向量组的线性相关习题 PPT
合集下载
线性代数第三章第二节向量组的线性相关性-PPT精选文档
1 4 1 4 X 1 3 于是 C BX 1 3 1 2 3 0 3 0 3
即得
a a a , 4 1 2 a 4 a 3 a 3 a 5 1 2 3
重要结论
此例说明：最大无关组 不唯一。
向量组 a ,a , , a 的秩也记作 1 2 m
R ( a , a , , a ) 1 2 m
性质 1 向量组线性无关的充要 条件是它 所向量的个数等于它的 秩。
性质 2 设矩阵 A的某个 r阶子式 D是 A的最 高阶非零子式 ,则 D所在的 r个行向量及 r个 列向量分别是矩阵 A的行向量组和列向量 组的一个最大无关组 .
性质 3 矩阵 A 的秩等于它的行向量组 的秩 (行秩 ) ，也等于它的列向量组 的秩 (列秩 ).
性 4 质 向量 A : 组 , , , 是向 T 的 量组 1 2 r 一 个 最, 大 则无 向 A 向 关 量量 组 T 等 组 .价
n n 例1 全体 n 维向量构成的向量组记 作 R ，求 R 的
2 2 则| A| 0,因 而 行 向 量 A 是 组线 性 相 关 .但 的 C3 C3
9个 二 阶 子 式 都 不 ,由 为 于 零 包含非零子式的 向量线性无关， ,行 因 向 此 量 组 2,3或 1,2或
3,1都 是 线 性 无 关 ,从 的 而 都A 是 的最大无关 . 组
设 B a1,a2,a3 ,C a4,a5 ,则 A B C. 要 满足 方程 C 组 BX , 解这 个矩 阵方 ,可对 程组增
用 a1,a2,a3线性 表示 a4,a5，只需 找到 系数 X 矩阵
B C做行 变换 化为 行最 广矩 阵 矩阵 简形 (*).从
即得
a a a , 4 1 2 a 4 a 3 a 3 a 5 1 2 3
重要结论
此例说明：最大无关组 不唯一。
向量组 a ,a , , a 的秩也记作 1 2 m
R ( a , a , , a ) 1 2 m
性质 1 向量组线性无关的充要 条件是它 所向量的个数等于它的 秩。
性质 2 设矩阵 A的某个 r阶子式 D是 A的最 高阶非零子式 ,则 D所在的 r个行向量及 r个 列向量分别是矩阵 A的行向量组和列向量 组的一个最大无关组 .
性质 3 矩阵 A 的秩等于它的行向量组 的秩 (行秩 ) ，也等于它的列向量组 的秩 (列秩 ).
性 4 质 向量 A : 组 , , , 是向 T 的 量组 1 2 r 一 个 最, 大 则无 向 A 向 关 量量 组 T 等 组 .价
n n 例1 全体 n 维向量构成的向量组记 作 R ，求 R 的
2 2 则| A| 0,因 而 行 向 量 A 是 组线 性 相 关 .但 的 C3 C3
9个 二 阶 子 式 都 不 ,由 为 于 零 包含非零子式的 向量线性无关， ,行 因 向 此 量 组 2,3或 1,2或
3,1都 是 线 性 无 关 ,从 的 而 都A 是 的最大无关 . 组
设 B a1,a2,a3 ,C a4,a5 ,则 A B C. 要 满足 方程 C 组 BX , 解这 个矩 阵方 ,可对 程组增
用 a1,a2,a3线性 表示 a4,a5，只需 找到 系数 X 矩阵
B C做行 变换 化为 行最 广矩 阵 矩阵 简形 (*).从
第四章 向量组的线性相关性 线性代数(同济六版) 课件
也线性无关.
证 设有一组数 x1 , x2 , x3 使
x1(a1 + a2 ) + x2(a2 + a3 ) + x3 (a3 + a1 ) = 0
⑴
也就是
( x1 +x3 ) a1 + ( x1+x2 ) a2+ ( x2+x3 ) a3 = 0
因为向量组 a1 , a2 , a3 线性无关 , 所以有
1
a3
5 2 4
,
a4
3 2 5
.
问向量
b能否由向量组A线性表示？
解 因为
1 2 3 1 2
1 2 3 1 2
B
3 2 0
1 1 5
5 2 4
3 2 5
6
8 7
～
0
0 0
5 0 0
4 0 0
0 5 0
0
7 4
由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4，即 R(A) ≠ R(B) ， 因此向量 b 不能由向量组 A 线性表示.
A : a1
3 2 0
,
a2
1 1 5
,
a3
5 2 4
和
1
2
3
1
向量组
B
: a1
3 2 0
,
a2
1 1 5
,
a3
5 2 4
,
a4
3 2 5
的线性相关性
.
解 因为
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A
3 2 0
1 1 5
1 0 ,
1 1,
0 0 1
1 1,
证 设有一组数 x1 , x2 , x3 使
x1(a1 + a2 ) + x2(a2 + a3 ) + x3 (a3 + a1 ) = 0
⑴
也就是
( x1 +x3 ) a1 + ( x1+x2 ) a2+ ( x2+x3 ) a3 = 0
因为向量组 a1 , a2 , a3 线性无关 , 所以有
1
a3
5 2 4
,
a4
3 2 5
.
问向量
b能否由向量组A线性表示？
解 因为
1 2 3 1 2
1 2 3 1 2
B
3 2 0
1 1 5
5 2 4
3 2 5
6
8 7
～
0
0 0
5 0 0
4 0 0
0 5 0
0
7 4
由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4，即 R(A) ≠ R(B) ， 因此向量 b 不能由向量组 A 线性表示.
A : a1
3 2 0
,
a2
1 1 5
,
a3
5 2 4
和
1
2
3
1
向量组
B
: a1
3 2 0
,
a2
1 1 5
,
a3
5 2 4
,
a4
3 2 5
的线性相关性
.
解 因为
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A
3 2 0
1 1 5
1 0 ,
1 1,
0 0 1
1 1,
32向量 3-3 向量组的线性相关性 课件-PPT课件
m 个 n 维列向量所组成的向 组 , , , , 1 2 m
A ( ,2 , ,m ) 1
1 m个n维行向量所组成 T 2 T T T 的向量组 1 , 2 ,m , B 构成一个 m n矩阵 T m
n
T
叫做 n 维向量空间．
x b ( , , , ) x a x a x x x x 2 2 n n 1 2 n a 1 1
n
T
1维超平面． 叫做 n 维向量空间 R 中的n
线性代数课件 hty
8
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角 机翼的转角
向量 b 能 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组 x x x b 1 1 2 2 m m 有解 .
r ax by cz d ( x , y , z ) ( x , y , z ) ax by cz d
T
P (x ,y ,z )
一 一
对
应
r(x ,y ,z )
T
线性代数课件 hty
7
n维向量没有直观的几何形象． n 3 时，
x , , , R ( , , , ) x x x R x x x 1 2 n 1 2 n
a x a x a x b 1 1 2 2 n n
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
线性代数课件 hty 13
A : , , , ，对于任 定义１ 给定向量组 1 2 m 向量 组实数 k ， k ， , k ， 1 2 m k k k 1 1 2 2 m m
高中数学《向量组的线性相关性》课件
高中数学《向量组的线性相关性》课件1、 引言在高中数学学习中，向量是一个重要的概念它可以用来表示方向和大小。
向量组的线性相关性是向量空间理论中的一个重要概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系并为后续学习线性代数奠定基础。
二、 向量组的线性相关性定义定义：设向量组 alpℎa 1,α2,...,αm ，如果存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m ，使得 $$k_1\alph_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0$$则称向量组 α1,α2,...,αm 线性相，否则称向量组 线性无关。
三、 向量组线性相关性的判定1. 利用定义判定根据定义，我们可以通过判断是否存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m 使得 k1α1+k 2α2+...+k m αm =0 来判定向量组的线性相关性。
2. 利用秩判定设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_$ 的秩为 r ，则： • 当 r <m 时，向量组线性相关。
• 当 r =m 时，向量组线性无关。
3. 利用行列式判定设向量组 α1,α2...,αm 的坐标分别为(a 11,a 12,...,a 1n ),(a 21,a 22,...,a 2n ),...,(a m1,a m2,...,a mn )，则* 当 m >n 时，向量组线性相关。
* 当 m =n 时，向量组线性相关当且仅当行列式∣∣∣∣∣∣a 11a 12...a 1a 21a 22...a 2n ............a m1a m2...a mn ∣∣∣∣∣∣=0 * 当 m <n 时，向量组线性无关。
四、 向量组线性相关性的性质1. 零向量组线性相关2. 包含零向量的向量组线性相关3. 向量组中任意一个向量可以由其向量线性表示，则该向量组线性相关4. 向量组线性无关，则其任意子向量组线性无关5. 向量组线性相关，则其任意子向量组可能线性相关，也可能线性无关五、向量组线性相关性应用1. 判断向量组的线性相关性2. 求解向量组的线性组合3. 求解向量组的线性无关子组4. 求解向量空间的基六、例题*例1：**判断向量组α1=(1,2,3),α2=(2,4,6),α3=(3,6,9)的线性相关性。
线性代数课件4-2向量组的线性相关性-PPT文档资料
§2 向量组的线性相关性
目的要求
（1）掌握向量组线性相关性的定义； （2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法； （3）掌握向量组线性相关性的相关结论.
2019年3月13日6时54分
§2 向量组的线性相关性
1 3 例 1 1 2, 2 6 3 9
r2 2 r1 a1, a2, a3 2 1 7 2 1 3 0 r 3 r 2 3 知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 < 3,
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
2019年3月13日6时54分
练习： 讨论下列向量组的线性相关性.
解齐次线性方程组
x x L x 0 （ 1 ） 1 1 2 2 m m
， L ， 判定向量组 1 2, m线性无关
若（1）只有唯一零解，
若（1）有非零解
线性相关 ， L ， 判定向量组 1 2, m
2019年3月13日6时54分
例3
讨论 解：
1 1 1 , a 2 , a 2 a1 0 2 3 1 2 4
因为R (A ) = 3 ， 向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.
2019年3月13日6时54分
例 6 讨论向量组
1 1 2 a1 2, a2 1, a3 7 的线性相关性. 1 3 0 解： 1 1 2 r 3 r1
所以向 a 量 ,a ,a 组 1 2 3线 性 相 关
例4
1 0 0 讨论 E: e1 0, e2 1, e3 0 的线性相关性. 0 0 1 解：
目的要求
（1）掌握向量组线性相关性的定义； （2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法； （3）掌握向量组线性相关性的相关结论.
2019年3月13日6时54分
§2 向量组的线性相关性
1 3 例 1 1 2, 2 6 3 9
r2 2 r1 a1, a2, a3 2 1 7 2 1 3 0 r 3 r 2 3 知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 < 3,
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
2019年3月13日6时54分
练习： 讨论下列向量组的线性相关性.
解齐次线性方程组
x x L x 0 （ 1 ） 1 1 2 2 m m
， L ， 判定向量组 1 2, m线性无关
若（1）只有唯一零解，
若（1）有非零解
线性相关 ， L ， 判定向量组 1 2, m
2019年3月13日6时54分
例3
讨论 解：
1 1 1 , a 2 , a 2 a1 0 2 3 1 2 4
因为R (A ) = 3 ， 向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.
2019年3月13日6时54分
例 6 讨论向量组
1 1 2 a1 2, a2 1, a3 7 的线性相关性. 1 3 0 解： 1 1 2 r 3 r1
所以向 a 量 ,a ,a 组 1 2 3线 性 相 关
例4
1 0 0 讨论 E: e1 0, e2 1, e3 0 的线性相关性. 0 0 1 解：
4-1向量组的线性相关性22页PPT
第四章 向量组的线性相关性
本章主要内容: 向量组的线性相关性 向量组的秩及其与矩阵的秩的关系 向量组的秩及其与矩阵的秩的关系 线性方程组解的结构 向量空间及线性变换
§1 向量及其线性运算
本节主要内容: 向量及其线性运算 向量组的等价
1. 向量及其线性运算
【定义】在 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz 中 , 我uu们ur 将 起 点 为 O(0, 0, 0), 终点为 A(a1, a2 , a3 )的有向线段OA称为(几何) 向量,并将其与三元有序数组(a1, a2 , a3)等同.
【定义】我们称 n 1实数矩阵(a1, L , an)T 为n维(实)列向量, 称ai 为此向量的第i 个坐标; 坐标全为零的向量(0, L , 0)T称为零向量; 一切n维列向量的集合记为¡ n, 称其为n维向量空间. 同样,我们也称1 n实数矩阵为n维(实)行向量.
【注】由于在理论的表述上列向量更自然、更方便, 以后 若没有特别声明, 向量为列向量; 有关列向量的理论都 有对应的行向量理论.
【证明】
由于 x11 L xnn 0就是齐次线性方程组
x1
[1 ,L
,
n]
M
x
n
0
而此方程有非零解的充要条件就是r( A) n.
【例 3】给定向量组Ac: 1, L , m (m …2).
求证: A 中至少有一个向量可以由其余的m 1个向量线 性 表 示 存 在 一 组 不 全 为 0 的 数 k1, L , km 使 得
【注意】由矩阵运算知
k1
k11 L
kmm
[1, L
,
m
]
本章主要内容: 向量组的线性相关性 向量组的秩及其与矩阵的秩的关系 向量组的秩及其与矩阵的秩的关系 线性方程组解的结构 向量空间及线性变换
§1 向量及其线性运算
本节主要内容: 向量及其线性运算 向量组的等价
1. 向量及其线性运算
【定义】在 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz 中 , 我uu们ur 将 起 点 为 O(0, 0, 0), 终点为 A(a1, a2 , a3 )的有向线段OA称为(几何) 向量,并将其与三元有序数组(a1, a2 , a3)等同.
【定义】我们称 n 1实数矩阵(a1, L , an)T 为n维(实)列向量, 称ai 为此向量的第i 个坐标; 坐标全为零的向量(0, L , 0)T称为零向量; 一切n维列向量的集合记为¡ n, 称其为n维向量空间. 同样,我们也称1 n实数矩阵为n维(实)行向量.
【注】由于在理论的表述上列向量更自然、更方便, 以后 若没有特别声明, 向量为列向量; 有关列向量的理论都 有对应的行向量理论.
【证明】
由于 x11 L xnn 0就是齐次线性方程组
x1
[1 ,L
,
n]
M
x
n
0
而此方程有非零解的充要条件就是r( A) n.
【例 3】给定向量组Ac: 1, L , m (m …2).
求证: A 中至少有一个向量可以由其余的m 1个向量线 性 表 示 存 在 一 组 不 全 为 0 的 数 k1, L , km 使 得
【注意】由矩阵运算知
k1
k11 L
kmm
[1, L
,
m
]
线性相关与线性无_图文
k1=k2=…=ks-1=
k1μ1+k2μ2+…+ks-1μs-1=0,
故β1，β2，。。。βs-1线性无关。
例4 设向量组α1，，α2，…αs线性无关，并 且有
(1)
证明： β1，β2，。。。βs线性无关的充要条 件是
证明：设存在s个常数x1,x2,…xs满足
x1β1+x2β2+…+xsβs=0,
│ α1，α2，…αn │=0；线性无关的充要条件是行列 式
│ α1，α2，…αn │≠0.
3，一般地，把向量组的向量作为矩阵的行（ 或列），得矩阵Am×n，通过初等变换求其秩 r(Am×n)，若r=m(＜m)，则A的行向量组线性 无关（相关）；若r=n(＜n)，则A的列向量组 线性无关（相关）。
(2)
把（1）代入（2）式得
X1(a11α1+…+a1sαs)+x2(a21α1+…+a2sαs)+ …+xs (as1α1+…+assαs)=0,
即(a11x1+a21x2+…+as1xs) α1+
(a12x1+a22x2+…+as2xs) α2+…
+(a1sx1+a2sx2+…+assxs) αs=0,
解：因为向量组α1 ，α2 ，α3可以由β1 ，β2 ，β3 线性表示，故三个方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi(i=1 ，2，3)均有解，对增广矩阵进行初等行变换，
可见a≠4且a≠-2时， α1 ，α2 ，α3可以由β1 ，β2 ，β3线性表示
向量组β1 ，β2 ，β3不能由α1 ，α2 ，α3线性表示， 即方程组x1α1+x2α2+x3α3=βj（j=1,2,3）无解
k1μ1+k2μ2+…+ks-1μs-1=0,
故β1，β2，。。。βs-1线性无关。
例4 设向量组α1，，α2，…αs线性无关，并 且有
(1)
证明： β1，β2，。。。βs线性无关的充要条 件是
证明：设存在s个常数x1,x2,…xs满足
x1β1+x2β2+…+xsβs=0,
│ α1，α2，…αn │=0；线性无关的充要条件是行列 式
│ α1，α2，…αn │≠0.
3，一般地，把向量组的向量作为矩阵的行（ 或列），得矩阵Am×n，通过初等变换求其秩 r(Am×n)，若r=m(＜m)，则A的行向量组线性 无关（相关）；若r=n(＜n)，则A的列向量组 线性无关（相关）。
(2)
把（1）代入（2）式得
X1(a11α1+…+a1sαs)+x2(a21α1+…+a2sαs)+ …+xs (as1α1+…+assαs)=0,
即(a11x1+a21x2+…+as1xs) α1+
(a12x1+a22x2+…+as2xs) α2+…
+(a1sx1+a2sx2+…+assxs) αs=0,
解：因为向量组α1 ，α2 ，α3可以由β1 ，β2 ，β3 线性表示，故三个方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi(i=1 ，2，3)均有解，对增广矩阵进行初等行变换，
可见a≠4且a≠-2时， α1 ，α2 ，α3可以由β1 ，β2 ，β3线性表示
向量组β1 ，β2 ，β3不能由α1 ，α2 ，α3线性表示， 即方程组x1α1+x2α2+x3α3=βj（j=1,2,3）无解
33向量组的线性相关性-PPT课件
0 1 0 0
2 1 0 0
1 0 0 0
2 5 3 9
4 5 3 9
k1 2k3 k2 k3
取 k 3 1， 则 k1 2,
k 2 1
k 2 , k 1 , k 1 存 在 ， 1 2 3
1 2 1 5
2 1 1 1
4 3 1 11
0 0 0 0
1 0 0 0
2 5 3 9
4 5 3 9
0 0 0 0
1 0 0 0
2 1 0 0
4 1 0 0
0 0 0 0
,2 ,3 线 性 相 关 . 使 21 2 3 0 成立， 故 1
例2
证明
证明 Rn 中的初始单位向量组 j ( j 1,2,..., n)线性无关.
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
利用推论1
1 0
0 1
... ...
0 0
... ... ... ... 0 0 ... 1
三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.
由定义3.7可知
向量组 a , a , , a 线性相关 1 2 m 有非零解 x a x a . . . x a 0 1 1 2 2 m m
( a , a , , a ) x 0 有非零解 1 2 m
r (, a a , , a ) m 1 2 m
推论2 当向量组中所含向量的个数m大于向量的 维数n时，此向量组 线性相关
r (, , ,m ) n m 1 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量组的线性相关习题
7
五、向量组的秩
定义: 设有向量组A, 如果在A中能选出r 个向量
A0: a1, a2,···, ar, 满足 (1)向量组A0: a1, a2,···, ar, 线性无关;
(2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线
性相关. 那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无 关向量组(简称最大无关组).
最大无关组所含向量个数r 称为向量组的秩.
定理1: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于 它的行向量组的秩.
定理2: 设向量组B能由向量组A线性表示, 则向量 组B的秩不大于向量组A的秩, 即 R(B)R(A).
推论1: 等价的向向量量组组的线的性相秩关习相题等.
8
推论2: 设Cmn = Ams Bsn, 则 R(C)R(A), R(C)R(B).
向量按照矩阵运算法则进行运算. 向量的相等; 负向量; 零向量. 向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算, 满足下列八条运算规则:
向量组的线性相关习题
2
(1) 加法交换律: a +b = b + a ; (2) 加法结合律: (a +b ) + g = a + ( b +g ) ; (3) 对任一向量a , 有a +O = a; (4) 对任一向量a, 存在负向量–a , 有a +(–a ) = O ;
若a, b V, 则 a+b V;
若aV, R, 则 aV. 一般地, 由向量组a1, a2, ···, am所生成的向量空间
为: V = x = 1 a 1 + 向2 量a 组2 的+ 线 性相+ 关习题m a m | 1 , 2 , , m R 9
七、子空间
定义: 设有向量空间V1及V2, 若有V1V2. 则称V1 是V2的子空间.
第一章 习题课
向量组的线性相关习题
1
一、向量的定义
定义: n 个有次序的数a1, a2, ···, an所组成的数组 称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个 数ai 称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的 向量称为复向量.
行向量; 列向量.
二、向量的线性运算
给定向量组A: a1, a2, ···, am和向量b, 如果存在一 组数1, 2, ···,m, 使
b = 1a1 + 2a2 + ···+ mam
则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量
组A线性表示.
向量组的线性相关习题
4
定理1: 向量b能由向量组A线性表示的充分必要
条件是矩阵A=(a1, a2, ···, am)与B=(a1, a2, ···, am, b)的
推论3: 设向量组B是向量组A的部分组, 若向量组 B线性无关, 且向量组A能由向量组B线性表示, 则向量 组B是向量组A的一个最大无关组.
六、向量空间
定义: 设V为n维向量的集合, 如果集合V非空, 且 集合V对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合V 为向量空间.
集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指:
秩相等.
定义: 设有两向量组
A: a1, a2, ···, am 与 B:组线性表示, 则称向量 组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可 以相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
四、线性相关性
定义: 给定向量组A: a1, a2, ···, am , 如果存在不全
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组.
定义: 给定向量组A: a1, a2, ···, am, 对于任何一组
实数k1, k2, ···,km, 向量
k1a1 + k2a2 + ···+ kmam 称为向量组A: a1, a2,···, am一个线性组合, k1,
k2, ···,km称为这个线性组合的系数.
言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关.
(3) m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量 个数m时一定线性相关
(4) 设向量组A: a1, a2, ···, am线性无关, 而向量组 B: a1, a2, ···, am, b 线性相关, 则向量b 必能由向量组A
线性表示, 且表示式是唯一的.
向量组B线性无关, 则向量组A也线性无关.
(2)设
aj
=aa12jj
,
arj
a1j a2j
bj = ,
arj
向量组的线a性r相+1关,习j 题
(j =1,2,,m),
6
即aj 添上一个分量后得向量bj. 若向量组A: a1, a2, ···, am线性无关, 则向量组B: b1, b2, ···, bm也线性无关; 反
(5) 1 a = a ; (6) 数乘结合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 数乘对向量加法的分配律: k( a + b ) = ka + kb ; (8) 数量加法对数乘的分配律: ( k + l ) a = ka + l a ;
其中a, b, g为n维向量, 1, k, l为数, O为零向量.
为零的数 k1, k2, ···,km , 使
k1a1 + k2a2 + ···+ kmam = O
则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关.
向量组的线性相关习题
5
定理2: 向量组 a1, a2, ···, am (当 m2 时)线性相关 的充分必要条件是a1, a2, ···, am中至少有一个向量可
除了上述八条运算规则, 显然还有以下性质:
(1) 0a =O; (2) 若 ka = O, 则或者k=0, 或者a = O; (3) 向量方程: a + x = b, 有唯一解 x = a - b ;
其中a, b 为n维向量, 0向为量组数的线零性相,关k习任题 意数, O为零向量.3
三、线性组合
由其余 m–1个向量线性表示.
定理3: 向量组a1, a2, ···, am线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, ···, am)的秩小于向
量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.
定理4: (1)若向量组A:a1, a2, ···, am线性相关, 则 向量组B: a1, a2, ···, am, am+1也线性相关; 反言之, 若