上海大学数值分析历届考题

数值分析历届考题03-04学年秋季学期一．简答题（每小题5分）1. 数值计算中要注意哪些问题。

答：第一、两个相近的数应避免相减。

第二、绝对值很小的数应避免作除数。

第三、注意选取适当的算法减少运算次数。

第四、两个绝对值相差很大的数运算时，注意“机器零”的问题。

第五、注意算法的收敛性和稳定性。

2. 用迭代法求解非线性方程0)(=x f 时，迭代收敛的条件是什么，可以用什么方法来确定初值0x 。

答：对于非线性方程0)(=x f （其迭代格式为)(x g x =），如果满足： （1） 当],[b a x ∈时，],[)(b a x g ∈；（2） )(x g '在],[b a 上连续，且对任意的],[b a x ∈都有1)(<≤L x g 。

则有结论：对任意给定的],[0b a x ∈，由迭代格式)(1k k x g x =+，k=0,1,2,…产生的序列{}k x 收敛于*x ，即迭代收敛。

可以用二分法来确定初值0x 。

3. 用消元法求解线性方程组时，为什么要选主元。

答： 因为用简单高斯消元法求得的近似解与精确解相差甚远，其主要原因是绝对值很小的数作除数，导致了误差的快速增长。

为了避免这种情况的发生，我们可以通过行交换，在需要消元的列中，取绝对值最大者作为主对角线元素（即主元），计算效果将得到改善。

4. 矩阵的条件数是什么，它对求解线性方程组有什么影响。

答：对于n 阶可逆方阵A ，正实数||A ||||1-A ||称为A 的条件数，记为cond(A)。

条件数对于线性方程组Ax=b 的影响如下：bb A cond xx∆≤∆)(，其中b ∆为A 精确时b 产生的误差；AAA cond x x ∆≤∆)( ，其中A ∆为b 精确时A 产生的误差。

5. 把下列二阶常微分方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='=-=-+'--''2)0(,1)0(1111y y x y x y x x y 化为一阶常微分方程组，并写出求解该方程的改进Euler 方法。

答：令⎩⎨⎧'==)()()()(21x y x u x y x u则⎪⎩⎪⎨⎧-+--='='11)()()()(12221x x x u x xu x u u x u ，其中⎩⎨⎧==2)0(1)0(21u u 。

所以用改进的Euler 方法表示为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+=)1(1)(1)(2)(2)(i i i i i i p x x u xu u h y y ，)()(1x y x u p =，)()(2x y x u p '=，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+=++)1(111)(1)(2)(2)(i i i i i i c x x u u x u h y y ，)(21)1(c p i y y y +=+。

二．（20分）给出数据表求一个满足插值条件的三次插值多项式，并写出余项公式。

解：先求出满足函数值插值条件)()(2i x f x P =，i=0，1，2的二次插值多项式)(2x P 。

由牛顿插值公式：],,[))((],[)()()(2101010002x x x f x x x x x x f x x x f x P --+-+=22)1(22+-=-+-=x x x x x令))()(()()(21023x x x x x x A x P x H ---+=，其中A 是待定常数，则))((22)(2101113x x x x A x x H --+-='，由已知条件1)(1-='x f ，代入可得：1)21()01(1=-⨯--=A ；所以22)2)(1(22)(2323+-=--++-=x x x x x x x x H 。

其插值余项为)2()1(!4)()(2)4(--=x x x f x R ξ，其中)2,0(∈ξ。

三． （20分）给出数据表用最小二乘法求拟合曲线xba y+=1（保留3位小数）。

解：对于曲线x b a y+=1，令y z 1=，xt 1=，得bt a z +=。

把x ，y 的数据转换为t ，z 的数据（取3位有效数字）：对于bt a z +=，其法方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====414124141414i i i i i i i i i i i z t t b t a z t b a ； 其中：50.1941=∑=ii t ，25.135412=∑=ii t ，76.541=∑=ii z ，08.2441=∑=ii i z t数据代入后得法方程组为⎩⎨⎧=+=+08.2425.1355.1976.55.194b a b a ；解得⎩⎨⎧-==0995.093.1b a 。

所以拟合曲线为xy0995.093.11-=。

四．（15分）确定下列求积公式的系数1k ，2k ，3k ，使公式成为Guass 型求积公式⎰-++-=11321)6.0()0()6.0()(f k f k f k dx x f 。

解：通过待定系数法：当1)(≡x f 时，有3212k k k ++= （1） 当x x f =)(时，有316.06.00k k +-= （2）当2)(x x f =时，有316.06.032k k += （3） 由此得到一个关于未知数1k ，2k ，3k 的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=++326.06.006.06.023131321k k k k k k k ；解得⎪⎩⎪⎨⎧===55555556.088888889.055555556.0321k k k 。

五．（20分）证明：对任意参数t （1≠t ）下列求解常微分方程初值问题的算法，其局部截断误差都是c ：))1(2,)1(2()1(),(1i i i i i i i f t hy t hx hf t y x thf y y -+-+-++=+。

证：令⎪⎩⎪⎨⎧-+-+==))1(2,)1(2(),(121t hK y t hx f K y x f K i i i i ， 则211)1(hK t thK y y i i -++=+（1）对2K 作泰勒展开得：)(),()1(2),()1(2),(212h O yy x f t hK x y x f t hy x f K i i i i i i +∂∂⋅-+∂∂⋅-+=。

代入到（1）式中：)(),(2),(2)1(3122111h O yy x f K h x y x f h hK t thK y y i i i i i i +∂∂⋅+∂∂⋅+-++=+由于)(]))(,())(,())(,([2))(,()()(321h O yx y x f x y x f x x y x f h x y x hf x y x y i i i i i i i i i i +∂∂+∂∂++=+在i i y x y =)(的条件下)()()()(33311h O h O h O y x y i i =-=-++。

即对任意参数t ，上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是)(3h O 。

六．（16分）证明：下列求解常微分方程初值问题的数值方法，其局部截断误差为)(3h O 。

)],(41),(47[)(211111---+-++=i i i i i i i y x f y x f h y y y 证：)),(,(),(11i i i i i i y x hf y h x f y x f --=--)()],(),(),([),(2h O y x hf yy x f h x y x f y x f i i i i i i i i +⋅∂∂+⋅∂∂-=)()],(),(),([!2),()()()(3211h O y x f yy x f x y x f h y x hf x y h x y x y y i i i i i i i i i i i i +∂∂+∂∂+-=-=≈-- 在i i y x y =)(的条件下将上述两式代入)],(41),(47[)(211111---+-++=i i i i i i i y x f y x f h y y y 中，可得：)](),(),(),([4),(2321h O y x f yy x f x y x f h y x f hy y i i i i i i i i i i +∂∂+∂∂+-=+)]}(),(),(),([4),(23{2h O y x f y y x f x y x f h y x f h i i i i i i i i +∂∂+∂∂++)()],(),(),([2),(3h O y x f yy x f x y x f h y x hf y i i i i i i i i i +∂∂+∂∂++= 由于)(]))(,())(,())(,([2))(,()()(321h O yx y x f x y x f x x y x f h x y x hf x y x y i i i i i i i i i i +∂∂+∂∂++=+在ii y x y =)(的条件下)()()()(33311h O h O h O y x y i i =-=-++。

所以上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是)(3h O 。

05-06学年秋季学期一．简答题（每小题4分，共20分）1. 设x=0.06020，y=0.0418是按四舍五入得到的近似值，则x+y ，xy 的绝对误差限，相对误差限，有效数字各是多少。

答：54110211021)(---⨯=⨯≤x ε，43110211021)(---⨯=⨯≤y ε； 30310211021)()()(--⨯=⨯≤+≤+y x y x εεε， 所以x+y 三位有效，0007766.0)()(=++=+yx y x y x r εε；32510211021)()()(---⨯=⨯≤+≤x y y x xy εεε， 所以x/y 三位有效，001279.0)()(==xyxy xy r εε 2. 同03-04学年秋季学期第一题33. 在解线性方程组时，原始数据的误差对解的影响如何；对病态方程组可以采用什么方法处理。

答：原始数据的误差对于线性方程组Ax=b 的影响如下：bb A cond xx∆≤∆)(，其中b ∆为A 精确时b 产生的误差；AAA cond x x ∆≤∆)( ，其中A ∆为b 精确时A 产生的误差； 其中cond(A)=||A ||||1-A ||为条件数。

对于病态方程组，可以使用迭代改善的方法处理。

4. 给出三个等距节点1x ，2x ，3x ，及其相应的函数值，试导出二阶数值导数)(1x f ''的计算公式。