成的数组 称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个 数ai 称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的 向量称为复向量.
行向量; 列向量.
二、向量的线性运算