吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考数学（文）试题
2020届吉林省示范高中(四平一中、梅河口五中、白城一中等)高三第五次模拟联考数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）高三第五次模拟联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2,3A =--，{}2log 2B x x =<，则A B =（ ）A ．{}2,3B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2,3D ．{}2,1,0,1,2,3--【答案】B【解析】先解对数不等式，再求集合交集运算. 【详解】解：因为2log 2x <，所以22log log 420x x <=⎧⎨>⎩，解得{}04B x x =<<，所以{}1,2,3AB =，故B 正确.故 选：B. 【点睛】本题考查对数不等式的解法，集合的交集运算，是中档题. 2．已知i 为虚数单位，则221ii-=+（ ） A ．2- B ．2i -C ．2D ．2i【答案】B【解析】直接根据复数代数形式的除法法则计算可得； 【详解】解：()()()()222122222221112i i i i i i i i i i -----+===-++- 故选：B 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，属于基础题.3．已知函数()[]()()221,0,1,1,3xx f x x b x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，5(0)2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数b =（ ） A ．1 B ．52C ．3D ．4【答案】B【解析】由5(0)2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得2502b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解方程求出b 的值即可. 【详解】根据题意，()502f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2052102b ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，∴52b =.故选：B . 【点睛】本题考查分段函数，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.4．2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A ，B 两种不同口味的果汁饮料.现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶（均是500mL ）组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标（毫克/升）的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是（ ）A ．A 种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B 种果汁饮料添加剂指标的平均值 B ．A 种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B 种果汁饮料添加剂指标的中位数C ．A 种果汁饮料添加剂指标的方差高于B 种果汁饮料添加剂指标的方差D ．A 种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B 种果汁饮料添加剂指标的最小值 【答案】D【解析】根据茎叶图估计均值、中位数、方差及最值，然后判断各选项． 【详解】B 种果汁饮料添加剂指标集中在以4为茎的茎上，A 种果汁饮料添加剂指标集中在以2为茎的茎上，A 错误；A 种果汁饮料添加剂指标的中位数为23.5，B 种果汁饮料添加剂指标的中位数为31.5，B 错误；A 种果汁饮料添加剂指标数据比较集中，而B 种果汁饮料添加剂指标数据比较分散，所以B 种果汁饮料添加剂指标的方差要大一些，C 错误：A 种果汁饮料添加剂指标的最小值为5，B 种果汁饮料添加剂指标的最小值为2，A 高，D 正确. 故选：D ． 【点睛】本题考查茎叶图，考查样本数据特征估计总体数据特征，属于基础题．5．下面是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后而得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】由三视图还原几何体，根据圆柱和圆锥的体积公式可得选项. 【详解】根据题意，半圆柱挖去一个半圆锥，半圆柱的体积为122ππ⨯=，半圆锥的体积为12323ππ⨯⨯=， 所以该几何体的体积为233πππ-=. 故选：C.【点睛】本题考查由三视图还原几何体和圆柱、圆锥的体积的计算，属于基础题.6．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形（六边形均相同），设图中前n 行晶格点数n b 满足125n n b b n +-=+，n *∈N ，则10b =（ ）A ．101B ．123C ．141D ．150【答案】C【解析】由已知125n n b b n +-=+，可得数列{}1n n b b +-是以7为首项，2为公差的等差数列，由此可求出n b ，从而可得10b . 【详解】解:因为()()2112n n n n b b b b +++---=，所以数列{}1n n b b +-是以7为首项，2为公差的等差数列，2n ≥时，()()()()()()12132172316792362n n n n n b b b b b b b b n -++-=+-+-++-=+++++=+241n n =++，所以10141b =. 故选：C 【点睛】此题考查了等差数列的判断，等差数列的前n 项和，累加法求通项等知识，属于基础题.7．已知函数[]y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，如图，则输出的S 值为（ ）A ．42B ．43C ．44D ．45【答案】D 【解析】对i 进行分类讨论，一步步往下执行，即可得答案； 【详解】当13i ≤<时，[]3log 0i =；39i ≤<时，[]3log 1i =； 927i ≤<时，[]3log 2i =； 27i =时，[]3log 3i =，所以61182345S =⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查根据程序框图输出值，考查阅读程序框图能力，求解时注意取整函数的定义. 8．定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()4f x f x =-，当[]0,2x ∈时，()2f x x x =+，则不等式()2f x >的解集为（ ）A ．()21,23k k ++，k Z ∈B ．()21,21k k -+，k Z ∈C ．()41,43k k ++，k Z ∈D ．()41,41k k -+，k Z ∈【答案】C【解析】先根据已知求得()f x 的周期为4，且图象关于2x =对称，再求[]0,2x ∈时，()2f x >的解集为(]1,2，根据对称性，在一个周期[]0,4x ∈时，()2f x >的解集为()1,3；再利用周期性推广到x ∈R 时，得不等式的解集.【详解】∵()()()()444f x f x f x f x +=--=-=， 所以()f x 的周期为4，且图象关于2x =对称， 所以[]0,2x ∈时，()2f x >的解集为(]1,2，又因为图象关于2x =对称，得[]0,4x ∈时，解()2f x >的解集为()1,3， 所以x ∈R 时，()2f x >的解集为()41,43k k ++，k Z ∈. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的对称性，周期性，奇偶性解决不等式问题，是中档题.9．已知()F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左焦点，P 为双曲线C 右支上一点，圆222x y a +=与y 轴的正半轴交点为A ，PA PF +的最小值4，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】B【解析】由双曲线的定义把P 到左焦点的距离转化为到右焦点F '的距离，从而可利用P 在线段AF '上时取最小值，由此可求得a ． 【详解】由题意，()0,A a ，设F '为双曲线的右焦点，则2PF a PF '=+，()F，)F '.∴()2222PA PF PA a PF a PF PA a AF a '''+=++=++≥+=三点P ，A ，F '共线时取等号.所以24a =，解得1a =，所以实轴长为2. 故选：B ． 【点睛】本题考查求双曲线的实轴长，解题关键是利用双曲线的定义把双曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用平面几何性质得到最值． 10．已知函数()sin cos f x m x n x =+（m ，n 为常数，0m n ⋅≠，x ∈R ）在4x π=处取得最大值()f x 的图象向左平移()0h h >个单位长度以后得到的图象与函数()sin 0y k x k =>的图象重合，则k h +的最小值为（ ） A．34π+B．54π+C．74π+D．74π+【答案】D【解析】用辅助角公式变形函数式()()sin cos n f x m x n x x ϕ=++=，，由最大值的两种表示法()4f π==,m n的值，然后写出平移后函数解析式，由它与sin y k x =重合求得,k h ，根据0h >可得最小值． 【详解】由()()sin cos n f x m x n x x ϕ=++=，所以)2m n +==2m n ==，所以()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象向左平移()0h h >个单位长度以后得到函数解析式为()4f x x h π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以2,4k h t t Zππ⎧=⎪⎨+=∈⎪⎩，所以k =24h t ππ=-，t Z ∈，又0h >，min 74h π=.故k h +的最小值为74π+故选：D ．本题考查三角函数图象变换，考查三角函数辅助角公式，掌握三角函数图象变换是解题基础．11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点21,0F ，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，过左顶点A 作直线l x ⊥轴，Q 为直线l 上一点，2AP F Q ⊥，则直线PQ 在x 轴上的截距为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由点P 在椭圆上，可得222219141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，可求出22,a b ，即可得到()2,0A -，进而可求出直线AP 的斜率，结合2AP F Q ⊥，可求得直线2F Q 的方程，然后求出Q 的坐标，进而可求出直线PQ 的方程，令0y =，可求出答案. 【详解】由点P 在椭圆上，右焦点为21,0F ，可得222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， 即椭圆方程为22143x y +=，所以()2,0A -，21,0F ，则直线AP 的斜率312122APk ==+.又2AP F Q ⊥，所以21AP F Q k k ⋅=-，则212F Q APk k =-=-，所以直线2F Q 的方程()21y x =--，联立直线2F Q ，l 的方程()212y x x ⎧=--⎨=-⎩，得交点()2,6Q -，所以,P Q 两点连线的斜率3632212PQk -==---，则直线PQ 的方程为()33122y x -=--，令0y =，得2x =. 故选：A.本题考查椭圆的方程、椭圆的性质，考查直线的方程，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．已知函数()()220af x x a x =+>在()0,∞+上的最小值为3，直线l 在y 轴上的截距为1-，则下列结论正确是（ ） ①实数1a =；②直线l 的斜率为1时，l 是曲线()y f x =的切线； ③曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】对函数进行求导，通过导数判断函数的单调性得x =()f x 取得最小值，进而可判断①；通过导数的几何意义求出切线的斜率为1时，切点的横坐标为0x =2121x kx x +=-的根的个数，即3112k x x=++，判断函数()32h t t t =++的单调性，得其范围可判断③. 【详解】因为()()333222x a a f x x x -'=-=，因为0x <<()0f x '<，x >()0f x '>，所以x =()f x取得最小值，所以()23af==，所以1a =.故①正确；设切点为00201,2A x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，又因为()322f x x '=-，所以切线满足斜率30212x =-，∴0x =0011y x =-=，代入()212f x x x =+不成立. 所以直线:1l y x =-不是曲线()y f x =的切线，故②错误； 又设直线:1l y kx =-，则曲线()y f x =与直线l 的交点个数，等价于方程2121x kx x+=-的根的个数. 由方程2121x kx x +=-，得3112k x x=++.令1t x=，则32k t t =++，其中t R ∈，且0t ≠. 考察函数()32h t t t =++，其中t R ∈，因为()2310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 上单调递增，且()h t R ∈.而方程32k t t =++中，t R ∈，且0t ≠. 所以当()02k h ==时，方程32k t t =++无根； 当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点，故③错误，正确的个数为1个；故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的最值，通过导数判断函数的零点，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,a x =，()1,1b x =-，()2a b a -⊥，则a b +=___________.【解析】根据向量垂直得到数量积为零，即可求出参数的值，再根据向量模的公式计算可得； 【详解】∵()1,a x =，()1,1b x =-， 且()2a b a -⊥，()2220a b a a b a ∴-⋅=-⋅=()221210x x x ∴+-+-=∴1x =，所以()1,1a =，()1,0b =，()2,1a b += 所以5a b +=.【点睛】本题考查向量的数量积及向量模的坐标表示，属于基础题.14．任意写出一个自然数n ，并且按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +，如果n 是个偶数，则下一步变成2n，依照上述规律，将5作为首项，构造一个数列{}n a ，则{}n a 的前20项和为__________. 【答案】70【解析】通过计算数列的前几项，发现数列的规律，再进行求和. 【详解】因为15a =，216a =，38a =，44a =，52a =，61a =，74a =， 从第4项开始，数列{}n a 是周期为3的数列， 所以前20项和为5168754270+++⨯++=. 故答案为：70. 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意发现数列的周期.15．2019年末至2020年初，某在线教育公司为了适应线上教学的快速发展，近5个月加大了对该公司的网上教学使用软件的研发投入，过去5个月资金投入量x （单位：百万元）和收益y （单位：百万元）的数据如下表：若y 与x 的线性回归方程为3y x a =+，则资金投入量为16百万元时，该月收益的预报值为__________百万元. 【答案】56.04【解析】计算出,x y ，由中心点(,)x y 求出参数a ，再令16x =代入可得． 【详解】 由题意得，24810127.25x ++++==，14.2120.3131.1837.8344.6729.645y ++++==，所以329.6437.28.04a y x =-=-⨯=.所以y 关于x 的回归方程为ˆ38.04y x =+.把16x =代入回归方程得ˆ3168.0456.04y=⨯+=，故预报值为56.04百万元. 故答案为：56.04． 【点睛】本题考查线性回归方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)x y ． 16．如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.【答案】225【解析】根据已知条件求得ADF BCE V -，设AM x =，由四棱锥F AMCD -的体积与直三棱柱ADF BCE -的体积之比为512，求得AM 的值，过M 作//MN BE ，交EF 于点N ，连接CN ，在CMN △中，根据余弦定理可求得答案. 【详解】直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD === 根据柱体体积公式可得：122242ADF BCE V Sh -==⨯⨯⨯= 设AM x =， 则()()2211222323F AMCD x V x -+=⨯⨯+⨯⨯=， 四棱锥F AMCD -的体积与直三棱柱ADF BCE -的体积之比为512∴()2253412x +=∴ 12x =，过M 作//MN BE ，交EF 于点N ，连接CN ，如图，则CMN ∠（或其补角）为异面直线AF 与CM 所成角， 52CM CN ==，22MN = 在CMN △根据余弦定理可得：22222cos 25M CM CN CM M N N CM N +-∠==⋅∴22cos CMN ∠=.22. 【点睛】本题主要考查了求异面直线夹角的余弦值，解题关键是掌握异面直线夹角定义和余弦定理，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 满足()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=-，ABC 的面积为103（1）求sin 2A ； （2）133sin sin 14B C +=，求ABC 的周长. 【答案】（13（2）20. 【解析】（1）利用余弦定理求出3A π=，再利用倍角公式计算，即可得答案；（2）利用正弦定理可得137b c a +=，再利用面积公式和余弦定理可得7a =，即可得答案； 【详解】解：（1）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， ∵()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=- 可得()()()a b a b c b c +-=-， 化简可得，222b c bc a +-=，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<<，∴3A π=，∴3sin 2A =. （2）因为133sin sin B C +=.所以1331327b c R a +=⋅=. 由1103sin 2bc A =，∴40bc =，. 因为222b c bc a +-=，∴()223b c bc a +-=，∴22131207a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴7a =，所以ABC 的周长为71320+=. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的运用、三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，平面PAD ⊥底面ABCD ，222PA PD AD BC CD =====，M 为PC 上一点，//PA 平面BDM .（1）求:PM MC 的值；（2）求四棱锥P ABCD -外接球的半径.【答案】（1）2；（2. 【解析】(1)连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，由线面平行的性质定理可得//PA MN ，再结合BCN DAN △∽△可得所求比例.(2) 取AD 的中点O ，连接PO ，由面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABCD .取PAD △的重心为G ，则GO ⊥平面ABCD ，经计算可确定G 为四棱锥P ABCD -外接球球心，从而可得半径. 【详解】（1）如图，连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，因为平面PAC平面BDM MN =，//PA 平BDM 所以//PA MN ，所以PM ANMC NC=. 又因为BCN DAN △∽△， 所以2AN AD NC BC ==，故2PMMC= （2）根据题意，取AD 的中点O ，连接PO ，因为PAD △为等边三角形，所以PO AD ⊥，PO = 因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD 底面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD .设PAD △的重心为G ，则GO ⊥平面ABCD ，AG DG PG ===. 在等腰梯形ABCD 中，可得O 为梯形ABCD 外接圆的圆心，所以1OD OA OB OC ====，所以GD GA GB GC ====，故G 为四棱锥P ABCD -外接球球心，半径为3.【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的性质定理的应用，考查多面体外接球球心的确定方法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.19．搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品.曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆.某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示：（1）依据上表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；（2）下图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图，根据图表，利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况，并说明理由.【答案】（1）15；（2）B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高；A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定.理由见解析. 【解析】（1）设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ， 利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型概率公式计算可得； （2）计算出平均数与标准差即可比较； 【详解】解：（1）设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ， 则从中抽取2件的基本事件为(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种，其中2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ，共3种， 所以31155P ==. （2）因为()467895 6.8B x =++++÷=，所以B 厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.8，标准差为()()()()()2222214 6.86 6.87 6.88 6.89 6.8 1.725S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦， 所以B 厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1.72，因为()56 6.5785 6.5A x =++++÷=，所以A 厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.5，1S == 所以A 厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1，综上，B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高；A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，以及几个数的平均数、标准差的计算，属于基础题. 20．已知抛物线()2:20E y px p =>恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，//AB DC ，AD 的延长线与抛物线E 的准线的交点1,02M ⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求抛物线E 的方程；（2）证明：BD 经过抛物线E 的焦点. 【答案】（1）22y x =；（2）证明见解析 【解析】（1）由1,02M ⎛⎫-⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上的点，可知122p =，即可求出p ，从而可得到抛物线E 的方程；（2）抛物线E 的焦点为1,02，设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，设出直线AD 的方程，与抛物线方程联立，可得1214x x =，且1212x x <<，设BD 与x 轴的交点坐标为()(),00n n >，可表示出直线BD 的方程，与抛物线方程联立，可得到212x x n =，从而可得214n =，即BD 经过点1,02，即可证明结论成立. 【详解】（1）根据题意，1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭为抛物线E 的准线上的点， 所以122p =，即1p =， 所以抛物线E 的方程为22y x =.（2）抛物线E 的焦点为1,02，设()11,A x y ，()11,B x y -，()22,D x y ，设直线AD的方程为12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立方程组2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()2222204k k x k x +-+=， 则1214x x =，且120x x <<，所以1212x x <<， 设BD 与x 轴的交点坐标为()(),00n n >，直线BD 的方程为()11y y x n x n-=--， 与方程22y x =联立得()()()22222122111121220y y n y n x x x n x n x n ⎡⎤-++=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦， 则()()212121212221y n x n x x n y x n -==-，即214n =，解得12n =，即BD 经过点1,02， 所以BD 经过抛物线E 的焦点.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线过定点问题，考查学生的逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.21．已知函数()()ln f x x x a =-，()3F x x x m =-+，若()f x 在()(),e f e 处的切线斜率为1.（1）若()()f x F x <在()1,+∞上恒成立，求m 的最小值M ； （2）当m M =，(]0,1x ∈时，求证：()()xf x e F x >⋅.【答案】（1）1-；（2）证明见解析.【解析】（1）根据导数的几何意义可知，()ln 11f e e a '=-+=可求出a ，再由()()f x F x <可得3ln m x x x >-，构造函数()3ln g x x x x =-，利用导数求出其在()1,+∞上的最大值（或上确界），即可得到m 的最小值；（2）利用导数可知，函数()()ln f x x x a =-在()0,1上单调递减，于是可得()()11f x f >=-，再利用导数研究函数()()()31x x G x e F x x x e =⋅=--在()0,1上的单调性可知，存在()10,1x ∈，使得()10G x '=，且函数()G x 在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增，于是可得()1G x <-，从而证得()()xf x e F x >⋅．【详解】（1）由题意，()ln 1f x x a '=-+，∴()ln 11f e e a '=-+=，∴1a =， 所以()()ln 1f x x x =-，又()33ln f x x x m m x x x <-+⇔>-，令()3ln g x x x x =-，则()()21ln 3h x g x x x '==+-，所以()21166x h x x x x-'=-=，∵当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，∴()h x 在()1,+∞上是减函数， ∴()()120h x h <=-<，即()0g x '<，∴()g x 在()1,+∞上是减函数， ∴()()11g x g <=-， ∴m 的最小值1M =-.（2）由（1）知，函数()()ln 1f x x x =-，()0,1x ∈，则()ln f x x '=. 当()0,1x ∈）时，()0f x '<，故函数()f x 在()0,1上单调递减． 所以()()11f x f >=-.设函数()()()31xxG x e F x x x e =⋅=--则()()2323xG x x x x e '--+=.设函数()3232p x x x x =+--，则()2361p x x x '=+-，()p x '在()0,1上单调递增.当()0,1x ∈时，()()0180p p ''⋅=-<，故存在()00,1x ∈，使得()00p x '=， 从而函数()p x 在()00,x 上单调递减；在()0,1x 上单调递增. 当()00,x x ∈时，()()002p x p <=-. 当()0,1x x ∈时，()00p x <，()10p >， 故存在()10,1x ∈，使得()10G x '=，即当()10,x x ∈时，()0G x '<，当()1,1x x ∈时，()0G x '>.从而函数()G x 在()10,x 上单调递减，在()1,1x 上单调递增.因为()01G =-，()1G e =-，故当()0,1x ∈时，()()01G x G <=-，所以()()xf x e F x >⋅. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，分离参数法的应用，以及利用导数求解或证明函数不等式恒成立问题，考查学生的转化能力，数学建模能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1cos 21sin 2x t y t αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线2l 的极坐标方程为()0R θθρ=∈.（1）设直线2l 与曲线1C 相交于不同的两点A 、B ，求AB 中点的轨迹2C 的方程； （2）设直线1l 与2C 相交于E 、F 两点，求弦长EF 的最小值.【答案】（1）()()22110x y x -+=≠；（2.【解析】（1）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，可知02πθ≠，设0tan k θ=，可得直线2l 的直角坐标方程为y kx =，设()11,A x y 、()22,B x y ，中点()00,M x y ，将直线2l 与曲线1C 的直角坐标方程联立，由韦达定理计算出点M 的坐标，消去参数k 即可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）将直线1l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程，设点E 、F 对应的参数分别为1t 、2t ，列出韦达定理，利用弦长公式可计算得出EF 关于α的表达式，由此可计算得出EF 的最小值.【详解】（1）在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ得24cos ρρθ=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入方程24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，中点()00,M x y ， 若02πθ=，则直线2l 与圆1C 相切，不合乎题意，所以，02πθ≠，则00x ≠.直线2l 普通方程为y kx =，其中0tan k θ=，联立2240y kx x y x =⎧⎨+-=⎩，得()22140k x x +-=， 12241x x k ∴+=+，1202221x x x k +∴==+，00221k y kx k ==+. ()()()()2222000222222241444421111k k y x x k k k k +-===-=-++++，即()220011x y -+=. 因此，曲线2C 的方程为()()22110x y x -+=≠；（2）根据题意，直线1l 过定点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在曲线2C 的内部. 设点E 、F 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线1l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程得2211cos 1sin 122t t αα⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理可得()21sin cos 02t t αα+--=， 由韦达定理得12cos sin t t αα+=-，1212t t =-. 所以12EF t t =-===≥， 0απ≤<，则022απ≤<，当22πα=时等号成立，故弦长EF .【点睛】 本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数()321f x x x =-+-的最小值为M ；（1）求函数()4f x <的解集；（2）若0a >，0b >，1a b +=，求证：2414M a b+≥. 【答案】（1）()0,2；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据绝对值的符号，分类讨论解不等式即可；（2）利用基本不等式“1”的用法证明即可.【详解】解：（1）①当3x ≥时，有321344x x x -+-=-<，得83x <，故无解； ②当132x <<时，解32124x x x -+-=+<，解得2x < ，故122x <<； ③当12x ≤时，解312434x x x -+-=-<，解得0x >，故102x <≤； 综合①②③得：不等式()4f x <的解集为()0,2.（2）由（1）知，当12x =，()min 52f x M ==， ∵0a >，0b >，1a b +=，∴ ()44111444444b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭2172544M ≥+==， 当且仅当4=4b a a b ，即：445a b ==时等号成立. 故2414M a b +≥，当且仅当45a =，15b =时，等号成立. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式“1”的用法，是基础题.。
专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-
专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。
2020届吉林省示范高中(四平一中、梅河口五中等)高三第五次模拟联考生物试题(解析版)
吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考一、选择题：1.同位素可用于追踪物质的运行和变化规律。
下列有关同位素转移途径的叙述，错误的是（）A. 给小球藻提供18O2，在细胞内18O的转移途径可能为18O2→H218O→C18O2→（CH218O）B. 给酵母菌提供15N标记的胸腺嘧啶，在细胞内15N的转移途径可能为细胞质→细胞核→核糖体C. 用14C标记的噬菌体侵染未被标记的大肠杆菌，14C的转移途径可能为噬菌体→大肠杆菌→噬菌体D. 给胰腺细胞提供3H标记的亮氨酸，在细胞内3H的转移途径可能为核糖体→内质网→高尔基体→细胞膜『答案』B『解析』『分析』同位素用于追踪物质运行和变化过程时，叫做示踪元素，用示踪元素标记的化合物，化学性质不变。
人们可以根据这种化合物的性质，对有关的一系列化学反应进行追踪，这种科学研究方法叫做同位素标记法。
如：原来的是H2O和CO2，标记后就是H218O和C18O2，二者没有本质区别。
同位素不影响化学反应，只是便于与正常的物质进行区分，更容易进行观察。
『详解』A、在细胞内18O2先参与有氧呼吸第三阶段，生成H218O，H218O继续参与有氧呼吸第二阶段，生成C18O2，C18O2再参与光合作用的暗反应生成（CH218O），A正确；B、胸腺嘧啶由细胞质进入细胞核合成DNA，但DNA不会出现核糖体，B错误；C、14C可标记噬菌体的DNA和蛋白质，其DNA可注入大肠杆菌，由于DNA为半保留复制，因此少数子代DNA含有亲代DNA链，C正确；D、3H标记的亮氨酸在核糖体合成蛋白质，进入内质网和高尔基体加工，最后通过细胞膜胞吐出细胞，D正确。
故选B。
『点睛』本题考查了同位素标记法的相关内容，意在考查考生理解所学知识的要点，把握知识间的内在联系的能力。
2.如图甲和乙分别为两类原核生物的模式图。
下列相关叙述错误的是（）A. 这两类生物的遗传物质均呈环状结构B. 这两类生物遗传的基础是细胞增殖和分化C. 图甲生物中绝大多数种类营腐生或寄生生活D. 图乙生物细胞膜的主要成分为蛋白质和磷脂『答案』B『解析』『分析』据图分析可知，图甲是细菌，图乙是蓝藻，都属于原核生物。
【精品卷】2020年吉林省通化市梅河口五中高三数学五模试题(有答案解析)
2020年吉林省通化市梅河口五中高三数学五模试题一、单选题1．在复平面内，复数()2221i z i -=+对应的点（ ） A ．在第二象限B ．在虚轴上C ．在直线0x y +=上D ．在直线0x y -=上2．下列结论错误的是 （ ）A ．若“p 且q”与“p 或q”均为假命题，则p 真q 假 B ．命题“存在”的否定是“对任意的” C ．“x =1”是“”的充分不必要条件 D ．若“”的逆命题为真3．下图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为.则该几何体的表面积是（ ）A ．20+B ．24+C ．8D ．164．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20082009f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 5．小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）A ．小王一家2019年用于饮食的支出费用跟2016年相同B ．小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍C ．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了1倍D ．小王一家2019年用于房贷的支出费用比2016年减少了6．若1cos 36πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且263ππα<<，则7sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ．12D ．127．在矩形ABCD 中， 2AB =, 3AD =，点F 为CD 的中点，点E 在BC 边上，若4AF DE ⋅=-，则AE BF ⋅的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ）A ．1πB ．3πCD ．2π9．已知函数f(x)=x 3+px 2+qx 与x 轴切于x 00(0)x ≠点,且极小值为-4,则p+q=（ ）A ．12B ．13C ．15D ．16 10．已知集合{}2012,{|540}A B x x x ==-+<，，，则()R A C B （ ） A ．{0,1,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{0,1}11． 大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,如图一,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。
2024届吉林省示范高中高三下学期第五次模拟联考全真演练物理试题(四平一中、梅河口五中、白城一中等)
2024届吉林省示范高中高三下学期第五次模拟联考全真演练物理试题（四平一中、梅河口五中、白城一中等）一、单选题 (共7题)第(1)题一列沿x轴正方向传播的简谐横波，某时刻的波形如图所示．P为介质中的一个质点，从该时刻开始的一段极短时间内，P的速度和加速度的大小变化情况是A．变小，变大B．变小，变小C．变大，变大D．变大，变小第(2)题普通的交流电流表不能直接接在高压输电线路上测量电流，通常要通过电流互感器来连接，图中电流互感器ab一侧线圈的匝数较少，工作时电流为I ab，cd一侧线圈的匝数较多，工作时电流为I cd，为了使电流表能正常工作，则（ ）A．ab接MN、cd接PQ，I ab＜I cd B．ab接MN、cd接PQ，I ab＞I cdC．ab接PQ、cd接MN，I ab＜I cd D．ab接PQ、cd接MN，I ab＞I cd第(3)题如图所示是四只猴子“水中捞月”时的情景，它们将一棵又直又高的树枝压弯，竖直倒挂在树梢上，从下到上依次为1、2、3、4号猴子。
正当1号猴子打算伸手捞水中“月亮”时，2号猴子突然两手一滑没抓稳，1号猴子扑通一声掉进了水里。
假设2号猴子手滑前四只猴子都处于静止状态，其中1号猴子的质量为，其余3只猴子的质量均为m，重力加速度为g，那么在2号猴子手滑后的一瞬间（）A．4号猴子的加速度为0B．2号猴子对3号猴子的作用力大小为C．3号猴子对4号猴子的作用力大小为D．杆对4号猴子的作用力大小为3mg第(4)题伽利略在著名的斜面实验中，让小球分别沿倾角不同、阻力很小的斜面从静止开始滚下，他通过实验观察和逻辑推理，得到的正确结论有（）A．倾角一定时，小球在斜面上的位移与时间成正比B．倾角一定时，小球在斜面上的速度与时间成正比C．斜面长度一定时，小球从顶端滚到底端时的速度与倾角无关D．斜面长度一定时，小球从顶端滚到底端所需的时间与倾角无关第(5)题如图所示为甲、乙两物体在同一直线上做匀变速直线运动的位移—时间图像，两图像相切于点，其坐标为。
吉林省示范高中(四平一中、梅河口五中、白城一中等)2020届高三第五次模拟联考英语试题
英语试题注意事项：1.本试卷分为四部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3 .全部★答案★写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5 .考试范围：高考全部内容。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将★答案★标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的★答案★转涂到答题卡上。
第一节（共5小题; 每小题1. 5分，满分7. 5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选岀最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. How much will the woman probably pay for the skirt?A. $ 30. B $ 70. C. $ 100.2. What is the probable relationship between the speakers?A. Repairman and customer.B. Manager and employee.C. Good friends.3. Where is the man now?A. In his room.B. In his mother's room.C. In the living room.4. Why does the woman learn Spanish?A. To be an interpreter.B. To travel abroad.C. To get a diploma,5. What's wrong with Martha?A. She can't see clearly.B. She doesn't forgive.C. She is having trouble with work. 第二节（共15小题;每小题1. 5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。
2020届吉林省梅河口市第五中学高三下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前吉林省梅河口市第五中学2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,A =2，3}，()(){|120}B x x x =+-≤，则A B ⋂等于( )A. {}1B. {}1,2C. {0,1，2，3}D. {1,-0，1，2，3}【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B,由此能求出A B ⋂． 【详解】集合A {1,=2,3},()()B {x |x 1x 20}{x |1x 2}=+-≤=-≤≤, {}A B 1,2∴⋂=．故选B ．【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2.已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-,i 为虚数单位,则21z z +=-（ ） A. 1i --B. 1i +C. 312i - D. 312i + 【答案】D【解析】21z z +=-323122i i i -=+- ,选D.3.命题“R,x ∀∈3210x x -+≤”的否定是( )A. 不存在0R,x ∈320010x x -+≤B. 0R,x ∃∈320010x x -+≥C. 0R,x ∃∈320010x x -+>D. R,x ∀∈3210x x -+>【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定为∀→∃,对结论进行否定,即可得到结果.【详解】由全称命题的否定是特称命题,可得命题32R,10x x x ∀∈-+≤的否定是“32000R,10x x x ∃∈-+>”,故选:C【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题.4.已知向量()()4,1,5,2a b =-=-且()()//a b ma b +-,则m =A. 1B. 1-C. 75D. 75- 【答案】B【解析】【分析】根据题意,求得()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+--,根据()()a b ma b +-//,列出关于m 的方程,即可求解．【详解】由题意,向量()()4,1,5,2a b =-=-,则()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+--因为()()a b ma b +-//,所以(1)(2)1(45)m m -⨯--=⨯+,解得1m =-,故选B ．【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示,以及向量的共线条件的应用,其中熟记向量的坐标表示,合理根据共线条件列出方程求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题．。
梅河口市第五中学2020届高三数学第五次模拟考试试题文含解析
15。已知函数 ，则使不等式 成立的x的取值范围为___________________。
【答案】
【解析】
【分析】
对自变 进行分类讨论,解两个不等式，再取并集，即可得答案;
【详解】 ，由 得,
当 时,由 ，得 ；
当 时， ,此时无解。
综上所述，不等式 的解集为 。
故答案为： .
【点睛】本题考查利用分类讨论解不等式,考运算求解能力，求解时注意交集与并集的运用.
所以
故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用,两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题.
7。为了求得椭圆 的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入 共n个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有 个。若矩形的面积是2,则可以估计椭圆的面积为( ）
A。 B. C. D。
故选：B。
【点睛】本题考查统计图之饼图的读取与理解，并对所反应的数据进行分析和判断,属于基础题。
4。已知向量 ， ， ，若 ,则实数 （ ）
梅河口市第五中学2020届高三数学第五次模拟考试试题理含解析
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目的三视图作出几何体的直观图,然后计算即可求解。
【详解】由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；
则该组合体的体积为V=V柱+V锥=π 32 6 π 32 3=63π。
故选：C
【点睛】本题考查几何体的三视图,属于简单题.
【答案】 。
【解析】
【分析】
利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【详解】因为 ， ， ，又 ，
所以 ，化为 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力，属于基础题.
15. 若 ，则 _____。
11. 在矩形ABCD中， , ，沿矩形对角线BD将 折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论:①在四面体ABCD中，当 时， ；②四面体ABCD的体积的最大值为 ;③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为 ；④四面体ABCD的外接球的体积为定值。其中所有正确结论的编号为( )
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 ， ，则 ( ）
A。（﹣∞,2）B.（﹣1，0]C.（﹣1,2）D.(﹣1,0）
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据对数与二次不等式的运算求解集合 ，进而求得 即可。
【点睛】本题主要考查了指数、对数值的大小比较,熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键，属于基础题.
2024届吉林省示范高中高三下学期第五次模拟联考物理核心考点试题(四平一中、梅河口五中、白城一中等)
2024届吉林省示范高中高三下学期第五次模拟联考物理核心考点试题（四平一中、梅河口五中、白城一中等）一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的答案中，只有一个符合题目要求。
(共8题)第(1)题在匀强电场中有一菱形，其所在平面与电场线平行。
已知，菱形的边长三点的电势分别是，，，，。
下列说法中正确的是（ ）A．电场中点的电势为B．匀强电场的电场强度大小为C．电子在点的电势能大于在点的电势能D．在点由静止释放一电子，电子将沿直线由向运动第(2)题在物理学发展的历程中，许多科学家的科学研究为物理学的建立做出了巨大贡献。
下列叙述中正确的是（ ）A．松香在熔化过程中温度保持不变，松香分子的平均动能会变大B．2023年的诺贝尔物理学奖授予“采用实验方法产生阿秒脉冲光的技术”，阿秒脉冲光是一种非常短的光脉冲，其持续时间在阿秒的量级，即，阿秒对应的物理量不是国际单位制的基本量C．法拉第提出了电场的观点，其实电场以及磁场是一种客观存在，变化的电磁场和分子、原子组成的实物一样具有能量和动量D．德国物理学家普朗克为解释物体热辐射规律，提出了能量子的假说，他同时最早发现了光电效应，爱因斯坦由于发现了光电效应的规律而获得诺贝尔物理学奖第(3)题某同学绕濠河跑步健身。
如图所示，该同学从A位置出发，途经B、C位置后到达D位置，智能手机显示用时，运动的路程为。
该同学从A位置运动到D位置的过程中（ ）A．位移大小为B．平均速度大小为C．平均速率为D．任意位置的速率均为第(4)题2023年11月1日，我国在太原卫星发射中心成功将“天绘五号”卫星发射升空，并顺利进入预定轨道。
“天绘五号”在距离地球表面500km 附近环绕地球做匀速圆周运动，其运行周期约为个小时，某时刻“天绘五号”、同步卫星、地球的连线在同一直线上，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．“天绘五号”的发射速度大于第二宇宙速度B．“天绘五号”的线速度小于同步卫星的线速度C．“天绘五号”的向心力一定大于同步卫星的向心力D．到下一次“天绘五号”、同步卫星与地球共线的时间约为0.8h第(5)题有两种透明物质甲、乙，知道其中一种为玻璃，另一种为水晶。
2020年6月吉林省吉林市普通高中2020届高三第五次高考适应性考试(五模)理综物理答案
绝密★启用前
吉林省吉林市普通高中
2020届高三毕业班第五次高考适应性考试(五模) 理综-物理试题参考答案
2020年6月
评卷说明：
1.本次考试仍采用网上阅卷，但与以往有两点不同，一是所有学科试卷采取单评，二是本学校教师只评阅本校学生试卷，并建议学科每位老师批到所有主观试题。
目的之一是加快阅卷速度，二是便于教师及时发现本校学生考前还存在的问题，使接下来的考前冲刺复习指导更有针对性、实效性。
由于是单评,所以希望各校备课组长要认真负责,也请各位老师掌握好评分标准,评卷时做到即快又准又好,对学生负责。
各位老师大家辛苦了,谢谢。
2.6月26日到29日中午评卷,29日12:00前结束任务。
此次评卷时间紧,请各学校领导动员教师克服困难,抓紧时间积极上线评卷,同时要求教师本着对学生负责的态度,认真评卷,以保证30日反馈成绩。
3.成绩分析
7月1日,学院高中部各学科教研员会根据考生成绩提出考前冲刺复习建议,发到各学科高三群。
建议学校组织教师认真研究学生答题卡图片,分析学生答题情况,分析本校考试成绩,反思总结还存在的问题,参考教研员提出的冲刺复习建议,及时采取应对措施,查缺补漏,调整落实,指导学生考前冲刺和调整。
同时建议结合适应性考试对考生进行考试技巧和心理辅导。
物理试题参考答案
14. B 15.C 16.B 17.A 18.AD 19.AB 20.BD 21.BCD
评22题和23题时要注意：22题和23题是划分在一块扫描区块的,但给分时一定要在各题处分别给分。
这样才能了解和区分学生各题答题情况。
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2024届吉林省示范高中高三下学期第五次模拟联考全真演练物理试题(四平一中、梅河口五中、白城一中等)
2024届吉林省示范高中高三下学期第五次模拟联考全真演练物理试题（四平一中、梅河口五中、白城一中等）一、单选题 (共7题)第(1)题如图所示，在一个倾角为的导轨MN上面，放置一个长度为L的金属棒PQ，已知两导轨间距为，金属棒的质量为m、阻值为r，导轨与金属棒接触良好，两者间动摩擦因数为，导轨下端连接一个阻值为R的定值电阻，整个导轨处在一个垂直导轨所在平面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。
现用一个恒力F拉动金属棒沿导轨斜面运动了x的距离，所用时间为t，此时金属棒的速度为v，下列说法正确的是（ ）A．金属棒速度为v时，R两端的电压为B．该过程中生成的焦耳热为C．该过程中摩擦力做的功为D．该过程中安培力做的功为第(2)题已知地球半径为，地球表面重力加速度为，中国空间站离地面的高度为，引力常量为，则（）A．地球的密度为B．空间站运动的速度大小为C．空间站运动的周期为D．空间站运动的加速度大小为第(3)题如图所示，一小物块从长1m的水平桌面一端以初速度v0沿中线滑向另一端，经过1s从另一端滑落。
物块与桌面间动摩擦因数为μ，g取10m/s2。
下列v0、μ值可能正确的是（ ）A．v0= 2.5m/s B．v0= 1.5m/s C．μ= 0.28D．μ= 0.25第(4)题如图，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千，某次维修时将两轻绳剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变，木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后（ ）A．F1不变，F2变大B．F1不变，F2变小C．F1变大，F2变大D．F1变小，F2变小第(5)题在折射率为的液体内部有一点光源S，点光源可以向各个方向移动。
某时刻，在液面上观察到半径为R＝0.2m的圆形光斑。
现让点光源S向某个方向匀速移动，发现光斑最右侧边沿B位置不动，最左侧边沿D向左侧移动，经过2s，有东西侧边沿D向左移动了，侧面图如图所示，则点光源S的移动速度方向和大小（ ）A ．水平向左B．水平向右C．v＝1m/s D．m/s第(6)题如图所示的电路中，电源电动势E，内电阻r，接有灯L1和L2。
2024届吉林省示范高中高三下学期第五次模拟联考高效提分物理试题(四平一中、梅河口五中、白城一中等)
2024届吉林省示范高中高三下学期第五次模拟联考高效提分物理试题（四平一中、梅河口五中、白城一中等）一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的答案中，只有一个符合题目要求。
(共8题)第(1)题在力学范围内，三个基本物理量分别是（ ）A．焦耳、米、秒B．长度、质量、时间C．力、质量、时间D．牛顿、千克、米第(2)题如图所示，质量的物体，在动摩擦因数的水平面上向左运动，当速度为时，受到大小为3N，方向水平向右的恒力F作用（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取）。
则5s内（ ）A．物体会向右运动B．力F冲量大小为C．物体的位移大小为6mD．物体所受的摩擦力保持不变第(3)题质量为m的物块静止在动摩擦因数为µ的水平地面上，0~3s内所受水平拉力与时间的关系如图甲所示，0~2s内加速度图像如图乙所示。
重力加速度g=10m/s2，由图可知（ ）A．m=1kg，µ=0.2B．m=1kg，µ=0.1C．m=2kg，µ=0.2D．m=2kg，µ=0.1第(4)题氚核发生β衰变成为氦核。
假设含氚材料中发生β衰变产生的电子可以全部定向移动，在3.2104 s时间内形成的平均电流为5.010-8 A。
已知电子电荷量为1.610-19 C，在这段时间内发生β衰变的氚核的个数为（ ）A．B．C．D．第(5)题深圳赛格大厦高355.8m，游客乘坐观光电梯可以鸟瞰市景，颇为壮观。
已知某段运行过程中，观光电梯从一楼经历加速、匀速、减速的过程到达某一楼层，电梯加速、减速过程可视为匀变速直线运动且加速度大小均为，电梯运行高度为48m，用时 16s，则（）A．电梯匀速运行的时间为 10sB．电梯匀速运行的时间为 6sC．电梯运行的最大速度为4m/sD．电梯运行的最大速度为 6m/s第(6)题如图，x轴上M、N为波源，先后起振分别沿x轴正向和负向激发甲、乙两列简谐横波，经过一段时间后甲、乙两列简谐波各自传播了1.5个波长，此时的波形线曲线如图，两波在该介质中的传播速度均为。
2020届吉林省梅河口市第五中学高三下学期模拟考试数学(文)试题
2020届吉林省梅河口市第五中学高三下学期模拟考试数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{1,A =2，3}，()(){|120}B x x x =+-≤，则A B ⋂等于( ) A ．{}1B ．{}1,2C ．{0,1，2，3}D ．{1,-0，1，2，3}2．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i -- B ．1i + C ．312i - D ．312i + 3．命题“R,x ∀∈3210x x -+≤”的否定是( )A ．不存在0R,x ∈320010x x -+≤B ．0R,x ∃∈320010x x -+≥C ．0R,x ∃∈320010x x -+>D ．R,x ∀∈3210x x -+>4．已知向量()()4,1,5,2a b =-=-且()()//a b ma b +-，则m =A ．1B ．1-C ．75D ．75- 5．已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a, b, c 的大小关系为（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a 、b 分别为8、2，则输出的n =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．27．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若030A =，22b ac =，则sin b B c =（ ）A ．1B ．2C ．12 D8．在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，则sin2x 的值介于0( )A ．13B ．12C ．23D ．349．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为A B C ．2 D 10．设函数()f x 的定义域为D ,如果存在正实数m ,使得对任意x D ∈,都有()()f x m f x +>,则称()f x 为D 上的“m 型增函数”.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()(f x x a a a =--∈R ).若()f x 为R 上的“20型增函数”,则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a <11．已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且6AC BC ==，4AB =，则球面面积为（ ）A ．42πB ．48πC ．54πD ．60π12．已知直线l ：2(0)y x m m =-->与圆C ：2222230x y x y +---=，直线l 与圆C 相交于不同两点,M N .若2MN CM CN ≤+，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．3)C ．D ．2)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．设曲线2y ax =在点()1,a 处的切线与直线260x y +-=垂直，则a = __________．14．已知x ，y 满足约束条件202401x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最小值为__________．15．已知正数,x y 满足34x y xy +=，则3x y +的最小值为________.16．ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos sin a b C c B =+，且b =ABC ∆面积的最大值是__________．三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，38522a a a +=+．（1）求n a ；（2）设数列1{}n S 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，E ，F 分别是11A C ，BC 的中点.(1)求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ；(2)求证: 1//C F 平面ABE .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ， AB BC ⊥，4AB BC ==，22CD CE ==.(Ⅰ)证明：平面PAD ⊥平面PDE ；(Ⅱ)若PAB ∆的面积为P ADE -的体积.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆222:()0O x y r r +=>.（1）若PF x ⊥轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；（2）若圆O 的半径为2，点P ，Q 满足34OP OQ k k ⋅=-，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值.21．设函数21()ln 2f x x ax bx =--. （1）若1x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围；（2）当0a =，1b =-时，方程22()x mf x =（其中0m >）有唯一实数解，求m 的值.22．在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为1x t y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin （θ+3π）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积.23．已知函数()|3|2||f x x x =--.（1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()f x 的最大值为m ，正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2223a b c ++≥.参考答案1．B【解析】【分析】分别求出集合A ，B ，由此能求出A B ⋂．【详解】集合A {1,=2，3}，()()B {x |x 1x 20}{x |1x 2}=+-≤=-≤≤，{}A B 1,2∴⋂=．故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2．D【解析】21z z +=-323122i i i -=+- ，选D. 3．C【解析】【分析】全称命题的否定为∀→∃,对结论进行否定,即可得到结果.【详解】由全称命题的否定是特称命题,可得命题32R,10x x x ∀∈-+≤的否定是“32000R,10x x x ∃∈-+>”,故选:C【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题.4．B【解析】【分析】根据题意，求得()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+--，根据()()a b ma b +-//，列出关于m 的方程，即可求解．【详解】由题意，向量()()4,1,5,2a b =-=-，则()()1,1,45,2a b ma b m m +=--=+-- 因为()()a b ma b +-//，所以(1)(2)1(45)m m -⨯--=⨯+，解得1m =-，故选B ．【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线条件的应用，其中熟记向量的坐标表示，合理根据共线条件列出方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 5．A【解析】【分析】【详解】 试题分析：因为0.80.81()22b -==，所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=，552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.6．A【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】输入的a 、b 分别为8、2，1n =第一次执行循环体后12a =，4b =，不满足退出循环的条件第二次执行循环体后2n =，18a =，8b =，不满足退出循环的条件第三次执行循环体后3n =，27a =，16b =，不满足退出循环的条件第四次执行循环体后4n =，812a =，32b =，不满足退出循环的条件 第五次执行循环体后5n =，2434a =，64b =，满足退出循环的条件 故输出的5n =故选：A【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．A【解析】【分析】将已知条件22b ac =利用正弦定理化简即可得到答案.【详解】因为22b ac =，由正弦定理，得20sin 2sin sin 2sin30sin sin B A C C C ===，所以2sin sin 1sin b B B c C==， 故选:A【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.8．A【解析】【分析】结合题意，计算满足条件的x 的范围，结合几何概型计算公式，计算，即可．【详解】在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内满足0sin2x ≤≤x 的范围为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故概率为 1632ππ=，故选A ． 【点睛】考查了三角函数的基本性质，考查了几何概型计算公式，关键计算出满足条件的x 的范围，计算概率，即可，难度中等．9．D【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点AB 为圆的直径 90AFB ∴∠=根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形12ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴== 又2224tan 45FBF b S b a ∆'===，可得：225c a = 25e ∴= e ⇒=本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.10．B【解析】∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()(f x x a a a =--∈R )，∴(),0000x a a x f x x x a a x ⎧-->⎪==⎨⎪--+<⎩，，，∵()f x 为R 上的“20型增函数”，∴()()20f x f x +>，当0x ≥时，20x a a x a a +-->--，解得10a <，当10x =-时，由()()102010f f -+>-，即()()1010f f >-，得：1010a a a a -->--+， ∴10a a ->，∴10a a ->或10a a -<-，解得5a <，∴实数a 的取值范围是5a <，故选B.11．C【解析】【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】如图，设球的半径为R ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为r ，则OO ′⊥面ABC ．在Rt △ACD 中，cos A 13=，则sinA 3=． 在△ABC 中，由正弦定理得6sinA =2r ，r = △ABC外接圆的半径22742r R ==⇒=，2454S R ππ==球表． 故选C ．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．12．B【解析】【分析】 通过平方运算，将原不等式化简，求解出MN 的取值范围；再利用直线与圆相交d r <以及弦长2MN r =m 的取值范围.【详解】圆C 方程可化为：()()221125x y -+-= ()1,1C ⇒，圆C 半径=5r 2MN CM CN ≤+ 224MN CM CN ⇒≤+即222448MN CM CN CM CN ≤++⋅ 21001008cos MN CM CN MCN ∴≤++⋅∠ 22252510010020050MNMN +-⇒≤++⨯ 45MN ⇒≤设圆心C 到直线2y x m =--的距离为d则=≤ 2m⇒≥又直线2y x m =--与圆C 相交，可得d r <5< 3m ⇒<-综上所述：)3m ⎡∈⎣本题正确选项：B【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线被圆截得的弦长，解题的关键是能够通过向量模长的运算，得到关于直线被圆所截得的弦长的范围，再利用直线与圆的相关知识来求解. 13．1【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点(1,a)处的切线斜率，根据两条直线垂直斜率乘积为-1即可得a 值.【详解】 2y ax '=，所以切线的斜率2k a =，又切线与直线260x y +-=垂直 得1212a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，解得1a =. 故答案为：1【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.14．32【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可求解．【详解】作出x ，y 满足约束条件202401x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：由z ＝x +y ，得y ＝-x +z 表示，斜率为-1纵截距为z 的一组平行直线，平移直线y ＝-x +z ，当直线y ＝-x +z 经过点A 时，直线y ＝-x +z 的截距最小，此时z 最小， 由111,202x A x y =⎧⎛⎫⇒⎨ ⎪-=⎝⎭⎩， 此时z min ＝12+1＝32． 故答案为32． 【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．15．25【解析】正数,x y 满足34x y xy +=，有341x y xy+=，即341y x +=.()3431233?131325x y x y x y y x y x x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭. 当且仅当312x y y x=，即10y 5x ==，时3x y +的最小值为25. 答案为：25.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.16 【解析】【分析】由正弦定理将已知cos sin a b C c B =+化简可得角B ，再由余弦定理和基本不等式得ac 的最大值，即可得到面积的最大值.【详解】由cos sin a b C c B =+及正弦定理得，sin sin cos sin sin A B C C B =+，即()sin sin cos sin sin B C B C C B +=+，又()sin sin cos cos sin B C B C B C +=+，于是可得sin cos B B =，即tan 1B =，45B =.在ABC ∆中，由余弦定理得222cos452a c ac +-=，即222a c +=，又因为222a c ac +≥，(2222a c ac ∴=+≥，由此可得2ac ≤=+a c =时等号成立，ABC ∴∆面积1sin 22S ac B ===，故ABC ∆面积S .【点睛】 本题考查正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的应用，考查利用基本不等式求最值问题，属于常考题型.17．（1）21n a n =+；（2）见解析【解析】【分析】（1）设公差为d ，由28S =，38522a a a +=+可得1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =，从而可得结果；（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n n S n n n =++=+，则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设公差为d ，由题1112829282a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，，解得13a =，2d =． 所以21n a n =+．（2） 由（1），21n a n =+，则有()232122n n S n n n =++=+． 则()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 所以n T 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 34<． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．(1)证明见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判断定理得到AB ⊥平面11B BCC ；再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立；（2）取AB 的中点G ，连接EG ，FG ，根据线面平行的判定定理，即可得出结论成立.【详解】(1)在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB AB ⊥.又因为AB BC ⊥，所以AB ⊥平面11B BCC ；又AB 平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC ；(2)取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是11A C ，BC ，AB 的中点，所以//FG AC ，且12FG AC =，11112=EC AC .因为11//AC A C ，且11AC A C =，所以1//FG EC ，且1FG EC =，所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ，又因为EG ⊂平面ABE ，1C F平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE .【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及证明线面平行，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及线面平行的判定定理即可，属于常考题型.19. 【解析】【分析】（I ）利用勾股定理证明AD DE ⊥，根据PD ⊥平面ABCD 证得PD DE ⊥，由此证得平面PAD ⊥平面PDE .（II ）利用三角形PAB 的面积列方程求得PD 的长，然后计算出三棱锥的体积.【详解】(Ⅰ)在直角梯形ABCD 中，4AB BC ==，2CD =，1CE =，ABE ECD ∠=∠∴DE =5AB ==AD ==∴ 222DE AE AD +=，∴ AD DE ⊥ ,PD ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴ PD DE ⊥，又AD PD D ⋂=∴ DE ⊥平面PAD ，又DE ⊂平面PDE ，∴平面PAD ⊥平面PDE .(Ⅱ)设PD h =，BD ==AD =∴ PA PB ==∴12PAB S AB ∆=⋅2==∴h =又152ADE S AD DE ∆=⋅=∴ 13P ADE ADE V S h -∆=⋅= . 【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积计算，属于中档题.20．（1）223x y +=（2【解析】【分析】（1）根据题意先计算出P 点坐标，然后得到直线AP 的方程，根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；（2）先计算PQ 斜率不存在时，被圆O 截得弦长，PQ 斜率存在时设为y kx b =+，与椭圆联立，得到12x x +和12x x ，代入到34OP OQ k k ⋅=-得到,k b 的关系，表示出直线PQ 被圆O 截得的弦长，代入,k b 的关系，从而得到弦长的最大值.【详解】解：（1）因为椭圆C 的方程为22143x y +=， 所以(2,0)A -，(1,0)F ，因为PF x ⊥轴，所以31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭， 根据对称性，可取31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则直线AP 的方程为1(2)2y x =+，即220x y .因为直线AP 与圆O= 所以圆的方程为 2245x y +=.（2）圆O 的半径为2，可得圆O 的方程为224x y +=. ①当PQ x ⊥轴时，234OP OQ OP k k k ⋅=-=-，所以OP k =2224y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2167x =， 此时得直线PQ 被圆O截得的弦长为7=. ②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y kx b =+， ()11,P x y ，()()2212,0Q x y x x ≠， 首先由34OP OQ k k ⋅=-，得1212340x x y y +=， 即()()1212340x x kx b kx b +++=，所以()()22121234440k x x kb x x b ++++=（*）. 联立22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2223484120k x kbx b +++-=， 在>0∆时，122834kb x x k +=-+，212241234b x x k-=+ 代入（*）式，得22243b k =+，由于圆心O 到直线PQ的距离为d =，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为l ==故当0k =时，l>，所以直线PQ 被圆O .【点睛】本题考查根据直线与圆相切求圆的方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，对计算能力要求较高，属于难题.21．（1）1a >-（2）12m =【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数得到()()()11ax x f x x -+'-=，分类讨论得到函数的单调性和极值，即可求解实数a 的取值范围；（2）因为方程()22mf x x =有唯一实数解，即22ln 20x m x mx --=有唯一实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，利用导数()g x '，令()0g x '=，得20x mx m --=，由此入手即可求解实数m 的值．【详解】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，则导数为()1f x ax b x -'=- 由()10f =，得1b a =-，∴()()()1111ax x f x ax a x x-+-=-+-=' ①若0a ≥，由()0f x '=，得1x =.当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减.所以1x =是()f x 的极大值点②若0a <，由()0f x '=，得1x =，或1x a =-. 因为1x =是()f x 的极大值点，所以11a->，解得10a -<< 综合①②：a 的取值范围是1a >-（2）因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解 设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx m g x x --'=， 令()0g x '=，即20x mx m --=.因为0m >，0x >，所以10x =<（舍去），2x = 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞单调递增当2x x =时，()0g x '=，()g x 取最小值()2g x则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即22222222200x mlnx mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩， 所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=（*）设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解因为()10h =，所以方程（*）的解为21x =1=，解得12m = 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．(1) 直线l＋y －4＝0. 曲线C 的直角坐标方程是圆：(x2＋(y －1)2＝4. (2)4【解析】【分析】（1）将直线l 参数方程中的t 消去，即可得直线l 的普通方程，对曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）求出点O 到直线的距离，再求出MN 的弦长，从而得出△MON 的面积．【详解】解：(1)由题意有(1)1(2)x t y ⎧=----⎪⎨=+---⎪⎩，()()12⨯+得，＋y ＝4，直线l＋y －4＝0.因为ρ＝4sin +3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以ρ＝2sin θ＋θ，两边同时乘以ρ得，ρ2＝2ρsin θ＋ρcos θ，因为222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，所以x 2＋y 2＝2y ＋，即(x2＋(y －1)2＝4，∴曲线C 的直角坐标方程是圆：(x2＋(y －1)2＝4.(2)∵原点O 到直线l 的距离2d ==直线l过圆C 的圆心，1)，∴|MN |＝2r ＝4，所以△MON 的面积S ＝12|MN |×d ＝4. 【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用222cos x y x y sin ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.23．（1）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）分别讨论0x ≤,03x <<,3x ≥时的解析式,进而求解即可；（2）先将解析式写为分段函数形式,求得()f x 的最大值为3,即3a b c ++=,再由柯西不等式求证即可.【详解】（1）当0x ≤时,()|3|2||(3)23f x x x x x x =--=-+=+,由()2f x ≥,得32x +≥,解得1x ≥-,此时10x -≤≤；当03x <<时,()|3|2||(3)233f x x x x x x =--=--=-,由()2f x ≥,得332x -≥,解得13x ≤,此时103x <≤； 当3x ≥时,()|3|2||(3)236f x x x x x x =--=--=--≤-,此时不等式()2f x ≥无解,综上所述,不等式()2f x ≥的解集为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）证明:由（1）可知3,0()33,033,3x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩,当0x ≤时,()33f x x =+≤；当03x <<时,()33(6,3)f x x =-∈-；当3x ≥时,()36f x x =--≤-,所以函数()y f x =的最大值为3m =,则3a b c ++=.由柯西不等式可得()2222(111)()a b ca b c ++++≥++, 即()222233a b c ++≥,即2223a b c ++≥,当且仅当1a b c ===时等号成立,因此2223a b c ++≥.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查利用柯西不等式证明不等式.。
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吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考数学（文）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．
2. 已知i为虚数单位，则（）
A．B．C．D．
3. 已知函数，，则实数（）A．
C．D．
B．
4. 2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A，B两种不同口味的果汁饮料.现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶（均是500mL）组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标（毫克/升）的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是（）
A．A种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B种果汁饮料添加剂指标的平均值B．A种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B种果汁饮料添加剂指标的中位数C．A种果汁饮料添加剂指标的方差高于B种果汁饮料添加剂指标的方差
D．A种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B种果汁饮料添加剂指标的最小值
5. 下面是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后而得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
6. 公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边
形，每行比上一行多一个六边形（六边形均相同），设图中前n行晶格点数
满足，，则（）
A．B．C．D．
7. 已知函数称为高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，如图，则输出的S值为（）
A．B．C．D．
8. 定义在上的偶函数，满足，当时，
，则不等式的解集为（）
A．，B．，
C．，D．，
9. 已知是双曲线的左焦点，P为双曲线C 右支上一点，圆与y轴的正半轴交点为A，的最小值4，则双曲线C的实轴长为（）
A．B．C．D．
10. 已知函数（m，n为常数，，）在
处取得最大值，将的图象向左平移个单位长度以后得到的图象与函数的图象重合，则的最小值为（）A．B．C．D．
11. 已知椭圆的右焦点，为椭圆上一点，过左顶点A作直线轴，Q为直线l上一点，，则直线在x轴上的截距为（）
A．B．C．D．
12. 已知函数在上的最小值为3，直线l在y轴上的截距为，则下列结论正确是（）
①实数；
②直线l的斜率为1时，是曲线的切线；
③曲线与直线l有且仅有一个交点.
A．B．C．D．
二、填空题
13. 已知向量，，，则___________.
14. 任意写出一个自然数n，并且按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成，如果n是个偶数，则下一步变成，依照上述规律，将5作为首项，构造一个数列，则的前20项和为__________.
15. 2019年末至2020年初，某在线教育公司为了适应线上教学的快速发展，近5个月加大了对该公司的网上教学使用软件的研发投入，过去5个月资金投入量x（单位：百万元）和收益y（单位：百万元）的数据如下表：
月份2019年11
月
2019年12
月
2020年1
月
2020年2
月
2020年3
月
资金投入量/
百万元
2 4 8 10 12
收益/百万元14.21 20.31 31.18 37.83 44.67
若y与x的线性回归方程为，则资金投入量为16百万元时，该月收益的预报值为__________百万元.
16. 如图，已知直三棱柱，，，M为
上一点，四棱锥的体积与该直三棱柱的体积之比为，则异面
直线与所成角的余弦值为________.
三、解答题
17. 已知的内角A，B，C满足
，的面积为. （1）求；
（2），求的周长.
18. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，平面
底面，，M为上一点，平面.
（1）求的值；
（2）求四棱锥外接球的半径.
19. 搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品.曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆.某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示：
（1）依据上表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；
（2）下图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图，根据图表，利用评分
均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况，并说明理
由.
20. 已知抛物线恰好经过等腰梯形的四个顶点，
，的延长线与抛物线E的准线的交点.
（1）求抛物线E的方程；
（2）证明：经过抛物线E的焦点.
21. 已知函数，，若在处的切线斜率为1.
（1）若在上恒成立，求m的最小值M；
（2）当，时，求证：.
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.
（1）设直线与曲线相交于不同的两点、，求中点的轨迹的方程；
（2）设直线与相交于、两点，求弦长的最小值.
23. 已知函数的最小值为；（1）求函数的解集；
（2）若，，，求证：.。