《二次根式和它的性质(1)》导学案
二次根式导学案教案
二次根式导学案教案课程名称：二次根式导学案适用年级：高中数学（高一或高二）导学目的：1.理解二次根式的含义与性质；2.掌握二次根式的化简与运算规则；3.运用二次根式解决实际问题。
导学内容：1.二次根式的概念A.二次根式是形如√a（a≥0）的根式，其中a称为被开方数；B.当a为非负实数时，存在唯一的非负实数b，使得b²=a，即√a=b；C.若a为非负实数，而b为正实数，则√a记为±b，其中“±”表示正负号的取值。
2.二次根式的性质A.二次根式的值域为非负实数；B.二次根式满足乘方运算规律：(√a)²=a，√(a²)=，a，（，...，表示取绝对值）；C. 二次根式满足四则运算规律：（1）加减运算：√a±√b =√(a±2√ab+b)（2）乘法运算：√a*√b = √(ab)（3）除法运算：√a/√b = √(a/b)。
3.二次根式的化简A.将二次根式化简为最简形式的方法：①提取公因数；②合并同类项；③分解因式。
导学任务：1.计算以下二次根式的值，并判断其是否为整数或无理数：A.√9；B.√16；C.√7；D.√15；2.将下面的二次根式化简为最简形式：A.√12；B.√32；C.√75；D.√98；3.通过合并同类项的方法，将以下二次根式进行化简：A.2√3+3√3；B.√6-3√2+4√2；4.解决以下实际问题：A.一个正方形的面积为128平方单位，求其边长；B.一个长方形的面积为72平方单位，宽是√2个单位，请求其长度。
导学提示：1.在计算二次根式的过程中，应注意，即使在被开方数前有系数，系数的平方根仍需要提取出来；2.化简二次根式时，注意合并同类项的原则，相同根号下的数值项可以进行合并；3.解决实际问题时，可以将问题转化为方程求解，或者利用几何性质进行解答。
导学总结：通过本次导学，我们学习了二次根式的概念与性质，掌握了二次根式的化简与运算规则，并通过实际问题的解决，巩固了所学知识。
第二十二 二次根式导学案 华师
22.1 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）复习引入：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x 2、计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。
2)3(________)(2=a 43、当a为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。
（三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ②223x + ③ 2、（1）若33a a ---有意义，则a 的值为___________．（2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
八年级上册二次根式及其性质导学案
二次根式及其性质 （1）主备人: 备课时间： 第一周学习目标: 1.了解二次根式的概念，会计算二次根式的平方。
2．知道二次根式有意义的条件。
3.会把非负数写成一个数的平方的形式。
重点: 了解二次根式的概念，会计算二次根式的平方。
难点: 二次根式有意义的条件。
一、认定目标: (学生读出目标, 1分钟) 二、预习导航：（一） 1．如果一个数的平方等于a ，这个数叫做a 的__________.2．一个正数的平方根有_________，它们____________，其中正的平方根叫做这个数的_________，0的平方根是__________，0的算术平方根是___________，负数_________。
3．求一个数___________的运算，叫开平方。
4．16的平方根是__________，算术平方根是____________。
5．a-1(a≥1)的平方根是_____________，算术平方根是______________。
（二）、阅读课本第4—6页中间的内容，记住二次根式的定义，并会判断二次根式在什么情况下有意义。
并完成下列题目，时间为8分钟。
1． 计算：2= 2= 2=2． a 为什么实数时，下列各式有意义？a３.计算：（１）(2= （２）(2=（３）2⎛-= ⎝ （４）(2=４.下列非负数分别写成一个数的平方的形式： （1）5 （２）２.8 待解决的问题新发现的问题三、自主探究：合作交流：先小组交流，小组内解决不了的问题由组长提交班内交流，班内交流解决不了的由老师点拨精讲。
四、题组训练:(学生独立完成,用时10分钟)1a 满足的条件是------------2．(22________=-=____=3．((22____=-=--=--4．计算22____⎛⎛+-= ⎝⎝ 5．x 满足什么条件时，下列式子有意义？31xx +___________（26．若x-2 ___ 五、精讲点拨；(1) (a ≥0) 是一个______数。
二次根式的概念、性质(第1、2课时 导学案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念一、新课导入1.导入课题同学们，你能写出下列问题的结果吗？(1)面积为5的正方形的边长是多少？(2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)圆柱的体积为V，高为5，则它的底面半径r是多少？(学生回答结果，老师在黑板上写出)的这些结果有什么共同特点呢？2.学习目标（1）掌握二次根式的基本特征.（2）理解二次根式有意义的条件.3.学习重、难点重点：准确判断一个式子是不是二次根式.难点：求被开方数中所含的字母的取值范围的依据.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P2例1上面的部分.（2）自学时间：3分钟.（3）自学方法：完成思考中的问题，从形式和被开方数分别满足的条件两个方面理解二次根式的意义.（4）自学参考提纲：①教材思考中三个问题的答案依次为②上述四个式子有什么共同特征呢？共同特征：它们表示一些正数的算术平方根.③什么样的式子叫做二次根式？形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.④想一想：如果a＜0，则a是否是二次根式？不是2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握上述问题结果的式子的特点.②差异指导：引导学生从“形式”和“被开方数取值”两个方面进行分析.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处..4.强化（1）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16，34，5-，12+x .答案：3,16,12+x 是二次根式；34,5-不是二次根式，34因为不是开平方，5-的被开方数为负数.（2）解答教材P3第1题.令长方形的长、宽分别为3xcm ，2xcm ，则3x·2x=18，得x 2=3，∴x=，3x=3，2x=2.∴长方形的长、宽分别为3cm 和2cm.（3）形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.注意：被开方数a ≥0.1.自学指导（1）自学内容：教材2P 例1及后面的思考部分.（2）自学时间：3分钟.（3）自学方法：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①确定式子2-x 中字母x 的取值范围的依据是什么？解题步骤是什么？答案：依据是二次根式的概念，x ≥2.②a 取何值时，下列各二次根式有意义？1-a ；32+a ；a -；a -5.答案：a ≥1;a ≥23-;a ≤0;a ≤5.③若a a -+-11有意义，则a 的值为1.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：明了学生对例题不等式的得出的理由是否清楚.②差异指导：指导学生分析使2x 与3x 在实数范围内有意义的条件.（2）生助生：同桌之间相互研讨.4.强化（1）确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围的一般步骤是：①根据a 中a ≥0的条件列不等式；②解不等式；③确定字母的取值范围.（2）归纳总结本节所学知识点和数学思想方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：学生代表交流自己的学习收获和困惑.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收获进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时开始时创设情境，给出实例，使学生独立思考并作答，并适当提出疑问，引出这节课的内容，充分发掘了学生的主体性.二次根式是本书学习的第一个知识点，也是本章的第一个知识点，为之后学习二次根式的加减乘除、勾股定理等知识打下基础.教学时，不仅强化了学生独立思考、探究的能力，还提高了学生的合作交流能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（60分）1.(10分)已知一个正方形的面积是3，那么它的边长是3.2.(10分)使3+x 有意义的x 的取值范围是x ≥-3.3.(10分)下列各式中一定是二次根式的是(B )A.1+x B.2)1(+x C.12-a D.x14.(10分)二次根式a1中，字母a 的取值范围是(D )A.a ＜0B.a ≤0C.a ≥0D.a ＞05.(20分)当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)2+a ；(2)a -3；(3)25a ；(4)12-a .解：(1)a ≥-2;(2)a ≤3;(3)a 为任意实数；(4)a ≥21.二、综合运用(20分)6.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)12+x ；(2)2)1(-x ；(3)21--x ；(4)11-+x x .解：(1)x 为任意实数；(2)x 为任意实数；(3)x<2;(4)x ≥-1且x ≠1.三、拓展延伸(共20分)7.求使xx --21在实数范围内有意义的x 的取值范围.解：由题意得⎩⎨⎧≥-,0-2,01＞x x ∴1≤x<2.16.1二次根式第2课时二次根式的性质一、新课导入1.导入课题我们知道二次根式a 中a ≥0，那么二次根式a 还有哪些性质呢？今天我们学习“二次根式的性质”(板书课题).2.学习目标（1）知道a ≥0(a ≥0)，会用非负数的性质解题.（2）会用公式()2a =a (a ≥0)进行计算.（3）知道形如2a 的化简方法及结果.3.学习重、难点重点：a ≥0(a ≥0)，()2a =a (a ≥0).难点：运用公式()2a =a (a ≥0)和2a =a (a ≥0)进行计算化简.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：探究：a (a ≥0)及a (a ≥0)中a 的值的特点.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：围绕探究提纲进行演算归纳.（4）探究提纲：①当a >0时，a 是什么数？当a =0时，a 是什么数？当a 有意义时，a 是什么数？②从①中我们可以探究得出：当a ≥0时，a 是非负数，即a≥0.③从a (a ≥0)所表示的数值特点，你知道还有哪些式子的值具有这种特性？④已知()0112=++-y x ,求x ，y 的值.(x=1,y=-1)2.自学：学生参照探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生在探究中存在的认识偏差和困惑.②差异指导：引导学生分析a 表示的数值特点，归纳已学过的非负数及其和为0时所满足的条件.（2）生助生：学生相互交流、帮助.4.强化（1）当a ≥0时，a ≥0，即a 的值为非负数.（2）回顾所学过的三类非负数：①一个数的偶次幂；②一个数的绝对值；③a (a ≥0).（3）非负数的性质：若x +2y +|z|=0，则x=y=z=0.（4）练习：已知01=+++y x x ,求x ，y 的值.答案：x=-1,y=1.1.自学指导（1）自学内容：探究()2a (a ≥0)的结果.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：通过回顾算术平方根的意义，归纳()2a (a ≥0)的结果.（4）探究提纲：①∵3的算术平方根是3，∴()23=3.②∵32的算术平方根是32，∴232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32.③∵非负数a 的算术平方根是a ，∴()2a (a ≥0)=a .④∵()222ba ab =，∴(()2223=⨯=18.⑤计算：答案：3；18；25；21.⑥由①—⑤的探讨，归纳得出：一般地，()2a =a (a ≥0).2.自学：学生可结合探究提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对()2a (a ≥0)的值的理解.②差异指导：指导学生应用()2a (a ≥0)的结果进行计算.（2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，归纳正确结论.4.强化（1）强调()2a =a (a ≥0)及其应用.（2）强调公式()2ab =22b a 和2⎪⎭⎫ ⎝⎛b a =22ba在二次根式计算中的运用.（3）展示本节所学知识点和数学思想方法.1.自学指导（1）自学内容：探究：当a ≥0时，2a 等于什么？若a 的值无限定，2a 又等于什么？（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：结合探究提纲动手尝试2a (a ≥0)和2a 的化简，结果有何不同？（4）探究提纲：①==4222；==⎪⎭⎫ ⎝⎛4121221；==36.06.020.6；由此可以看出：当a ≥0时，2a =a 。
最新人教版八年级数学下册第十六章 二次根式导学案(全章)
第十六章 二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程 （一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
43、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4((2)（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
二次根式导学案人教版全章
第十六章 二次根式课题：二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2)（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成________)(2=a 42)3(一个数的平方的形式。
人教版八年级数学上导学案教案二次根式1
课题 二次根式1 【学】【学习目标】1a ≥0）的意义解答具体题目．2．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．【复习引入】 1．知识回顾：（1）4的平方根是____ _；0的平方根是______ ；－16 ____ 平方根.（2）5的平方根是 ；5的算术平方根是____ .（3）－1有算术平方根吗？（4）0的算术平方根是多少？（5）当a ＜0有意义吗？2.完成课本p2的思考3． 叫做二次根式．【探究新知】1．对二次根式概念的理解： （1）从形式上看，必须有二次根号；（2）被开方数不能小于0，只能取非负数．探究1下列式子满足什么条件时是二次根式？12+m ，2n -，2a ，2-a ，y x -探究2 (1)当x 是多少时，在实数范围内有意义？(2)当x 11x +在实数范围内有意义？练习：x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-．（a ≥0）具有双重非负性探究3 (1)已知y ，求x y值．(2)，求a 2004+b 2004的值．【巩固练习】1．填空题：（1）25的平方根是 ，4的算术平方根为 ，8的立方根是 ，25-的算术平方根是 ；38的立方根是 ．（2）若32+a 有意义，则a 的取值范围是 ．（3）若x 21-有意义，则x ．若321-x 有意义，则x ．（4x 有 个2．下列各式①y ; ②2+a ; ③52+x ; ④a 3;⑤962++y y ; ⑥3其中一定是二次根式的有（ ） A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个3.若式子32--x x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A 、x ≥2B 、x ≠3C 、x ＞2且x ≠3D 、x ≥2且x ≠34.若2y =+，则x =_______ ,y =___________.5x 的取值范围是 ；x 的取值范围是 ；③要使式子2x -有意义，则x 的取值范围是 .6．7．已知x ，y 2440y y -+=，则xy ＝ ．8．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）2)1(+x ；（2）11-x ；（3）1+x ； （4）x 211-；（5）2)3(-x ；（6）x --31；（7）12+x ；（8）x9. 已知a 、b =b +4，求a 、b 的值.10．若,013322=--+-y x x 求y x +的值；中午作业1. 若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．2．要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足 （ ） A ．12≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠12 C ． 12＜x ＜3 D ． 12＜x ≤3 3．若代数式21--x x 有意义，则x 的取值范围是 （ ） A ．x ＞1且x ≠2 B ．x ≥1 C ．x ≠2 D ．x ≥1且x ≠2 4．若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为 （ ）A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不对5． 若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ）A ．1B ．－1C ．7D ．－76．根式3-x 中x 的取值范围是 （ ）A ．x ≥ 3B ．x ≤ 3C ．x ＜ 3D ．x ＞ 37．若二次根式12x +有意义，则的取值范围为 （ ）A. x ≥12 B. x ≤12 C. x ≥12 D. x ≤128．下列式子中，是二次根式的是 （） A ．－7 B ．37 C ．x D ．x9. 下列说法中，正确的是 （） A ．带根号的式子一定是二次根式 B ．代数式x 2＋1一定是二次根式C ．代数式x ＋y 一定是二次根式D ．二次根式的值必是无理数10．使41x -有意义的x 的取值范围是 ．11. 要使式子a ＋2a 有意义，则a 的取值范围为_____________________．12. 若等式1)23(0=-x成立，则x 的取值范围是 .13. ()2120x y -+=，则x +y = ；化简x x -+-22 =_______．14. 要使下列式子有意义，x 的取值范围是什么？（151x + （2210x -（3210x +； （42x -15. 若二次根式26x -+有意义，化简│x －4│－│7－x │．16.已知△ABC 是等边三角形，AB ＝6，将一块含有30°角的直角三角板DEF 如图所示放置，让等边△ABC 向右平移（BC 只能在EF 上移动）．如图1，当点E 与点B 重合时，点A 恰好落在三角板DEF 的斜边DF 上．在等边△ABC 向右平移的过程中，AB ，AC 与三角板斜边的交点分别为G ，H ，连接EH 交AB 于点P ，如图2（1）求证EB ＝AH ；(2)PG 的长度在等边△ABC 平移的过程中是否会发生变化？如果不变，请求出PG 的长；如果变化，请说明理由．。
新人教版八年级数学二次根式导学案
第十六章 二次根式 16．1 《 二次根式(1)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 1学习内容：二次根式的概念及其运用 学习目标：1（a ≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习（一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：面积为3的正方形的边长为_____ ,面积为S 的正方形的边长为___________．．问题2：一个长方形的围栏,长是宽的2 倍,面积为130㎡,则它的宽为_________．问题3; 一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t （单位:S ）与开始下落时离地面的高度h(单位;m)满足关系式h=5t 2..如果用含有h的式子表示t,那么t 为 . （二）学生学习课本知识 （三）、探索新知1、知识： 像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 •的式子叫做”称为 ．例如：形如 、 、 是二次根式。
形如 、 、 不是二次根式。
2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，、x>0）、、（x ≥0，y•≥0）． 解：二次根式有： ；不是二次根式的有： 。
例2．当x 在实数范围内有意义？ 解：由 得： 。
当 时，在实数范围内有意义．1x1x y+（3）注意：1（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2（a≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例3．当x+在实数范围内有意义？ 例4(1)已知+5，求的值．(答案:2) (2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:)三、巩固练习教材练习．四、课堂检测（1）、简答题1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？x（2）、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为5的正方形的边长为________． （3）、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2=_______． 3.x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数4.已知a 、b =b+4，求a 、b 的值．11x +xy251x16．1 《 二次根式(2)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 2 学习内容：1（a ≥0）是一个非负数；2）2=a（a ≥0）．学习目标：1（a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它进行计算和化简．2（a ≥0）是一个非负数，用具）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学过程一、自主学习 （一）复习引入1．什么叫二次根式？2．当a ≥0叫什么？当a<0有意义吗？ （二）学生学习课本知识（三）、探究新知1（a ≥0）是一个数。
人教版九年级数学上册全册导学案
人教版九年级数学上册全册导学案第22章 二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）复习引入：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？43，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x2、计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。
3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。
（三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ：x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x 223x + ③ 2、（133a a --a 的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数（四）展示反馈 (学生归纳总结)1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
二次根式导学案(人教版全章)
二次根式导学案 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
人教版八年级下册16.1二次根式的性质导学案
数学（学科）导学案
课题16.1 二次根式的性质学案编号01使用时间班级姓名
学习目标
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
重
难
点
重点经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.
难点会运用二次根式的两个性质进行化简计算
一、自主学习
回顾思考：表示，a 的取值范围是.
1. 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把或连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
2. 你能列举一些你学过的代数式吗？
练一练：在下列式子中，是代数式的有_个，分别是.
π-3，a≠0
二、合作探究
探究1：用学过的方法完成下列式子的计算.
思考
归纳总结：
的性质：
一般地，＝.即一个的算术平方根的平方等于 .................
例题精讲
例
练一练
探究2：
1、计算
2、计算
3、对比发现
归纳总结
的性质：
即任意一个数的平方的算术平方根等于.
概念辨析：如何区分与？
例题精讲
（1）
练习
三、能力提升
1、实数a 在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
a
-1 0 1
2、已知，则x 的取值范围是.
五、中考链接
已知a、b、c 是△ABC 的三边长，化简：
老师我不会
老师我想说。
二次根式的性质导学案
7.2二次根式的性质导学案教学目标：（1）使学生理解并掌握=a,以及ab =ab （a ≥ 0 b ≥ 0），并能利用这两个结论进行化简计算。
2、通过对的化简，培养学生分类讨论的思想.。
3、发展学生有条理的思考能力以及语言表达能力。
课前准备：1、绝对值的代数定义：2、2a 与（a ）2表示的意义一样吗？为什么？教学过程：一、自学探究： （1）22= ︳2 ︳= （2）2= ︳ 0 ︳=（3）2)7(- = ︳ -7 ︳=（4）2)51(= ︳51︳=议一议：如果用字母a 代替上式中的数，1、观察左边的式子，你能发现2a 与a 的关系吗？ （1）2a= （2）2a= （3）2a =二、合作交流 你能将2a的取值分类表示吗？当a ≥0时2a = 当a ＜0时2a=三、巩固提高： 1.化简:（1） （2）492m (4)24x (x ＜0（5）2)1(9+x2、算一算 : 94⨯= 49⨯= =64121⨯= 12164⨯= 3、试一试：化简：(1)40 (2)259⨯ （3）)6(3)8(-⨯⨯-（4）5220yx (5)32ba+4、、化简 (1)、)9()4(-⨯- (2)、52y x (3)、2242+四、自我评价 （1）、这节课你有什么收获？还有什么疑惑？ （2）、当堂检测 (必做)1、判断 正误（1）48a =4a 2( ) (2)3)2(2⨯- =-23( ) (3) 22ba +=a+b( ) 2、化简:(1)23 （2）)8)(12(-- (3)322z y x(4)45xx+3、如果)1)(1(+-x x =1+x 1-x ，则x 的取值范围（选做）化简 122+-a a （a ＜1）教后反思：。
16.1 第2课时 二次根式的性质(导学案)
16.1 第2课时 二次根式的性质（导学案）教材：P3——P4学习目标：1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算. 重点：掌握二次根式的两个性质：()20a a a =≥=.难点：会利用二次根式的性质解题. 一、知识回顾1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子2有意义的条件是_______________.二、要点1探究 活动1、计算(1) 2)4(= (2)（√0）2= （3）2)5.0( = （4）2)31(=（0≥a ）例1(教材P3例2变式题)计算：22(1);(2).⎛ ⎝例2 在实数范围内分解因式：242(1)3;(2)4 4.x y y --+计算：22(1)()(2)(). ；三、要点2探究 活动1、计算：________)(2=a（1）=24 =22.0 =2)54(=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ﹥0时，=2a（2） =-2)4( =-2)2.0( =-2)54(=-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a<0时，=2a （3）=20 归纳得到：当a=0时，=2a活动2.归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的非常重要的性质：性质一：一般地，2a =(a ____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.()()()____0____=0____0.a a a a ⎧⎪==⎨⎪⎩＞，，＜即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.例3 (教材P4例3变式题)化简：例4 实数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简-+【变式题】实数a 、b a b +-.方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a ,b 的大小讨论绝对值内式子的符号. 例5 已知a 、b 、c 是△AB C分析：针对训练1.计算：22(1)(-2)(2)(-1.2).；2.请同学们快速分辨下列各题的对错：()()()()()()()()2222(1)22(2)22(3)22(4)22-=--=--=---=-四、要点3探究：代数式的定义用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.典例精析例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.方法总结:列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．针对训练1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7B.3＞2C.2xD.2223x y+2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.五、课堂小结利用三角形三三边长均为正数，a+b＞c两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0六、当堂检测1.（ ）A . ±4B .±2 C . 4 D .-42.当1<x <3）A.3B.-3C.1D.-1 3.下列式子是代数式的有 ( )①a 2+b 2;; ③13; ④x =2; ⑤3×（4－5）;⑥x －1≤0; ⑦10x +5y =15 ; .c A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 4.化简：（1＝_______ ; （2_______; （3______=; （4）2______=.5. 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简2a -+_________.。
人教版数学八年级下册16.1《二次根式(1)》导学案
16.1二次根式〔1〕 学案学习目标：1.了解二次根式的意义；2.会判断二次根式，能求简单的二次根式中字母的取值范围。
学习重点：二次根式的概念及意义。
学习难点：二次根式的判断与字母取值范围确实定。
学习过程：一、温故互查1.什么叫平方根？2.什么叫算数平方根？3.〔算数〕平方根的性质平方根式是二、设问导读 感受新知阅读课本，完成以下问题在课本思考框的问题中，结果分别是 ，结果都分别是表示65，S ，2，5h 的 . 我们知道：一个正数有两个平方根，它们 ；0的平方根是 ；在实数范围内， 数没有平方根。
因此，开平方时，被开方数只能是 .【归纳】一般地，我们把形如〔a≥0〕的式子叫做 ，“〞称为 ．【注意】二次根式应满足两个条件：1.形式．．上必须是a 的形式； .三、自我检测例1.当x 是怎样的实数时，2 x 在实数范围内有意义？例2.当a<0时，a 有意义吗？【归纳】a 的双重非负性：1. a≥0 ; 2.四、稳固训练1.、1x x>0〕、、、1x y+〔x≥0，y ≥0〕．2.当x 是多少时，x 35-在实数范围内有意义？【课本练习】 1、2五、拓展提升1.当x 是怎样的实数时，以下各式在实数范围内有意义？〔1〕48-+x x 〔2〕2x 〔3〕3x2.〔1〕，求x y的值．〔2=0，求a 2021+b 2021的值．六、小结评价1.请你说说对二次根式的认识？〔口述给组长〕2.小组对你这节课表现进展评价：〔较好；好；一般；差；较差〕组长：。
浙教版初中数学八年级下册 1.2《二次根式的性质(1)》导学案
a 2 aa 0 ，
a2
a
a a 0 aa 0
的发现过
程，体验归纳、猜想的思想方法； 2．了解二次根式的上述两个性质；
3．会运用上述两个性质进行有关化简和计算。
〖学习重点与难点〗
重点：二次根式性质：
a 2 aa 0 、
a2
a
a a 0 aa 0
。
难点：
a2
a
a a 0 a a 0
C．化简 (3 )2 的结果是 -3；
D．在直角三角形中，若两条直角边分别是 5 ，2 5 ，那么斜边长为 5。
5．计算 (11)2 +|-11|- 112 ，正确的结果是（ ）
A．-11
B．11
6．若 a＜1，化简 (a 1)2 1＝（
C．22 ）
D．-22
A．a﹣2
B．2﹣a
C．a
7．化简 3 3(1 3) 的结果是（ ）
三、例题精讲（和老师一起共同完成） 例 1 计算：
（1） 102 152 .
（2）
2
22
22
2.
例 2 计算
3 5
2 2 3
4 5
2 3
.
四、巩固练习（一起参与讨论，发挥你的解题能力，共同完成） 1．判断下列各式是否成立。
2．1
12 _____,2
2 2 5
______,3
2
的理解。
一、预习导学（把握时间，独立完成）
1．完成以下填空：
2
2
______，
7 2 _____；
1 2
2
_____；
m
2
_____m 0。
2．小结（二次根式的基本性质 1）：一般地，二次根式有下面的性质：
九年级数学上册二次根式导学案新人教版
A. 3=
2
( 3)
B 0.5=
(
2
0 .5 )
C . ( 0 .3 ) 2 =0.3
D ( 5 7 ) 2 =35
（一）选择题： 1、下列各式中，正确的是（
B组 ）。
A. 9 4 =9 4
B
49
94
C 42
4 D2
25
5
36
6
2、 如果等式 (
2
x)
=x
成立，那么
x 为（
）。
A x ≤ 0; B.x=0 ; C.x<0; D.x
6
（1） 4 × 9 _____ 4 9
（2） 16 × 25 ____ 16 25
（3） 100 × 36 __ 100 36
（二）提出问题 1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的乘法法则进行计算？ 3、积的算术平方根有什么性质？ 4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 （三）自主学习 自学课本第 5—6 页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目： 1、用计算器填空：
2、计算： （1）3 8 ×（ -4 6 ）
（2） 12 ab
3
6 ab
3、填空： （1） 9 =________， 9 =_________
16
16
（2） 1 6 =________， 1 6 =________
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3，
16
3
，
4，
2、计算 ：
(1)
2
( 4)
a
(a 0)
2
5， 3
，x 1
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9.1 二次根式和它的性质（1）
一、学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a
二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2
，用式子表示为 =__________；
正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）提出问题
1、式子a 表示什么意义?
2、什么叫做二次根式？
3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？
4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？
5、如何确定一个二次根式有无意义？
（三）自主学习
自学课本第112页例前的内容，完成下面的问题：
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3，16-，34)0(3≥a a ，12+x
2、计算 ：
4
（1） 2)4( （2） （3）2)5.0( （4）2)3
1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,
)0()(2≥=a a a 的意义是 。
3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负
数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式
中，字母a 必须满足 ,
才有意义。
（三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，下列各二次根式有意义？
①43-x 223
x + ③ 2、（133a a --有意义，则a 的值为___________．
（2 在实数范围内有意义，则x 为（ ）.
A.正数
B.负数
C.非负数
D.非正数
（四）展示反馈 (学生归纳总结)
1、非负数a 的算术平方根a (a≥0)叫做二次根式.
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
2、式子)0(≥a a 的取值是非负数。
（五）精讲点拨
1、二次根式的基本性质(a )2=a 成立的条件是a≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2.
2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。
（六）拓展延伸
2
)3(________)(2=a x --21x -
1、（1）在式子x
x +-121中，x 的取值范围是____________. （2）已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________.
（3）已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。
2、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
（1）把下列非负数写成一个数的平方的形式：
5 0.35
（2）在实数范围内因式分解.
72-x 4a 2-11。