高等数学 复变函数导论

数学物理方法
复变函数论
复变函数
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 复数 复变函数 导数 解析函数 本章小结
复数
数的扩张（完善化）
自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备√2 →实数 方程可解性→复数
复数
复数的表示
代数表示
z = x + iy
x = Real(z), y = Imagine(z)
性质
对称性 非周期性 无界性 多值性：|φ| ≤ π
1 2 0 -1 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1
复变函数
三角函数
定义
w = sin(z)
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
分析
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y) u = sin(x)ch(y) , v = cos(x)sh(y)
复变函数
三次函数
定义
w= z3 (x+iy)3 = x3
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 -5 5 10 -10 10 5 0
分析
u + iv = +3ix2y-3xy2 -iy3 u = x3 – 3xy2 , v = 3x2y - y3
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
三角表示
z = r (cosφ + i sinφ)
r = |z|, φ= Arg(z)
指数表示
z = r exp(iφ)
exp(iφ) = cosφ + i sinφ
复数
几何表示 关系
x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x)
特点
无序性
复数无大小
正交性
解析函数的实部与虚部梯度正交， 即 u v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
解析函数
应用
例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。 分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一 个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy 注意：电力线方程的一般形式为 f(2xy)=C
0
复变函数的导数
典型情况
初等函数在定义域内都可导； 函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。
导数的计算
法则：
复变函数的求导法则与实变函数完全相同；
例子：
(sin2z)’ = 2 sin z cos z [exp(z2 )]’ = 2 z exp(z2 ) (z3)” = 6 z
复变函数的分类
复 变 函 数
整式
复变函数（广义）
复数数列
复变函数（狭义）
初等函数
非初等函数
代数函数
超越函数
无限次运算
无限次复合
有理函数
无理函数
级数
无穷乘积
分式
幂级数
傅立叶级数
复变函数
分析与比较
定义域和值域
相同点：
都是数集
不同点：
实数集是一维的，可以在(直)线上表示； 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 5 10 -10 -5 10 5 0
复变函数
指数函数
定义
w = exp(z)
5 2.5 0 -2.5 -5 -2 0 -1 0 1 2 -5 -2.5 5 2.5
分析
u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny] u = exp(x) cos y , v = exp(x) sin y
性质ห้องสมุดไป่ตู้
对称性 周期性 无界性 单值性
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
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复变函数的导数
基本概念
实变函数 极限 连续 导数
x x → x0
复变函数
z → z0
lim f ( x) = A
lim f ( z ) = A
lim f ( x) = f ( x0 ) →
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本章小结
复变函数
定义：两个复数集合之间的映射； 特点：定义域和值域为2维；
定义域出现复连通现象； 不能用一个图形完全描述； 极限存在的要求提高；
分析：可以分解成2个二元实函数；
解析函数
满足C—R条件； 实部和虚部都是调和函数，相互正交。
解析函数
例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流 量函数。 分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组 成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
0
充要条件
偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 满足C-R条件
x → x0 y = y0
lim
Δf ( z ) Δ u + iΔ v u v +i = lim = x → x0 Δz Δx x x
意义
可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
Δf ( z ) Δ u + iΔ v v u i = lim = lim x = x0 y → y0 Δz y y iΔ y y→ y
复变函数的导数
导数的意义
微商表示
f’(z) = dw/dz
模：
|f’(z)|= |dw|/|dz|
幅角：
Arg[f’(z)] = Arg(dw) - Arg(dz)
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解析函数
定义
点解析
函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导
区域解析
函数f(z)在区域B上每一点都解析
性质
调和性
解析函数的实部与虚部都是调和函数， 即 △u=uxx + uyy = 0, △v=vxx + vyy = 0
矢量性
复数有方向
复数
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2)
乘除法
r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)]
幂和开方
[r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n)
性质
不对称性 周期性 exp(z+2πi)= exp(z) 无界性 单值性
4 2 0 -2 -4 -2 -1 0 1 2 -5 0 -2.5 5 2.5
复变函数
对数函数
定义
w = Ln(z)
2 1.5 1 0.5 0 3 1 2 3 4 5 1 2 5 4
分析
u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ u = ln r, v=φ
联系
u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
复变函数
结构
相同点：
复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
不同点：
基本实变函数 xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x) 基本复变函数 zn, z1/n,exp(z),ln(z) 原因 cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
x0
z
lim f ( z ) = f ( z0 ) →
z0
Δf ( x) = f ' ( x0 ) lim → x0 x Δx
Δf ( z ) = f ' ( z0 ) lim z → z0 Δz
复变函数的导数
可导条件
分析
x → x0 y = y0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
lim
Δf ( z ) Δf ( z ) = f ' ( z 0 ) = lim x = x0 Δz Δz y→ y
复变函数
更多的例子
w = az2 w = az2 + bz +c w = 1/(az + b) w = √(az + b) w = ln(az + b) w = sin z w = arccos z w = ∑ an zn w = ∑ an sin(nωz) w = ∏(1-z2/n2π2) w = ∫exp(-z2)dz
解析函数
例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势 u(x,y)。 分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式， 电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。 解：设电势为 u=f(x2+y2) ux=2xf’, uxx=2f’+4x2f” uy=2yf’, uyy=2f’+4y2f” uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0 令 t = x2+y2, g = f’(t) g +t g’ = 0 g = -ln t +C f=
复变函数
基本函数
二次函数
定义
w = z2
100 50 0 -50 -100 -10 -5 0 5 -10 -5 10 5 0
分析
u + iv = +2ixy -y2 u = x2 -y2 , v = 2xy (x+iy)2 = x2
10
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
200 100 0 -100 -200 -10 -5 0 5 10 -10 -5 10 5 0
复共轭
z = x + iy → z* = x – iy z = r exp(iφ) → z* = r exp(-iφ)
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复变函数
概念
定义
函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射 实变函数：f:x→y 复变函数：f:z→w
举例
f(n) = fn = (1+i)n, n∈N f(z) = zn f(z) = exp(z) f(z) = ln(z)
典型例子：
|x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的。
复变函数
映射
相同点
在形式上：y = f(x), w = f(z)
不同点
在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上： 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表 示； 复变函数不能用一个图形完全表示。