人教版数学高二教学设计12.3数学归纳法

2.3 数学归纳法

【教学目标】 （1）知识与技能：

①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤； ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题； ③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论. （2）过程与方法：

努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想. （3）情感态度与价值观：

通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力. 【教学重点】

借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题； 【教学难点】

数学归纳法中递推关系的应用. 【辅助教学】

多媒体技术辅助课堂教学. 【教学过程】

一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性） （情景一）问题1：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？

问题2: 如果{}n a 是一个等差数列，怎样得到()11n a a n d =+-? （情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例.

【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想.归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”.

（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？

如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

二、搜索生活实例，激发学生兴趣

展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？

（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题.）

三、师生合作，形成概念.

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可以按照以下步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值()

*00 n n N ∈时命题成立；

（2）（归纳递推）假设()

*0 , n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+命题也成立. 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 上述这种证明方法叫做数学归纳法. 四、讲练结合，巩固概念 类型一 用数学归纳法证明等式 例1：用数学归纳法证明：2222(1)(21)

1236

n n n n +++++

+=

证明：（1）当1n =时，左边：211=，右边：1(11)(21)

16

⨯+⨯+=，左边=右边，等式成

立.

（2）假设当*

()n k k N =∈时等式成立，

即2222*(1)(21)

123... ()6

k k k k k N ++++++=

∈

则当()

*1 n k k N =+∈时， 左边()()()()2

2

2

2

2

2121123116

k k k k k k ++=++++++=

++

(1)(2)(23)

=6

k k k +++=

右边

即当1n k =+时，等式也成立.

由(1)，(2)得：对*n N ∀∈，等式2222(1)(21)

1236

n n n n ++++++=

成立

【方法技巧】证明中的几个注意问题：

（1）在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳）

（2）在第二步中,证明1n k =+命题成立时,必须用到n k =命题成立这一归纳假设，否则就

打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. （用上假设，递推才真） （3）明确变形目标（写明结论，才算完整） 变式训练：用数学归纳法证明：1

122334(1)(1)(2)3

n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++

证明： （1）当1n =时，左边122=⨯=，右边1

12323

=⨯⨯⨯=，左边=右边，等式成立；

（2）假设当n k =时，等式成立，

即()()()1

1223341123

k k k k k ⨯+⨯+⨯+++=++，

则当1n k =+时

()()()122334112k k k k ⨯+⨯+⨯+

+++++

()()()()1

12123

k k k k k =+++++ ()()11123k k k ⎛⎫

=+++ ⎪⎝⎭

()()()1

111123

k k k =

+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以1n k =+，公式成立， 由（1）（2）可知，当*n N ∈时， 公式1

122334(1)(1)(2)3

n n n n n ⨯+⨯+⨯+

++=++成立.

类型二 归纳——猜想——证明 例2：已知数列

()()

1111

,,,,

,

1447710

3231n n ⨯⨯⨯-+ n S 为该数列的前n 项和，

计算1234,,,S S S S ，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解：111144S =

=⨯， 2118247287

S S =+==⨯ 3212137107010S S =+

==⨯， 43131404

101310101313013

S S =+=+==⨯⨯ 根据上述结果，猜想31

n n

S n =

+.