圆心角的性质

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初中数学什么是圆心角

初中数学什么是圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。

下面我将详细介绍什么是圆心角，并提供相关的定义、性质和应用：1. 圆心角的定义：圆心角是以圆心为顶点的角，它的两条边分别是从圆心出发的两条射线，这两条射线与圆上的两点相交。

圆心角通常用大写字母表示，如∠AOB。

2. 圆心角的性质：-圆心角的度数等于所对弧的度数：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

例如，如果圆上的弧AB的度数为x度，那么以圆心为顶点的圆心角∠AOB的度数也为x度。

-圆心角的度数范围：圆心角的度数范围是0度到360度（或0到2π弧度）。

-圆心角的度数与弧长的关系：圆心角的度数与所对弧的弧长有一定的比例关系。

具体关系是：圆心角的度数等于所对弧的弧长与圆的半径的比值乘以360度（或2π弧度）。

-圆心角的特殊情况：如果圆心角的度数为90度（或π/2弧度），那么这个圆心角称为直角；如果圆心角的度数为180度（或π弧度），那么这个圆心角称为半圆；如果圆心角的度数为360度（或2π弧度），那么这个圆心角称为整圆。

3. 圆心角的应用：圆心角在几何学和物理学中有广泛的应用。

例如：-圆心角可用于计算弧长：通过圆心角的度数和所对弧的半径，可以计算出所对弧的弧长。

-圆心角可用于解决几何问题：通过圆心角的性质，可以解决与圆相关的角度、长度及面积等问题。

-圆心角可用于描述物理现象：在物理学中，圆心角可用于描述物体在圆周运动中所转过的角度。

需要注意的是，圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于所对弧的度数。

圆心角的度数范围是0度到360度，它与所对弧的弧长有一定的比例关系。

圆心角在几何学和物理学中有广泛的应用。

以上是关于圆心角的定义、性质和应用的介绍。

希望以上内容能够满足你对圆心角的了解。

九年级圆心角知识点总结

九年级圆心角知识点总结圆心角是指以圆心为顶点的角。

在九年级几何学中，学生们需要掌握圆心角的定义、性质和求解方法。

本文将对圆心角的相关知识进行总结，以帮助学生们更好地理解和应用这一概念。

一、圆心角的定义圆心角是由圆心和圆上两点确定的角，以圆心为顶点。

通常用大写字母表示圆心角，如∠AOB，其中O为圆心，A、B为圆上两点。

二、圆心角的性质1. 圆心角的度数等于所对弧的度数。

也就是说，圆心角所对弧的度数是一样的。

2. 圆心角的度数是圆周角度的一半。

圆周角是整个圆的角度，为360°。

因此，圆心角的度数等于圆周角度的一半，即180°。

3. 圆心角与弦和切线的关系。

当一个弦与切线相交时，相交点处的圆心角等于该弦所对的弧的一半。

4. 圆心角与弦和割线的关系。

当一个弦与割线相交时，相交点处的圆心角等于该弦所对的弧减去割线所截弧的度数。

三、圆心角的求解方法1. 已知圆周角度，求圆心角度。

根据圆心角的性质2，圆心角的度数等于圆周角度的一半。

示例：已知圆周角的度数为120°，则圆心角的度数为120°÷2=60°。

2. 已知弦或切线，求圆心角度。

根据圆心角的性质3，当一个弦与切线相交时，相交点处的圆心角等于该弦所对的弧的一半。

示例：已知弦AB所对的弧的度数为80°，则圆心角∠AOB的度数为80°÷2=40°。

3. 已知弦或割线，求圆心角度。

根据圆心角的性质4，当一个弦与割线相交时，相交点处的圆心角等于该弦所对的弧减去割线所截弧的度数。

示例：已知弦AB所对的弧的度数为120°，割线CD所截弧的度数为40°，则圆心角∠AOB的度数为120°-40°=80°。

四、圆心角的应用圆心角是几何学中一个重要的概念，广泛应用于解题和实际问题中。

以下是一些常见的应用场景：1. 在解决求角度问题时，可以利用圆心角的性质与已知条件进行推导和计算。

《圆心角》教学课件

202X-01-06
《圆心角》教学课件
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Байду номын сангаас
• 圆心角的基本概念 • 圆心角与弧长、弦长之间的关系 • 圆心角的应用 • 圆心角的计算方法 • 圆心角的综合练习
01
圆心角的基本概念
圆心角的定义
总结词
明确圆心角的概念
详细描述
圆心角是指连接圆心与圆上任意一点的线段所夹的角，是圆的基本元素之一。
通过比较不同大小圆心角所对的弧长和面积，可以深入理解圆心角与圆周长的关系，以及圆心角与圆面积的关系。
在实际问题中的应用
在实际问题中，圆心角的概念可以帮助我们解决一些与旋转和运动相关的问题。例如，在机械工程中，了解圆心角可以帮助我们计算旋转体的运动轨迹和速度。
在物理学中，圆心角的概念也广泛应用于角动量、转动惯量等领域。了解圆心角可以帮助我们理解物体旋转的规律和特点。
在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，圆心角的概念是重要的考点之一。通过解决与圆心角相关的数学问题，可以考察学生的数学思维能力和解题技巧。
一些复杂的数学问题可能需要综合运用几何、代数和三角函数等知识，通过构造适当的圆心角，可以简化问题并找到解决方案。
04
圆心角的计算方法
利用半径和圆心角计算弧长
弧长与圆心角的关系
01
02
03
弧长公式
弧长 = 圆心角（弧度） × 半径
解释
弧长与圆心角成正比，当圆心角增大时，弧长也相应增大。
实例
当圆心角为1弧度时，半径为5的圆的弧长为5。
弦长与圆心角的关系
弦长公式
弦长 = 2 × 半径 × sin（圆心角/2）

圆心角和圆周角的综合应用

圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补习题库一．同弧（等弧）所对的圆周角相等；同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。

(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有个.2. 如图，ABC △内接于圆O ，50A =∠，60ABC =∠，BD 是圆O 的直径， BD 交AC于点E ，连结DC ，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是C A上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是．(2)等弧与圆周角 1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（） A.25º B.29º C.30º D.32°3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（）。

圆心角的性质

圆心角的表示方法
圆心角通常用希腊字母θ(theta)表示，也可以用大写字母K 表示。
表示圆心角的时候，需要标明它所在圆的半径和弧长或者弧度。
圆心角与弧的关系
圆心角和弧是有密切关系的，可以用公式表示：弧长=弧度×
半径。
一段弧的长度和它的圆心角的大小是成正比的，也就是说，圆心角越大，弧的长度也就越
05
圆心角的应用实例
圆心角在机械制图中的应用
机械制图是工程和技术领域中非常重要的一个方面，而圆心角的应用在其中扮演了重要角色。
利用圆心角可以准确地标注和计算角度，例如在绘制齿轮、蜗轮、涡轮等复杂的三维模型时就需要使用圆心角进行精确计算。
圆心角在机械制图中的应用还表现在对一些精密零件的设计和制造上，例如钟表和精密机床等，这些都需要准确地计算和标注圆心角。
圆心角在作图中还被用于确定圆弧的起止点，如已知圆弧的起点、圆心和终点三个点，可以通过圆心角的大小计算出圆弧的长度，从而进行绘制。
圆心角在解析几何中的应用
圆心角在解析几何中常被用于求解二次方程的实数根，如将二次方程的曲线表达式转化为圆的标准式，然后通过求解圆心角所对应的三角函数值，进而求解出二次方程的实数根。
圆心角在建筑设计中的应用
建筑设计是一项复杂的工作，需要考虑各种因素，而圆心角的应用在其中起到了关键作用。
利用圆心角可以精确地计算和设计建筑物的角度和形状，例如在建造圆形建筑、半圆形建筑或多边形建筑时就需要考虑圆心角的影响。
圆心角在建筑设计中的应用还表现在对建筑物内部结构的设计和规划上，例如在考虑采光、通风、视野等因素时就需要考虑圆心角的影响。
圆心角在解析几何中还被用于计算曲线上的点到原点的距离，如已知一个圆的圆心和半径，可以通过计算圆心角的大小来求解曲线上的点到原点的距离。

平面几何中的圆心角与弧度

平面几何中的圆心角与弧度几何学是研究空间形状、大小、相对位置和变换的一门学科。

在几何学中，圆是其中一个重要的概念，而圆心角和弧度则是在平面几何中常常涉及的内容。

本文将介绍平面几何中的圆心角和弧度的概念、性质以及应用。

一、圆心角的概念与性质在一个圆中，以圆心为顶点的角称为圆心角。

圆心角的大小通常用度数来表示。

当圆心角的度数为360°时，它对应的圆弧长度等于整个圆的周长，这称为一个圆周角。

另外，当圆心角的度数小于360°时，它对应的圆弧长度则小于整个圆的周长。

圆心角与圆弧之间有一个重要的关系，即圆心角的度数等于其所对应的圆弧的长度与半径的比值。

我们可以利用这个关系来计算圆心角的度数。

例如，当圆弧长度为半径的一半时，圆心角的度数为180°。

圆心角还有一个重要的性质是，如果两个圆心角的度数相等，那么它们所对应的圆弧的长度也相等。

这意味着，圆心角的度数可以用于判断两个圆弧是否等长。

二、弧度的概念与性质除了使用度数来表示圆心角的大小之外，在平面几何中还常常使用弧度来度量角的大小。

弧度是一个无量纲的量，表示的是一段圆弧的长度与半径的比值。

它的符号为rad。

弧度与度数之间存在一个重要的关系，即360°等于2π弧度。

这意味着，我们可以通过将角度转换为弧度来进行计算。

例如，180°等于π弧度。

弧度的优点在于，它可以更直观地表示角在圆周上所占的比例。

而且，在很多计算中，使用弧度可以简化问题，使得计算更加方便。

因此，在一些数学和物理领域，如三角函数、微积分等，常常使用弧度来度量角的大小。

三、圆心角与弧度的应用圆心角和弧度在几何学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 三角函数计算：在三角函数中，正弦、余弦和正切等函数可以通过圆心角的概念来定义和计算。

利用弧度的度量方式，可以更直观地理解和使用三角函数。

2. 弧长计算：利用圆心角的度数和弧度，我们可以计算出任意圆弧的长度。

几何中的圆心角性质

几何中的圆心角性质圆心角是几何中一个重要的概念，它在圆周上的两个点上划出的角度。

在几何学中，圆心角具有一些特殊的性质和定理，它对于理解圆的性质和应用具有重要作用。

本文将介绍圆心角的性质和相关定理。

I. 圆心角的定义与特点圆心角是从圆心出发的两条射线所夹的角。

它的特点如下：1. 圆心角所对的弧长是固定的。

无论圆弧所在的位置和大小如何变化，都不会改变圆心角所对的弧长。

2. 圆心角的度数是圆的半径所决定的。

当圆心角的两条边当中的一条等于圆的半径时，圆心角的度数为45度，即为最小圆心角。

3. 圆周角是最大的圆心角。

当圆心角的两条边分别为圆的直径时，圆心角的度数为180度，即为最大圆心角。

II. 圆心角的重要性质除了上述特点之外，圆心角还具有一些重要的性质和定理。

1. 垂直弧性质：与圆心角所对的弧相垂直的弧，其两条边也是垂直的。

这个性质可以用于解决一些垂直弧的相关问题。

2. 弧度与圆心角的关系：在弧度制中，圆心角的度数与该角所对的弧的弧度数是相等的。

这个关系在弧度制的转换和计算中非常有用。

3. 圆心角的平分线：圆心角的平分线经过圆心，并且将圆心角分成相等的两部分。

这个性质可以用于证明一些相关的圆心角定理。

III. 圆心角的重要定理除了上述性质之外，圆心角还有一些重要的定理，包括以下几个：1. 同弧相等定理：如果两个圆心角所对的弧相等，那么这两个圆心角也相等。

2. 圆心角和弦的关系：圆心角和所对的弦之间存在着一定的关系。

当两个圆心角所对的弦相等时，这两个圆心角也相等。

3. 圆心角的正弦定理：圆心角的正弦定理描述了圆心角边的长度与所对的弦的长度之间的关系。

根据该定理，圆心角边的长度与所对弧的长度的比值等于所对弦的长度与半径的比值。

4. 圆心角的余弦定理：圆心角的余弦定理描述了圆心角边的长度与半径之间的关系。

根据该定理，圆心角边的长度的平方等于半径的平方减去所对弦的长度的平方。

总结：圆心角是几何中的一个重要概念，它在解决圆的性质和应用问题中起着至关重要的作用。

平面几何中的圆与圆心角

平面几何中的圆与圆心角在平面几何中，圆是一种特殊的几何图形，它有着独特的性质和特征。

圆心角是圆与圆心的夹角，在许多几何问题中起着重要的作用。

本文将详细介绍平面几何中的圆与圆心角的相关概念、性质及应用。

一、概述圆是由平面上所有到圆心距离相等的点组成的图形。

在圆上可以定义各种角，其中圆心角是指由两条半径所夹的角。

通常用希腊字母θ（theta）来表示圆心角。

二、圆心角的性质1. 圆心角的定义在一个圆上，以圆心为顶点的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于所对圆弧的度数。

2. 圆心角的度数圆心角的度数范围从0°到360°。

当圆心角为0°时，即为顶点与圆上两点重合，此时两条半径相等；当圆心角为360°时，即为整个圆。

3. 圆心角与弧度的关系圆心角的弧度数等于所对圆弧的弧度数除以半径。

弧度是衡量角度大小的另一种单位，常用符号r表示。

三、圆心角的应用1. 圆心角的测量通过测量圆心角的度数或弧度，可以计算出相应的圆弧长度和扇形面积。

具体计算公式如下：- 圆心角度数和弧长的关系：弧长 = （圆周长 ×圆心角度数）/ 360°- 圆心角弧度和弧长的关系：弧长 = 半径 ×圆心角弧度2. 圆心角在几何证明中的应用圆心角在几何证明中常常用于推导和证明等。

例如，基于圆心角的性质，可以证明两条互相垂直的弦所夹的圆心角相等，也可以通过圆心角的夹角定理证明两条平行弦所夹的圆心角相等。

3. 圆心角在实际生活中的应用圆心角的概念在实际生活中也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，根据圆心角的测量可以确定建筑物的曲线形状和角度大小。

在航空航天领域，圆心角被广泛应用于飞行轨迹计算和飞机导航。

四、总结圆心角是平面几何中研究圆与圆心夹角的重要概念。

通过测量圆心角的度数或弧度，我们可以计算出相应的圆弧长度和扇形面积，也可以应用于几何证明和实际生活中的各种问题。

熟练掌握圆心角的相关概念和性质对于理解和应用平面几何学的原理和方法非常重要。

圆心角及其应用

圆心角及其应用圆心角是指以圆心为顶点的角。

在几何学中，圆心角是一个重要的概念，它具有许多应用。

本文将介绍圆心角的定义、性质及其应用。

圆心角的定义：以圆心为顶点的角被称为圆心角。

一个圆的圆心角对应了在圆上的一个弧，其度数等于所对应弧的弧度数。

性质一：圆心角的度数等于其所对应弧的弧度数。

这个性质可以用弧度制和度数制相互转换时的公式进行推导和证明。

性质二：圆心角的度数范围是0°到360°。

因为360°对应了一个完整的圆。

性质三：在同一个圆中，等弧所对应的圆心角是相等的。

这是因为等弧对应的弧度相等，根据性质一可得。

性质四：圆心角与其所在圆上的另外一个角相等，当且仅当这两个角所对应的弧相等，且它们都在同一圆上。

这个性质可以通过弧度和角度的定义进行推导。

应用一：圆心角在几何学的计算中经常被用到，特别是在弧长和扇形面积的计算中。

根据性质一，我们可以通过圆心角的度数计算弧长和扇形面积。

应用二：圆心角的概念在物理学中也有应用。

在力学中，当一个物体围绕一个固定点做圆周运动时，我们可以利用圆心角的度数计算其所对应的圆周位移。

应用三：圆心角可以用于确定角度的位置。

在导航系统中，我们可以通过圆心角的度数来确定方向的偏转角度。

应用四：圆心角还可以用于解决实际问题。

例如，在城市规划中，可以使用圆心角的概念来确定路口的位置和布局，以保证交通流量的合理分配。

总结：圆心角是以圆心为顶点的角，它具有许多重要的性质和应用。

通过圆心角我们可以计算弧长、扇形面积，确定角度的位置，解决实际问题等。

圆心角的应用广泛，为我们的生活和学习带来了很多便利。

在日常生活和学习中，了解和掌握圆心角的概念及其应用是非常重要的。

无论是几何学的计算，物理学的运动分析，还是实际问题的解决，圆心角都能发挥其独特的作用。

希望通过本文的介绍，读者对圆心角有更深入的了解，并能灵活运用于实际问题中。

圆心角的性质

2023
圆心角的性质
contents
目录
• 圆心角的概念与测量 • 圆心角与扇形面积的关系 • 圆心角在几何图形中的应用 • 圆心角与旋转的关系 • 圆心角的特殊性质
01
圆心角的概念与测量
圆心角定义
圆心角是指从圆心到圆周上任意一点的连线与垂直于该连线
的半径之间的夹角。
圆心角通常用希腊字母θ（西塔）表示。
在几何学中，这个性质可以帮助我们更好地理解圆的性质和定义。例如，由于圆心角的连续性，我们可以将一个圆看作是由无数多个小的扇形组成的，每个扇形的角度都非常小，但它们的和是整个圆的360度。
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在同圆或等圆中，圆心角所对的弦越长，则圆心角越大。
05
圆心角的特殊性质
圆心角的等分性
圆心角的等分性是指将圆心角任意等分，这些等分角都相等。这是圆心角的一个重要的性质，它可以帮助我们更好地理解圆心角的概念和性质。
在几何学中，圆心角通常被定义为从圆心到圆周的射线与圆周的交点所夹的角。因此，圆心角的度数等于其所对的弧的度数。
圆心角的奇偶性
圆心角的奇偶性是指对于一个任意圆心角，如果它能够被2 整除，那么它就是偶数；否则，它就是奇数。
这个性质在几何学中非常重要，因为它可以帮助我们判断一个多边形的边数。例如，一个有偶数条边的多边形必然是偶数个角，而一个有奇数条边的多边形必然是奇数个角。
圆心角的连续性
圆心角的连续性是指圆心角可以无限地增加或减少，而不会达到其最大或最小的值。
圆心角越小，半径越短：当圆心角减小时，相应的半径也会减小，这是因为半径是圆心到圆周的连线段，圆心角越小，连线段越短。
圆心角与半径的关系可以通过几何学原理来证明和验证。

圆心角与圆周角的计算和几何性质

圆心角与圆周角的计算和几何性质圆是我们生活中常见的一种几何图形，它具有独特的性质和特点。

在圆的研究中，圆心角和圆周角是两个重要的概念。

本文将介绍圆心角和圆周角的计算方法以及它们的几何性质。

一、圆心角的计算和性质在圆上任意取一点作为圆心，以该点为顶点，连接圆上另一点，则所形成的角称为圆心角。

圆心角的大小可以通过测量圆心到两个点所形成的弧长，然后利用弧度制进行计算。

根据圆的性质，一个圆心角所对应的弧长是它所在的圆所对应的圆周角所对应的弧长的两倍。

也就是说，圆周角是圆心角的一半。

例如，我们取圆上两个点A、B，以O为圆心，连接OA和OB，并称角AOB为圆心角θ。

如果我们测得AOB所对应的弧长为s，那么根据圆的性质，θ所对应的弧长就是2s。

同时，圆心角还具有一个重要的性质，即圆心角的度数等于它所对应的弧长所对应的圆周角的度数。

二、圆周角的计算和性质圆周角是任意一段圆上弧所对应的角。

计算圆周角的方法是将所对应的弧长除以圆的半径，然后再用180°乘以这个商。

例如，对于圆上的弧AB，如果我们测得其弧长为s，半径为r，那么弧AB所对应的圆周角的度数就是（s/r）× 180°。

圆周角具有以下重要的性质：1. 同样的圆周角所对应的弧长和面积是相等的。

2. 在同一个圆中，圆周角相等的两个弧所对应的弧长也是相等的。

3. 圆周角相等的两个弧所对应的面积也是相等的。

三、圆心角与圆周角的关系在同一个圆中，圆心角和圆周角之间有着密切的关系。

如前所述，圆周角是圆心角的一半。

利用这个关系，我们可以通过求解圆周角的度数来得到圆心角的度数。

例如，如果我们已知一个圆周角的度数为α°，那么它所对应的圆心角的度数就是2α°。

同样地，我们也可以通过求解圆心角的度数来得到圆周角的度数。

如果我们已知一个圆心角的度数为β°，那么它所对应的圆周角的度数就是β°的一半。

通过圆心角和圆周角的关系，我们可以在解决问题时灵活运用这两个概念，从而更好地理解和运用圆的性质。

与圆有关的角(解析版)

专题08 与圆有关的角知识网络重难突破知识点一圆心角1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2.圆心角性质定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．【典例1】（2020•项城市三模）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25°B．40°C．50°D．60°【点拨】连接OB，OC，由半径相等得到△OAB，△OBC，△OCD都为等腰三角形，根据∠A＝75°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【解析】解：连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A＝75°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵＝150°，∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，则的度数为60°．故选：D．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．【变式训练】1．（2019秋•鹿城区月考）一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【点拨】根据正多边形的中心角＝计算即可．【解析】解：设正多边形的边数为n．由题意＝72°，∴n＝5，故选：B．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．2．（2019秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α【点拨】连接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：连接OD，∵的度数为α，∴∠DCE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵BC＝DC，∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，故选：A．【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3.（2019秋•鄞州区期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10 B．13 C．15 D．16【点拨】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4．（2019春•西湖区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数60°．【点拨】根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°【点睛】此题考查圆心角、弧、弦，关键是根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．5.（2018秋•丽水期中）如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．【点拨】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC＝∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM＝ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．【解析】证明：∵弧AC和弧BC相等，∴∠AOC＝∠BOC，又∵OA＝OB，M、N分别是OA、OB的中点∴OM＝ON，在△MOC和△NOC中，，∴△MOC≌△NOC（SAS），∴MC＝NC．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．知识点二圆周角1.圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．2.圆周角性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【典例2】（2019秋•义乌市期末）如图，已知AB为半圆O的直径，AC，AD为弦，且AD平分∠BAC．（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的长．【点拨】（1）利用圆周角定理得到∠C＝∠ADB＝90°，则根据互余计算出∠CAB＝62°，再根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠CAB＝31°，然后根据圆周角定理得到∠CBD的度数；（2）连接OD交BC于E，如图，先利用勾股定理计算出BC＝4，由∠CAD＝∠BAD得到＝，根据垂径定理得到OD⊥BC，BE＝CE＝BC＝2，则OE＝1，然后根据勾股定理计算出BD，接着计算出AD．【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠CAB＝31°，∴∠CBD＝∠CAD＝31°；（2）连接OD交BC于E，如图，在Rt△ACB中，BC＝＝4，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴OD⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝2，∴OE＝AC＝×2＝1，∴DE＝OD﹣OE＝3﹣1＝2，在Rt△BDE中，BD＝＝2，在Rt△ABD中，AD＝＝2．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】1．（2019秋•海曙区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，若∠CAD＝25°，则∠ABD 的度数为（）A．25°B．50°C．65°D．75°【点拨】先根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ACD，然后利用互余计算出∠ACD，从而得到∠ABD的度数．【解析】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣25°＝65°，∴∠ABD＝∠ACD＝65°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．2．（2020•绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°【点拨】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．【解析】解：连接BE，∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，∴∠BOD＝2∠BED＝90°．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．3. （2020•温州一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝∠B，则∠D的度数为60°．【点拨】根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠D，根据题意得到∠B＝2∠D，根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案．【解析】解：由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D，∵∠AOC＝∠B，∴∠B＝2∠D，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠B＝180°，∴∠D+2∠D＝180°，解得，∠D＝60°，故答案为：60．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4.（2019春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E连接EB、DE，EC＝2，BC＝6，则⊙O的半径为 4.5．【点拨】连接BE，AD，求出CD，根据圆周角定理求出∠CAD＝∠CBE，证△CAD∽△CBE，得出比例式，求出AC，即可得出答案．【解析】解：连接BE，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵BC＝6，AB＝AC，∴CD＝BD＝3，∵由圆周角定理得：∠CAD＝∠CBE，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，∴＝，∴＝，解得：AC＝9，∵AB＝AC，∴AB＝9，∴⊙O的半径为＝4.5，故答案为：4.5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．5.（2019秋•温州期末）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：＝．【点拨】由于AC平分∠BAD则∠BAC＝∠DAC，再利用平行线的性质得∠BAC＝∠ACE，所以∠DAC ＝∠ACE，然后根据圆周角定理得到结论．【解析】证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠DAC＝∠ACE，∴＝．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.（2018秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若∠B＝75°，求弧DE的度数；（3）若BD＝3，BE＝4，求AC的长．【点拨】（1）连结AE，如图，由圆周角定理得∠AEC＝90°，而AB＝AC，则根据等腰三角形的性质即可判断BE＝CE；（2）连结OD、OE，如图，在Rt△ABE中，利用互余计算出∠BAE＝15°，再根据圆周角定理得∠DOE ＝2∠DAE＝30°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得到弧DE的度数为30°；（3）连结CD，如图，BC＝2BE＝8，设AC＝x，则AD＝x﹣3，由圆周角定理得∠ADC＝90°，在Rt △BCD中，利用勾股定理得CD2＝55，然后在Rt△ADC中再利用勾股定理得到（x﹣3）2+55＝x2，接着解方程求出x即可．【解析】解：（1）证明：连结AE，如图，∵AC为直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE；（2）解：连结OD、OE，如图，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣75°＝15°，∴∠DOE＝2∠DAE＝30°，∴弧DE的度数为30°；（3）解：连结CD，如图，BC＝2BE＝8，设AC＝x，则AD＝x﹣3，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，在Rt△BCD中，CD2＝BC2﹣BD2＝82﹣32＝55，在Rt△ADC中，∵AD2+CD2＝AC2，∴（x﹣3）2+55＝x2，解得x＝，即AC的长为．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质．知识点三圆内接四边形1.圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．2. 圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．【典例3】（2018秋•崇川区校级月考）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；（2）若∠E＝∠F＝40°，求∠A的度数；（3）若∠E＝30°，∠F＝40°，求∠A的度数．【点拨】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，解方程即可．【解析】解：（1）∠E＝∠F，∵∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC；（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣40°＝50°；（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，∴2∠A+30°+40°＝180°，∴∠A＝90°﹣＝55°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【变式训练】1．（2019秋•越城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠C＝5：7，则∠C＝（）A．210°B．150°C．105°D．75°【点拨】根据圆内接四边形对角互补可得∠C＝180°×＝105°．【解析】解：∵∠A+∠C＝180°，∠A：∠C＝5：7，∴∠C＝180°×＝105°．故选：C．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补．2．（2020•仙居县模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝143°，则∠BOD的度数是（）A．77°B．74°C．37°D．43°【点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝143°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝37°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝74°，故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3．．如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，分别延长AB和DC，它们相交于P，若∠APD ＝60°，AB＝5，PC＝4，则⊙O的面积为（）A．25πB．16πC．15πD．13π【点拨】连接AC，由圆周角定理可得出∠ACD＝90°，再由圆内接四边形的性质及三角形内角和定理可求出∠P AC＝30°，由直角三角形的性质可求出AP、AC的长，由相似三角形的判定定理及性质可得出CD的长，再根据勾股定理接可求出AD的长，进而求出该圆的面积．【解析】解：连接AC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠APD＝60°，∴∠P AC＝30°，∴AP＝2PC＝2×4＝8，∵AB＝5，∴PB＝8﹣5＝3，∵四边形ABCD是以AD为直径的圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠PCB＝180°，∴∠BAD＝∠PCB，∠APD＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴＝，即＝，PD＝6，∴CD＝PD﹣PC＝6﹣4＝2，∴AC＝＝＝4，在Rt△ACD中，AD＝＝＝2．∴OA＝AD＝，∴⊙O的面积＝π×（）2＝13π．故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形求解．4．（2019秋•萧山区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝2．【点拨】连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠BAE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，从而得到∠ACD＝∠CDA，得出AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解析】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD，∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．6.（2019•黄埔区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点，∠CDE＝∠CDF＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）判断DA，DC，DB之间的数量关系，并证明你的结论．【点拨】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE＝∠ABC＝60°，根据圆周角定理、等边三角形的判定定理证明；（2）在BD上截取PD＝AD，证明△APB≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论．【解析】（1）证明：∵∠CDE＝∠CDF＝60°，∴∠CDE＝∠EDF＝60°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠ABC＝60°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝∠EDF＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）解：DA+DC＝DB，理由如下：在BD上截取PD＝AD，∵∠ADP＝60°，∴△APD为等边三角形，∴AD＝AP，∠APD＝60°，∴∠APB＝120°，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，∴DB＝BP+PD＝DA+DC．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．巩固训练1．（2019秋•福田区期末）下图中∠ACB是圆心角的是（）A．B．C．D．【点拨】根据圆心角的概念判断．【解析】解：A、∠ACB不是圆心角；B、∠ACB是圆心角；C、∠ACB不是圆心角；D、∠ACB不是圆心角；故选：B．【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．2．（2019秋•诸暨市期末）用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的（）A．B．C．D．【点拨】根据90°圆周角所对的弦是直径即可判断．【解析】解：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确，其他均不正确；故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理、解题的关键是灵活运用圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．3．（2019秋•拱墅区校级期末）下列语句中，正确的是（）①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．A．①②B．②③C．②④D．④【点拨】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断．【解析】解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；故选：C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键．4．（2019春•西湖区校级月考）圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是（）A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2【点拨】因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．【解析】解：∵圆的内接四边形对角互补，∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：3：1：2．故选：C．【点睛】要掌握圆的内接四边形对角互补的特性．5．（2018秋•句容市校级月考）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC 的度数70°．【点拨】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝70°．【解析】解：连接OE，如图，∵弧CE的度数为40°，∴∠COE＝40°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理．6．（2020•浙江自主招生）如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN 的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．【点拨】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【解析】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．此时P A+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN＝30°，∴∠AON＝60°，∴弧AN的度数是60°，则弧BN的度数是30°，根据垂径定理得弧CN的度数是30°，则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝1，则AC＝．【点睛】此题主要考查了确定点P的位置，垂径定理的应用．7．（2019春•西湖区校级月考）如图，在⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，BC＝9，∠BAC+∠EAD＝180°，则⊙A的直径等于3．【点拨】延长CA，交⊙A于点F，易得∠BAF＝∠DAE，由圆心角与弦的关系，可得BF＝DE，由圆周角定理可得：∠CBF＝90°，然后由勾股定理求得弦CF的长即可．【解析】解：作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴，∴DE＝BF＝6，∵CF是直径，∴∠CBF＝90°，∴CF＝＝＝3，故答案为：3．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．8．（2019秋•香坊区校级期中）如图，AB为 ⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．（1）求证：OE＝OF；（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．【点拨】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝4，设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：连接OA，如图2所示：∵OM⊥AB，∴AM＝AB＝4，设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，在Rt△AOM中，由勾股定理得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OM＝3．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和垂径定理是解题的关键．9．（2019秋•滨江区期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC 交于点E．（1）若∠B＝70°，求弧CD的度数；（2）若AC＝24，DE＝8，求半圆O的半径．【点拨】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC的度数，根据平行线的性质求出∠AOD的度数，然后求出∠DOC的度数可确定弧CD的度数；（2）先证明OE⊥AC得到AE＝CE＝AC＝12，设半径为r，则OE＝r﹣8，然后利用勾股定理得到（r ﹣8）2+122＝r2，然后解方程即可．【解析】解：（1）连接OC，如图，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∠B＝70°，∴∠BAC＝20°，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°，又OD＝OA，∴∠OAD＝55°，∴∠DAC＝35°，∴∠DOC＝2∠DAC＝70°，∴的度数是70°；（2）∵OD∥BC，∴∠OEA＝∠ACB＝90°，∴OE⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝12，设半径为r，则OE＝r﹣8，在Rt△AOE中，（r﹣8）2+122＝r2，解得r＝5，即半圆O的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．【点拨】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形．（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。

七年级数学圆心角知识点

七年级数学圆心角知识点数学是一门对于许多学生来说饱含挑战的学科，而圆心角是其中一个容易被忽视的重要内容。

在七年级数学中，圆心角是一个基础概念，学生们需要充分理解其含义和应用。

在本文中，我们将全面阐述七年级数学圆心角的知识点，帮助学生们更好地掌握这一重要内容。

一、圆心角的定义圆心角是指以圆心为顶点的角，通常用“∠AOC”表示。

其中，A和C是圆上的两个点，O是圆心。

圆心角所对应的弧为弦AB。

二、圆心角的性质1. 圆心角的度数是弧的两倍。

根据圆心角所对应弦的长度，可以计算出圆心角的角度。

具体来说，圆心角的度数等于弦所对应的弧的度数的两倍。

例如，当弦的度数为45°时，圆心角的度数就是90°。

2. 圆心角所对应的弦相等。

对于同一圆上的两个圆心角相等的情况，它们所对应的弦一定是相等的。

因为在圆周上，等弧所对应的圆心角必定相等。

3. 圆心角和外角的关系圆心角和其所对应的外角的度数之和为180°。

其中，外角是指与圆心角在同一圆周上且在其外部的角。

三、圆心角的应用1. 圆心角的测量在解决各种类型的数学问题时，需要使用圆心角的度数进行计算。

例如，在解决弧长或弦长问题时，首先需要计算圆心角的度数，然后可以通过已知条件计算出弧长或弦长。

2. 圆心角的作用在实际生活中，圆心角在许多领域都有着重要的应用。

例如，在测绘学中，需要计算圆形区域的面积和周长。

此时就需要使用圆心角的相关知识进行计算。

另外，圆心角还广泛应用于建筑和制造业。

在建筑设计和制造过程中，需要使用圆形物体的信息进行计算和安装。

四、总结在七年级数学中，圆心角是一个重要的知识点。

学生们需要理解其定义和性质，并学会正确应用。

圆心角的知识在实际生活中有着广泛应用，是学好数学的重要基础。

我们希望学生们能够充分理解圆心角的概念和应用，为未来的学习和实际生活打下坚实的基础。

圆心角与圆外角的关系

圆心角与圆外角的关系圆心角与圆外角是圆内角和圆外角的特殊情况，它们之间存在一定的关系。

本文将从圆心角和圆外角的定义、性质以及它们之间的关系等方面进行探讨。

一、圆心角的定义和性质圆心角是指以圆心为顶点的角。

在一个圆中，以圆心为顶点的角都是圆心角。

圆心角的大小取决于它所对的弧的长度。

1. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

换句话说，圆心角的度数等于它所对的弧所对应的圆心角的弧度数。

例如，一个60°的圆心角所对的弧度数为π/3弧度。

2. 在同一个圆中，圆心角相等的两个角所对应的弧长也相等。

这是因为在同一个圆中，任意两个圆心角所对的弧长是相等的。

3. 圆心角的度数是小于等于360°的，因为一个圆的周长是360°。

二、圆外角的定义和性质圆外角是指圆的两条切线所夹的角。

在一个圆中，圆的两条切线所夹的角都是圆外角。

圆外角的大小取决于它所对应的弧的长度。

1. 圆外角的度数等于它所对应的弧的补角的度数。

换句话说，一个圆外角的度数加上它所对应的圆心角的度数等于180°。

例如，一个120°的圆外角所对应的圆心角的度数为60°。

2. 在同一个圆中，圆外角相等的两个角所对应的弧长也相等。

这是因为在同一个圆中，任意两个圆外角所对应的弧长是相等的。

3. 圆外角的度数是小于等于180°的，因为一个圆的直径对应的圆心角为180°。

三、圆心角与圆外角的关系圆心角和圆外角之间存在一定的关系，可以通过以下几点进行说明：1. 圆心角和圆外角是互补角。

一个圆心角的度数加上它所对应的圆外角的度数等于180°。

这是因为圆心角和圆外角所对应的弧的补角之和为360°，而一个圆的周长是360°。

2. 在一个圆中，圆心角和圆外角是对应的。

对应的意思是，一个圆心角所对应的圆外角的度数等于它所对应的弧的补角的度数。

例如，一个60°的圆心角所对应的圆外角的度数为120°。

圆心角度的知识点总结

圆心角度的知识点总结一、圆心角的定义1. 圆心角的定义：以圆心为顶点，以圆上一点和圆心连线为边的角，称为圆心角。

2. 圆心角的度量：圆心角的度量通常使用度数或弧度来表示。

度数是以360度为一个圆周的度量单位，弧度是以圆的半径为弧长的角度单位。

弧度和度数的转换公式为：弧度 = 度数× π / 180。

二、圆心角的性质1. 圆心角的度数：一个圆心角的度数等于其所对的圆弧的度数。

这是圆心角的一个重要性质。

2. 圆心角的大小关系：如果两个圆心角所对的圆弧相等，那么这两个圆心角的度数也是相等的。

3. 同位角和内错角：在同一个圆周上，同位角相等，内错角之和为180度。

这两个性质是圆心角性质的一部分。

4. 圆心角和弦的关系：圆心角所对的弦长和圆心角的大小是成正比的关系。

这个性质在解决圆的相关问题中经常用到。

三、圆心角的相关定理和定律1. 弧长公式：弧长公式是圆心角的一个常用定理，它表示圆弧的长度和所对的圆心角的度数之间的关系。

弧长公式的一般形式为：l = rθ，其中l为弧长，r为半径，θ为圆心角的度数。

2. 弦长定理：弦长定理是一个通过圆心角计算弦长的定理，如果两条弦所对的圆心角大小相等，那么这两条弦的长度也相等。

3. 正弦定理和余弦定理：正弦定理和余弦定理是用来计算三角形内角和边长关系的定理，它们也可以通过圆心角的概念来进行推导和解释。

4. 切线定理：切线定理是关于切线和圆心角之间的关系的定理，它可以用来计算切线和圆的交点位置以及切线的长度。

四、圆心角在几何证明中的应用1. 利用圆心角性质的证明：在解决一些关于圆的几何问题时，经常需要利用圆心角的性质来进行相关的证明。

比如证明两条弦平分一个圆心角，或者证明两条弦互相相等。

2. 利用圆心角定理的证明：通过圆心角定理和相关定理，可以证明一些关于圆的定理和定律，比如利用弧长公式来证明两个弦所对的圆心角大小相等。

五、圆心角的应用1. 圆心角在工程中的应用：在测量和绘图中，圆心角的概念经常被应用到，比如在地理测量中，可以通过测量圆心角来确定地球上某一点的位置。

七年级下册数学圆心角公式

七年级下册数学圆心角公式1、圆心角的概念在数学中，圆心角是指以圆心为顶点，两条半径为边的角。

圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。

在一个圆中，任意的弧所对应的圆心角都是唯一确定的。

2、圆心角的性质（1）圆心角的度数范围是0°到360°。

（2）同一个圆中，不同的弧所对应的圆心角相等。

（3）一个圆上的直径所对应的圆心角为180°。

（4）一个圆上的半径所对应的圆心角为90°。

3、圆心角公式根据圆心角的性质，我们可以推导出圆心角公式。

设圆心角的度数为x°，弧所对应的度数为y°。

当y°是一个弧度数时，圆心角公式可以表示为：x° = y°。

当y°是一个反得数时，圆心角公式可以表示为：x° = 360° - y°。

4、圆心角的应用（1）在解决与圆相关的几何问题时，圆心角公式可以用于求解未知的圆心角的度数。

例如，已知一个圆的半径为10cm，圆弧的长度为15cm，求对应的圆心角的度数。

解：首先，根据圆周长公式C = 2πr，可以计算出圆的周长。

假设圆心角对应的弧度数为y°，则可以得到以下等式：15cm = 2π(10cm)y°/360°。

通过整理计算，可以求解出y°的值，从而得到圆心角的度数。

（2）圆心角还常用于计算弧度数和角度数的转换。

例如，已知圆弧上的一个弧度数为π/3，求对应的圆心角的度数。

解：根据圆心角公式，可以得到以下等式：x° = π/3 * 180°/π。

通过计算，可以求解出x°的值。

5、总结圆心角是以圆心为顶点，两条半径为边的角，其度数等于对应弧的度数。

圆心角的性质包括度数范围、相等性和特殊情况。

圆心角公式是根据圆心角的性质推导出来的，可以用于求解圆心角的度数。

在几何问题中，圆心角公式常用于求解未知的圆心角度数，同时也用于弧度数和角度数的转换。

初中数学知识归纳圆心角与弧的概念与计算

初中数学知识归纳圆心角与弧的概念与计算初中数学知识归纳：圆心角与弧的概念与计算圆心角和弧是圆周上两个基本的概念，它们在数学中扮演着重要的角色。

本文将对圆心角和弧的概念进行归纳，并介绍如何计算它们。

一、圆心角的概念与性质在圆上任取一点O，以O为圆心画一个角POQ（∠POQ），其中P 和Q分别是圆上的两个点。

这个角POQ称为圆心角。

圆心角具有以下几个性质：1. 圆心角的度数等于其所对应的弧长的度数。

也就是说，∠POQ的度数等于弧PQ所对应的弧长的度数。

2. 圆心角的度数小于或等于圆的周角（360度）。

3. 如果两个圆心角的度数相等，则它们所对应的弧长也相等。

二、弧的概念与性质在圆上任取两点A和B，以A和B为端点画一条弧AB。

这条弧AB是连接点A和点B的圆弧。

弧具有以下几个性质：1. 弧的度数等于其所对应的圆心角的度数。

2. 弧的长度是圆的一部分，可以通过测量弧长来得到。

三、圆心角与弧长的计算公式根据圆心角和弧的定义和性质，我们可以得到以下计算公式：1. 已知弧长，求圆心角的度数：圆心角的度数 = 弧长的度数。

例如，如果弧长为45°，则圆心角的度数也为45°。

2. 已知圆心角的度数，求弧长的度数：弧长的度数 = 圆心角的度数。

例如，如果圆心角的度数为60°，则弧长的度数也为60°。

3. 已知弧长，求弧长的实际长度：弧长的实际长度 = 弧长的度数 ÷ 360° ×圆周长例如，如果弧长的度数为90°，而圆的周长为10π，则弧长的实际长度为90° ÷ 360° × 10π = 2.5π。

4. 已知圆心角的度数，求弧长的实际长度：弧长的实际长度 = 圆心角的度数 ÷ 360° ×圆周长例如，如果圆心角的度数为120°，而圆的周长为12π，则弧长的实际长度为120° ÷ 360° × 12π = 4π。

圆心角与弓形的性质

圆心角与弓形的性质圆心角和弓形是圆的重要概念，它们在几何学中具有特殊的性质和关系。

本文将介绍圆心角和弓形的定义、性质和应用，并通过几个实例加以说明。

一、圆心角的定义与性质圆心角是指以圆心为顶点的角。

对于一个圆，它的圆心角是其所对的圆弧所对应的角。

以下是圆心角的几个性质：1. 任意圆心角的度数都不超过360°。

这是因为任意圆弧的长度都不超过圆的周长，而圆的周长是一个定值，即2πr（r为圆的半径），所以圆心角的度数也是有限的。

2. 圆心角的度数和其所对的弧长之间存在一个特殊的关系。

这个关系可以通过圆的弧长公式得到：圆心角的度数等于其所对的弧长除以圆的半径后乘以180°。

即：θ = l/r × 180°，其中θ为角的度数，l为所对弧的长度，r为圆的半径。

3. 同一个圆中，图形相等的圆心角所对的弧长也相等。

这是因为对于同一个圆，不同的圆心角对应了不同的弧长，但如果这些圆心角相等，那么它们所对应的弧长也必然相等。

二、弓形的定义与性质弓形是两个圆上的点之间的连线所围成的图形。

以下是弓形的几个性质：1. 同一个圆上的弓形对应的圆心角相等。

这是因为同一个圆上的圆心角是以圆心为顶点，而弓形是圆心与圆上的两点所连成的线段，所以它们所对应的圆心角相等。

2. 同一个圆上的弓形所对的圆心角相等。

这是因为同一个圆上的任意一点与圆心所连成的线段长度相等，所以它们所对应的圆心角相等。

3. 如果两个弓形所对的圆心角相等，那么它们所对应的弧长也相等。

这是因为根据圆心角的性质，如果两个角的度数相等，那么它们所对应的弧长也必然相等。

三、圆心角与弓形的应用圆心角和弓形的概念在实际生活中具有广泛的应用。

以下是几个应用实例：1. 在建筑设计中，设计师可以利用圆心角和弓形的性质来确定拱门的形状和尺寸，确保拱门具有均衡美观的外观。

2. 在航空航天领域，工程师可以根据飞机或导弹在航行过程中所需的转弯半径和速度，计算出相应的圆心角和弓形长度，以确保飞行的平稳和安全。

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