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2017年新课标理科数学I卷

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2017年北京市高考数学试卷(理科)(附详细答案)

2017年北京市高考数学试卷(理科)(附详细答案)

2017年北京市高考数学试卷〔理科〕一、选择题.〔每题5分〕1．〔5分〕假设集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=〔〕A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3} 2．〔5分〕假设复数〔1﹣i〕〔a+i〕在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，1〕B．〔﹣∞，﹣1〕C．〔1，+∞〕D．〔﹣1，+∞〕3．〔5分〕执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A．2 B．C．D．4．〔5分〕假设x，y满足，则x+2y的最大值为〔〕A．1 B．3 C．5 D．95．〔5分〕已知函数f〔x〕=3x﹣〔〕x，则f〔x〕〔〕A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数6．〔5分〕设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．〔5分〕某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的最长棱的长度为〔〕A．3 B．2 C．2 D．28．〔5分〕根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则以下各数中与最接近的是〔〕〔参考数据：lg3≈0.48〕A．1033 B．1053 C．1073 D．1093二、填空题〔每题5分〕9．〔5分〕假设双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=．10．〔5分〕假设等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=．11．〔5分〕在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为〔1，0〕，则|AP|的最小值为．12．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，假设sinα=，则cos〔α﹣β〕=．13．〔5分〕能够说明“设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．14．〔5分〕三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如下图，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．〔1〕记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是．〔2〕记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是．三、解答题15．〔13分〕在△ABC中，∠A=60°，c=a．〔1〕求sinC的值；〔2〕假设a=7，求△ABC的面积．16．〔14分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求证：M为PB的中点；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17．〔13分〕为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．〔1〕从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；〔2〕从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E〔ξ〕；〔3〕试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．〔只需写出结论〕18．〔14分〕已知抛物线C：y2=2px过点P〔1，1〕．过点〔0，〕作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．〔1〕求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；〔2〕求证：A为线段BM的中点．19．〔13分〕已知函数f〔x〕=e x cosx﹣x．〔1〕求曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程；〔2〕求函数f〔x〕在区间[0，]上的最大值和最小值．20．〔13分〕设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}〔n=1，2，3，…〕，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．〔1〕假设a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；〔2〕证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．2017年北京市高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题.〔每题5分〕1．〔5分〕假设集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=〔〕A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}故选：A．【点评】此题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题．2．〔5分〕假设复数〔1﹣i〕〔a+i〕在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，1〕B．〔﹣∞，﹣1〕C．〔1，+∞〕D．〔﹣1，+∞〕【分析】复数〔1﹣i〕〔a+i〕=a+1+〔1﹣a〕i在复平面内对应的点在第二象限，可得，解得a范围．【解答】解：复数〔1﹣i〕〔a+i〕=a+1+〔1﹣a〕i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜﹣1．则实数a的取值范围是〔﹣∞，﹣1〕．故选：B．【点评】此题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．〔5分〕执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A．2 B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=，当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：，故选：C．【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．〔5分〕假设x，y满足，则x+2y的最大值为〔〕A．1 B．3 C．5 D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A〔3，3〕，目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．【点评】此题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．〔5分〕已知函数f〔x〕=3x﹣〔〕x，则f〔x〕〔〕A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，即函数f〔x〕为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=〔〕x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．【解答】解：f〔x〕=3x﹣〔〕x=3x﹣3﹣x，∴f〔﹣x〕=3﹣x﹣3x=﹣f〔x〕，即函数f〔x〕为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=〔〕x为减函数，故函数f〔x〕=3x﹣〔〕x为增函数，故选：A．【点评】此题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．6．〔5分〕设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“•＜0”的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．即可判断出结论．【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而=λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】此题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．〔5分〕某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的最长棱的长度为〔〕A．3 B．2 C．2 D．2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．【点评】此题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．8．〔5分〕根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则以下各数中与最接近的是〔〕〔参考数据：lg3≈0.48〕A．1033 B．1053 C．1073 D．1093【分析】根据对数的性质：T=，可得：3=10lg3≈10，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈10，∴M≈3361≈〔10〕361≈10173，∴≈=1093，故选：D．【点评】此题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题．二、填空题〔每题5分〕9．〔5分〕假设双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=2．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．【解答】解：双曲线x2﹣=1〔m＞0〕的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．【点评】此题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．10．〔5分〕假设等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=1．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案为：1．【点评】此题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．11．〔5分〕在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为〔1，0〕，则|AP|的最小值为1．【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值．【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，再化为标准方程：〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min=|CP|﹣r C=2﹣1=1，故答案为：1．【点评】此题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．12．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，假设sinα=，则cos〔α﹣β〕=﹣．【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα=sinβ=，cosα=﹣cosβ，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=﹣1=﹣方法二：∵sinα=，当α在第一象限时，cosα=，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=﹣，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣：∵sinα=，当α在第二象限时，cosα=﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ=sinα=，cosβ=﹣cosα=，∴cos〔α﹣β〕=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣×+×=﹣综上所述cos〔α﹣β〕=﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题13．〔5分〕能够说明“设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为﹣1，﹣2，﹣3．【分析】设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则假设a ＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，此题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．假设a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则假设a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，〔答案不唯一〕，故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】此题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．14．〔5分〕三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如下图，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．〔1〕记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是Q1．〔2〕记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是p2．【分析】〔1〕假设Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i=A i的综坐标+B i的纵坐标；进而得到答案．〔2〕假设p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：〔1〕假设Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，〔2〕假设p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2故答案为：Q1，p2【点评】此题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．三、解答题15．〔13分〕在△ABC中，∠A=60°，c=a．〔1〕求sinC的值；〔2〕假设a=7，求△ABC的面积．【分析】〔1〕根据正弦定理即可求出答案，〔2〕根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．【解答】解：〔1〕∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，〔2〕a=7，则c=3，∴C＜A，由〔1〕可得cosC=，∴sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，∴S=acsinB=×7×3×=6．△ABC【点评】此题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题16．〔14分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．〔1〕求证：M为PB的中点；〔2〕求二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【分析】〔1〕设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；〔2〕取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；〔3〕求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】〔1〕证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；〔2〕解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D〔2，0，0〕，A〔﹣2，0，0〕，P〔0，0，〕，C〔2，4，0〕，B〔﹣2，4，0〕，M〔﹣1，2，〕，，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；〔3〕解：，平面BDP的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．【点评】此题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．17．〔13分〕为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．〔1〕从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；〔2〕从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E〔ξ〕；〔3〕试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．〔只需写出结论〕【分析】〔1〕由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．〔2〕由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E〔ξ〕．〔3〕由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【解答】解：〔1〕由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p==．〔2〕由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，P〔ξ=0〕=，P〔ξ=1〕==，P〔ξ=2〕==，∴ξ的分布列如下：ξ012PE〔ξ〕==1．〔3〕由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．【点评】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．18．〔14分〕已知抛物线C：y2=2px过点P〔1，1〕．过点〔0，〕作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．〔1〕求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；〔2〕求证：A为线段BM的中点．【分析】〔1〕根据抛物线过点P〔1，1〕．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；〔2〕设过点〔0，〕的直线方程为y=kx+，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，根据韦达定理得到x1+x2=，x1x2=，根据中点的定义即可证明．【解答】解：〔1〕∵y2=2px过点P〔1，1〕，∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为〔，0〕，准线为x=﹣，〔2〕证明：设过点〔0，〕的直线方程为y=kx+，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A〔x1，x1〕，B〔x1，〕，由，可得k2x2+〔k﹣1〕x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+〔1﹣k〕•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．【点评】此题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．19．〔13分〕已知函数f〔x〕=e x cosx﹣x．〔1〕求曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程；〔2〕求函数f〔x〕在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】〔1〕求出f〔x〕的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；〔2〕求出f〔x〕的导数，再令g〔x〕=f′〔x〕，求出g〔x〕的导数，可得g〔x〕在区间[0，]的单调性，即可得到f〔x〕的单调性，进而得到f〔x〕的最值．【解答】解：〔1〕函数f〔x〕=e x cosx﹣x的导数为f′〔x〕=e x〔cosx﹣sinx〕﹣1，可得曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线斜率为k=e0〔cos0﹣sin0〕﹣1=0，切点为〔0，e0cos0﹣0〕，即为〔0，1〕，曲线y=f〔x〕在点〔0，f〔0〕〕处的切线方程为y=1；〔2〕函数f〔x〕=e x cosx﹣x的导数为f′〔x〕=e x〔cosx﹣sinx〕﹣1，令g〔x〕=e x〔cosx﹣sinx〕﹣1，则g〔x〕的导数为g′〔x〕=e x〔cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx〕=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′〔x〕=﹣2e x•sinx≤0，即有g〔x〕在[0，]递减，可得g〔x〕≤g〔0〕=0，则f〔x〕在[0，]递减，即有函数f〔x〕在区间[0，]上的最大值为f〔0〕=e0cos0﹣0=1；最小值为f〔〕=e cos﹣=﹣．【点评】此题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．20．〔13分〕设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}〔n=1，2，3，…〕，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．〔1〕假设a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；〔2〕证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【分析】〔1〕分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由〔b k﹣na k〕﹣〔b1﹣na1〕≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣n，c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；+1〔2〕由b i﹣a i n=[b1+〔i﹣1〕d1]﹣[a1+〔i﹣1〕d2]×n=〔b1﹣a1n〕+〔i﹣1〕〔d2﹣d1×n〕，分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：〔1〕a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则〔b k﹣na k〕﹣〔b1﹣na1〕，=[〔2k﹣1〕﹣nk]﹣1+n，=〔2k﹣2〕﹣n〔k﹣1〕，=〔k﹣1〕〔2﹣n〕，由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则〔b k﹣na k〕﹣〔b1﹣na1〕≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴c n+1∴数列{c n}是等差数列；〔2〕证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，〔i∈N*，且1≤i≤n〕，则b i﹣a i n=[b1+〔i﹣1〕d1]﹣[a1+〔i﹣1〕d2]×n，=〔b1﹣a1n〕+〔i﹣1〕〔d2﹣d1×n〕，下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①假设d1=0，则b i﹣a i n═〔b1﹣a1n〕+〔i﹣1〕d2，当假设d2≤0，则〔b i﹣a i n〕﹣〔b1﹣a1n〕=〔i﹣1〕d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，〔b i﹣a i n〕﹣〔b n﹣a n n〕=〔i﹣n〕d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n﹣c n=d2﹣a1，+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②假设d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，〔b i﹣a i n〕﹣〔b1﹣a1n〕=〔i﹣1〕〔﹣d1n+d2〕≤0，〔i∈N*，1≤i≤n〕，因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；此时c n+1③假设d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，〔b i﹣a i n〕﹣〔b n﹣a n n〕=〔i﹣1〕〔﹣d1n+d2〕≤0，〔i∈N*，1≤i ≤n〕，因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+〔d1﹣a1+d2〕+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，假设C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；假设C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】此题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．。

2017高考全国1卷理科数学试题及答案解析[精校解析版]

2017高考全国1卷理科数学试题及答案解析[精校解析版]

WORD 格式整理2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 . 用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑 .2、选择题的作答： 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效 .3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 . 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 .4、选考题的作答： 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑 . 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 .5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交 .第 Ⅰ 卷一 . 选择题：本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的 .1.设集合 A x x 2 4x 3 0 ， x 2x 3 0 ,则 A B（ A ）3, 3 （ B ） 3, 3 （ C ） 1, 3 （ D ） 3,3 2 2 2 2设i ) x 1 yi ，其中 x, y 是实数，则 x yi 2. (1 （ A ） 1（ B ） 2（C ）3 （D） 23.已知等差数列 a n 前 9 项的和为 27，a 108 ，则 a 100（ A ） 100 （ B ） 99 （C ） 98 （ D ） 974.某公司的班车在7:00，8:00，8:30 发车，小明在7:50 至8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（ A ）1（ B）1（C）2（ D）33234x2y21 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则 n 的取值范围是5.已知方程n 3m2m2n专业技术参考资料WORD 格式整理（ A ）1,3 （ B） 1, 3 （ C） 0,3（ D ）0, 36.如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 .若该几何体的体积是28,则它的表面积是3（ A ）17 （ B）18（ C）20（ D）287.函数 y 2x2e x在2,2 的图像大致为y y（ A ）1（ B）12 O 2 x 2 O2xy y1 1（ C）2O 2 x（D） 2 O 2 x8.若 a b 10， c 1,则（ A ）a cbc （ B）ab c ba c（ C ） alog b cb log ac （ D） logac9.执行右面的程序框图 ,如果输入的 x 0， y 1，n1 ,则输出 x,y 的值满足（ A ） y 2x （ B） y 3x （ C） y 4x （ D） y 5x10.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于D 、E 两点 .已知 |AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为n=n+ 1(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 11.平面过正方体ABCD顶点 A I平面ABCD=m, I 平面 ABB1A1=n,则 m、n所成角的正弦值为3 2(A) (B)2 2log b c开始输入x,y,nn-1x=x+ 2，y=nyx2+y2≥36？否是输出x,y结束专业技术参考资料WORD 格式整理12.已知函数 f (x)sin( x+ )(0，), x 为 f (x) 的零点 , x 为 y f ( x) 图像2 4 4的对称轴，且 f (x) 在5单调，则的最大值为18，36（ A ） 11 （ B）9（C） 7（ D）5二、填空题：本大题共3 小题 ,每小题 5 分13.设向量 a=(m,1)， b=(1,2) ，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m= ．14. (2 xx)5的展开式中， x3的系数是．（用数字填写答案）15.设等比数列a n满足 a1+a3=10， a2+a4=5，则 a1a2 ⋯an的最大值为．16.某高科技企业生产产品A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg ，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润为2100 元，生产一件产品B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料 90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 .17.（本小题满分为 12 分）ABC 的内角A，B，C的对边分别为a b c2cos C (a cos B+b cos A)c.，，，已知（ I）求 C；（ II ）若 c 7 ，ABC 的面积为 3 3，求ABC 的周长．218.（本小题满分为12 分）如图，在以A，B，C，D，E， F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形， AF =2FD ，AFD 90 ，且二面角 D -AF -E 与二面角 C-BE-F 都是 60 ．（ I）证明：平面ABEF 平面 EFDC ；D C（ II ）求二面角E-BC- A 的余弦值．F专业技术参考资料WORD 格式整理19.（本小题满分12 分）某公司计划购买 2 台机器 ,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件 ,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元 .在机器使用期间 ,如果备件不足再购买 ,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：频数40200 8 9 10 11 更换的易损零件数以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数.（ I）求 X 的分布列；（ II ）若要求 P( X n) 0.5 ,确定 n 的最小值；（ III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n 19 与 n 20 之中选其一 ,应选用哪个？20.（本小题满分12 分）设圆x2y22x 15 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B （ 1,0）且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C,D 两点，过 B 作 AC 的平行线交A D 于点 E.（ I）证明EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（ II ）设点 E 的轨迹为曲线C1，直线 l 交 C1于 M ,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围 .21.（本小题满分 12 分）已知函数 f x x 2 e x2有两个零点 .a x 1(I ) 求a的取值范围；(II)设12是fx 的两个零点 ,证明：x1x2 2 .x ,x专业技术参考资料WORD 格式整理请考生在22、 23、 24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，△ OAB 是等腰三角形，∠ AOB=120°.以 O 为圆心， 1OA 为半径作圆 . 2(I) 证明：直线 AB 与⊙ O 相切；(II) 点 C ，D 在⊙ O 上，且 A ， B ， C ， D 四点共圆，证明： AB ∥ CD. DCOA B23.（本小题满分 10 分）选修 4— 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x y 中，曲线 C 1 的参数方程为 x a cost （ t 为参数， a ＞ 0）．y 1 a sin t 在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2： ρ= 4 cos . （ I ）说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（ II ）直线 C 3 的极坐标方程为 0 ，其中 0 满足 tan 0 =2 ，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a ．24.（本小题满分 10 分）选修 4— 5：不等式选讲已知函数 fx x 1 2x 3 .（ I ）画出 y f x 的图像；（ II ）求不等式 f x 1 的解集．专业技术参考资料WORD 格式整理2016 年高考全国1 卷理科数学参考答案 题号 1 2 3 45 6 7 8 9 10 11 12 答案D BCBAADCCBA B1. A x x 2 4x 3 0 x 1 x 3 ， B x 2 x 3 0 x x 3 ．2 故 A Bx 3x 3 ． 2故选D ．2. 由 1 i x 1 yi 可知： x xi 1 yi ，故 x 1 ，解得： x 1 ． x y y 1 所以，xyi x 2y 22 ．故选 B ．3. 由等差数列性质可知： S 99 a 1 a992a 5 9a 5 27 ，故a 5 3 ，2 2而 a 10 8 ，因此公差 d a10 a 51 10 5∴a100 a10 90d 98 ．故选C ．4. 如图所示，画出时间轴：7:30 7:40 7:50 8:008:10 8:20 8:30ACDB小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或 DB时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟根据几何概型，所求概率 P 10 10 1 ．40 2 故选 B．专业技术参考资料WORD 格式整理5. x2y21 表示双曲线，则m2n 3m2n 0m2n 3m2n∴m2 n 3m2由双曲线性质知：c2m2n 3m2n 4m2，其中 c 是半焦距∴焦距 2c 2 2 m 4 ，解得 m 1∴1 n 3故选 A．6.原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的1 后的三视图8表面积是7 的球面面积和三个扇形面积之和8S= 7 4 22 +3 1 22 =178 4故选A．7. f 2 8 e 2822.8 0 ，排除Af 2 8 e28 2.721 ，排除 Bx 0 时， fx 2x2e x f x 4x e x，当 x 0, 1时， f x 1 4 e004 4因此f x 在 0, 1 单调递减，排除 C4 故选D．8. 对 A ：由于 0 c 1 ，∴函数 y x c在 R 上单调递增，因此 a b 1 a c b c， A 错误对 B ：由于 1 c 1 0 ，∴函数 yx c1在 1, 上单调递减，∴ a b 1 a c 1bc 1 ba cab c ， B 错误专业技术参考资料WORD 格式整理对 C ：要比较 a log b c 和 blog a c ，只需比较 a ln c和 b ln c ，只需比较 ln c 和 ln c，只需 b lnbln b ln abln b aln a 和 a ln a构造函数 fx x ln xx 1 ，则 f ' x ln x 1 1 0 ， f x 在1, 上单调递增，因此 f a f b 0a ln ab ln b 0 1 1a ln ab ln b又由 0 c 1 得 ln c0 ，∴ ln ca ln a对 D ： 要比较 log a c 和 log b c ，只需比较ln c blog a c a log b c ， C 正确b ln b lnc 和 ln cln a ln b而函数 y ln x 在 1, 上单调递增，故 a b 1 ln a 1 1ln b 0 ln b ln a又由 0 c 1 得 ln c0 ，∴ ln c ln c log a c log b c ， D 错误 ln a ln b故选 C ．9. 如下表：循环节运 n 1 判断是否x x ny n n n 1 x y y行次数2 2 2 36 输出 x y 运行前 0 1 / / 1 第一次 0 1 否 否 2 第二次 1 2 否 否3 2第三次36是是2输出x 3，y 6，满足y 4x 2故选 C．10.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为y22px p 0，设圆的方程为 x2y2r2，题目条件翻译如图：设 A x0 ,2 2 ，D p，, 5 2专业技术参考资料WORD 格式整理点 Ax 0 ,2 2 在抛物线 y 2 2 px 上，∴ 8 2 px 0 ⋯⋯ ① p p 2 , 5 在圆x 2 2 2 r 2⋯⋯ ② 点 D y r 上，∴ 52 2点 A x 0 ,22 2 2 2 2 8 r 2在圆 x y r 上，∴x0 ⋯⋯ ③ 联立①②③解得： p 4 ，焦点到准线的距离为p 4 ． 故选B ．D Cα B A11. 如图所示：∵ ∥平面 CB1D1 ，∴若设平面 CB1 D1 平面 ABCD m1 ，C 1D 1则 m 1∥ mA 1 B1又∵平面 ABCD ∥平面 A 1 B 1C 1 D 1 ，结合平面 B 1D 1C 平面 A 1 B 1 C 1D 1 B 1 D 1∴B 1D 1∥m 1 ，故 B 1D 1∥m 同理可得： CD 1∥n故 m 、 n 的所成角的大小与 B1D1 、 CD1 所成角的大小相等，即 CD1B1 的大小．而 B 1C B 1 D 1 CD 1 （均为面对交线） ，因此CD 1 B 1 ，即 sin CD 1B 1 3 ． 3 2故选A ．12. 由题意知：π + k 1 π4π +k2π+ π4 2则 2 k 1，其中 k Zf (x)在π, 5π单调， 518 π T ,1218 36 3612 2接下来用排除法若11, πsin 11xππ 3π3π 5π递减，不满，此时 f( x) ， f (x) 在, 递增，在,364 4 18 44 44足 f ( x) 在π 5π单调18,36专业技术参考资料WORD 格式整理若πsin 9 xπ，满足f ( x)在π 5π单调递减9, ，此时 f( x)4 18,4 36故选 B．13.-2 14.10 15 ． 64 16 ． 21600013. 由已知得： a b m 1, 32 2 2232m2121222，解得m∴ a b a b m 1 2 ．14．设展开式的第k 1 项为Tk1，k0,1,2,3,4,5∴ Tk 1k5k k k5k 5 kC5 2 x xC5 2 x2．k C54 255 4当 53 时，k4 ，即T5 4 x210x3 2故答案为10．15. 由于a n 是等比数列，设a na1q n 1，其中 a1是首项， q是公比．2 a18∴ a1 a310 a1 a1q 3 10，解得： 1 ．a2a4 5a1q a1q5 q2 1n 4 32 ...n4故 a n，∴a1a2 ... a n1 12 2 21nn72121n 7 2 4922421当 n 3 或 4 时，n 7 49 取到最小值 6 ，此12 2 4取到最大值 26．1n 7 2 49224所以 a1 a2 ... an 的最大值为64．16．设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为专业技术参考资料WORD 格式整理目标函数 z 2100 x 900 y作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100) (0,200) (0,0)(90,0)在 (60,100) 处取得最大值，z 2100 60 900 100 216000 17. 解：⑴2cosC a cosB bcosA c 由正弦定理得：2cosC sin A cosB sin BcosA sinC 2cosC sin A B sinC∵A B C ， A 、B 、C 0，ππ ∴sin A B sinC 0∴ 2cos C 1 ， cosC 12∵ C 0 ，π∴ C π 3⑵ 由余弦定理得： c 2 a 2 b 22ab cosC 7 a 2 b 22ab 12 a b 2 3ab 7S 1 ab sinC 3 ab 3 32 42∴ab 6∴ a b 218 7a b 5∴ △ ABC 周长为 a b c 5 7专业技术参考资料WORD 格式整理18．解： (1) ∵ ABEF 为正方形∴ A F E F ∵AFD 90∴AF DF∵ DF EF =F∴AF 面 EFDCAF 面 ABEF∴平面 ABEF 平面 EFDC⑵ 由⑴知DFE CEF 60∵AB ∥ EFAB 平面 EFDCEF 平面 EFDC∴AB ∥平面 ABCDAB 平面 ABCD∵面 ABCD 面 EFDC CD∴AB ∥ CD∴CD ∥ EF∴四边形 EFDC 为等腰梯形以 E 为原点，如图建立坐标系，设FD aE 0 ，0，0 B 0，2a ，0 C a，0 ，3 a A 2a ， 2a ，2 2EB 0 ，2a ，0 ，BC a， 2a ，3 a ，AB2a ，0 ，0 2 2设面 BEC 法向量为 m x， y，z .2a y10m EB 0 ，即ax1 2ay1 3 az1x1 3 ， y10，z1 1m BC 0202 m3 ，0 ， 1设面 ABC 法向量为 n x2，y2，z2n BC=a 3.即 2 x22ay22 az20x2 0 ， y23，z2 4n AB 02ax20专业技术参考资料WORD 格式整理n0 ，3 ，4设二面角 E BC A 的大小为 .cosm n 4 2 19m n 3 1 3 16 19∴二面角E BC A 的余弦值为2 191919 解：⑴每台机器更换的易损零件数为8， 9， 10，11记事件A i 为第一台机器3 年内换掉 i 7个零件i 1,2,3,4记事件B i 为第二台机器3 年内换掉 i 7个零件i 1,2,3,4由题知P A1P A3P A4P B1P B3P B40.2， PA2P B20.4设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则 X 的可能的取值为16， 17，18，19， 20，21， 22PX 16 P A1PB1 0.2 0.2 0.04PX 17 P A1 PB2P A2 PB1 0.2 0.40.4 0.2 0.16PX 18 P A1 PB3P A2 PB2 P A3 P B1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.24PX 19 P A1PB4PA2 P B3PA3 P B2P A4 PB1 0.2 0.2 0.20.2 0.40.20.2 0.4 0.24PX 20 P A2PB4P A3 P B3P A4 P B20.4 0.2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2P x 21 P A3 P B4P A4 P B30.2 0.2 0.2 0.2 0.08 P x 22 P A4P B40.2 0.2 0.04X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.160.240.24 0.2 0.0 80.04⑵ 要令， 0.04 0.16 0.24 0.5 ，0.04 0.16 0.24 0.24 ≥ 0.5P x ≤ n ≥0.5则 n 的最小值为 19⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当 n 19时，费用的期望为 19 200 500 0.2 1000 0.08 1500 0.04 当 n 20 时，费用的期望为 20 200 500 0.08 1000 0.04 4080 所以应选用 n19 20. (1) 圆 A 整理为 x 2 y 2 16 ， A 坐标 1,0 ，如图，1BE ∥AC ，则 ∠C ∠ EBD ，由 AC A D ,则∠ D ∠C ，∠ EBD ∠D ，E D 则 EBA E EB AE ED A D 4 4 2 2 所以 E 的轨迹为一个椭圆，方程为 x y 1 ， ( y 0 )；4 3 D 404043 2 C 1 A x2B 2 4 E 1 234专业技术参考资料WORD 格式整理⑵C1 : x2y2my1，41 ；设l : x3因为 PQ⊥ l ，设PQ : y m x 1 ，联立 l与椭圆 C1x my 1x2y2得 3m24 y26my 9 0 ；4 31则| MN | 1 m2 | y M y N | 1m236m236 3m2 4 12 m23m2 4 3m2圆心 A 到 PQ 距离 d | m1 1| | 2m| ，1 m2 1 m2所以 | PQ | 2| AQ |2 d 2 2 16 4m22 4 3m2 4 ，1 m 1 m2S MP NQ 1 1 12 m2 14 3m2 4 24 m2124 | MN | |PQ |3m2 1 m23m22 2 4 4 321. （Ⅰ） f '(x) ( x 1)e x2a( x 1) (x 1)(e x2a) ．（ i）设a 0 ，则 f(x) (x 2)e x， f (x) 只有一个零点．（ ii）设a 0 ，则当x (,1)时， f'(x)0 ；当x (1,) 时， f'(x)上单调递减，在 (1, ) 上单调递增．又 f(1) e ， f (2) a ，取 b 满足 b 0 且 b ln a，则a (b 2) a(b 3 2f (b) 1)2a(b2b) 0，2故 f (x) 存在两个零点．（ iii）设 a 0 ，由 f '(x) 0 得 x若 ae，则ln( 2a)1 ，故当x2P 4321NA x4 2 B 2 41QM 2341；4112,8 312m 10 ．所以 f ( x) 在 ( ,1)在 (1, ) 上单调递增．又专业技术参考资料WORD 格式整理当x 1f (x) 0，所以f( x)不存在两个零点．时，若 a e1 ，故当x (1,ln( 2a)) 时， f '(x)0 ；当 x(ln( 2a), ) 时，，则ln( 2a)2f '(x) 0 ．因此f (x) 在 (1,ln( 2a)) 单调递减，在(ln( 2a),) 单调递增．又当x 1时，f (x) 0，所以 f ( x) 不存在两个零点．综上， a 的取值范围为(0, ) ．（）不妨设x1x2，由（Ⅰ）知x1 (,1) ，x2(1,) ，2 x2 (,1) ， f ( x) 在(,1)上单调递减，所以x1x22 等价于 f( x1 ) f (2x2 ) ，即 f(2 x2 ) 0 .由于 f(2 x2 ) x2e2x2a( x2 1)2，而 f(x2 )( x22)e x2a( x21)20，所以f (2 x2 ) x2e2 x2( x22)e x2 .设 g( x) xe2x ( x 2)e x，则 g(x) ( x 1)(e2 x e x ) .所以当x 1 时， g(x) 0 ，而 g (1)0 ，故当x1时， g( x) 0.从而 g(x2 ) f (2 x2 ) 0 ，故x1x2 2 .22．⑴设圆的半径为 r ，作 OK AB 于 K ∵OA OB ， AOB 120∴OK AB ， A 30 ，OK OAsin30OAr2∴ AB 与⊙O 相切⑵方法一：假设 CD 与 AB不平行 CD 与AB 交于 F2FK FC FD ①∵ A 、B 、C 、D 四点共圆∴ FC FD FA FB FK AK FK BK ∵ AK BK专业技术参考资料WORD 格式整理∴ FC FD FK AK FK AK FK 2 AK 2②由①②可知矛盾∴AB ∥ CD方法二：因为 A, B, C, D四点共圆，不妨设圆心为T ，因为O A OB ,TA TB，O,T为 AB 的中垂线上，所以同理OC OD ,TCTD ，所以 OT 为 CD 的中垂线，所以AB∥CD ．xacost（ t均为参数）23．⑴ 1 a sinty∴x2y2a2①1∴ C1为以0，1 为圆心， a 为半径的圆．方程为x2y2 2 y 1 a20∵x 2y 22，y sin ∴2 2 sin1a20即为C1的极坐标方程⑵ C2：4cos两边同乘得2 4 cos 2x2y2， cos xx2y24x 即 x224②y2C3：化为普通方程为y 2 x由题意：C1和 C2 的公共方程所在直线即为 C3①—②得： 4 x2y 1 a20 ，即为 C3∴ 1 a20 ∴ a 124．⑴如图所示：x 4 ，x ≤1⑵ f x 3x 2 ， 1 x 324 x，x ≥32f x 1当 x ≤ 1 ， x 4 1 ，解得 x 5 或 x 3 ∴ x ≤ 1专业技术参考资料WORD 格式整理当 1 x 32 1，解得x 11 ， 3x 或 x2 3∴ 1 x 1x3 或12 3当 x ≥3， 4 x 1 ，解得 x 5 或 x 32∴3≤x 3或x 52综上， x 1或1 x 3 或 x 5 3∴ f x 1 ，解集为，11 3 5，每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实事求是的说明产生的经济，3效益或者其他积极效果，呈报总经办。

2017年高考理科数学江苏卷含答案

2017年高考理科数学江苏卷含答案

数学试卷 第1页（共24页） 数学试卷 第2页（共24页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：柱体的体积h V S =,其中是柱体的底面积,h 是柱体的高.球的体积343R V π=,其中R 是球的半径.一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1.已知集合{}1,2A =,{}2,3B a a =+.若AB={1},则实数a 的值为________.2.已知复数(1)(12)z i i =++,其中i 是虚数单位,则z 的模是________.3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.4.右图是一个算法流程图.若输入x 的值为116,则输出y 的值是________.（第4题）5.若1tan()46πα-=,则tan α=________. 6.如图,在圆柱12O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是________.（第6题）7.记函数()f x 的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是________.8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是1F ,2F ,则四边形12F PF Q 的面积是________.9.等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==，,则8a =________.10.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是________. 11.已知函数31()2x xf x x x e e =-+-,其中e 是自然对数的底数.若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是________.12.如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,OA 与OC 的夹角为α,且tan 7α=,OB 与OC 的夹角为45°.若=m OC OA nOB +（m,n R ∈）,则6m n +=________.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共24页） 数学试卷 第4页（共24页）（第12题）13.在平面直角坐标系xOy 中,(12,0)A ,0,6B （）,点P 在圆O ：2250x y +=上.若PA ·PB20≤,则点P 的横坐标的取值范围是________.14.设f x （）是定义在R 上且周期为1的函数,在区间[)0,1上,()2,,x x Df x x x D ⎧∈=⎨∉⎩其中集合1,n D x x n N n +-⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭,则方程()lg 0f x x -=的解的个数是________.二、解答题：本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A BCD -中,AB AD ⊥,BC BD ⊥,ABD BCD ⊥平面平面,点E 、F （E 与A ,D 不重合）分别在棱AD ,BD 上,且EF AD ⊥. 求证：（1）EF ABC ∥平面； （2）AD AC ⊥.（第15题）16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )x x =a,([]30πx =∈，，，b . （1）若∥a b ,求x 的值；（2）记()·f x =a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆:102222x y +=(a b )a b ＞＞E 的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ,2l 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.（第17题）数学试卷 第5页（共24页） 数学试卷 第6页（共24页）18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm ,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14 cm 和62 cm .分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm .现有一根玻璃棒l ,其长度为40 cm .（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处,另一端置于侧棱1GG 上,求l 没入水中部分的长度.（第18题）19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111......2=2n k n k n n n k n k n n a a a a a a ka ka --+-++-+++++++=对任意正整数n n k >（）总成立,则称数列{}n a 是“p k （）数列”. （1）证明：等差数列是“p （3）数列”； （2）若数列{}n a 既是“p （2）数列”,又是“p （3）数列”,证明：{}n a 是等差数列.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页（共24页） 数学试卷 第8页（共24页）20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0b )f x x ax bx a -+++∈R ＞，有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域； （2）证明：2b 3a >；（3）若()f x ,'()f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值范围.数学II （附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图,AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ,AP PC ⊥,P 为垂足. 求证：（1）PAC CAB ∠=∠；（2）2AC AP AB =.（第21-A 题）B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵A= ,B=.（1）求AB ；（2）若曲线1C ：22y=182x +在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程.数学试卷 第9页（共24页） 数学试卷 第10页（共24页）C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a b c d ，，，为实数,且224a b +=,2216c d +=,证明：8ac bd +≤.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．　11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=　2　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为　﹣5　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为　4cm3　．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。

计数原理小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

计数原理小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

计数原理小题大做一、单选题1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.2．（2020年北京市高考数学试卷）在5(2)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】)52x 展开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T Cx C x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．13B ．25C ．23 D ．45【答案】C 【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解. 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+. 故选：C.4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C.点睛:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同.5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷参考版））用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24B ．48C ．60D ．72【答案】D 【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为44372A =，故选D.【考点】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518B ．49 C ．59D ．79【答案】C 【详解】标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是115425989C C =⨯ ,选C. 【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.7．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40C ．40D ．80【答案】C 【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得： 当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=， 则33x y 的系数为804040-=. 故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.8．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种【答案】C 【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C 【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.9．（2021·云南红河·模拟预测（理））有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种同种颜色的花，则不同的种花方式共有（ ）A ．96种B ．72种C ．48种D ．24种【答案】A 【分析】如图，由题意可知②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，从而可求得结果 【详解】依题意可知，将区域标号如图.用4种颜色的花卉完成栽种，需要②，④同色，或者③，⑤同色，或者①，④同色，或者①，⑤同色，故有44496A ⨯=种.故选：A10．（2021·全国全国·模拟预测）如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为（ ） ① ② ③ ④A ．24B ．80C ．72D ．96【答案】D 【分析】先分同时种植4种农作物和3种农作物两种情况，再按排列或组合及计数原理进行求解. 【详解】至少同时种植3种不同农作物可分两种情况：第一种，种植4种农作物，有44A 24=种不同的种植方法；第二种，种植3种农作物，则有2块不相邻的地种植同一种农作物，有①③、②④、①④这三种情况，每一种情况都有111432C C C 24=种不同的种植方法．则至少同时种植3种不同农作物的种植方法有2432496+⨯=种． 故选：D.11．（2021·河北衡水中学模拟预测）在2020中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机．若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（ ） A ．51种 B ．224种 C ．240种 D ．336种【答案】C 【分析】按中方选一架飞机或俄方选一架飞机分类讨论，每类再分步选择即可得． 【详解】不同的选法有：1120201154365436C C C C C C C 54311013660180C 240+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=（种）．故选：C ．12．（2021·广东·模拟预测）甲､乙､丙､丁四名交通志愿者申请在国庆期间到,,A B C 三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表：这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求,,A B C 三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数有（ ） A ．14种 B ．11种C ．8种D ．5种【答案】B 【分析】根据分类计数法进行分类讨论，然后进行求和. 【详解】 解：由题意得：以C 路口为分类标准：C 路口执勤分得人口数情况有2种，两个人或一个人 C 路口执勤分得人口数为2个，丙、丁在C 路口，那么甲、乙只能在A B 、路口执勤； C 路口执勤分得人口数为1个，丙或丁在C 路口，具体情况如下： 丙在C 路口：A（丁）B（甲乙）C（丙）；A（甲丁）B（乙）C（丙）；A（乙丁）B（甲）C（丙）；丁在C路口：A（甲乙）B（丙）C（丁）；A（丙）B（甲乙）C（丁）；A（甲丙）B（乙）C（丁）；A（乙）B（甲丙）C（丁）；A（乙丙）B（甲）C（丁）；A（甲）B（乙丙）C（丁）；.所以一共有2+3+6=11种选法.故选：B.二、填空题13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】16【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意，没有女生入选有344C=种选法，从6名学生中任意选3人有3620C=种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））已知(13)n x+的展开式中含有2x项的系数是54，则n=_____________.【答案】4 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1r n =（3x ）r ＝3r r nx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2． ∴223n=54，可得2n =6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】1080 【详解】41345454A C C A 1080+=【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.三、双空题16．（2021年浙江省高考数学试题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】5; 10. 【分析】根据二项展开式定理，分别求出43,(1(4))x x -+的展开式，即可得出结论. 【详解】332(1)331x x x x -=-+-， 4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=， 34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=. 故答案为：5,10.试卷第10页，共1页。

专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】 答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离， ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积 难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题 二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题 三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________． 【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ． 【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________． 【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题 【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______． 【答案】 解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算 难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____． 【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。

2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析

2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析

2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1},则( )A.A∩B＝{x|x＜0}B.A∪B＝RC.A∪B＝{x|x＞1}D.A∩B＝∅2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.3.(5分)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R,则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R,则z∈R；p 3：若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝；p4：若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p44.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24,S6＝48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.85.(5分)函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)＝－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]6.(5分)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.357.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.168.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋29.(5分)已知曲线C1：y＝cosx,C2：y＝sin(2x＋),则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210.(5分)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.1011.(5分)设x、y、z为正数,且2x＝3y＝5z,则( )A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||＝2,||＝1,则|＋2|＝.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝3x－2y的最小值为.15.(5分)已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为. 16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1,a＝3,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的余弦值.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；经计算得＝＝9.97,s＝＝≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i＝1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3＋3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.20.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,证明：l过定点.21.(12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a＝－1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4,g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1],求a的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1},则( )A.A∩B＝{x|x＜0}B.A∪B＝RC.A∪B＝{x|x＞1}D.A∩B＝∅【分析】先分别求出集合A和B,再求出A∩B和A∪B,由此能求出结果.【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0},∴A∩B＝{x|x＜0},故A正确,D错误；A∪B＝{x|x＜1},故B和C都错误.故选：A.【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集定义的合理运用.2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可. 【解答】解：根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2,则黑色部分的面积S＝,则对应概率P＝＝,故选：B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.3.(5分)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R,则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R,则z∈R；p 3：若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝；p4：若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【分析】根据复数的分类,有复数性质,逐一分析给定四个命题的真假,可得答案.【解答】解：若复数z满足∈R,则z∈R,故命题p1为真命题；p 2：复数z＝i满足z2＝－1∈R,则z∉R,故命题p2为假命题；p 3：若复数z1＝i,z2＝2i满足z1z2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题；p 4：若复数z∈R,则＝z∈R,故命题p4为真命题.故选：B.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复数的运算,复数的分类,复数的运算性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24,S6＝48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{an}的公差.【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n项和,a4＋a5＝24,S6＝48,∴,解得a1＝－2,d＝4,∴{an}的公差为4.故选：C.【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.5.(5分)函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)＝－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式－1≤f(x－2)≤1化为－1≤x－2≤1,解得答案.【解答】解：∵函数f(x)为奇函数.若f(1)＝－1,则f(－1)＝1,又∵函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,－1≤f(x－2)≤1,∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1),∴－1≤x－2≤1,解得：x∈[1,3],故选：D.【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的单调性,函数的奇偶性,难度中档.6.(5分)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.【解答】解：(1＋)(1＋x)6展开式中：若(1＋)＝(1＋x－2)提供常数项1,则(1＋x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数：若(1＋)提供x－2项,则(1＋x)6提供含有x4的项,可得展开式中x2的系数：由(1＋x)6通项公式可得.可知r＝2时,可得展开式中x2的系数为.可知r＝4时,可得展开式中x2的系数为.(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为：15＋15＝30.故选：C.【点评】本题主要考查二项式定理的知识点,通项公式的灵活运用.属于基础题.7.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16【分析】由三视图可得直观图,由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面,根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图,该立体图中只有两个相同的梯形的面,＝×2×(2＋4)＝6,S梯形∴这些梯形的面积之和为6×2＝12,故选：B.【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋2【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”,进而通过偶数的特征确定n＝n＋2.【解答】解：因为要求A＞1000时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”内不能输入“A＞1000”,又要求n为偶数,且n的初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,所以D选项满足要求,故选：D.【点评】本题考查程序框图,属于基础题,意在让大部分考生得分.9.(5分)已知曲线C 1：y ＝cosx,C 2：y ＝sin(2x ＋),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y ＝cos2x 图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y ＝cos2(x ＋)＝cos(2x ＋)＝sin(2x＋)的图象,即曲线C 2, 故选：D.【点评】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式的应用,考查计算能力.10.(5分)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1,|AB|＋|DE|最小,根据弦长公式计算即可.方法二：设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 ＋θ,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案【解答】解：如图,l 1⊥l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点, 直线l 2与C 交于D 、E 两点, 要使|AB|＋|DE|最小,则A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1, 又直线l 2过点(1,0),则直线l 2的方程为y ＝x －1,联立方程组,则y 2－4y －4＝0,∴y 1＋y 2＝4,y 1y 2＝－4, ∴|DE|＝•|y 1－y 2|＝×＝8,∴|AB|＋|DE|的最小值为2|DE|＝16,方法二：设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 ＋θ,根据焦点弦长公式可得|AB|＝＝|DE|＝＝＝∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝,∵0＜sin 22θ≤1,∴当θ＝45°时,|AB|＋|DE|的最小,最小为16, 故选：A.【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,弦长公式,对于过焦点的弦,能熟练掌握相关的结论,解决问题事半功倍属于中档题.11.(5分)设x 、y 、z 为正数,且2x ＝3y ＝5z ,则( )A.2x ＜3y ＜5zB.5z ＜2x ＜3yC.3y ＜5z ＜2xD.3y ＜2x ＜5z 【分析】x 、y 、z 为正数,令2x ＝3y ＝5z ＝k ＞1.lgk ＞0.可得x ＝,y ＝,z ＝.可得3y ＝,2x ＝,5z ＝.根据＝＝,＞＝.即可得出大小关系.另解：x 、y 、z 为正数,令2x ＝3y ＝5z ＝k ＞1.lgk ＞0.可得x ＝,y ＝,z ＝.＝＝＞1,可得2x＞3y,同理可得5z＞2x.【解答】解：x、y、z为正数,令2x＝3y＝5z＝k＞1.lgk＞0.则x＝,y＝,z＝.∴3y＝,2x＝,5z＝.∵＝＝,＞＝.∴＞lg＞＞0.∴3y＜2x＜5z.另解：x、y、z为正数,令2x＝3y＝5z＝k＞1.lgk＞0.则x＝,y＝,z＝.∴＝＝＞1,可得2x＞3y,＝＝＞1.可得5z＞2x.综上可得：5z＞2x＞3y.解法三：对k取特殊值,也可以比较出大小关系.故选：D.【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110【分析】方法一：由数列的性质,求得数列{bn}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N＋),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n＋1－n－2,容易得到N＞100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项,及前n项和Sn＝2n＋1－2－n,及项数,由题意可知：2n＋1为2的整数幂.只需将－2－n消去即可,分别即可求得N的值.【解答】解：设该数列为{an },设bn＝＋…＋＝2n＋1－1,(n∈N＋),则＝ai ,由题意可设数列{an }的前N项和为SN,数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn＝21－1＋22－1＋…＋2n＋1－1＝2n＋1－n－2,可知当N为时(n∈N＋),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n＋1－n－2,容易得到N＞100时,n≥14,A项,由＝435,440＝435＋5,可知S440＝T29＋b5＝230－29－2＋25－1＝230,故A项符合题意.B项,仿上可知＝325,可知S330＝T25＋b5＝226－25－2＋25－1＝226＋4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知＝210,可知S220＝T20＋b10＝221－20－2＋210－1＝221＋210－23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知＝105,可知S110＝T14＋b5＝215－14－2＋25－1＝215＋15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二：由题意可知：,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：21－1,22－1,23－1,…,2n－1,每项含有的项数为：1,2,3,…,n,总共的项数为N＝1＋2＋3＋…＋n＝,所有项数的和为Sn：21－1＋22－1＋23－1＋…＋2n－1＝(21＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n,由题意可知：2n＋1为2的整数幂.只需将－2－n消去即可,则①1＋2＋(－2－n)＝0,解得：n＝1,总共有＋2＝3,不满足N＞100,②1＋2＋4＋(－2－n)＝0,解得：n＝5,总共有＋3＝18,不满足N＞100,③1＋2＋4＋8＋(－2－n)＝0,解得：n＝13,总共有＋4＝95,不满足N＞100,④1＋2＋4＋8＋16＋(－2－n)＝0,解得：n＝29,总共有＋5＝440,满足N＞100, ∴该款软件的激活码440.故选：A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||＝2,||＝1,则|＋2|＝2.【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.【解答】解：【解法一】向量,的夹角为60°,且||＝2,||＝1,∴＝＋4•＋4＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12,∴|＋2|＝2.【解法二】根据题意画出图形,如图所示；结合图形＝＋＝＋2；在△OAC中,由余弦定理得||＝＝2,即|＋2|＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础题.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝3x－2y的最小值为－5 .【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解：由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A(－1,1).∴z＝3x－2y的最小值为－3×1－2×1＝－5.故答案为：－5.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为.【分析】利用已知条件,转化求解A到渐近线的距离,推出a,c的关系,然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解：双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A(a,0),以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,可得A到渐近线bx＋ay＝0的距离为：bcos30°＝,可得：＝,即,可得离心率为：e＝.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为4cm3.【分析】由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG＝BC,设OG＝x,则BC＝2x,DG＝3,V＝＝,令＝5－x,三棱锥的高h＝,求出S△ABCf(x)＝25x4－10x5,x∈(0,),f′(x)＝100x3－50x4,f(x)≤f(2)＝80,由此能求出体积最大值.【解答】解：由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG＝BC,即OG的长度与BC的长度成正比,设OG＝x,则BC＝2x,DG＝5－x,三棱锥的高h＝＝＝,＝3,则V＝＝＝,令f(x)＝25x4－10x5,x∈(0,),f′(x)＝100x3－50x4,令f′(x)≥0,即x4－2x3≤0,解得x≤2,则f(x)≤f(2)＝80,∴V≤＝4cm3,∴体积最大值为4cm3.故答案为：4cm3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1,a＝3,求△ABC的周长.【分析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案,(2)根据两角余弦公式可得cosA＝,即可求出A＝,再根据正弦定理可得bc＝8,根据余弦定理即可求出b＋c,问题得以解决.＝acsinB＝,【解答】解：(1)由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA＝2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA,∵sinA≠0,∴sinBsinC＝；(2)∵6cosBcosC＝1,∴cosBcosC＝,∴cosBcosC－sinBsinC＝－＝－,∴cos(B＋C)＝－,∴cosA＝,∵0＜A＜π,∴A＝,∵＝＝＝2R＝＝2,∴sinBsinC＝•＝＝＝,∴bc＝8,∵a2＝b2＋c2－2bccosA,∴b2＋c2－bc＝9,∴(b＋c)2＝9＋3cb＝9＋24＝33,∴b＋c＝∴周长a＋b＋c＝3＋.【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题.18.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的余弦值.【分析】(1)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB∥CD,得AB⊥PD,利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面PAD,进一步得到平面PAB⊥平面PAD；(2)由已知可得四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,得到AB⊥AD,则四边形ABCD 为矩形,设PA＝AB＝2a,则AD＝.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的一个法向量,再证明PD⊥平面PAB,得为平面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A－PB－C的余弦值.【解答】(1)证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD＝P,且PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD；(2)解：∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA＝PD,∠APD＝90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA＝AB＝2a,则AD＝.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则：D(),B(),P(0,0,),C().,,.设平面PBC的一个法向量为,由,得,取y＝1,得.∵AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,又PD⊥PA,PA∩AB＝A,∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB的一个法向量,.∴cos＜＞＝＝.由图可知,二面角A－PB－C为钝角,∴二面角A－PB－C的余弦值为.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,是中档题.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；经计算得＝＝9.97,s＝＝≈0.212,其中x为i抽取的第i个零件的尺寸,i＝1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3＋3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.【分析】(1)通过P(X＝0)可求出P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论；(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ－3σ,μ＋3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；(ⅱ)通过样本平均数、样本标准差s估计、可知(－3＋3)＝(9.334,10.606),进而需剔除(－3＋3)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.【解答】解：(1)由题可知尺寸落在(μ－3σ,μ＋3σ)之内的概率为0.9974,则落在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的概率为1－0.9974＝0.0026,因为P(X＝0)＝×(1－0.9974)0×0.997416≈0.9592,所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408,又因为X～B(16,0.0026),所以E(X)＝16×0.0026＝0.0416；(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(－3＋3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(－3＋3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由＝9.97,s≈0.212,得μ的估计值为＝9.97,σ的估计值为＝0.212,由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(－3＋3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(－3＋3)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为(16×9.97－9.22)＝10.02,因此μ的估计值为10.02.2＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134,剔除(－3＋3)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为≈0.09.【点评】本题考查正态分布,考查二项分布,考查方差、标准差,考查概率的计算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.20.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,证明：l过定点.【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P 2(0,1),P3(－1,)代入椭圆C,求出a2＝4,b2＝1,由此能求出椭圆C的方程.(2)当斜率不存在时,不满足；当斜率存在时,设l：y＝kx＋t,(t≠1),联立,得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l过定点(2,－1).【解答】解：(1)根据椭圆的对称性,P3(－1,),P4(1,)两点必在椭圆C上,又P4的横坐标为1,∴椭圆必不过P1(1,1),∴P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P2(0,1),P3(－1,)代入椭圆C,得：,解得a2＝4,b2＝1, ∴椭圆C的方程为＝1.证明：(2)①当斜率不存在时,设l：x＝m,A(m,yA ),B(m,－yA),∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,∴＝＝＝－1,解得m＝2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.②当斜率存在时,设l：y＝kx＋t,(t≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理,得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0,,x1x2＝,则＝＝＝＝＝－1,又t≠1,∴t＝－2k－1,此时△＝－64k,存在k,使得△＞0成立,∴直线l的方程为y＝kx－2k－1,当x＝2时,y＝－1,∴l过定点(2,－1).【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.21.(12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【分析】(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性；＜(2)由(1)可知：当a＞0时才有两个零点,根据函数的单调性求得f(x)最小值,由f(x)min＝g(e－2)＝e－2lne－2＋e－2－1＝－－1,g(1)＝0, 0,g(a)＝alna＋a－1,a＞0,求导,由g(a)min即可求得a的取值范围.(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性；(2)分类讨论,根据函数的单调性及函数零点的判断,分别求得函数的零点,即可求得a的取值范围.【解答】解：(1)由f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)e x－1,当a＝0时,f′(x)＝－2e x－1＜0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a＞0时,f′(x)＝(2e x＋1)(ae x－1)＝2a(e x＋)(e x－),令f′(x)＝0,解得：x＝ln,当f′(x)＞0,解得：x＞ln,当f′(x)＜0,解得：x＜ln,∴x∈(－∞,ln)时,f(x)单调递减,x∈(ln,＋∞)单调递增；当a＜0时,f′(x)＝2a(e x＋)(e x－)＜0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知：当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a＞0时,f(x)在(－∞,ln)是减函数,在(ln,＋∞)是增函数；(2)①若a≤0时,由(1)可知：f(x)最多有一个零点,当a＞0时,f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,当x→－∞时,e2x→0,e x→0,∴当x→－∞时,f(x)→＋∞,当x→∞,e2x→＋∞,且远远大于e x和x,∴当x→∞,f(x)→＋∞,∴函数有两个零点,f(x)的最小值小于0即可,由f(x)在(－∞,ln)是减函数,在(ln,＋∞)是增函数,∴f(x)＝f(ln)＝a×()＋(a－2)×－ln＜0,min∴1－－ln＜0,即ln＋－1＞0,设t＝,则g(t)＝lnt＋t－1,(t＞0),求导g′(t)＝＋1,由g(1)＝0,∴t＝＞1,解得：0＜a＜1,∴a的取值范围(0,1).方法二：(1)由f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)e x－1,当a＝0时,f′(x)＝－2e x－1＜0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a＞0时,f′(x)＝(2e x＋1)(ae x－1)＝2a(e x＋)(e x－),令f′(x)＝0,解得：x＝－lna,当f′(x)＞0,解得：x＞－lna,当f′(x)＜0,解得：x＜－lna,∴x∈(－∞,－lna)时,f(x)单调递减,x∈(－lna,＋∞)单调递增；当a＜0时,f′(x)＝2a(e x＋)(e x－)＜0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知：当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a＞0时,f(x)在(－∞,－lna)是减函数,在(－lna,＋∞)是增函数；(2)①若a≤0时,由(1)可知：f(x)最多有一个零点,＝f(－lna)＝1－－ln, ②当a＞0时,由(1)可知：当x＝－lna时,f(x)取得最小值,f(x)min当a＝1,时,f(－lna)＝0,故f(x)只有一个零点,当a∈(1,＋∞)时,由1－－ln＞0,即f(－lna)＞0,故f(x)没有零点,当a∈(0,1)时,1－－ln＜0,f(－lna)＜0,由f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0, 故f(x)在(－∞,－lna)有一个零点,假设存在正整数n0,满足n＞ln(－1),则f(n)＝(a＋a－2)－n＞－n＞－n＞0,由ln(－1)＞－lna,因此在(－lna,＋∞)有一个零点.∴a的取值范围(0,1).【点评】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数单调性及最值,考查函数零点的判断,考查计算能力,考查分类讨论思想,属于中档题.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a＝－1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【分析】(1)将曲线C的参数方程化为标准方程,直线l的参数方程化为一般方程,联立两方程可以求得焦点坐标；(2)曲线C上的点可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离,再结合距离最大值为进行分析,可以求出a的值.【解答】解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),化为标准方程是：＋y2＝1；a＝－1时,直线l的参数方程化为一般方程是：x＋4y－3＝0；联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(－,).(2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是：x＋4y－a－4＝0,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),所以点P到直线l的距离d为：。

2017年高考真题全国1卷理科数学(附答案解析)

2017年高考真题全国1卷理科数学(附答案解析)
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA=PD=AB=DC， ∠APD = 90o，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
19．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正
( ) 常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N µ,σ 2 ．
x − y ≤ 0
15．已知双曲线 C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的右顶点为
A ，以
A 为圆心， b
为半径作
圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线于交 M 、 N 两点，若 ∠MAN = 60o，则 C 的离心
率为__________．
16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的 等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB， 使得 D，E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3) 的最大值为______．
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在
( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥ 1) 及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：

空间三大角(向量法)

空间三大角(向量法)

空间三大角一、线线角1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π62.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．56C ．55D ．223.（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））如图，四边形ABCD 为菱形，ⅠABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE Ⅰ平面ABCD ，DF Ⅰ平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⅠEC ． （1）证明：平面AEC Ⅰ平面AFC ；（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．二、线面角1.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.2. （2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．3.（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））如图，四棱锥P−ABCD 中，PAⅠ底面ABCD ，ADⅠBC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点. （Ⅰ）证明MNⅠ平面PAB;（Ⅰ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.三、二面角1（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值．2.（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．3.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，ⅠBAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MNⅠ平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．4.（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEⅠEC1.（1）证明：BEⅠ平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.5. （2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．6.（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB Ⅰ平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.7.（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3））（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，四面体ABCD 中，ⅠABC 是正三角形，ⅠACD 是直角三角形，ⅠABD =ⅠCBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD Ⅰ平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值.8.（2016年全国普通高等学校招生统一考试）试题）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=︒，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60︒.（1）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（2）求二面角E BC A --的余弦值.9.（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点,5,6O AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5,4AE CF EF ==交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=.（1）证明：D H '⊥平面ABCD ；（2）求二面角B D A C '--的正弦值.答 案一、线线角1【答案】D如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD Ⅰ1BC ，所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角， 因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥，设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B === 1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 2.【答案】C 【详解】：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,13),3)D A B D ,所以11(1,0,3),(1,13)AD DB =-=, 因为11111115cos ,25AD DB AD DB AD DB ⋅-===⨯，所以异面直线1AD 与1DB 5 3.【解析】：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EGⅠAC ，通过计算可证EGⅠFG ，根据线面垂直判定定理可知EGⅠ平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFCⅠ平面AEC ；（Ⅰ）以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G -xyz ，利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G ，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1，由ⅠABC=120°，可得3由BEⅠ平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，又ⅠAEⅠEC ，3，EGⅠAC ，在RtⅠEBG 中，可得2，故DF=22.在RtⅠFDG 中，可得6 在直角梯形BDFE 中，由BD=2，2，2可得32，Ⅰ222EG FG EF +=，ⅠEGⅠFG ， ⅠAC∩FG=G ，ⅠEGⅠ平面AFC ，ⅠEG ⊂面AEC ，Ⅰ平面AFCⅠ平面AEC.（Ⅰ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G -xyz ，由（Ⅰ）可得A （030），E （1,0, 2，F （－1,02，C （030），ⅠAE =（1，3，2），CF =（-1，-3，22）.…10分 故3cos ,3AE CFAE CF AE CF ⋅==-. 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为33. 二、线面角1.【分析】（1）由已知可得，BF PF ⊥，BF EF ⊥，又PFEF F =，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）作PH EF ⊥，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -. 由（1）可得，DE PE ⊥.又2DP =，1DE =，所以3PE =.又1PF =，2EF =，故PE PF ⊥.可得33,22PH EH ==.则()33330,0,0,0,0,,1,,0,1,,,2222H P D DP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭30,0,2HP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为平面ABFD 的法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则334sin 43HP DP HP DPθ⋅===⋅. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 2.【分析】（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =． 连结OB ．因为22AB BC AC ==，所以ABC 为等腰直角三角形，且1,22OB AC OB AC ⊥== 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥．由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23)O B A C P AP -= 取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =．设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-． 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z =．由0,0AP n AM n ⋅=⋅=得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩， 可取2(3(4),3,)n a a a =--所以22223(4)cos 23(4)3a OB n a a a -〈⋅〉=-++ ．由已知得3cos 2OB n 〈⋅〉= ． 所以22223|4|3223(4)3a a a a -=-++ ．解得4a =-(舍去)，43a = ．所以83434,,333n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ． 又(0,2,23)PC =- ，所以3cos ,4PC n 〈〉=． 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34． 3.【详解】（Ⅰ）由已知得. 取的中点T ，连接，由为中点知，. 又，故=TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥. 因为平面，平面，所以平面. （Ⅰ）取的中点，连结.由得，从而，且 . 以A 为坐标原点， AE 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知， ，，，， (0,2,4)PM =-， 5(,1,2)2PN =-，5(,1,2)2AN =.设(,,)x y z =n 为平面 PMN 的一个法向量，则0,{0,n PM n PN ⋅=⋅=即 240,520,2y z x y z -=+-= 可取(0,2,1)n =.于是85cos ,25n AN n AN n AN⋅〈〉==. 三、二面角1【分析】（1）PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如上图所示的空间直角坐标系D xyz -， 设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得22a =，故22BC a ==； （2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则22AM ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1AP =-， 由111120220m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取12x =，可得()2,1,2m =，设平面PBM 的法向量为()222,,n x y z =，2,0,02BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,1BP =--，由222220220n BM x n BP x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=--+=⎩，取21y =，可得()0,1,1n =，3314cos ,1472m n m n m n⋅<>===⨯⋅，所以，270sin ,1cos ,14m n m n <>=-<>=，因此，二面角A PM B --的正弦值为7014. 2.【分析】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ， 在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ， ()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，37cos ,7321m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EF A --的平面角为θ，则7cos 7θ=，242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为427. 3【分析】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线 1//ME B C ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O ⋂=，11111A C B D O ⋂= 由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD 四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则：()3,0,0A，()0,1,2M ，()13,0,4A ，D （0，-1,0）31,,222N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则31,,022F ⎛⎫⎪⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形 DF AB ∴⊥ 又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DF AA ∴⊥DF ∴⊥平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMADF ∴为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =，又()13,1,2MA =-，33,,022MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭132033022n MA x y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令3x =，则1y =，1z =- ()3,1,1n ∴=-315cos ,515DF n DF n DF n⋅∴===⋅ 10sin ,5DF n ∴=∴二面角1A MA N --的正弦值为：1054.【分析】证明（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ； （2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2b B C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==， 设111(,,)m x y z =是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩， 设222(,,)n x y z =是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩， 二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为11222m n m n ⋅==⨯⋅，所以二面角1B EC C --的正弦值为2131()22-=. 5.【分析】解：（1）由题设知,平面CMD Ⅰ平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⅠCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC Ⅰ平面CMD ,故BC ⅠDM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⅠCM . 又 BC CM =C ,所以DM Ⅰ平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD Ⅰ平面BMC .（2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz . 当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M ，()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设(),,n x y z =是平面MAB 的法向量,则0,0.n AM n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取()1,0,2n =.DA 是平面MCD 的法向量, 因此5cos ,5n DA n DA n DA⋅==，25sin ,5n DA =，所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是255. 6.【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⅠAP ，CD ⅠPD ．由于AB//CD ，故AB ⅠPD ，从而AB Ⅰ平面P AD ．又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB Ⅰ平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -. 由（1）及已知可得2,0,02A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以22,1,22PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0CB =，22,0,22PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0AB =.设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取()0,1,2n =--. 设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,220.x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取()1,0,1m =. 则3cos ,3n m n m n m ⋅==-， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 7.【解析】：（1）由题设可得，ABD CBD ≌△△，从而AD DC =. 又ACD △是直角三角形，所以=90ADC ∠︒. 取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⅠAC ,DO =AO . 又由于ABC 是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB 中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=. 所以平面ACD Ⅰ平面ABC .（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得310,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()()311,0,1,2,0,0,1,,22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,310.22x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩可取31,,13⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n . 设m 是平面AEC 的法向量，则00m AC m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，同理可取()0,1,3=-m .则7cos ,7⋅==n m n m n m . 所以二面角D -AE -C 的余弦值为77.8.【分析】（Ⅰ）因为四边形ABEF 为正方形，所以AF FE ⊥， 又AF DF ⊥，DF FE F ⋂=，所以AF ⊥平面EFDC ． 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ． （Ⅰ）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ， 因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF平面EFDCEF ，DG ⊂平面EFDC ，故DG ⊥平面ABEF ．以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GD 的方向为z 轴正向， 建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．由（Ⅰ）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=︒， 设()20DF a a =>，则3DG a =，FG a =，所以(),4,0A a a ，()3,4,0B a a -，()3,0,0E a -，()0,0,3D a ． 由已知，//AB EF ，而AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ， 所以//AB 平面EFDC ，又平面ABCD 平面EFDC DC =，AB ⊂平面ABCD ，故//AB CD ，所以//CD EF ．由//BE AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，同理CEF ∠为二面角C BE F --的平面角， 所以60CEF ∠=︒，从而可得()2,0,3C a a -．所以(),0,3EC a a =，()0,4,0EB a =，()3,4,3AC a a a =--，()4,0,0AB a =-． 设(),,n x y z =是平面BCE 的法向量，则00n EC n EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3040ax az ay ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取3x =，则0,3y z ==-，可取()3,0,3n =-．设m 是平面ABCD 的法向量，则00m AC m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，同理可取()0,3,4m =，则43219cos ,192319n m n m n m⋅〈〉==-=-⨯．因为二面角E BC A --的平面角为钝角，故二面角E BC A --的余弦值为21919-．9.【详解】：(1)由已知得AC BD ⊥，AD CD =,又由AE CF =得AE CFAD CD=，故AC ⅠEF ，因此 EF HD ⊥，从而EF ⅠD H '.由56AB AC ==，得224DO BO AB AO ==-=.由AC ⅠEF 得14OH AE DO AD ==.所以1OH =,3D H DH '==. 于是222223110D H OH D O +=+='=',故D H OH '⊥.又D H EF '⊥,而OH EF H =,所以D H'⊥平面ABCD .如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,1,0A --，()0,6,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，()3,4,0AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量， 则0{m AB m AD '⋅=⋅=，即11111340{330x y x y z -=++=，可取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面ACD '的法向量， 则0{n AC n AD '⋅=⋅=，即222260{330x x y z =++=，可取()0,3,1n =-于是1475cos ,255010m n m n m n ⋅-===-⨯， 设二面角的大小为θ，295sin 25θ=.因此二面角B D A C '--的正弦值是29525.。

2017新课标一卷(理科数学)试题

2017新课标一卷(理科数学)试题

… 3.设有下面四个命题
B.
8
1
C.
2
D.
4
…
… 密
p1 ：若复数 z满足 1 R, 则 z R ; z
p2 ：若复数 z 满足 z2 R, 则 z R ；
…
… p3 ：若复数 z1 ， z2 满足 z1z2 R ,则 z1 z2 ； p4 ：若复数 z R ,则 z R . …
… 其中的真命题为（
5.函数 f (x) 在（ ， ）单调递减，且为奇函数，若 f (1) 1 ，则满足 1 f (x 2) 1 的
x 的取值范围是（
）
A ． 2,2
B. 1,1
C. 0,4
D. 1,3
6. (1
1 x2 )(1
x)6 展开式中
2
x 的系数为（
A ． 15
B. 20
） C.30
D.35
7.某多面体的三视图如图所示 ,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角
那么该款软件的激活码是（
）
A.440
B.330
C.220
D.110
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第 22-第 23 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知向量 a， b 的夹角为 60°， |a|=2， |b| =1.则|a+2b|=
… 绝密 * 启用前
…
… …
2017年普通高等学校统一招生考试（新课标 I 卷）
…
…
理科数学
…
… 注意事项 : …
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专题15 三角函数解答题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题15 三角函数解答题【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
(1)求 面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)由题意得 ，则 ，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
(2)由正弦定理得： ，则 ，则 ， ．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2022新高考全国II卷·第18题
3．(2022新高考全国I卷·第18题)记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵ ,
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第17题
8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题) 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\三角形中的面积问题
【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第17题
13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)(12分) 的内角 的对边分别为 ．已知 ， ， ．
(1)求 ；
(2)设 为 边上一点，且 ，求 的面积．
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)由 可得 ,因为 ,故 ．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即 ．

2017年天津市高考数学试卷(理科)详细解析版

2017年天津市高考数学试卷(理科)详细解析版

2017 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）设集合 A={ 1，2， 6} ，B={ 2，4} ，C={ x∈R| ﹣ 1≤ x≤5} ，则（ A∪ B）∩C=（）A．{ 2} B．{ 1， 2，4} C．{ 1， 2， 4， 5}D． { x∈R| ﹣1≤x≤ 5}2．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+y 的最大值为（）A．B．1 C．D．33．（5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为 24，则输出 N的值为（）A．0 B．1C．2 D．34．（5 分）设θ∈R，则“|θ﹣| ＜”是“ sin＜θ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（ 5 分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞ 0）的左焦点为 F，离心率为．若经过 F 和 P（ 0， 4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=16．（ 5 分）已知奇函数 f（x）在 R 上是增函数， g（x）=xf（x）．若 a=g（﹣ log25.1），b=g（ 20.8），c=g（3），则 a， b， c 的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5 分）设函数 f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，| φ| ＜ x．若 f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5 分）已知函数 f（ x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥ | +a| 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（）A．[ ﹣，2]B．[ ﹣，]C．[ ﹣2，2] D．[﹣2，]二 .填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9．（5 分）已知 a∈R，i 为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（ 5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为．11．（ 5 分）在极坐标系中，直线4ρ cos（θ﹣）+1=0与圆ρ =2sin的θ公共点的个数为．12．（ 5 分）若 a，b∈ R，ab＞0，则的最小值为．13．（ 5 分）在△ ABC 中，∠ A=60°， AB=3， AC=2．若=2，=λ ﹣（λ14．（ 5 分）用数字1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）在△ ABC中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a＞b，a=5， c=6， sinB= ．（Ⅰ）求 b 和 sinA 的值；（Ⅱ）求 sin（ 2A+）的值．16．（13 分）从甲地到乙地要经过3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率．17．（ 13 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC中， PA⊥底面 ABC，∠ BAC=90°．点 D，E， N 分别为棱 PA，PC，BC的中点， M 是线段 AD 的中点， PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证： MN ∥平面 BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣ EM﹣N 的正弦值；（Ⅲ）已知点 H 在棱 PA上，且直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，求线段 AH 的长．18．（ 13 分）已知 { a n} 为等差数列，前 n 项和为 S n（n∈N+），{ b n} 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求 { a n} 和{ b n} 的通项公式；+（Ⅱ）求数列 { a2n b2n﹣1} 的前 n 项和（ n∈ N ）．19．（14 分）设椭圆+ =1（a＞b＞0）的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为．已知 A 是抛物线 y2（＞）的焦点，F 到抛物线的准线l的距离为．=2px p0（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B（B 异于 A），直线 BQ 与 x 轴相交于点 D．若△ APD的面积为，求直线AP的方程．20．（14 分）设 a∈Z，已知定义在 R 上的函数 f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a 在区间（1， 2）内有一个零点 x0，g（x）为 f（x）的导函数．（Ⅰ）求 g（ x）的单调区间；（Ⅱ）设 m∈[ 1，x0）∪（x0，2] ，函数 h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣ f（m ），求证：h（m） h（ x0）＜ 0；（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数 A，使得对于任意的正整数p，q，且∈ [ 1，x0）∪（ x0，2] ，满足 |﹣x0|≥．2017 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）设集合 A={ 1，2， 6}， B={ 2， 4}， C={ x∈ R|﹣1≤x≤ 5}，则（ A∪B）∩C=（）A．{ 2} B．{ 1， 2， 4}C．{ 1， 2， 4， 5}D．{ x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．【解答】解：∵ A={ 1， 2，6} ，B={ 2，4} ，∴ A∪B={ 1，2，4，6} ，又 C={ x∈ R| ﹣1≤x≤5} ，∴（ A∪ B）∩ C={ 1，2，4} ．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2．（5 分）设变量 x， y 满足约束条件，则目标函数z=x+y 的最大值为（）A．B．1 C．D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：变量 x，y 满足约束条件的可行域如图：目标函数 z=x+y 结果可行域的 A 点时，目标函数取得最大值，由可得 A（ 0， 3），目标函数 z=x+y 的最大值为： 3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．3．（5 分）阅读上面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为 24，则输出 N 的值为（）A．0 B．1 C．2D． 3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次 N=24，能被 3 整除， N=≤3 不成立，第二次 N=8，8 不能被 3 整除， N=8﹣ 1=7，N=7≤3 不成立，第三次 N=7，不能被 3 整除， N=7﹣ 1=6，N==2≤3 成立，输出 N=2，故选 C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．4．（5 分）设θ∈R，则“|θ﹣| ＜”是“ sin＜θ”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解： | θ﹣| ＜ ?﹣＜θ﹣＜? 0＜θ＜，sin θ＜? ﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（ 0，）? [﹣+2kπ， +2kπ] ，k∈ Z，可得“|θ﹣| ＜”是“sin＜θ”的充分不必要条件．故选： A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．5．（ 5 分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞ 0）的左焦点为 F，离心率为．若经过 F 和 P（ 0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣ c，0），离心率 e= =，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过 F 和 P（0，4）两点的直线的斜率k==，则=1，c=4，则 a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．6．（5 分）已知奇函数（f x）在 R 上是增函数， g（ x）=xf（ x）．若 a=g（﹣ log25.1），b=g（ 20.8），c=g（3），则 a， b， c 的大小关系为（）A． a＜b＜c B．c＜b＜ a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】由奇函数 f（ x）在 R 上是增函数，则 g（ x）=xf（x）偶函数，且在（ 0，+∞）单调递增，则 a=g（﹣ log25.1） =g（log25.1），则 2＜﹣ log25.1＜3，1＜20.8＜ 2，即可求得 b＜a＜c【解答】解：奇函数 f （x）在 R 上是增函数，当 x＞0，f（x）＞ f（ 0） =0，且 f ′（ x）＞ 0，∴ g（x） =xf（x），则 g′（x）=f（x）+xf （′x）＞ 0，∴g（ x）在（ 0，+∞）单调递增，且 g（x） =xf（x）偶函数，∴a=g（﹣ log25.1）=g（ log25.1），则 2＜﹣ log25.1＜3，1＜20.8＜2，由 g（x）在（ 0，+∞）单调递增，则g（ 20.8）＜ g（log25.1）＜ g（3），∴ b＜ a＜ c，故选C．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题．7．（5 分）设函数 f（x）=2sin（ωx+φ），x∈ R，其中ω＞ 0，|φ|＜x．若 f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由 f（x）的最小正周期大于2π，得，又 f（）=2，f（）=0，得，∴ T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ x+φ），由 f（）=，得 sin（φ+）=1．∴ φ+=，k∈ Z．取 k=0，得φ=＜π．∴，φ= ．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（ 5 分）已知函数 f（ x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥ | +a| 在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，]【分析】讨论当 x≤1 时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+ x ﹣ 3≤ a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得 a 的范围；讨论当 x＞ 1 时，同样可得﹣（ x+ ）≤ a≤ + ，再由基本不等式可得最值，可得 a 的范围，求交集即可得到所求范围．【解答】解：当 x≤ 1 时，关于 x 的不等式 f（x）≥ |+a| 在 R 上恒成立，即为﹣ x2+x﹣ 3≤+a≤x2﹣ x+3，即有﹣ x2+ x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由 y=﹣x2+x﹣3 的对称轴为 x= ＜ 1，可得 x= 处取得最大值﹣；由 y=x2﹣x+3 的对称轴为 x=＜1，可得 x= 处取得最小值，则﹣≤a≤①当 x＞1 时，关于 x 的不等式 f（ x）≥ | +a| 在 R 上恒成立，即为﹣（ x+ ）≤ +a≤x+，即有﹣（x+）≤ a≤ +，由 y=﹣（ x+）≤﹣ 2=﹣ 2 （当且仅当 x= ＞1）取得最大值﹣ 2；由 y=x+≥2=2（当且仅当 x=2＞1）取得最小值 2．则﹣ 2 ≤ a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选： A．【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．二 .填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9．（5 分）已知 a∈R， i 为虚数单位，若为实数，则 a 的值为﹣2 ．【解答】解：===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得 a=﹣ 2．故答案为：﹣ 2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（ 5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴ 6a2=18，则a2=3，即 a= ，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即 R= ，则球的体积 V=π?（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．11．（ 5 分）在极坐标系中，直线 4ρ cos（θ﹣）+1=0与圆ρ =2sin的θ公共点的个数为2．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离 d，与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：直线 4ρcos（θ﹣）+1=0 展开为： 4ρ+1=0，化为： 2 x+2y+1=0．2，θ化为直角坐标方程：22，配方为：2+（ y﹣12圆ρ=2sin 即θρ ρx +yx）．=2sin=2y=1∴圆心 C（ 0， 1）到直线的距离 d==＜1=R．∴直线 4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sin的θ公共点的个数为2．故答案为：2．直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）若 a，b∈R，ab＞ 0，则的最小值为4．【解答】解： a，b∈R，ab＞ 0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即 a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=；”∴上式的最小值为4．故答案为： 4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．13．（ 5 分）在△ ABC 中，∠ A=60°， AB=3， AC=2．若=2，=λ ﹣（λ∈ R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠ A=60°， AB=3， AC=2， =2 ，∴= + = += +（﹣）=+，又=λ ﹣（λ∈R），∴=（+）?（λ﹣） =（λ﹣） ?﹣+ λ（λ﹣）× × ×cos60°﹣×32+ λ× 22﹣，∴λ ，解得λ= ．= 3 2= 4=1故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．14．（ 5 分）用数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080个．（用数字作答）【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9 种任选 4 个，组成一共四位数即可，有 A54=120 种情况，即有 120 个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9 种选出 3 个，在2、4、6、8 中选出 1 个，有 C53?C41=40 种取法，将取出的 4 个数字全排列，有 A44=24 种顺序，则有 40×24=960 个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080 个；故答案为： 1080．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．三 .解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．15．（ 13 分）在△ ABC中，内角 A， B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a＞b，a=5， c=6， sinB= ．（Ⅰ）求 b 和 sinA的值；（Ⅱ）求 sin（ 2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得 cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得 sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A， cos2A，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ ABC中，∵ a＞b，故由 sinB= ，可得 cosB= ．由已知及余弦定理，有∴ b=．由正弦定理得sinA=∴ b=，=13，，．sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得 cosA=，∴sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故 sin（ 2A+）==．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．16．（ 13 分）从甲地到乙地要经过3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）随机变量 X 的所有可能取值为0， 1， 2， 3；则 P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；所以，随机变量X 的分布列为X0123P随机变量 X 的数学期望为 E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1） =P（Y=0， Z=1）+P（ Y=1，Z=0）=P（Y=0）?P（Z=1）+P（ Y=1）?P（ Z=0）=×+×=；所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17．（ 13 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC中， PA⊥底面 ABC，∠ BAC=90°．点 D，E， N 分别为棱 PA， PC，BC的中点， M 是线段 AD 的中点， PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证： MN∥平面 BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣ N 的正弦值；（Ⅲ）已知点 H 在棱 PA上，且直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，求线段AH 的长．【分析】（Ⅰ）取 AB 中点 F，连接 MF、NF，由已知可证 MF∥平面 BDE，NF∥平面BDE．得到平面 MFN∥平面 BDE，则 MN∥平面 BDE；（Ⅱ）由 PA⊥底面 ABC，∠ BAC=90°．可以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系．求出平面 MEN 与平面 CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角 C﹣EM﹣N 的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设 AH=t，则 H（ 0， 0， t），求出的坐标，结合直线NH 与直线 BE所成角的余弦值为列式求得线段AH 的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB 中点 F，连接 MF、NF，∵M 为 AD 中点，∴ MF∥BD，∵BD? 平面 BDE，MF?平面 BDE，∴ MF∥平面 BDE．∵N 为 BC中点，∴ NF∥AC，又D、E 分别为 AP、PC的中点，∴ DE∥AC，则 NF∥DE．∵ DE? 平面 BDE，NF?平面 BDE，∴ NF∥平面 BDE．又MF∩NF=F．∴平面 MFN∥平面 BDE，则 MN∥平面 BDE；（Ⅱ）解：∵ PA⊥底面 ABC，∠ BAC=90°．∴以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4， AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E （ 0， 2， 2），则，，设平面 MEN 的一个法向量为，由，得，取 z=2，得．由图可得平面 CME的一个法向量为．∴ cos＜＞=．∴二面角 C﹣EM﹣N 的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设 AH=t，则 H（0，0，t ），，．∵直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，∴ | cos＜＞| =|| =|| =．解得： t=4．∴当 H 与 P 重合时直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为，此时线段 AH 的长为 4．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．18．（ 13 分）已知{ a n}为等差数列，前 n 项和为 S n（n∈N+），{ b n}是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， b2+b3=12，b3=a4﹣ 2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求 { a n} 和{ b n} 的通项公式；（Ⅱ）求数列 { a2n b2n﹣1} 的前n项和（n∈N+）．【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{ a n}和{ b n} 的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（ I）设等差数列 { a n} 的公差为 d，等比数列 { b n} 的公比为 q．由已知 b2 +b3=12，得 b1（q+q2） =12，而 b1 =2，所以 q+q2﹣6=0．又因为 q＞ 0，解得 q=2．所以， b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得 3d﹣ a1=8①．由S11=11b4，可得 a1 +5d=16②，联立①②，解得a1 =1， d=3，由此可得 a n=3n﹣ 2．所以，数列 { a n} 的通项公式为 a n =3n﹣ 2，数列 { b n} 的通项公式为 b n=2n．由a2n=6n﹣2， b2n﹣1=4n，有 a2n b2n﹣1=（3n﹣ 1） 4n，故T n=2×4+5×42+8×43+⋯+（3n﹣1）4n，4T n=2× 42+5×43+8×44+⋯+（ 3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣ 3T n =2×4+3× 42+3×43+⋯+3× 4n﹣（ 3n﹣1）4n+1==﹣（ 3n﹣2）4n+1﹣8得 T n=．所以，数列 { a2n b2n﹣1 } 的前 n 项和为．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．19．（ 14 分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为 A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l 的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP与椭圆相交于点 B（B 异于 A），直线 BQ 与 x 轴相交于点 D．若△ APD的面积为，求直线AP的方程．【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p 即可得出方程；（ II）设 AP 方程为 x=my+1，联立方程组得出B， P， Q 三点坐标，从而得出直线 BQ 的方程，解出 D 点坐标，根据三角形的面积列方程解出m 即可得出【解答】（Ⅰ）解：设 F 的坐标为（﹣ c， 0）．依题意可得，解得 a=1，c= ， p=2，于是 b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l 的方程为 x=﹣ 1，设直线 AP 的方程为 x=my+1（ m≠0），，解得点 P（﹣ 1，﹣），故Q（﹣1，）．，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得 y=0，或 y=﹣．∴ B（，）．∴直线 BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令 y=0，解得 x=，故D（，0）．∴ | AD| =1﹣=．又∵△ APD 的面积为，∴×=，2整理得 3m ﹣2 | m|+ 2=0，解得 | m| =，∴ m=±．第 17 页（共 20 页）20．（ 14 分）设 a∈ Z，已知定义在 R 上的函数 f（x）=2x4+3x3﹣ 3x2﹣6x+a 在区间（ 1，2）内有一个零点 x0， g（x）为 f（ x）的导函数．（Ⅰ）求 g（x）的单调区间；（Ⅱ）设 m∈[ 1，x0）∪（ x0， 2]，函数 h（x）=g（x）（ m﹣x0）﹣ f（m），求证： h（m）h（x0）＜ 0；（Ⅲ）求证：存在大于 0 的常数 A，使得对于任意的正整数p，q，且∈ [1，x0）∪（ x0，2]，满足|﹣x0|≥．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（ x）=f ′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由 h（x） =g（x）（m﹣x0）﹣ f（ m），推出 h（m）=g（ m）（m﹣x0）﹣ f（m ），令函数 H （x）=g（ x）（x﹣x ）﹣ f（x），求出导函数 H′（ x）101利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜ 0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令 m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[ 1， x0）时，当 m∈（ x0，2] 时，通过 h（x）的零点．转化推出 |﹣x0| =≥=．推出| 2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3 +aq4| ≥1．然后推出结果．【解】（Ⅰ）由 f（x） =2x4+3x3﹣ 3x2﹣ 6x+a，得 g（x）=f ′（ x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得 g′（x）=24x2+18x﹣ 6．令 g′（ x）=0，解得 x=﹣ 1，或 x= ．当 x 变化时， g′（x）， g（ x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣ 1）（﹣，）（，∞）1+ g′（x）+﹣+g（x）↗↘↗所以， g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣ 1，）．（Ⅱ）证明：由h（ x） =g（x）（ m﹣x0）﹣ f（m ），得 h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣ f（ m），所以 h（ x0）=g（x0）（m﹣ x0）﹣ f （m）．令函数 H （x）=g（ x）（x﹣x ）﹣ f（x），则 H′（x）=g′（x）（ x﹣ x ）．1010由（Ⅰ）知，当x∈ [ 1，2] 时， g′（x）＞ 0，故当 x∈[ 1， x0）时， H′1（ x）＜ 0， H1（x）单调递减；当 x∈（ x0，2] 时， H′1（x）＞ 0，H1（x）单调递增．因此，当 x∈ [ 1，x0）∪（ x0， 2] 时， H1（x）＞ H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得 H1（ m）＞ 0 即 h（m）＞ 0，令函数 H （x）=g（x ）（x﹣x ）﹣ f（ x），则 H′（ x）=g′（x ）﹣ g（ x）．由（Ⅰ）20020知， g（ x）在 [ 1，2] 上单调递增，故当x∈[ 1，x0）时， H′2（x）＞ 0，H2（x）单调递增；当 x∈（ x ， 2] 时， H′（x）＜ 0， H （x）单调递减．因此，当x∈[ 1，022x0）∪（ x0， 2] 时， H2（x）＞ H2（x0）=0，可得得 H2（ m）＜ 0 即 h（x0）＜ 0，．所以， h（m） h（ x0）＜ 0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令 m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[ 1， x0）时， h（ x）在区间（ m，x0）内有零点；当m∈（ x0，2] 时， h（x）在区间（ x0，m）内有零点．所以 h（x）在（ 1， 2）内至少有一个零点，不妨设为 x1，则 h（x1）=g（ x1）（﹣x0）﹣ f（）=0．由（Ⅰ）知 g（x）在 [ 1，2] 上单调递增，故 0＜ g（ 1）＜ g（x1）＜ g（2），于是 |﹣x0| =≥=．因为当 x∈[ 1，2] 时， g（x）＞ 0，故 f（x）在 [ 1，2] 上单调递增，所以 f（x）在区间 [ 1，2] 上除 x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠ 0．又因为 p， q， a 均为整数，所以 | 2p4+3p3q﹣ 3p2q2﹣6pq3+aq4| 是正整数，从而 | 2p4+3p3q﹣ 3p2q2﹣6pq3+aq4| ≥1．所以 |﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．第 20 页（共 20 页）。

新课标高考理科数学模拟试题含答案

新课标高考理科数学模拟试题含答案

新课标高考理科数学模拟试题含答案The following text is amended on 12 November 2020.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题:p x ∀∈R ，sin x ≤1，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin x ≥1B ．:p x ⌝∀∈R ，sin x ≥1C ．:p x ⌝∃∈R ，sin x >1 不能D ．:p x ⌝∀∈R ，sin x >12．已知平面向量a =（1，1），b （1，－1），则向量1322-=a b （ ）A ．（－2，－1）B ．（－2，1）C ．（－1，0）D ．（－1，2）3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500 y x11-2π-3π-O6ππyx11-2π-3π-O 6ππy x11-2π-3πO 6π-πy xπ2π-6π-1O1-3π A．B．C ．D ．6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP += C ．2132FP FP FP =+ D ．2213FPFP FP =· 7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．2000cm 3D ．4000cm 3 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A ．7．12- C ．12D 7 10．曲线12e x y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2年B ．4e 2, C ．2e 2 D ．e 2s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）甲的成绩 环数7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数7 8 9 1频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数7 8 9 1频数4 6 6 412．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。

2017高考全国1卷理科数学试题与答案解析[精校解析版]

2017高考全国1卷理科数学试题与答案解析[精校解析版]

2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)理科数学注意事项：1、 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置•用2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑•2、 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效3、 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 •写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效•4、 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题 卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第I 卷一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的• 1.设集合 Ax 2x4x 30 , x 2x 3 0 ,则 AI B(A )3,3(B )3?(C )(D ) 3,322222.设(1 i)x1 yi ，其中 x, y 是实数，则 x yi(A ) 1(B )(C )(D ) 23. 已知等差数列 a n 前9项的和为27, a io 8，则3100(A ) 100(B ) 99(C ) 98( D ) 974. 某公司的班车在 7:00 , 8:00 , 8:30发车，小明在 7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到 达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是1(A ) 3 (B ) 2 (C ) I ( D ) 45.已知方程2y1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离4,则n 的取值范围(A) 1,3 (B) 1,、、3 (C) 0,3 (D) 0^.36. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是2^ ,则它的表面积是3(A 17(B)18 (C) 20 (D) 287. 函数y 2x2在2,2的图像大致为(A) a c b c(B) ab c ba c(C) alog b C blog a c (D log a c log b C9.执行右面的程序框图,如果输入的x 0, y 1，n 1,则输出(A) y 2x (B) y 3x (C) y 4x (D) y 5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于DE两点.已知| AE|= 4DE|=2 .,5,则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)811.平面过正方体ABCDABCD 的顶点A, //平面CBD,I平面ABC=m I平面AB BA=n,则m n所成角的正弦值为(22 (B)2),x— 为f (x)的零点，x 4为y f (x)图5像的对称轴，且f (x)在 ，二单调,18 36二、填空题：本大题共 3小题，每小题5分2 2 213.设向量 a =(m 1) , b =(1,2)，且 |a +b | =| a | +| b | ,15.设等比数列 a n 满足 a 1+a 3=10, a 2+a 4=5,贝V aa ^16.某高科技企业生产产品 A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg , 乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品 B 的利润为900元.该企业现有甲材料 150kg ，乙材料90kg ,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 .解答题：解答应写出文字说明 ，证明过程或演算步骤.(A ) 11 (B ) 9 (C ) 7 (D ) 514. (2x .x)5的展开式中，x 3的系数是(用数字填写答案)12.已知函数 f(x) sin( x+ )(0,的最大值为则n r…a n 的最大值为17.(本小题满分为12 分)ABC 的内角A , B, C 的对边分别为 a , b , c ,已知 2cos C(acosB+b cos A) c.(I )求 C;(II )若 c -.7 ,ABC 的面积为，求 ABC 的周长.218.(本小题满分为12分)如图，在以 A , B, C, D E , F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形,AF =2FD, AFD 90°，且二面角D -AF-E 与二面角G BE F 都是60° .(I )证明：平面 ABEF 平面EFDC (II )求二面角E -BGA 的余弦值.元.19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件,在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元•在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元•现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，门表示购买2台机器的同时购买的易损零件数•（I ）求X的分布列；（II ）若要求P（X n） 0.5,确定n的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n 19与n 20之中选其一，应选用哪个？20. （本小题满分12分）设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A直线I过点B（1，0 ）且与x轴不重合，I交圆A于CD两点，过B作AC的平行线交AD于点E（I）证明EA EB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II ）设点E的轨迹为曲线C,直线I交C于MN两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q 两点，求四边形MPN（面积的取值范围.221. （本小题满分12分）已知函数fx x 2 e x a x 1有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设X1,X2是f x的两个零点，证明：x1 x2 2.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲1如图，△ OAB是等腰三角形，/ AOB120。

2017年高考理科数学天津卷含答案

2017年高考理科数学天津卷含答案

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh. ·球的体积公式343V R =π.其中S表示棱柱的底面面积，其中R表示球的半径．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x===∈-≤≤R，则()A B C=【B】（A ）{2} （B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{|15}x x ∈-≤≤R（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为【D 】 （A ）23 （B ）1（C ）32 （D ）3（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为【C 】（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的【A 】（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为【B 】（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为【C 】（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a << （7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5(28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则【A 】（A ）23ω=，12ϕπ=（B ）23ω=，12ϕ11π=-（C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=（8）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是【A 】（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[-（D）39[16-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年高考理科数学 全国一卷 真题

2017年高考理科数学 全国一卷 真题

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则( ) A ．{}0=<A B x x B ．A B =R C ．{}1=>A B x xD ．A B =∅2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π43. 设有下面四个命题( )1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ，4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为( ) A ．1B ．2C ．4D ．85. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是( ) A ．[]22-， B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，6. ()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．357. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．168. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+ D ．1000A ≤和2n n =+ 9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下面结论正确的是( ) A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．1011. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则( )A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z <<12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A ．440 B ．330 C ．220 D ．110二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年高考真题-山东卷-理科数学-A4精排版可打印-附答案-无水印

2017年高考真题-山东卷-理科数学-A4精排版可打印-附答案-无水印

2017 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ 1 ）设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）（ 2 ）已知，是虚数单位，若，，则（）（ A ） 1 或（ B ）或（ C ）（ D ）（ 3 ）已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（）（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）（ 4 ）已知、满足约束条件，则的最大值是（）（ A ） 0 （ B ） 2 （ C ） 5 （ D ） 6（ 5 ）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为 24 ，据此估计其身高为（）（ A ） 160 （ B ） 163 （ C ） 166 （ D ） 170（ 6 ）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为 7 ，第二次输入的值为 9 ，则第一次、第二次输出的值分别为（）（ A ） 0 ， 0 （ B ） 1 ， 1 （ C ） 0 ， 1 （ D ） 1 ， 0（ 7 ）若，且，则下列不等式成立的是（）（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）（ 8 ）从分别标有 1 ， 2 ，… ， 9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取1 张，则抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）（ 9 ）在中，角、、的对边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）（ 10 ）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分（ 11 ）已知的展开式中含有的系数是 54 ，则．（ 12 ）已知、是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是．（ 13 ）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．（ 14 ）在平面直角坐标系中，双曲线（，）的右支与焦点为的抛物线（）交于、两点，若，则该双曲线的渐近线方程为．（ 15 ）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有 M 性质。

2017年高考真题(全国Ⅰ卷)数学理科含答解析

2017年高考真题(全国Ⅰ卷)数学理科含答解析

2017年普通高等学校招生统一考试全国I 卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A 【解析】试题分析：由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}A B x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B.秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B. 【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】试题分析：因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[1,3]，选D. 【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 8．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1 D．A≤1 000和n=n+2【答案】D【考点】程序框图【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【考点】三角函数图象变换【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【考点】抛物线的简单几何性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin pAB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=. 11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【考点】指、对数运算性质【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=- ，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 【考点】等差数列、等比数列【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】23 【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b ，所以|2|1223+==a b . 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23.【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，，，则32z x y =-的最小值为 .【答案】5- 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小，所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为3(1)215⨯--⨯=-. 【考点】线性规划【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .【答案】233【解析】试题分析：如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠= ， 点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||||1b AP b a =+，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即3a b =， 由222c a b =+得2c b =， 所以22333c b e a b ===.【考点】双曲线的简单几何性质【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为.【答案】415 【解析】试题分析：如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长为x (x >0)，则1332OG x =⨯36x =.∴356FG SG x ==-， 222233566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3553x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴三棱锥的体积21133553343ABC V S h x x ⎛⎫=⋅=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭△451535123x x =-. 设()45353n x x x =-，x >0，则()3453203n x x x '=-， 令()0n x '=，即43403x x -=，得43x =，易知()n x 在43x =处取得最大值.∴max 15485441512V =⨯⨯-=.【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC △的周长为333+.【考点】三角函数及其变换【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 【解析】试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2(,0,0)2A ，2(0,0,)2P ，2(,1,0)2B ，2(,1,0)2C -. 所以22(,1,)22PC =-- ，(2,0,0)CB = ，22(,0,)22PA =- ，(0,1,0)AB = .设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2)=--n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 即220,220.x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m . 则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈，0.0080.09≈．【解析】试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 因此σ的估计值为0.0080.09≈. 【考点】正态分布，随机变量的期望和方差【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则. 20．（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，242t -），（t ，242t --）.则22124242122t t k k t t---++=-=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简. 21．（12分）已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则0000()e (e2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a '=+--=-+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.当4a ≥-时，d 的最大值为917a +.由题设得91717a +=，所以8a =； 当4a <-时，d 的最大值为117a -+.由题设得11717a -+=，所以16a =-. 综上，8a =或16a =-. 【考点】坐标系与参数方程【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决. 23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数2–4()x ax f x =++，11()x x g x =++-||||.（1）当a =1时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-，11x -≤≤，1x >讨论，得出不等式的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.若()()f xg x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.则()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而得11a -≤≤.试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤.- 21 - 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-≤≤.【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.。

2017年高考新课标I卷_理科数学答案

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2 ,0 ,− 2
)．
∴
uuu r r uuu r r PD ⋅ n −2 3 cos PD ,n = uuur r = =− 3 PD ⋅ n 2 3
．
由图知二面角 A − PB − C 为钝角，所以它的余弦值为 − 33 ． （12 分） 19． （1） 可知尺寸落在 ( µ − 3σ ，µ + 3σ ) 之内的概率为 0.9974 ， 落在 ( µ − 3σ ，µ + 3σ ) 之外的概率为 0.0026 ． P ( X = 0 ) = C (1 − 0.9974 ) 0.9974 ≈ 0.9592 ， P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) ≈ 1 − 0.9592 = 0.0408 ． 由题可知 X ~ B (16 ，0.0026 ) ，∴ E ( X ) = 16 × 0.0026 = 0.0416 ． （2）（i）尺寸落在 ( µ − 3σ ，µ + 3σ ) 之外的概率为 0.0026 ， 由正态分布知尺寸落在 ( µ − 3σ ，µ + 3σ ) 之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理． （ii） µ − 3σ = 9.97 − 3 × 0.212 = 9.334 ， µ + 3σ = 9.97 + 3 × 0.212 = 10.606 ， 10.606 ) ， ( µ − 3σ ，µ + 3σ ) = ( 9.334 ， Q 9.22 ∉ ( 9.334 ， 10.606 ) ，∴ 需对当天的生产过程检查．因此剔除 9.22 ． − 9.22 = 10.02 ． 剔除数据之后： µ = 9.97 × 16 15
3 4 4 1 2 3 4
∴ σ = 0.008 ≈ 0.09
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再把得到
的曲线向右平移
π 6
个单位长度，
得到曲线C2.
B.把C1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，
再把得到的曲线向左平移
π 12
个单位长度，
得到曲线C2.
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1 2
倍，
纵坐标不变，
再把得到的曲线向右平移
π 6
个单位长度，
得到曲线C2.
D.把C1
上各点的横坐标缩短到原来的
A.2x < 3y < 5z B.5z < 2x < 3y C.3y < 5z < 2x D.3y < 2x < 5z
12、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出
了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，
2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20,接下来的两项是20, 21,再接下来
的三项是20, 21, 22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N : N > 100且该数列的前N 项和为2的整数
幂.那么该款软件的激活码是( )
A.440
B.330
C.220
D.110
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13、已知向量a, b的夹角为60◦, |a| = 2, |b| = 1,则|a + 2b|=
.


x + 2y ≤ 1





14、设x, y满足约束条件 2x + y ≥ −1 ,则z = 3x − 2y的最小值为
.
x − y ≤ 0
15、已知双曲线C : x2 − y2 = 1(a > 0, b > 0)的右顶点为A,以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双 a2 b2
1 2
倍，
纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π 12
个单位长度，
得到曲线C2.
10、已知F 为抛物线C : y2 = 4x的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1, l2，直线l1与C交于A、B两
点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB| + |DE|的最小值为( )
A.16
B.14
C.12
D.10
11、设xyz为正数,且2x = 3y = 5z,则( )
A.A > 1000和n = n + 1
B.A > 1000和n = n + 2
C.A ≤ 1000和n = n + 1
D.A ≤ 1000和n = n + 2
9、已知曲线C1
:
y
=
cosx,
ห้องสมุดไป่ตู้
C2
:
y
=
sin(2x
+
2π ),则下面结论正确的是( 3
)
2
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，
19、（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个 零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零 件的尺寸服从正态分布N (µ, σ2). （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(µ − 3σ, µ + 3σ)之外的零件 数,求P (X ≥ 1)及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(µ − 3σ, µ + 3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
曲线C的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠M AN = 60◦,则C的离心率为
.
16、如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F 为
圆O上的点, DBC, ECA, F AB分别是以BC, CA, AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别
以BC, CA, AB为折痕折起 DBC, ECA, F AB,使得D、 E、 F 重合,得到三棱锥.当 ABC的边
p3 :若复数z1, z2满足z1z2 ∈ R,则z1 = z2;
p4 :若复数z ∈ R,则z ∈ R;
其中的真命题为:( )
A.p1, p3
B.p1, p4
C.p2, p3
D.p2, p4
4、记Sn为等差数列{an}的前项和.若a4 + a5 = 24, S6 = 48,,则{an}的公差为( )
x2 A.15 B.20 C.30 D.35 7、某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形 的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和 为( ) A.10 B.12 C.14 D.16
8、右面程序框图是为了求出满足3n − 2n > 1000的最小偶数n,那么在♦ 和 两个空白框中，可以分 别填入( )
2、如图，正方形AB C D内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关
于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
1
π
1
π
A.
B.
C.
D.
4
8
2
4
3、设有下面四个命题
p1
:若复数z满足 1 z
∈
R,则z
∈
R;
p2 :若复数z满足z2 ∈ R,则z ∈ R;
A.1
B.2
C.4
D.8
1
5、函数f (x)在(−∞, +∞)在单调递减,且为奇函数,若f (1) = −1,则满足−1 ≤ f (x − 2) ≤ 1的x的取值 范围是( )
A.[−2, 2] B.[−1, 1] C.[0, 4] D.[1, 3] 6、(1 + 1 )(1 + x)6展开式中的x2系数为( )
3sinA （1）求sinB sinC ; （2）若6cosBcosC = 1, a = 3,求 ABC的周长.
18、（12分）如图，在四棱锥P − ABCD中,AB//CD,且∠BAP = ∠CDP = 90◦.
(1)证明：平面P AB⊥平面P AD； (2)若P A = P D = AB = DC, ∠AP D = 90◦,求二面角A − P B − C的余弦值.
3
长变化时,所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为
.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考 生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17、（12分） ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知 ABC的面积为 a2 .
2017年普通高等学校招生全国统一考试 I卷
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
1、已知集合A = {x|x < 1}, B = {x|3x < 1},则( )
A.A ∩ B = {x|x < 0} B.A ∪ B = R C.A ∪ B = {x|x > 1} D.A ∩ B = ∅
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