信号与系统习题课3
信号与系统(习题课)
∴ y(t) = e-3t + t e-3t = (1+ t) e-3t
by wky
习题 3-6 (1)
已知系统的微分方程为 y’’(t) +5 y’(t) + 4 y(t) =2 f ’(t) + 5f(t), t >0; 初始状态y(0-) =1，y’(0-) =5， 求系统的零输入响应yx(t)。 解：系统特征方程为 s2+5s+4=0 , 解得特征根 s1=-1, s2=-4
特解 （强迫响应）
比较：完全响应=零输入响应 + 零状态响应 = e－t + (1 - 1/2e－t -1/2e－3t)
by wky
习题 3-4
已知微分方程为 y’(t) + 3 y (t) = f(t)，t >0; y(0) =1，
求系统的固有响应(齐次解) yh(t)、强迫响应 (特解) yp(t)和完全响应(全解) y(t) 解：系统特征方程为 s+3=0,
f(t)
f(-t)
2
2
1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t
2 f(t+2)
f(-3t)
2
1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t by wky
2-10 已知信号波形, 绘出下列信号波形
f(t)
f(-t)
2
2
1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t
信号与系统 陈后金 第二版 课后习题答案(完整版)
（1） f (t) = 3sin 2t + 6 sinπ t
（2） f (t) = (a sin t) 2
（8）
f
(k)
=
cos⎜⎛ ⎝
πk 4
⎟⎞ ⎠
+
sin⎜⎛ ⎝
πk 8
⎟⎞ ⎠
−
2
cos⎜⎛ ⎝
πk 2
⎟⎞ ⎠
解：（1）因为 sin 2t 的周期为π ，而 sin πt 的周期为 2 。
显然，使方程
−∞
0
2-10 已知信号 f (t) 的波形如题 2-10 图所示，绘出下列信号的波形。
f (t)
2
1
−1 0
t 2
题 2-10 图
（3） f (5 − 3t) （7） f ′(t) 解：（3）将 f (t) 表示成如下的数学表达式
（5） f (t)u(1 − t)
由此得
⎧2
f
(t)
=
⎪ ⎨ ⎪ ⎩
f (t)u(1− t) 2
1
0.5
t
−1 0
1
（7）方法 1：几何法。由于 f (t) 的波形在 t = −1处有一个幅度为 2 的正跳变，所以 f ′(t) 在 此处会形成一个强度为 2 的冲激信号。同理，在 t = 0 处 f ′(t) 会形成一个强度为 1 的冲激信 号（方向向下，因为是负跳变），而在 0 < t < 2 的区间内有 f ′(t) = −0.5 （由 f (t) 的表达式可
第 1 页 共 27 页
《信号与系统》（陈后金等编）作业参考解答
（2）显然，该系统为非线性系统。 由于
T{f (t − t0 )}= Kf (t − t0 ) + f 2 (t − t0 ) = y(t − t0 )
信号与系统课后习题参考答案
1试分别指出以下波形是属于哪种信号？题图1-11-2 试写出题1-1 图中信号的函数表达式。
1-3 已知信号x1(t)与x2(t)波形如题图1-3 中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-3⑴x1(t2)⑵ x1(1 t)⑶ x1(2t 2)⑷ x2(t 3)⑸ x2(t 2) ⑹x2(1 2t)2⑺x1(t) x2( t)⑻x1(1 t)x2(t 1)⑼x1(2 t) x2(t 4)21- 4 已知信号x1(n)与x2 (n)波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-4⑴x1(2n 1) ⑵ x1(4 n)⑶ x1(n)2⑷ x2 (2 n)⑸ x2(n 2) ⑹ x2(n 2) x2( n 1)⑺x1(n 2) x2(1 2n)⑻x1(1 n) x2(n 4)⑼ x1(n 1) x2(n 3)1- 5 已知信号x(5 2t )的波形如题图1-5 所示，试作出信号x(t)的波形图，并加以标注。
题图1-51- 6 试画出下列信号的波形图：1⑴ x(t) sin( t) sin(8 t)⑵ x(t) [1 sin( t )] sin(8 t)21⑶x(t) [1 sin( t)] sin(8 t)⑷ x(t) sin( 2t )1-7 试画出下列信号的波形图：⑴ x(t)1 e t u(t) ⑵ x(t) e t cos10 t[u(t 1) u(t 2)]⑶ x(t)(2 e t)u(t)⑷ x(t) e (t 1)u(t)⑸ x(t)u(t22 9) ⑹ x(t)(t2 4)1-8 试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图1j2 ⑴ X (j ) (1 e j2)⑵ X( j1 e j4⑶ X (j ) 11 ee j ⑷ X( j )试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。
题图 1-10形图。
题图 1-141-15 已知系统的信号流图如下，试写出各自系统的输入输出方程。
【信号与系统(郑君里)课后答案】第三章习题解答
3-1 解题过程：（1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）f ( t ) = a ++∞cos ( n ω t) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1n 1 n =1式中ω1 =2π，n 为正整数，T 1 为信号周期T 11 t +T（a ）直流分量a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dtT1 t2 t +T（b ）余弦分量的幅度a n = 0∫ 1f ( t ) cos ( n ω1t ) dtT1 t 02 t +T（c ）正弦分量的幅度b n = 0 ∫ 1f ( t ) sin ( n ω1t ) dtT 1 t（2）指数形式的傅立叶级数+∞f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1tn =其中复数频谱F n= F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1f ( t ) e − jn ω1t dt T 1 t 0F n =1( a n − jb n ) F − n = 1 ( a n + jb n ) 2 2由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因而a 0 = a n = 04 Tb n = T ∫02= 2Eπ n4TE−2EEf (t ) sin ( n ω t ) dt =sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 − cos ( n π2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1n = 2, 4,n = 1, 3,所以，三角形式的 FS 为2 E1 12π f ( t ) =sin ( ω1t ) +sin ( 3ω1t ) +sin ( 5ω1t ) +ω1 =π 3 5T指数形式的 FS 的系数为1n = 0, ±2, ±4,F n = − jb n jE=2 n = 0,−± 1, ±3,n π1所以，指数形式的 FS 为f ( t ) = − jE π ej ω1t+ πjE e − j ω1t − 3jE π e j 3ω1t + 3jEπ e − j 3ω1t +3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 f ( t ) =πτ E cos t u t+ τ 2求 f ( t ) 的傅立叶变换有如下两种方法。
信号与系统课后习题与解答第三章
3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为T e jE e jE e jE e jE t f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20=幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛==n tjn n tjn n e n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ其直流分量为TE n Sa T EF n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
信号与系统习题课（傅里叶变换
才有
F
(ω
)
=
(
1 jω
)2
F
⎡ d2
⎢ ⎣
dt
2
f
( t ) ⎤⎥
⎦
Signals and Systems, Tsinghua University
7
强调
由
F
⎡d ⎢⎣ dt
f
( t )⎤⎥⎦
= Φ(ω)
得到
F
⎡⎣
f
(t )⎤⎦
=
1 jω
Φ (ω )
实际上是引用了FT的积分性质.
因此要考虑 f (−∞) = 0
法二，频移
F(ω) = F0(ω +ω0)+ F(ω −ω0)
求出f0(t)后,
1 F0(ω)
ω
−ω1 0 ω1
[ ] f (t) = f0(t) ejωt +e−jωt =2f0(t)cosω0t
如何求f0S(igt)na?ls
and
定义、对称性、查表。
Systems, Tsinghua University
−2
−1
1
( ) ejω −e−jω ejω +e−jω − ej2ω +e−j2ω
=2
+
jω
ω2
= ......
（1）计算量大；（2）一些函数积分不收敛。
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法二，利用FT的微积分性质
4 1 f(t)
思路：
f
(t
)
d
⎯⎯dt→δ
Φ(0) = 0
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信号与系统课后习题答案
习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。
因此，公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。
因此，公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。
因此，公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
信号与系统第三章习题课3
（1） ℱ[ ]=
（2） ℱ[ ]-2ℱ[ ]
（3） ℱ[ ]-2ℱ[ ]
（4）
14．求图3-9所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出 情况下该脉冲的频谱图。
解：①利用线性性质
ℱ[ ]-ℱ[ ]
②利用时域卷积定理
令 ， ，其中
则
ℱ[ ]ℱ[ ]
③利用时域积分性质
令 则
另外，求得一阶导数后，也可直接利用积分性质求解：
（4）
（5）因为
8．试分别利用下列几种方法证明 。
（1）利用符号函数 ；
（2）利用矩形脉冲取极限 ；
（3）利用积分定理 ；
（4）利用单边指数函数取极限 。
证明：（1）略
（2）
（3）略
（4）
9．若 的傅里叶变换为
，如图3-7所示，求 并画图。
解：
10．已知信号 ， 的波形如图3-8(a)所示，若有信号 的波形如图3-8(b)所示。求 。
，
④当 时，
15．已知阶跃函数的傅里叶变换为 ；正弦、余弦函数的傅里叶变换为 ； 。求单边正弦 和单边余弦 的傅里叶变换。
解：同Biblioteka 可求：16．求 的傅里叶逆变换。
解： ，
另一种解法：
17．求信号 的傅氏变换。
解：信号周期为：
则 ，
18．信号 ，若对其进行冲激取样，求使频谱不发生混叠的最低取样频率 。
第三章习题
1．图3-1给出冲激序列 。求 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。
解：
， ，因为偶函数
，上述
2．利用1题的结果求图3-2所示三角波 的三角傅里叶级数。
解：
①利用1题的结果求解：
令
则
，所以
信号与系统第三章习题答案
d (t - 1) « e- jw
\ e-2( t -1)d (t - 1) « e- jw
(8) U (t ) - U (t - 3) Q 根据傅里叶变换的线性性质可得： 1 U (t ) « p d (w ) + jw 1 U (t - 3) « e - j 3w (p d (w ) + ) jw \ U (t ) - U (t - 3) « ( 1- e - j 3w )(p d (w ) + 1 ) jw
U (t - 1) « e - jw (pd (w ) +
t 1 U ( - 1) « 2e - j 2w (pd (2w ) + ) 2 j 2w Q d (aw ) = 1 d (w ) a
\ 2e- j 2wpd (2w ) = 2pd (2w )w =0 = pd (w ) \ 2e - j 2w (pd (2w ) +
e - jtd (t - 2 ) « e - j 2(w +1)
(6) e -2( t -1)d (t - 1) Q 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) 可得： e -2( t -1)d (t - 1) = d (t - 1) d (t ) « 1 (t = 1)
d F ( jw ) - 2 F ( jw ) dw
y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t ) y ''(t ) + 5 y '(t ) + 6 y (t ) = f '(t ) + f (t )
（1） 求系统的频率响应 H（jw）和冲激响应 h（t） ； （2） 若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，求系统的零状态响应 y f (t ) 。 解： 方程 1：
北邮信号与系统课后答案第3章部分1
为功率信号
（d） P lim 1 T0 u t 2 dt lim 1 T0 1dt 1
T0
2T0 T0
T0 2T0 0
2
为功率信号。
【知识点】能量信号、功率信号 3-3 对信号 f (t) 在数值和时间两方面进行运算变成 af (bt)
（1）如果在全部时间
t
内， f (t) 是具有能量为 W 的能量信号，
f1 t 1
f2 t 1
0
1
2
3t
0
1
2
3t
锯齿形脉冲
正弦脉冲
题 3-6 图
解：
3
0 f1 t f2 t d t
31 t sin
tdt
- t cos
t - 3 sin
3
t
03 3
3
2 30
3
3
sin
2
tdt
31 1 - cos 2 t d t 3
03
02
3
2
C12 2
t2
fe t
- sin t
3
3
3 t - 2 sin t sin tdt
sin 2
1t
4
3 cos 2 1 t 4
15 cos 4 1 t 4
...
2
A 1 T A
sin 2
1t
2
2A 3 cos 2 1t
2A 15 cos 4 1t 2 ...
AA
2A
2A
cos 2
1t
3 cos 2 1t
15 cos 4 1t
...
9
随着T ， C12 ，当T
时使得 C12 0 。
信号与系统课程习题与解答
《信号与系统》课程习题与解答第三章习题(教材上册第三章p160-p172)3-1～3-3,3-5,3-9,3-12,3-13,3-15～3-17,3-19,3-22,3-24,3-25,3-29,3-32第三章习题解答3-2 周期矩形信号如题图3-2所示。
若：求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解：直流分量⎰⎰--=⨯==2222301105)(1ττv Edt dt t f T a TTf(t)为偶函数，∴0=n b)(2cos )(222T n Sa T E tdt n t f T a n πττωττ⎰-==)(21T n Sa T E a F n n πςτ== 基波 =1a )1.0s i n (20)(2πππττ=T Sa T E有效值 39.11.0sin 22021≈=ππa二次谐波有效值 32.122≈a三次谐波有效值 21.123≈a3-3 若周期矩形信号)(1t f 和 )(2t f 波形如题图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1=，E=1V ；)(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3=，E=3V ，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3） )(1t f 和 )(2t f 的基波幅度之比； （4） )(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
解：（1）)(1t f s μτ5.0= s T μ1= E=1V 谱线间隔：khZ T 10001==∆带宽：KHzB f 20001==τ(2) )(2t f s μτ5.1= s T μ3= E=3V间隔：khZ T 310001==∆谱线带宽：KHzB f 320001==τ(3) )(1t f 基波幅度：ππτ2)2cos(4201==⎰dt t T E T a )(2t f 基波幅度：ππτ6)2cos(4201==⎰dt t T E T a幅度比：1：3（4） )(2t f 三次谐波幅度：ππτ2)23cos(4203-=⨯=⎰dt t T E T a 幅度比：1：13-5 求题图3-5所示半波余弦信号的傅立叶级数。
信号与系统第二版课后答案 (3)
信号与系统第二版课后答案第一章简介1.1 信号与系统的定义1.1.1 信号的定义信号是对某一现象或信息的描述，可以是物理量、采样值、传感器输出等。
根据信号的不同特性，可以将其分为连续信号和离散信号。
1.1.2 系统的定义系统是对信号加工与处理过程的描述。
系统可以是硬件电路、算法或计算机软件。
根据系统对信号的作用方式，可以将其分为线性系统和非线性系统。
1.2 信号的分类1.2.1 连续信号与离散信号连续信号是在时间上连续变化的信号，可以用数学函数进行描述。
离散信号则是在时间上呈现离散变化的信号，通常通过采样离散化得到。
1.2.2 有限信号与无限信号有限信号是在有限时间内存在的信号，其持续时间有限。
无限信号则是在无限时间内存在的信号，持续时间可以是无限的。
1.3 系统的分类1.3.1 线性系统与非线性系统线性系统满足线性叠加原理，即将输入信号与线性系统的响应相加所得到的输出信号仍然是系统的响应。
非线性系统则不满足线性叠加原理。
1.3.2 因果系统与非因果系统因果系统的输出只与当前和过去的输入有关，不受未来输入的影响。
非因果系统的输出则可能与未来的输入有关。
第二章离散信号与系统2.1 离散信号的表示与性质2.1.1 离散信号的表示离散信号可以通过序列来表示，其中序列是一组按照一定顺序排列的数字。
离散信号可以是有限序列或无限序列。
2.1.2 离散信号的性质离散信号的性质包括幅度、相位、频率、周期性等。
这些性质可以通过变换来描述和分析离散信号。
2.2 离散系统的表示与性质2.2.1 离散系统的表示离散系统可以通过差分方程来表示，其中差分方程描述了输入和输出之间的关系。
离散系统也可以通过单位脉冲响应来描述，单位脉冲响应是当输入为单位脉冲序列时系统的输出。
2.2.2 离散系统的性质离散系统的性质包括稳定性、因果性、线性性等。
这些性质对系统的行为和性能有重要影响。
2.3 离散系统的频域分析2.3.1 傅立叶变换傅立叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以将信号表示为频率的函数。
信号与系统-第三章习题讲解
E
[Sa2 (
0
)e
j
( 0 2
)
Sa2 (
0
)e
j
( 0 2
)
]
4
4
4
3 39决 定 下 列 信 号 的 最 低 抽 样 频 率 与 奈 奎 斯 特 间 隔 ： (1) : S a (1 0 0 t ); ( 2 ) : S a 2 (1 0 0 t )； (3 ) : S a (1 0 0 t ) S a (5 0 t ); ( 4 ) : S a (1 0 0 t ) S a 2 (6 0 t )
故 f ( t ) 2 E 1 s i n ( n t ) 2 E 1 s i n ( n 2 t )
n n 1 . 3 . 5 . . .
n n 1 . 3 . 5 . . .
T
= 2 E [sin ( t) 1 sin (3 t) 1 sin (5 t) ...]
1 2
[ (
0 ) (
0 )]* [
1 j
( )]
11
[
2 j( 0 )
j(
1
] 0)
2
[
(
0)
(
0 )]
j
2 0
2
2
[
(
0)
(
0 )]
单边正弦函数的傅立叶变换为：
F [sin( 0t)u (t)]
1 2
F T [sin( 0t)]* F T [u (t)]
1 2
0
b n
2 T1
T1 0
f
(t ) s in ( n 1t ) d t
2[
T 2
E
sin (n t)d t
信号与系统习题课(郑君里)
d2 d d g (t ) g (t ) g (t ) u (t ) u (t ) (t ) u (t ) dt 2 dt dt
起始状态： 其解的形式为： 对
g (0 ) g (0 ) 0
g (t ) Ae
1 3 ( j )t 2 2
Ae
1 3 ( j )t 2 2
5t
C1 e1 ( )d C2 e2 ( )d
5
5t
C1r1 (t ) C2 r2 (t )
由于
e(t t0 ) e( t0 )d
5t
线性的
t0 a
5t t 0
e(a)da
5 ( t t 0 )
(t ) et u(t )
第二章
习题 2-4
连续时间系统的时域分析
2 2 2 0 （1）系统的特征方程： 特征根为：1 1 j, 2 1 j t 零输入响应的形式： rzi (t ) e ( A1 cost A2 sin t ) 将 r (0 ) 1, r(0 ) 2 代入上式，求出常数：
q(t ) a1q(t ) a0q(t ) e(t )
将代入原微分方程，得
q (t ) 和 r (t )
满足：
r (t ) b0q(t ) b1q(t )
将和用方框图实现，得到如下系统仿真框图
b1
e (t )
q(t )
q(t )
r (t )
a1
而
C1r1 (t ) C2 r2 (t ) C1 sin[e1 (t )]u(t ) C2 sin[e2 (t )]u(t )
西安交通大学_信号与系统A课后习题(第3、4章)
6
7
8
9
10
t
(c)
1
《第二次课后作业》 28 对下图所示的离散时间周期信号 x[n] 求傅里叶级数系数， 并画出每一组系数 ak 的模和相位。
x[n] … -12 -6 1 … 0 6 12 n
(b)
x[n] 2 … -12 -6 1 … 0 -1 6 12 n
(c) 11 现对一信号 x[n] 给出如下信息： 1. x[n] 是实、偶信号。 3. a11 = 5 2. x[n] 有周期 N = 10 和傅里叶系数 ak 。 4.
《第二次课后作业》 11 已知下列关系：
y (t ) = x(t ) ∗ h(t )
和
g (t ) = x(3t ) ∗ h(3t )
并已知 x(t ) 的傅里叶变换是 X ( jω ) ， h(t ) 的傅里叶变换是 H ( jω ) ，利用傅里叶变换性质证明
g (t ) 为 g (t ) = Ay ( Bt )
x(t ) = t , 0 < t < 1
3
画出 x(t ) 并求出它的傅里叶级数系数。 45 设 x(t ) 是一个实周期信号，其正弦-余弦形式的傅里叶级数表示为
x(t ) = a0 + 2∑ [ Bk cos kω0t − Ck sin kω0t ]
k =1
∞
(a) 求 x(t ) 的偶部和奇部的指数形式的傅里叶级数表示；也就是利用上式的系数求下面 两式中的 α k 和 β k ，
h (t ) = e
−4 t
z[n] = x[n] y[ n]
对下列各输入情况下，求输出 y (t ) 的傅里叶级数表示： (b) x(t ) = ∑ n =−∞ (−1) n δ (t − n)
信号与系统课后答案(西南交大)
y x (t ) = 3e −2 t − 2 e−3 t t ≥ 0 y f ( t ) = te−2 t − e−2 t + e −3 t t ≥ 0
自由响应 2 e−2 t − e −3 t 强迫响应 te−2 t 稳态响应 0
暂态响应 te−2 t + 2e −2 t − e− 3t t ≥ 0
2.19 y f ( t ) =
2.22① t 3 u( t ) ④(
②∞
③( t−
1 2
1 1 −2 t + e )u( t ) 4 4
sin t + cost 1 −t − e )u( t ) ⑤ eu (t − 3) + e t − 2 u( 3 − t ) ⑥ cos(ωt + 45° ) 2 2 1 − cosπt cosπt − 1 1 1 2.23① u( t ) + u( t − 2) ② t 2 u( t ) − ( t − 1)2 u( t − 1) π π 2 2
3.6 f (t ) =
1 − j 3 ω0 t 3 − j 2 ω 0 t 3 1 e + e + e − jω 0 t + 1 + e jω 0 t + e j 2 ω0 t + e j 3 ω 0t 2 2 2 2
3.7 f (t ) = cos( 4ω0 t + 20°) + 2 cos( 2ω0 t + 30 °) + 3 cos(ω 0 t + 10° ) + 2
p2 + p +1 2.3 H ( p ) = 3 p + 2 p2 + 3p + 2 p2 + 3 p + 2 2.4 H ( p ) = 2p2 +3p +2
《信号与系统》第二版课后答案_（郑君里）_高等教育出版社
5t −∞
e2
(τ
)
dτ
= c1r1 (t ) + c2r2 (t )
∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 时变：输入 e t − t0
，输出
5t
e
−∞
τ
− t0
τ −t0 = x
dτ =
e 5t −t0
−∞
x
dx ≠
e 5(t−t0 )
−∞
x
dx = r
t − t0
非因果： t
= 1时，
解题过程： （1）方法一：
f (t)
1
f (t − 2)
1
→
-2
-1
f (3t − 2)
0
1
→
1
2
f (−3t − 2)
1
→
3
2/3 1
-1 -2/3
方法二：
f (t)
f (3t )
1
1
→
→
-2
-1
f (3t − 2)
0
1
-2/3
→
1/3
f (−3t − 2)
2/3 1 方法三：
-1 -2/3
1
f (t)
（2） r (t ) = e(t )u (t )
线性：设 r1 (t ) = e1 (t )u (t ) 、 r2 (t ) = e2 (t )u (t ) ， 则 ⎡⎣c1e1 (t ) + c2e2 (t )⎤⎦ u (t ) = c1r1 (t ) + c2r2 (t )
6
时变：输入 e (t − t0 ) ，输出 e (t − t0 )u (t ) ≠ e (t − t0 )u (t − t0 ) = r (t − t0 ) 因果： r (t ) 仅与此时刻 e (t ) 有关 （3） r (t ) = sin ⎡⎣e(t )⎤⎦ u (t ) 非线性：设 r1 (t ) = sin ⎡⎣e1 (t )⎤⎦ u (t ) 、 r2 (t ) = sin ⎡⎣e2 (t )⎤⎦ u (t ) ， 则 sin ⎡⎣c1e1 (t ) + c2e2 (t )⎤⎦ u (t ) ≠ sin ⎡⎣c1e1 (t )⎤⎦ u (t ) + sin ⎡⎣c2e2 (t )⎤⎦ u (t ) 时变：输入 e (t − t0 ) ，输出 sin ⎡⎣e (t − t0 )⎤⎦ u (t ) ≠ sin ⎡⎣e(t − t0 )⎤⎦ u (t − t0 ) = r (t − t0 ) 因果： r (t ) 仅与此时刻 e (t ) 有关 （4） r (t ) = e (1− t ) 线性：设 r1 (t ) = e1 (1− t ) 、 r2 (t ) = e2 (1− t ) ，则 c1e1 (1− t ) + c2e2 (1− t ) = c1r1 (t ) + c2r2 (t ) 时变：设 e1 (t ) = u (t ) − u (t −1.5) ，则 r1 (t ) = u (t + 0.5) − u (t ) e2 (t ) = e1 (t − 0.5) = u (t − 0.5) − u (t − 2) ，则 r2 (t ) = u (t +1) − u (t − 0.5) ≠ r1 (t − 0.5) 非因果：取 t = 0 ，则 r (0) = e (1) ，即 t = 0 时刻输出与 t = 1时刻输入有关。 （5） r (t ) = e(2t ) 线性：设 r1 (t ) = e1 (2t ) 、 r2 (t ) = e2 (2t ) ，则 c1e1 (2t ) + c2e2 (2t ) = c1r1 (t ) + c2r2 (t ) 时变：设 e1 (t ) = u (t ) − u (t − 2) ，则 r1 (t ) = u (t ) − u (t −1) e2 (t ) = e1 (t − 2) = u (t − 2) − u (t − 4) ，则 r2 (t ) = u (t −1) − u (t − 2) ≠ r1 (t − 2) 非因果：取 t = 1，则 r (1) = e (2) ，即 t = 1时刻输出与 t = 2 时刻输入有关。 （6） r (t ) = e2 (t ) 非线性：设 r1 (t ) = e12 (t ) 、 r2 (t ) = e22 (t ) ， 则 ⎡⎣c1e1 (t ) + c2e2 (t )⎤⎦2 = c12e12 (t ) + c22e22 (t ) + 2c1c2e1 (t ) e2 (t ) ≠ c1r1 (t ) + c2r2 (t ) 时不变：输入 e (t − t0 ) ，输出 e2 (t − t0 ) = r (t − t0 ) 因果： r (t ) 仅与此时刻 e (t ) 有关
信号与系统习题课
dg (t ) = 2e −2t u (t ) 解： 系统冲激响应 h(t ) = dt 2 系统函数 H ( s ) = L [ h(t ) ] = s+2
R( s ) 1 s − 1 ( s + 2) − 1 ( s + 2)2 E ( s) = = H (s) 2 ( s + 2) 1 12 = − s s+2
2-12 有一系统对激励为 e ( t ) = u( t ) 时的完全响应 1 为 r ( t ) = 2e−tu( t ) ，对激励 e2 ( t ) =δ ( t ) 时的完全响应 1 为 r2 ( t ) =δ ( t ) ，求 （1）该系统的零输入响应 rzi ( t ) ； ） （2）系统的起始状态保持不变，求其对激励为 ）系统的起始状态保持不变， e3 ( t ) = 2e−tu( t ) 的完全响应 r ( t ) 3
3-27 利用微分定理求图示半波正弦脉冲 f ( t ) d2 f ( t ) 2π 的频谱。 及其二阶倒数 2 的频谱。 ω =
f (t )
E
dt
1
f '(t )
Eω1 t
O
f '' ( t )（E ω1）源自ω1T（E ω1）
t
O -E ω1
2
O 3-27图
T/2
t
-Eω1
T/2
T/2
a
b
• 解
f ( t ) 的一阶及二阶导数的波形如图a，b所示， 由b可看出：
ωT −j 2 2 • 由微分定理 ( jω ) F (ω ) = −ω1 F (ω ) + Eω1 1 + e ωT −j 2 2 2 (ω1 − ω ) F (ω ) =Eω1 1 + e ωT −j 2 E ω1 1 + e F (ω ) = 从而： (ω12 − ω 2 )
信号与系统第二版课后习题解答（3-4）
信号与系统第二版课后习题解答（3-4）Chap 33.1 A continuous-time periodic signal x(t) is real value and has a fundamental period T=8. The nonzero Fourier series coefficients for x(t) arej a a a a 4,2*3311====--.Express x(t) in the form)cos()(0k k k k t A t x φω+=∑∞=Solution:Fundamental period 8T =.02/8/4ωππ==00000000033113333()224434cos()8sin()44j kt j t j t j t j tk k j t j t j t j tx t a e a e a e a e a e e e je je t t ωωωωωωωωωππ∞----=-∞--==+++=++-=-∑3.2 A discrete-time periodic signal x[n] is real valued and has afundamental period N=5.The nonzero Fourier series coefficients for x[n] are10=a ,4/2πj e a --=,4/2πj e a =,3/*442πj ea a ==- Express x[n] in the form)sin(][10k k k k n A A n x φω++=∑∞=Solution:for, 10=a , 4/2πj ea --=, 4/2πj ea =, 3/42πj ea --=,3/42πj e a =n N jk k N k e a n x )/2(][π∑>=<=n j n j n j n j e a e a e a e a a )5/8(4)5/8(4)5/4(2)5/4(20ππππ----++++=nj j n j j n j j n j j e e e e e e e e )5/8(3/)5/8(3/)5/4(4/)5/4(4/221ππππππππ----++++=)358cos(4)454cos(21ππππ++++=n n)6558sin(4)4354sin(21ππππ++++=n n3.3 For the continuous-time periodic signal)35sin(4)32cos(2)(t t t x ππ++=Determine the fundamental frequency 0ω and the Fourier series coefficients k a such thattjk k kea t x 0)(ω∑∞-∞==.Solution: forthe period of )32cos(t πis 3=T , the period of )35sin(t πis 6=Tso the period of )(t x is 6, i.e. 3/6/20ππ==w )35sin(4)32cos(2)(t t t x ππ++=)5sin(4)2cos(21200t t ωω++=0000225512()2()2j t j t j t j t e e j e e ωωωω--=++--then, 20=a , 2122==-a a , j a 25=-, j a 25-=3.5 Let 1()x t be a continuous-time periodic signal with fundamental frequency 1ω and Fourier coefficients k a . Given that211()(1)(1)x t x t x t =-+-How is the fundamental frequency 2ω of 2()x t related to?Also, find a relationship between the Fourier series coefficients k b of 2()x t and the coefficients k a You may use the properties listed in Table 3.1. Solution:(1). Because )1()1()(112-+-=t x t x t x , then )(2t x has the same period as )(1t x ,that is 21T T T ==, 12w w =(2). 212111()((1)(1))jkw t jkw t k TT b x t e dt x t x t e dt T --==-+-?? 111111(1)(1)jkw t jkw t TTx t e dt x t e dt T T --=-+-??111)(jkw k k jkw k jkw k e a a e a e a -----+=+=3.8 Suppose given the following information about a signal x(t): 1. x(t) is real and odd.2. x(t) is periodic with period T=2 and has Fourier coefficients k a .3. 0=k a for 1||>k .4 1|)(|21202=?dt t x .Specify two different signals that satisfy these conditions. Solution:0()j kt k k x t a e ω∞=-∞=∑while: )(t x is real and odd, then k a is purely imaginary andodd ，00=a , k k a a --=,.2=T , then 02/2ωππ==and 0=k a for 1>k so0()j kt k k x t a e ω∞=-∞=∑00011j t j t a a e a e ωω--=++)sin(2)(11t a e ea t j tj πππ=-=-for12)(2121212120220==++=-?a a a a dt t x ∴ j a 2/21±=∴ )sin(2)(t t x π±=3.13 Consider a continuous-time LTI system whose frequency response is∞∞--==ωωωω)4sin()()(dt e t h j H t jIf the input to this system is a periodic signal<≤-<≤=84,140,1)(t t t x With period T=8,determine the corresponding system output y(t). Solution:Fundamental period 8T =.02/8/4ωππ==0()j kt k k x t a e ω∞=-∞=∑∴ 00()()jk t k k y t a H jk e ωω∞=-∞=∑0004, 0sin(4)()0, 0k k H jk k k ωωω=?==?≠? ∴ 000()()4jkw t k k y t a H jk e a ω∞=-∞==∑Because 48004111()1(1)088T a x t dt dt dt T ==+-=另：x(t)为实奇信号，则a k 为纯虚奇函数，也可以得到a 0为0。
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也就是说，时域和频域的能量是守恒的。
Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
周期矩形脉冲频谱及 其特点
F n1
E
T1
Sa
n
1
2
图中T 5
F (n1 )
频谱图
F
E 2π
O 2π 4π
F
E
相位频谱
2π O 2π 4π
π
2π 0
2π 4π
π
F E Sa
2
频宽：
B
2π
或B f
1
2．单边指数信号
f
t
Ee
2
简写 f t F
傅里叶变换存在的条件
f t d t 有限值
(充 分 条 件)
所有能量信号均满足此条件。
典型非周期信号的频谱
•矩形脉冲 •单边指数信号 •直流信号 •符号函数 •升余弦脉冲信号
1．矩形脉冲信号
f t
F
2
2
Ee j
O
(1)包络线形状：抽样函数
(3)离散谱（谐波性）
当
n
时
1
取
值
令 ＝2π
2
Fn 0，相位为0，Fn 0, 相位为π 。
傅里叶变换对
F ( ) f (t )ej t d t F f (t)
f (t) 1 F ej t d F 1F
O
t
f1 t
E
O
t
F
2π E
O
4．符号函数 不满足绝对 可积条件
s gn(t )
f
(t
)
sgn
t
1, 1,
t0 t0
1
e t
F 2
j
e t O
t
1
5.升余弦脉冲信号
f
t
E 2
1
cos π
t
0 t
f t
E
E
2
F
E sin
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
π
E Sa
1
2
Fπ
O
2
t
2
E
E
2
O
π 2π 3π 4π
例题
例题1：傅里叶级数——频谱图 例题2：傅里叶变换的性质 例题3：傅里叶变换的定义 例题4：傅里叶变换的性质 例题5：傅里叶变换的性质 例题6：傅里叶变换的性质 例题7：傅里叶变换的性质、频响特性 例题8：傅里叶变换的性质 例题9：抽样定理 例题10：周期信号的傅里叶变换
t0
余弦分量的幅度
2 an T
t0 T
t0
f (t)cos n1t
dt
正弦分量的幅度
bn
2 T
t0 T
t0
f (t)sin n1t
dt
其他形式
余弦形式
c0 a0
cn
a
2 n
bn2
an cn cos n bn cn sin n
正弦形式
n
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图； n ~ 关系曲线称为相位频谱图。 可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
指数形式的傅里叶级数
f (t)
F (n1 ) ejn1t
n
F (n1
)
1 T
T1 f (t )e jn1t d t
0
两种频谱图的关系
t
dt
E
Sa
2
E
t
2O 2
幅度频谱： F E Sa
2
相位频谱：
0 π
4nπ 22n 1π
22n 1π 22n
2π
n 0,1,2,
幅度频谱
三个性质
收 敛 性 ： n , F n1
谐 波 性 ：（ 离 散 性 ） ， 频 率 只 出现 在n1处
惟 一 性 ： f (t)的 谱 线 唯 一
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
引入负频率
周期信号的对称性与付立叶系数的关系。
f (t)的对称条件
展开式中系数特点
f (t)
t
t 0
0
0 t 0
F ( ) E j
幅度频谱
F
E
O
f t
E
O
t
相位频谱
π2
O π 2
3．直流信号
f (t) E, t
E 2πE
f t
E
不满足绝对可积 条件，不能直接
用定义求 F
arctan
bn an
d0 a0
an dn sin n
dn an2 bn2
bn dn cos n
n
arctan
bn an
幅度频率特性和相位频率特性
周 期 信 号 可 分 解 为 直 流， 基 波 （1） 和 各 次 谐 波 （n1 : 基波角频率的整数倍）的线性组合。
2
F
f (t) f (t T )，半周镜像（奇谐函数） 无偶次谐波，只有奇次谐波分量
2
F
周期信号的功率
P 1 T
T 0
f
2(t)d t
a02
1 2 n1
an2 bn2
a02
1 2
cn2
n1
Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明：
● 三 角 函 数 形 式 ：cn ~ ，n ~
指数函数形式F：n ~ ，n ~
关系
F (n1 )
1 2
cn n
0
单边频谱 双边频谱
F0 c0 a0
● 指数形式的幅度频谱为偶函数
F (n1 ) F (n1 )
● 相位频谱为奇函数
(n1) (n1)
f (t)，纵轴对称（偶函数 ）
bn
0，an
4 T
t0
T 2
t0
f (t) cos n1tdt
f (t) f (t)，原点对称（奇函数）
an
0，bn
4 T
t0
T 2
t0
f (t) sin n1tdt
f (t) f (t T )，半周重叠（偶谐函数） 无奇次谐波，只有直流和偶次谐波
三角函数形式的傅里叶级数形式
周期信号
f
t ,周 期 为T1
, 基 波 角 频 率 为1
2
T1
在满足狄氏条件时，可展成
f (t) a0 an cosn1t bn sinn1t
1
n1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量
1
a0 T
t0T f (t)d t
内容摘要
一.周期信号的傅里叶级数
形式
三角形式：单边频谱 指数形式：双边频谱
频谱：离散性、谐波性、收敛性 周期矩形脉冲信号的频谱特点
二.傅里叶变换
定义及傅里叶变换存在的条件 典型非周期信号的频谱 冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换 性质→应用：调制和解调→频分复用 周期信号的傅里叶变换：由一些冲激函数组成 抽样信号的傅里叶变换→抽样定理→应用：时分复用