指派问题的解法

指派问题的解法总结

问题引入：在工作的时候，常常需要对一些人进行工作安排，由于某些条件的限制，

每个人只能进行一种工作，怎么安排才能使得总工作时间最小。我们把这一类问题称

为指派问题。在这里，我只对人和工作刚好一对一的指派问题的解法进行总结，而对

于不是一对一的，则可以通过文献1中的一些方法进行变换。

目前问题解法的总结。

1：最广泛应用的解法：匈牙利算法。

算法简介：库恩（fW．W．Kuhn)于1955年提出了指派问题的解法．他引用了匈牙利数学家康尼格一个关于矩阵中0元素的定理：系数矩阵中独立0元素的最多个数等

于覆盖所有0元素的最少直线数。这个解法称为匈牙利解法。

匈牙利算法虽是运用最广泛的算法，但其操作过程却过于复杂。在划0的时候也不方

便记忆，对于初学者来说掌握不便。于是国内很多学者对指派问题给出了几个较简单，方便易记的算法。

2：指派问题新解法——目标值子矩阵法。

算法描述：任取变量矩阵X某一行中的最小元素，为该行元素目标值的最优解(但

不一定是系统目标函数的最优解)，应该是系统目标函数满意解中的一个元素，记作

a11 划去a11 所在的行和列，取剩下的子矩阵中某一行的最小元素，记作a22。依次

类推，直到最后一个元素a nn．这些元素相加得系统目标函数的一个满意解，此为一

次运算．第二次运算取变量矩阵X中含a 以外的任一行，做与上面相同运算，又可以

得到系统的第二个满意解．相同地，对于n行做n次运算，共得到系统的n个满意解，系统的最优解即应该是这 n个满意解当中的最小值．若第i的最小元素在前面以被取

用过，则在进行第i的运算时，不选取该元素，取该行中未被选用过的元素中最小的一个进行运算。

算法分析：相对于匈牙利算法，此算法简单，方便操作。但不能给出所有最优解，得出的最优解唯一，若要给出全部最优解，则算法的次数将大大增加。

当矩阵维数较大的时候，可以对矩阵进行划分，以更快计算。

算法举例：对于变量矩阵x；

3：递归思想在指派问题中的运用

算法描述：对目标函数的解，等于min{a1+A1，a2+A2,a3+A3，…..a n+An}；其中a i为第一行中的第i个元素，A i为除去第i个元素所在行和列的子矩阵。而求min （a1+A1）就相当于对A1求min，这就又回到了指派问题的求解，只是降了一阶；依次递归，直到只剩下2*2的矩阵，这时候就可以取对角线最小的值，依次往回带。就可以得到最优解。

算法分析：算法思路简单明了，但由于算法步骤繁琐，并不适合于手动计算，算法时间复杂度高，但较适合于电脑编程。能给出所有的最优解。

4：指派问题的树算法

算法描述：首先给出一种可行的解，得出其目标函数值，然后在对所有的可行解进行画树，若未画完的分支比第一次给出的目标函数值大，则已经不必再画下去，依次画树，直到所有的可能都画玩，此时记录的目标函数值即为最优解，所有最优解都以画在树里。

算法分析同递归分析一样，思路简单，但操作都相对复杂繁琐，并不适合手动解算。较适合编程运算。

算法举例

总结

以上的4中指派问题的计算都是对于人数和工作相等的，对于不平衡的算法，也可以化做平衡的来计算，也有一些专门计算不平衡的计算方法，在此不一一例举。以上算法中，前2种较时候进行手动计算，算法简单，易掌握。后2种算法，较适合编程计算。

参考文献

1：《运筹学》，本科班，清华大学出版社。

2：赵洪刚，杨竹君，孟庆华，高金贵。指派问题新解法-目标子矩阵法

3：周志辉，刘建生。递归思想在指派问题中的运用

4：薛翠平，张薇。指派问题的树算法