第八章 抽样推断

（四）重复抽样和不重复抽样
从总体N个单位中，随机抽取n个单位构 成样本 1、重复抽样（回置抽样） （1）考虑顺序的重复抽样数目
N
n
（2）不考虑顺序的重复抽样数目
C
n
ห้องสมุดไป่ตู้
N n 1
2、不重复抽样
（1）考虑顺序的不重复抽样数目
N! N n !
（2）不考虑顺序的不重复抽样数目
N! n!N n !
二、抽样平均误差
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平 的指标，它的实质含义是指抽样平均数 （或成数）的标准差。即它反映了抽样 指标与总体指标的平均离差程度。抽样 平均误差的作用首先表现在它能够说明 样本指标代表性的大小。平均误差大， 说明样本指标对总体指标的代表性低.
通常用抽样平均数的标准差和抽样成数的 标准差来作为其衡量抽样误差一般水平的 尺度。 设以 x 表示抽样平均数的平均 误差， p 表示抽样成数的平均误 差，
例题：
要估计某地区10000名适龄儿童的入学率， 随机从这一地区抽取400名儿童，检查有 320名儿童入学，求抽样入学率的平均误 差。 根据已知条件：
320 P 80% 400

2
P(1 P) 80% 20% 16%
1、在重复抽样的情况下，入学率的抽样
平均误差为：

p

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
70 70 70 90 70 130 70 150 90 70 90 90 90 130 90 150 130 70 130 90 130 130 130 150 150 70 150 90 150 130 150 150 ——
M : 表示全部可能的样本数 目。则:
x P
x X
M M
2
p P
2
（一）抽样平均数的平均误差
1、在重复抽样的条件下
n 抽样平均误差的大小和总体标准差 成 正比变化，和样本容量n的平方根成反比。
x

设有4个工人，其每周工资分别为70、90、 130、150元。这一总体的平均工资和工 资标准差为：
p(1 p) 0.16 2% n 400
2、在不重复抽样的情况下，入学率的抽 样平均误差为：

p

p(1 p) n 0.16 400 1 1 1.96% n 400 10000 N
计算结果表明：用样本的入学率来估计 总体的入学率其误差的绝对值平均说来 在2%左右。
则有：P N N
1
,Q N N
0

N N1 N
1 P
如果品质标志是是非标志，把“是”的 标志表示为1，把“非”的标志表示为0， 可求成数平均数和成数方差（或标准 差）。 0 N 0 1 N 1 N 1 P XP 成数平均数： N N 成数方差： 2 2 2 2

三、抽样的基本概念
（一）全及总体和样本总体 1、 全及总体（简称总体），指所要认 识的研究对象全体 ，它是由所研究范围 内具有某种共同性质的全体单位组成的 集合体。一般用N表示总体的单位数。
2、样本总体又称子样，简称样本，是从全 及总体中随机抽取出来，代表全及总体 的那部分单位组成的集合体。样本总体 的单位数称为样本容量，通常用小写英 文字母n来表示。随着样本容量的增大， 样本对总体的代表性越来越高，并且当 样本单位数足够多时，样本平均数愈接 近总体平均数。
80 100 110 80 110 120 100 110 140 110 120 140 1320
-30 -10 0 -30 0 10 -10 0 30 0 10 30 0
x Ex
2
样本平均数的平均数 M 12 抽样平均误差
x 1320 110元 E x x X
第二节 抽样误差
一、抽样误差的意义 （一）抽样误差的概念 是指由于随机抽样的偶然因素使样本各 单位的结构不足以代表总体各单位的结 构，而引起抽样指标和全及指标之间的 绝对离差。因此，又称为随机误差，它 不包括登记误差，也不包括系统性误差。
x X
pP
（二） 影响抽样误差的因素有：
1、总体各单位标志值的差异程度； 2、样本的单位数； 3、抽样的方法; 4、抽样调查的组织形式。
成数之间的绝对离差不 超过 p


在 p p , p p 区间内，抽样成数与总 体
p
1、在重复抽样的条件下 p P为总体成数，n为样本单位数
P(1 P) n
2、在不重复抽样的条件下
p
在总体单位数很大的情况下， p 的近似 式为：
p
p(1 p) n (1 ) n N
p(1 p) N n ( ) n N 1
在得不到总体成数P的资料时，可以用实 际样本的抽样成数 p 来代替。
三、抽样极限误差
在做抽样估计时，应该根据所研究 对象的变异程度和分析任务的要求确定 可允许的误差范围，在这个范围内的数 字都是有效的，这种可允许的误差范围 称为抽样极限误差。
抽样极限误差是用绝对值形式表示 的样本指标与总体指标偏差的可允许的 最大范围。它表明被估计的总体指标有 希望落在一个以样本指标为基础的可能 范围。
70 90 70 130 70 150 90 70 90 130 90 150 130 70 130 90 130 150 150 70 150 90 150 130 ——
x
平均数离差 xE x


离差平方
900 100 0 900 0 100 100 0 900 0 100 900 4000
（三）样本容量和样本个数
1、样本容量 是指一个样本所包含的单位数。通常将 样本单位数不少于３０个的样本称为大 样本，不及３０个的称为小样本。社会 经济统计的抽样调查多属于大样本调查。
2、样本个数
样本个数又称样本可能数目。指从一个 总体中可能抽取的样本个数。一个总体 有多少样本，则样本统计量就有多少种 取值，从而形成该统计量的分布，此分 布是抽样推断的基础。
第八章 抽样推断
第一节 抽样推断的一般问题 一、抽样推断的意义 （一）抽样推断的一般概念 抽样推断是在抽样调查的基础上，利 用样本的实际资料计算样本指标，并据 以推算总体相应数量特征的一种统计分 析方法。
（二）抽样推断的适用范围
1、有些事物在测量或试验时有破坏性，不可能 进行全面调查 2、有些总体总理论上讲可以进行全面调查，但 实际上无法做到。 3、和全面调查比较，抽样调查可以节省人力、 费用和时间，而且比较灵活 4、在有些情况下，抽样调查的结果比全面调查 要准确 5、抽样调查方法可以用于工业生产过程中的质 量控制 6、利用抽样推断的方法，可以对于某种总体的 假设进行检验，来判断这种假设的真伪。
X X
N
70 90 130 150 110 （元） 4
2 2 2 2

70 110 90 110 130 110 150 110
4
31.62(元)
样本变量 样本平均 （ ） （x ）
x
平均数离差
-40 -30 -10 0 -30 -20 0 10 -10 0 20 30 0 10 30 40 0
（2）抽样平均数的标准差（即抽样平均 误差）是总体标准差的 1 。
n
（3）可以通过调整样本单位数n来控制 抽样平均误差。
2、在不重复抽样的条件下
x

N n ( ) n N 1
2
x

n (1 ) n N
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计
样本变量 样本平均 （ ） （ x ）
2
N P 2Q Q 2 P PQ( P Q) PQ
P
0 P N 0 1 P N 1 P
N 0 Q N1 N
例如：
某批零件的合格品率P=80%，则有：
X P 80%
P
2
80% 20% 16%
2、抽样指标（统计量）
根据样本各单位标志值或标志属性 计算的反映样本特征，用来估计全及指 标的综合指标称为统计量（抽样指标）。 统计量是样本变量的函数，用来估计总 体参数，因此与总体参数相对应，统计 量有样本平均数（或抽样成数）、样本 标准差（或样本方差 ）。
2 2
4000 x 18.26(元) M 12 按不重复抽样误差公式 计算：
x
N n
1000 4 2 18.26(元) n N 1 2 4 1
（二）抽样成数的平均误差
抽样成数的平均误差表明各样本成数和 总体成数绝对离差的一般水平。 由于总体成数可以表现为总体是否标志 的（0，1）分布的平均数，即 p P ， X 标准差为 P(1 P)
（三）抽样推断的特点：
1、抽样推断是由部分推算整体的一种认 识方法； 2、抽样推断是建立在随机取样的基础上。 3、抽样推断是运用概率估计的方法； 4、抽样推断的误差可以事先计算并加以 控制。
二、抽样推断的内容
1、参数估计 依据所获得的样本观察资料，对所研究现象总体 的水平、结构、规模等数量特征进行估计，这 种推断方法称为总体参数的估计。 2、假设检验 总体参数的假设检验是先对总体的状况做某种假 设，然后再根据抽样推断的原理，根据样本观 察资料对所作假设进行检验，来判断这种假设 的真伪，以决定行动的取舍，这种推断方法称 为总体参数的假设检验。
设样本变量
x为x 、 、 、 , 则有： x x
1 2 n
x xf 样本平均数x n f 2 x x x x 样本方差 n f
2