2021届吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中高三上学期第一次联考试题 数学(理) PDF版
吉林省三校(梅河口五中 辽源五中 四平四中)2021届高三上学期第一次联考物理试题及答案
绝密★启用前吉林省三校(梅河口五中、辽源五中、四平四中) 2021届高三年级上学期第一次联考质量检测物理试题考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共100分。
考试时间90分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：人教版必修1。
第I卷(选择题共48分)选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，第1～8题只有一项符合题目要求,第9～12题有多项符合题目要求。
全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。
1.小雨同学从5楼楼梯口下到其正下方1楼楼梯口用了1min,已知每层楼的高度为3m,则下列说法正确的是A.小雨下楼过程中的路程为15mB.小雨的平均速度大小为0.2m/sC.小雨的平均速度大小为0.25m/sD.由于不知道楼道的总长度,无法求出小雨的平均速度2.如图所示,一只气球在风中处于静止状态,风对气球的作用力大小为F、方向水平向右。
细绳与竖直方向的夹角为α,气球受到的重力为G,则细绳对气球作用力的大小为A.sin F αB.cos F αC.cos G αD.Fsin α 3.2020年6月至8月,我国南方某些地区连日暴雨,共有433条河流发生超警戒线的洪水。
某次无风的情况下,一雨滴在空中下落过程中的速度随时间变化的图像如图所示,则下列说法正确的是A.雨滴下落过程中的加速度可能大于重力加速度B.雨滴下落过程中的加速度方向发生了变化C.当速度等于v 0时,雨滴所受空气阻力等于重力D.随着雨滴速度的增加,空气阻力逐渐减小4.一质量为2kg 的物体,在竖直向上的拉力F 作用下由静止开始向上做匀加速直线运动,第2s 内的位移为3m,取重力加速度大小g=10m/s 2,不计空气阻力,则拉力F 大小为A.2NB.4NC.12ND.24N5.通常情况下,人的反应时间和汽车系统的反应时间之和在1.39s ～1.98s 之间。
吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三(上)第一次联考数学(文科)试题(wd无答案)
吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三（上）第一次联考数学（文科）试题一、未知(★★★) 1. 设集合，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 设命题，函数在上有零点，则的否定为（）A．，函数在上无零点B．，函数在上无零点C．，，函数在上无零点D．，函数在，上无零点(★★★) 3. 已知函数的周期为5，当时，，则（）A．5B．6C．7D．8(★★★) 4. 设集合，，则（）A．B．，，C．D．，，(★★★) 5. 若，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知圆的方程为，则“ ”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 8. 若函数，则此函数的图象的对称中心为（）A．，B．，C．，D．，(★★★) 9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，．若点在边上，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知函数，若对恒成立，则的取值范围是（）A．，B．C．，D．(★★★) 11. 已知函数，若，，，则（）A．（b）（c）（a）B．（b）（a）（c）C．（c）（a）（b）D．（c）（b）（a）(★★★)12. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则__．(★★★) 13. 设向量，满足，，且，，则的取值范围是__．(★★★) 14. 不等式的解集为__．(★★★) 15. 关于函数有如下四个命题：① 的图象关于原点对称；② 在，上单调递增；③函数共有6个极值点；④方程共有6个实根．其中所有真命题的序号是__．(★★★) 16. 已知函数，.（1）求的定义域与值域；（2）设命题的值域为，命题的图象经过坐标原点.判断，的真假，说明你的理由.(★★★) 17. 已知函数．（1）求的最小正周期及的图象的对称轴方程；（2）若，，求的取值范围．(★★★) 18. 已知函数，函数只有两个零点，设这两个零点为，．（1）证明：，．（2）证明：．(★★★) 19. 如图，与在同一个平面内，，，．（1）求；（2）若，且的面积为3，求的长．(★★★) 20. 已知函数．（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）确定在，上极值点的个数，并说明理由．二、单选题(★) 21. 在正方形中，为边上一点，且，，则（）A．B．C．D．三、解答题(★★★) 22. 已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，且恒成立，求的取值范围．。
2021-2022学年吉林省吉林市高三(上)第一次调研数学试卷(文科)(附详解)
2021-2022学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A ={x ∈N ∗|x ≤4}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =( )A. (0,2]B. {0,1,2}C. {1,2}D. [0,2]2. 若复数z =1−i 2，其中i 为虚数单位，则|z −|=( )A. √2B. 1C. √22D. 23. 四边形ABCD 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则这个四边形是( ) A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 等腰梯形4. 若“∃x ∈R,sin(12x +π3)>m ”是假命题，则实数m 的最小值为( )A. 0B. −1C. √32D. 15. 等比数列{a n }中，a 4与a 8是函数f(x)=x 2−5x +2的两个零点，则a 3a 9的值为( )A. −2B. 2C. −5D. 56. 若将直角三角形的三边a ，b ，c 分别增加1个单位长度，组成新三角形，则新三角形是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定7. “m >2”是“函数f(x)=x 2−mx +1在(−∞,1]上单调递减”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 设O 为△ABC 的外心，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若b =3，c =5，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 8B. −8C. 6D. −69. 若数列{a n }满足a n +a n+1+a n+2=2022(n ∈N ∗)，a 1=2，a 2=3，则a 2022=( )A. 2022B. 2017C. 3D. 210. 函数y =f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )A. f(x)=xln|x|B. f(x)=(x−1)ln|x|C. f(x)=|x|ln|x|D. f(x)=(x+1)ln(x+1)11.声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)，音调、音色、音长、响度等都与正弦函数及其参数有关．若一个复合音的数学模型是函数g(x)=2sinx+sin2x，则下列说法错误的是()A. g(x)是奇函数B. g(x)的最小正周期为2πC. g(x)在[0,2π]上有三个极值点D. g(x)在[0,π6]上是增函数12.已知函数f(x)={−x 2−2x,x≤0|1+lnx|,x>0，若存在互不相等的实数a，d，c，d使得f(a)= f(b)=f(c)=f(d)=m，则下列结论中正确的为()①m∈(0,1)；②a+b+c+d∈(2e−1−2,e−2−1)，其中e为自然对数的底数；③函数y=f(x)−x−m恰有三个零点．A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα=35，且α的终边在第二象限，则sin2α=______．14.已知向量a⃗=(3x,1)，向量b⃗ =(2,1)，且a⃗//b⃗ ，则x=______．15.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，若f(2a−1)>f(1)，则实数a的取值范围为______．16.2015年7月31日，国际奥委会正式确定2022年冬奥会的举办权为北京——张家口．小明为了去现场观看2022年的冬奥会，他打算自2016年起，每年的1月1日都到某银行存入1000元的一年期定期存款，若该银行的年利率为2.5%，且年利率保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．那么2017年1月1日，小明去银行继续存款1000元后，他的账户中一共有______元存款；到2022年1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则小明一共约可取回______元．(参考数据：1.0255≈1.131，1.0256≈1.160，1.0257≈1.189.)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a4=−10，S8=S9．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求S n．18.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,φ>0,|φ|<π)的一段图象如图所示．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位，得到y=g(x)6的图象，求函数y=g(x)的单调递增区间．(a n+n)．19.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=n+1n(Ⅰ)设b n=a n，证明：数列{b n}是等差数列；n}的前n项和T n．(Ⅱ)求数列{1a n20.已知函数f(x)=x2−a(a∈R)．e x(Ⅰ)若a=0，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围．21.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosA+a=2c．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形且acosC+ccosA=1，求b边长及△ABC面积的取值范围．x2−2ax+1(a∈R)．22.已知函数f(x)=lnx+12(Ⅰ)当a=0时，求函数f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)的极小值点为x1，且x1lnx1−ax12≤m恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x ∈N ∗|x ≤4}={1,2,3,4}，B ={−1,0,1,2}， ∴A ∩B ={1,2}， 故选：C ．先求出集合A ，再利用交集的定义求解． 本题主要考查了交集及其运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z =1−i 2，∴|z|=√14+14=√22， 故选：C ．根据复数求模，求出|z|即可． 本题考查了复数求模问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：四边形ABCD 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，说明四边形是平行四边形， (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，说明四边形邻边相等， 所以四边形是菱形， 故选：A ．利用已知条件，结合向量相等以及向量的数量积为0，判断四边形的形状即可． 本题考查向量的数量积的应用，向量共线充要条件的应用，是基础题．4.【答案】D【解析】解：∃x ∈R,sin(12x +π3)>m 是假命题， 它的否定命题∀x ∈R ，sin((12x +π3)≤m 是真命题， ∴m ≥1，即实数m 的最小值为1， 故选：D ．写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m 的取值范围即可．本题考查了特称命题与全称命题之间的关系，解题时应注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵a 4与a 8是函数f(x)=x 2−5x +2的两个零点， ∴a 4与a 8是方程x 2−5x +2=0的两个实数根， ∴a 4a 8=2， 又∵{a n }是等比数列， ∴a 3a 9=4a 8=2． 故选：B ．根据题意可得a 4与a 8是方程x 2−5x +2=0的两个实数根，从而a 4a 8=2，进一步根据a 3a 9=4a 8进行求解即可．本题考查等比数列的性质，涉及一元二次方程根与系数的关系的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：设原三边长为a 、b 、c ，且c 2=a 2+b 2，c 为最大边；新的三角形的三边长为a +1、b +1、c +1，知c +1为最大边，其对应角最大． 而(a +1)2+(b +1)2−(c +1)2=1+2(a +b −c)>0， 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=(a+1)2+(b+1)2−(c+1)22(a+1)(b+1)>0，则最大角为锐角，那么它为锐角三角形． 故选：A ．先设出原来的三边为a 、b 、c 且c 2=a 2+b 2，以及增加同样的长度为1，得到新的三角形的三边为a +1、b +1、c +1，知c +1为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性质的能力．7.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=x 2−mx +1在(−∞,1]上单调递减， 所以m2≥1，∴m ≥2，∴m >2是m ≥2的充分不必要条件， 故选：A ．由函数f(x)=x 2−mx +1在(−∞,1]上单调递减求出m 的范围，再判断m >2是它的什么条件．本题考查了充分条件、必要条件的判断，解出m 的范围是本题的关键，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12c 2−12b 2=252−92=8， 故选：A ．将所求数量积转化为AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，而根据数量积的定义可知AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，代入数值进行运算． 本题考查了向量的线性运算，数量积的定义，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：数列{a n }满足a n +a n+1+a n+2=2022(n ∈N ∗)， a 1=2，a 2=3，a 3=2017，a 4=2，a 5=3，a 6=2017，⋅⋅⋅ 所以数列是周期数列，周期为3， 则a 2022=a 673×3+3=a 3=2017． 故选：B ．求出数列的前几项，推出数列是周期数列，即可求解结果．本题考查数列的递推关系式的应用，推出数列的周期是解题的关键，是基础题．10.【答案】B【解析】解：由图象可知，函数f(x)的定义域为R，故选项D错误，由图象可知，函数f(x)为非奇非偶函数，故选项C错误，当x=1e时，由图象可知，f(x)>0，因为x>0，x−1<0，ln|x|=−1，则f(x)=xln|x|<0，f(x)=(x−1)ln|x|>0，故选项A错误，选项B正确．故选：B．利用函数的定义域，即可判断选项C，D，由特殊值x=1e，即可判断选项A，B．本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：选项A，定义域为R，因为g(−x)=2sin(−x)+sin(−2x)=−2sinx−sin2x=−g(x)，所以g(x)为奇函数，即A正确；选项B，y=2sinx的最小正周期为2π，y=sin2x的最小正周期为π，所以g(x)的最小正周期为2π，即B正确；选项C，g′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x−1)=4cos2x+2cosx−2= 2(2cosx−1)(cosx+1)，令g′(x)=0，则cosx=12或−1，因为x∈[0,2π]，所以当cosx=12时，x=π3或5π3；当cosx=−1时，x=π，又cosx+1≥0恒成立，所以x=π不是g′(x)的变号零点，所以g(x)在[0,2π]上有两个极值点，即C错误；选项D，令g′(x)=2(2cosx−1)(cosx+1)≥0，因为cosx∈[−1,1]，所以cosx+1≥0，所以2cosx−1≥0，即cosx≥12，当x∈[0,π6]时，cosx∈[√32,1]，满足cosx≥12，所以g(x)在[0,π6]上是增函数，即D正确．故选：C．选项A，利用诱导公式，计算可得g(−x)=−g(x)，从而进行判断；选项B，分别计算函数y=2sinx和y=sin2x的最小正周期，取较大的周期即可；选项C，求导，令g′(x)=0，求出x的值，并结合余弦函数的图象判断所得x的值是否为g′(x)的变号零点；选项D，令g′(x)≥0，求出cosx的范围，再验证当x∈[0,π6]时，cosx的范围是否为之前所得范围的子集，即可．本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数的奇偶性，正弦函数的周期性等，考查转化与化归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：作出函数f(x)的图像，如图所示，因为f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m，所以直线y=m与函数f(x)的图像有4个交点，观察图像可得，m∈(0,1)，故①正确；因为f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m，不妨设a<b<c<d，则必有a+b=−2，−(1+lnc)=1+lnd，所以lnd+lnc=−2，则c=e−2d ，且1e<d<1，所以c+d=e−2d+d，由对勾函数的性质可得函数y=e−2x +x在(1e,1)上单调递增，所以c+d=e−2d+d∈(2e−1,e−2+1)，所以a+b+c+d∈(2e−1−2,e−2−1)，故②正确；函数y=f(x)−x−m的零点个数，即为函数y=f(x)与y=x+m的图像交点个数，如图，当m=1时，函数y=f(x)与y=x+m的图像有3个交点，当m=0时，研究y=x与y=1+lnx是否相切即可，因为y′=1x，令y′=1，则x=1，故切点(1,1)，此时切线方程为y−1=x−1，即y=x，所以y=x与y=1+lnx图像相切，此时函数y=f(x)与y=x+m的图像有3个交点，因为m∈(0,1)，故函数v=f(x)与y=x+m的图像恒有3个交点，即函数v=f(x)−x−m恰有三个零点，③正确；故选：D．①将问题转化为直线y=m与函数f(x)的图像有4个交点，观察图像可得答案；②设a<b<c<d，则可得a+b=−2，−(1+lnc)=1+lnd，根据关系代入a+b+ c+d求值域即可；③函数y=f(x)−x−m的零点个数，即为函数y=f(x)与y=x+m的图像交点个数，关注m=1和m=0时的交点个数即可得答案．本题考查了函数零点个数的问题，数形结合是解题关键，属于难题．13.【答案】−2425【解析】解：∵α的终边在第二象限，∴cosα<0，则cosα=−45，则sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425，故答案为：−2425．根据三角函数的同角关系以及二倍角公式进行求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合二倍角公式以及同角关系进行转化是解决本题的关键．比较基础．14.【答案】23【解析】解：∵a⃗=(3x,1)，b⃗ =(2,1)，且a⃗//b⃗ ，∴3x×1−1×2=0，即x=23．故答案为：23．由已知利用向量共线的坐标运算列式求得x值．本题考查向量共线的坐标运算，是基础题．15.【答案】(0,1)【解析】解：∵偶函数f(x)是[0,+∞)上单调递减，若f(2a−1)>f(1)，则不等式等价为f(|2a−1|)>f(1)，即|2a−1|<1，即−1<2a−1<1，解得0<a<1，即实数a的取值范围为(0,1)．故答案为：(0,1)．根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键，属于基础题．16.【答案】20256560【解析】解：由题意，小明每年的1月1日都到某银行存入1000元的一年期定期存款，且银行的年利率为2.5%，且年利率保持不变，2017年1月1日，小明去银行继续存款1000元后，他的账户中一共有1000(1+2.5%)+ 1000=2025元，到2022年1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则共取回1000(1+2.5%)6+1000(1+2.5%)5+1000(1+2.5%)4+⋅⋅⋅+1000(1+ 2.5%)=1000(1+2.5%)[1−(1+2.5%)6]1−(1+2.5%)=10000.025[1.0257−1.025]=6560元故答案为：2025；6560．根据题意，结合通项公式和等比数列的求和公式，准确计算，即可求解．本题考查函数在实际问题中的应用，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)因为S8=S9，所以a9=S9−S8=0，又因为a4=−10，所以a9=a4+5d=0，所以d=2，所以a n=a4+(n−4)d=−10+(n−4)×2=2n−18；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知a n=2n−18，所以a1=−16，所以S n=n(a1+a n)2=n(−16+2n−18)2=n2−17n．【解析】(Ⅰ)由S8=S9可得a9=0，结合a4=−10，可求得公差d，从而代入通项公式求解；(Ⅱ)由(Ⅰ)知a1和a n，代入前n项和公式即可．本题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由图像知T=4(2π3−5π12)=π，故ω=2πT=2，再由f(2π3)=−A得sin(2×2π3+φ)=−1，故4π3+φ=3π2+2kπ,k∈Z，结合0<φ<π得φ=π6，故f(x)=Asin(2x+π6)；(Ⅱ)由y=f(x)的图象向右平移π6个单位，得g(x)=Asin[2(x−π6)+π6]=Asin(2x−π6)，(A>0)，要求函数y=g(x)的单调递增区间，只需−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，故g(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z．【解析】(Ⅰ)根据五点法求出函数解析式；(Ⅱ)结合左加右减的规律，求出g(x)的解析式，然后结合换元思想求出g(x)的单调区间．本题考查三角函数的图像与性质，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：由a n+1=n+1n(a n+n)，得na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，即a n+1n+1−a nn=1，又a11=2，所以{a nn}是以2为首项，1为公差的等差数列；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知a nn =2+n−1=n+1，则a n=n(n+1)，故1a n=1n(n+1)=1n−1n+1，所以T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．【解析】(Ⅰ)由a n+1=n+1n (a n+n)可得na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，即a n+1n+1−a nn=1，结合a11=2即可证明{a nn}是以2为首项，1为公差的等差数列；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知a nn =2+n−1=n+1，则a n=n(n+1)，故1a n=1n(n+1)=1n−1n+1，从而利用裂项相消求和法即可求出T n．本题考查等差数列的证明，裂项相消求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)当a=0时，函数f(x)=x2e x，所以f′(x)=2xe x−x2e x(e x)2=2x−x2e x=x(2−x)e x，令f′(x)=0，解得x=0或x=2．当x<0时，f′(x)<0，即函数f(x)在(−∞,0)上是减函数；当0<x<2时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,2)上是增函数；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)在(2,+∞)上是减函数．所以当x=0时，函数f(x)取得极小值0；当x=2时，函数f(x)取得极大值为4e2．(Ⅱ)函数f(x)有三个零点等价于函数g(x)=x2e x与函数y=a的图像有三个公共点．由(Ⅰ)可知，当x→−∞时，g(x)→+∞，当x→+∞时，g(x)→0，并且函数g(x)=x2e x 的极小值为0，极大值为4e2，函数图象如下所示：所以由图象可知0<a<4e2，即实数a的取值范围是(0,4e2)．【解析】(Ⅰ)求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；(Ⅱ)函数f(x)有三个零点等价于函数g(x)=x2e x与函数y=a的图像有三个公共点，由(Ⅰ)可知函数的单调性与极值，从而得到函数图象，即可求出参数的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理及2bcosA+a=2c知，2sinBcosA+sinA=2sinC又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以sinA=2sinAcosB，因为sinA≠0，所以cosB=12，因为B∈(0,π)，所以B=π3；(Ⅱ)由正弦定理知，asinA =bsinB=csinC=2R，因为acosC+ccosA=1，所以2R(sinAcosC+cosAsinC)=1，即2RsinB=1，所以b=2RsinB=1，2R=1sinB =√3，所以a=√3，c=√3，所以△ABC面积S=12acsinB=12√3⋅√3⋅√32=√3sinAsin(2π3−A)=√3sinA(√32cosA+12sinA)=14sin2A−4√34√3=2√3−π6)4√3，因为△ABC为锐角三角形，所以{0<A<π20<C=2π3−A<π2，解得A∈(π6,π2)，所以2A−π6∈(π6,5π6)，sin(2A−π6)∈(12,1]，所以S∈(√36,√34]，故△ABC面积的取值范围为(√36,√3 4].【解析】(Ⅰ)利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式，推出cosB=12，从而得解；(Ⅱ)利用正弦定理可得2RsinB=1，从而知b=1，a=√3，c=√3，再结合正弦面积公式，三角恒等变换公式推出S=2√3−π6)+4√3，最后根据正弦函数的图象与性质，得解．本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理，二倍角公式，两角和差公式，以及正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)当a=0时，函数可化为f(x)=lnx+12x2+1(x>0)，所以f′(x)=x+1x，当x=1时f′(1)=2，所以在点A(1,f(1))处切线的斜率为2． 又f(1)=ln1+12⋅12+1=32即切点为(1,32)， 所以切线方程为y −32=2(x −1)， 即所求切线方程为4x −2y −1=0． (Ⅱ)因为f′(x)=x −2a +1x =x 2−2ax+1x(x >0)，当Δ=(−2a)2−4≤0，即−1≤a ≤1时，函数f(x)单调递增，无极值点，不满足条件； 当Δ=(−2a)2−4>0即a <−1或a >1时，令f′(x)=0，设方程的两根为x 1和x 2， 因为x 1为极小值点，所以0<x 2<x 1，又因为x 1x 2=1，x 1+x 2=2a >0，所以a >1，x 1>1，所以f′(x 1)=0，所以x 12−2ax 1+1=0，则a =x 12+12x 1．因为x 1lnx 1−ax 12=x 1lnx 1−x 13+x 12=−x 132−12x 1+x 1lnx 1，x 1∈(1,+∞)，令ℎ(x)=−12x 3−12x +xlnx ，x ∈(1,+∞)，所以ℎ′(x)=−32x 2+lnx +12， 所以ℎ″(x)=−3x +1x =−3x 2+1x，x ∈(1,+∞)，当x >1时，ℎ′′(x)<0，ℎ′(x)为减函数，所以ℎ′(x)<ℎ′(1)=−1<0， 所以ℎ(x)在区间(1,+∞)上单调递减，所以ℎ(x)<ℎ(1)=−1． 又x 1lnx 1−ax 2≤m 恒成立，所以m ≥−1， 即实数m 的取值范围为[−1,+∞)．【解析】(Ⅰ)依题意求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而运用点斜式求出切线方程；(Ⅱ)依题意，可得f′(x)=x 2−2ax+1x，再对参数a 分类讨论，当−1≤a ≤1不满足条件，当a <−1或a >1时，令f′(x)=0，设方程的两根为x 1和x 2，则0<x 2<x 1，a >1，x 1>1，则a =x 12+12x 1，x 1lnx 1−ax 12=−x 132−12x 1+x 1lnx 1，令ℎ(x)=−12x 3−12x +xlnx ，运用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，不等式恒成立问题，考查了转化思想和方程思想，属中档题．。
2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题 含解析
2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题含解析【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。
但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则＝（）A． B． C． D．【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析：解：由题可知，所以D正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2.设集合，，则＝（）A． B． C． D．【知识点】集合.A1【答案解析】 C 解析：解：由题意可求出集合()(){}|13,|0|0x 3A x x B y y A B x =-<<=>∴⋂=<<，所以正确选项为C.【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集. 3. 函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C 解析：解：因为，函数为连续函数，所以函数的零点在之间. 【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间. 4. 已知m ，n ，则 “a ＝2”是“mn ”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知()//12021m n a a a a ⇒-+=∴==-或，所以“a ＝2”是“mn ”的充分而不必要条件，所以B 正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a 的值，然后再根据题意判定逻辑关系.5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 ．故选：A ．【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。
吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三地理上学期第一次联考试题
吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三地理上学期第一次联考试题考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共100分。
考试时间90分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：必修1第二章、第三章。
第I卷(选择题共44分)一、选择题(本大题共22小题，每小题2分，共44分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)中国青年报客户端北京8月24日电今天，中国气象局国家气候中心向社会发布《中国气候变化蓝皮书2021》(以下称蓝皮书)。
下图示意蓝皮书中1850～2025年全球平均气温变化(含预测)。
据此完成1～2题。
1.图示信息反映了全球平均气温A.呈持续下降趋势B.呈持续上升趋势C.呈波动性上升趋势D.呈先升后降趋势2.图示全球气候变化，可能对我国产生的影响是A.高山的雪线、林线均下降B.极端高温事件明显增多C.区域生态环境稳定性增强D.台风平均强度波动减弱土壤热通量表示单位时间、单位面积上土壤表层和深层的热交换量。
下图为我国西北干旱区某绿洲及其相邻的沙漠土壤热通量日变化统计图。
据此完成3～5题。
3.沙漠深层土壤向表层土壤传递热量速度最快的时间是A.3：00B.8：00C.12：00D.24：004.沙漠土壤与绿洲土壤传递热量的速度差值最大的时间是A.4：00B.8：00C.12：00D.24：005.造成绿洲土壤与沙漠土壤的热通量差异的主要影响因素是A.太阳辐射B.土壤性质C.地表植被D.大气逆辐射下图为以北极点为中心的气压带风带俯视图，其中粗黑圈表示气压带，箭头方向表示风带的风向。
据此完成6～8题。
6.此时北半球正值A.春季B.夏季C.秋季D.冬季7.与a处气候相比，b处A.常年受副高控制B.气温日较差大C.盛行风带来丰富水汽D.光照条件好，热量多8.图示季节A.南亚盛行东北风B.洛杉矶多阴雨天气C.北京香山枫叶变红D.巴西高原草木枯黄研究表明在没有较强气压系统活动情况下，山谷风环流对污染物聚集、扩散和输送才会产生重要影响。
2021届吉林省吉林市高三上学期第一次调研考试 数学(理) PDF版
（I）设 bn
an 1 2n
，证明
bn
是等差数列；
（II）求数列 an 的前 n 项和 Sn .
吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第一次调研测试
理科数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
D
C
B
C
A
A
A
A
B
B
B
D
二、填空题
13. 3 2
三、解答题 17【解析】
(2)
因为存在
x0
[ 4
,
3 4
] ，使不等式
f
(x0 )
m
成立，所以 m
大于
f
(x)
的最小值………8
分
由 x 3 ，得 2x 7 ，
4
46
36
当 2x 7 ，即 x 3 时， f (x) 取最小值 3 1 ，
36
4
2
所以 m 3 1 ，则 m 的取值范围为 ( 3 1 ,) .……………………………………12
3 化简，得 a2 c2 ac 16 ①……………………………………………………………………8 分
因为该三角形面积为 4 3 所以 1 ac sin B 4 3 ，即 ac 16 ②…………………………………………………………10 分
2 联立①②，解得 a c 4 ………………………………………………………………………12 分
f ( x 1) f ( x 1) f (1) ，且在区间[1,0] 为减函数．则 f (3) 与 f ( 5 ) 的关系为 2
吉林省辽源市2021届新高考一诊数学试题含解析
吉林省辽源市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.2．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．1或12C D ．2±【答案】C 【解析】 【分析】由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值. 【详解】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+，故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以q =，故选C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .3．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 4．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21()cos g'x a x=-， 当1a ≤，(,)22x ππ∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减， ∴(,0)2x π∈-时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()>0f x xg'x g x '=+，∴()0f 'x >，即()f x 在(,0)2π-上单调递增，(0,)2x π∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ，∴()0f 'x <，即()f x 在(0,)2π上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；当1a >时，存在(0,)2t π∈使得cos t =，即'()0g t =，又21()cos g'x a x =-在(0,)2π上单调递减，∴,()0x t ∈时，()(0)0g x g >=，所以()()0f x x g x =⋅>， 这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾． 综上，1a ≤．故选B ．方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤，故选B ． 5．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ）A ．5B ．C ．13D 【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数()32z i i =-，再求z ，最后求z z ⋅即可. 【详解】解：()3223z i i i =-=+，23z i =-222313z z ⋅=+=，故选：C 【点睛】考查复数的运算，是基础题.6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ） A ．2cos x - B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果. 【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里 B ．72里C ．48里D ．24里【答案】B 【解析】 【分析】人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，计算1192a =，代入得到答案. 【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ， 则61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，从而可得3241119296,1922422a a ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭，故24962472a a -=-=.故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
2021届吉林省吉林市普通高中高三毕业班上学期第一次调研测试数学(文)答案
所以 ,即 ②………………………………………………10分
联立①②,解得 …………………………………………………………………12分
20【解析】
（1）当 时, ....................1分
令 ,解得 , ...........................2分
+
-
+
增
的极小值为 ...........................7分
（2）依题意： ...................9分
又因为 ,所以, ,................................10分
【说明】（1）此处只使用判别式小于等于0加上a>0的不给分；
（2）若使用变量分离的,需要分类讨论,可以酌情给分；
即 即无解。 所以,不存在满足条件的正实数 ...............12分
【说明】（1）此处若结算结果都正确,只结论错误,只扣1分；
（2）此处若计算结果不正切,不给分；
21.【解析】
（1）解法一：将等式 两边都减去 得 .....2分
再除以 得 ,即 ......................4分
........12分
<方法二>即 .............7分
，.........................9分
..................10分
......................................11分
.............12分
所以 ...........................10分
18【解析】（1）由题得,
吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三上学期第一次联考试题+英语含答案
高三英语试卷考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话，每段对话后有一个小题。
从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例:How much is the shirt?A.￡19.15.B.￡9.18.C.￡9.15.答案是C。
1.What time is it now?A.5:15.B.5:30.C.5:45.2.How does the man feel?A.Frightened.B.Proud.C.Excited.3.What is the man's phone number?A.560-1278.B.560-1287.C.650-1287.4.What are the speakers mainly talking about?A.How long they haven't met.B.How the woman went to college.C.How the woman's life is going.5.What does the woman think of French food?A.It is delicious.B.It is easy to make.C.It is time-consuming.第二节(共15小题，每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
2021届吉林省辽源五中高三上学期第一次摸底考试文数试题Word版含答案
2021届吉林省辽源五中上学期第一次摸底考试高三文数试题（试卷满分：150分 答题时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}}{,2),(,),(2x y y x N x y y x M ====则集合N M ⋂ 的子集个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D.8 2.命题“,,R b a ∈∀若0>ab ，则0>a ”的否命题是A. 0,0,,<<∈∀a ab R b a 则若B. 0,0,,≤≤∈∀a ab R b a 则若C. 0,0,,00000<<∈∃a b a R b a 则若D.0,0,00000≤≤∈∃a b a R b a 则若 3. 若),(,2R b a i b iia ∈+=+，其中i 为虚数单位，则=+b a A. -1 B. -2 C. 1 D.24.已知函数=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎩⎨⎧>≤=)1()0(,ln )0(,)(e f f x x x e x f x 则 A.e 1 B. e C. e1- D.e - 5．曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程为12+=x y ，则=∆∆--→∆xx x f x f x )2()(lim000A. -4B. -2C. 4D.2 6.将函数)2sin(δ+=x y 的图像沿着x 轴向左平移8π个单位长度后，得到一个偶函数，则δ的一个可能取值为 A. 8π-B. 8πC. 4π-D. 4π7.在面积为S 的ABC ∆边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S的概率是 A. 41 B. 21 C. 32 D.438.定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[]2,3--上是减函数，βα,是锐角三角形的两个内角，则)(sin αf 与)(cos βf 的大小关系为A.)(cos )(sin βαf f >B. )(cos )(sin βαf f <C.)(cos )(sin βαf f =D.)(cos )(sin βαf f 与大小关系不确定9.已知函数)1,0(,1log )3(≠>-=+a a y x a 且的图像恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上，其 中0>mn ，则nm 21+的最小值为 A.6 B. 8 C.10 D.1210.若直角坐标平面内的两点P,Q 满足条件：①P,Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P,Q 关于原点对称，则称点对[]Q P ,是函数)(x f y = 的一对“友好点对”（点对[]Q P ,与[]P Q ,看作同一对“友好点对”）已知函数则此函数的“友好点对”有A. 0 对B. 1 对C. 2 对D. 3对11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=)10(,621)100(,lg )(x x x x x f 若c b a ,,互不相等，)(c b a <<且),()()(c f b f a f ==则abc 的取值范围为A. (10,12)B. (8,10)C. (5,7)D.(1,10)12. 已知定义在R 上函数[)[)⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈+=0,1,21,0,2)(22x x x x x f ，且252)(),()2(++==+x x x g x f x f ，则方程)()(x g x f =在区间[]3,7-上所有实根之和为A ．-13B ． -11C ．-9 D. -7第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分.13.化简000080cos 60cos 40cos 20cos 的结果为_______.14．曲线x x x f +=3)(在))1(,1(f 处的切线方程为_______.15.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+02202201y x y x y x ，则22y x +的最大值为 ______.16．已知函数x x x f 2sin cos )(=，下列结论正确的是_______.（你认为正的都写出来） ①)(x f y =的图像关于()0,π成中心对称；②)(x f y =的图像关于2π=x 对称；③)(x f y =的最大值为23；④)(x f y =即是奇函数，又是周期函数， 三、解答题：本大题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知函数x x x f 2cos 3)4(sin 2)(2-+=π（1）求函数)(x f 的最小正周期和它的单调增区间；（2）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6)(ππ在x f 的最大值和最小值18.（本小题满分12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过两小时的人被定义为“非微信达人”．已知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2． （Ⅰ）确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“非微信达人”和“微信达人”60人中用分层抽样的方法确定5人，若需从这5人中随机选取2人进行问卷调查，求选取的2人中恰有1人为“微信达人”的概率．使用微信时间 （单位：小时） 频数 频率 （0，0.5] 3 0.05 （0.5，1] x p （1，1.5] 9 0.15 （1.5，2] 15 0.25 （2，2.5] 18 0.30 （2.5，3] y q 合计601.0019.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，AD=2，∠DAB=060,E 为BC 的中点。
梅河口五中辽源五中四平四中2021届高三数学上学期第一次联考试题理
吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三数学上学期第一次联考试题理考生注意:1.本试卷分第I卷和第II卷两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3。
本试卷主要考试内容：人教A版集合与常用逻辑用语、函数导数及应用。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{x｜x<1}，B＝｛x｜x>2｝，C＝A∪B，则A。
2∈C B。
C⊆B C。
3∈C D。
5－2∈C2.设命题p：∃a∈（0，＋∞），函数f(x）＝x5－ax在（1,＋∞)上有零点，则p的否定为A.∃a∈(0，＋∞）,函数f（x）＝x5－ax在(1,＋∞）上无零点B。
∀a∈(0，＋∞),函数f(x）＝x5－ax在（1,＋∞)上无零点C。
∀a∈（－∞，0］，函数f(x）＝x5－ax在（1，＋∞)上无零点D。
∀a∈（0,＋∞），函数f(x）＝x5－ax在（－∞，1]上无零点3.函数f（x）＝x2(e x＋e－x)的图象大致为4.设集合A＝｛x|lgx<1}，B＝{x|x2＋2x－8〉0}，则A∩B＝A。
（4，10) B。
(－∞，－2)∪（4，10）C。
(2，10）D。
(－∞，－4)∪(2,10)5。
曲线y＝4x＋sin2x在点（0，0)处的切线方程为A.y＝2xB.y＝3x C。
y＝5x D.y＝6x6。
设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如左下图所示,则导函数y＝f'（x)的图象为7.已知圆C的方程为x2＋(y－1)2＝m，则“m〉12”是“函数y ＝|x|的图象与圆C有四个公共点”的A.充分不必要条件B。
必要不充分条件 C.充要条件D。
既不充分也不必要条件8。
若函数f（x），g(x）满足f(x）＋xg（x)＝x2－1，且f（1）＝1，则f'(1)＋g'(1)＝A。
1 B。
2021届吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中高三上学期第一次联考数学(文)试题
2021届吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中高三上学期第一次联考数学（文）试题一、单选题1．设集合{|1}A x x =<，{|2}B x x ，C A B =，则（ ）A ．CB ．C B ⊆C CD 2C ∈【答案】D 【解析】求出C A B =，逐项排除可得答案.【详解】集合{|1}A x x =<，{|2}Bx x ，C A B =，{|1C x x ∴=<或2}x >，∴C ，C B ⊇C 2C ∈，故A ，B ，C 均错误，D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查了集合的基本运算，集合间的关系、元素与集合的关系，属于基础题.2．设命题:(0,)p a ∃∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上有零点，则p 的否定为（ ）A ．0,()a ∃∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点 B ．(0,)a ∀∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点 C ．(a ∀∈-∞，0]，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点 D ．(0,)a ∀∈+∞，函数5()f x x ax =-在(-∞，1]上无零点 【答案】B【解析】根据命题的否定的概念判断． 【详解】解：命题:(0,)p a ∃∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上有零点，则p 的否定为：(0,)a ∀∈+∞，函数5()f x x ax =-在(1,)+∞上无零点．故选：B ． 【点睛】本题考查命题的否定，掌握命题的否定的定义是解题关键．命题的否定只要否定结论，条件不否定，但存在量词与全称量词要互换．3．已知函数()f x 的周期为5，当05x <<时，4()log f x x x =+，则(54)f =（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】由函数的周期把(54)f 化为(4)f ，再计算函数值． 【详解】 解：函数()f x 的周期为5，当05x <<时，4()log f x x x =+，则(54)(5104)f f f =⨯+=(4)44log 4415=+=+=， 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的周期性，属于基础题．4．设集合{|lg 1}A x x =<，2{|280}B x x x =+->，则A B =（ ）A ．(4,10)B ．(-∞，2)(4-⋃，10)C ．(2,10)D ．(-∞，4)(2-⋃，10)【答案】C【解析】先求出集合A ，B ，再由交集定义即可求出. 【详解】解：集合{|lg 1}{|010}A x x x x =<=<<，{}2280{|4B x x x x x =+->=<-或2}x >，则{|210}(2,10)A B x x ⋂=<<=． 故选：C ． 【点睛】本题考查交集的运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解，属于基础题.5．若sin α=，(2πα∈，)π，则tan(32)πα-=（ ）A ．73-B ．125-C ．73D ．125【答案】B【解析】由同角三角函数的关系求出cos α、tan α，再根据正切函数的周期及二倍角公式用tan α表示出tan(32)πα-，代入tan α的值即可得解. 【详解】因为sin α=，(2πα∈，)π，所以cos α==sin 3tan cos 2ααα==-， 所以22tan 12tan(32)tan 215tan απααα-=-=-=--． 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、二倍角的正切公式，属于基础题.6．在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，且60ABE ∠=︒，9AB AC ⋅=，则AB BE ⋅=（ ）A ．-B ．C ．-D ．【答案】A【解析】根据9AB AC ⋅=求出3AB =，再解三角形求出23BE =公式求解. 【详解】因为222||||||2||922AB AC AB AC AB AB AB ⋅=⨯=⨯⨯==， 所以3AB =． 因为60ABE ∠=︒， 所以30CBE ∠=︒， 所以23BE =故3cos120AB BE ⋅=⨯︒=- 故选：A本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由图可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()0y f x ='<在(,0)-∞上恒成立，排除选项B 和D ；函数()f x 在(0,)+∞上先递减后递增再递减，所以()y f x '=在(0,)+∞上应为负、正、负的趋势，即选项A 错误，C 正确； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型. 8．已知圆C 的方程为22(1)x y m +-=，则“12m >”是“函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题可知直线y x =与圆C 相交，且原点在圆外，建立不等式即可求出.解：若直线y x =与圆C 相交，则(0,1)到直线y x =<解得12m >． 若函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点，则原点在圆外，∴1m <，由此可得，若函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点，则112m <<． 故“12m >”是“函数||y x =的图象与圆C 有四个公共点”的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，其中涉及直线与圆的位置关系，属于基础题. 9．若函数44()sin cos f x x x =+，则此函数的图象的对称中心为（ ）A ．(44k ππ+，3)()4k Z ∈B ．(44k ππ+，0)()k Z ∈C ．(84k ππ+，3)()4k Z ∈D ．(84k ππ+，0)()k Z ∈【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角余弦公式将函数化为()31cos 444f x x =+，再利用正弦函数的对称轴可得42x k ππ=+，k Z ∈，求解即可.【详解】解：44()sin cos f x x x =+22222(sin cos )2sin cos x x x x =+-211sin 22x =-11cos 4311cos 42244x x -=-⨯=+，令42x k ππ=+，k Z ∈，可得84k x ππ=+，k Z ∈，故此函数的图象的对称中心为(84k ππ+，3)4k Z ∈．故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换以及三角函数的性质，掌握二倍角公式以及正弦函数的对称轴是解题的关键，属于基础题.10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a =，b =，c =M 在AB 边上，且BM CM =，则AMAB=（ ） A ．14B ．13C ．34D ．23【答案】C【解析】由题知MBC △为等腰三角形，再由余弦定理得到cos B ，·cos 2BCBM B =得到4BM =可得答案. 【详解】因为BM CM =，所以MBC △为等腰三角形，因为3a =，b =，c =由条件可得222cos2a c b B ac +-==，所以3·cos 22BC BM B ==，解得BM =，所以AM AB BM =-=可得34AM AB =． 故选：C ． 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查运算能力. 11．已知函数321()(3)3xf x x e x x a =--++，若()0f x >对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．24(3e -，)+∞ B ．(0,)+∞ C ．2(23e -，)+∞ D ．(3,)+∞【答案】A【解析】求出()f x 的导数，由导数判断出函数的单调性，求出其最小值，令最小值大于0即可求出a 的范围.解：()(2)()x f x x e x '=--， 令()x g x e x =-，则1()xg x e '=-，令()0g x '>，解得：0x >，令()0g x '<，解得：0x <， 故()g x 在(,0)-∞递减，在(0,)+∞递增， 故()(0)10g x g =>，令()0f x '>，解得：2x >，令()0f x '<，解得：2x <， 故()f x 在(,2)-∞递减，在(2,)+∞递增， 故()2min 4()203f x f e a ==-+>，解得：243a e >-， 故选：A ． 【点睛】本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，属于中档题.12．已知函数2()2f x x x =-，若8log 27a =，5log 11b =，0.25log 8c =-，则（ ）A ．f （b ）f <（c ）f <（a ）B ．f （b ）f <（a ）f <（c ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）【答案】A【解析】利用对数运算和对数函数的单调性比较a ，b ，c 的大小，然后再利用二次函数的单调性求解. 【详解】27982443log log 3log log 82a ===>=，5553log 11log log 2b ==<=，0.2543log 8log 82c =-==，又55log 11log 51b =>=，1b c a ∴<<<，又2()2f x x x =-在[1，)+∞上单调递增，f ∴（b ）f <（c ）f <（a ）．故选：A ．本题主要考查对数式比较大小以及二次函数单调性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.二、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知30B =︒，2a =，1sin 5A =，则b =__． 【答案】5【解析】利用正弦定理可求出答案. 【详解】因为30B =︒，2a =，1sin 5A =， 所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得21sin 305b=︒，解得5b =． 故答案为：5 【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形，较简单. 14．设向量a ，b 满足||3a =，||1b =，且1cos 3a <<，12b ><，则|2|-a b 的取值范围是__．【答案】【解析】将|2|-a b 两边平方，再利用向量数量积即可求解. 【详解】解：向量a ，b 满足||3a =，||1b =， 则22244?37431cos ,3712cos ,a b a a b b a b a b -=-+=-⨯⨯⨯=-，1cos 3a <<，12b ><， 可得412cos a <<，6b ><，612cos a ∴-<-<，4b ><-， 313712cos a ∴<-<，33b ><， ,(31a b ∈，．则|2|-a b 的取值范围是．故答案为：． 【点睛】本题考查了利用向量数量积的求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 15．不等式0.1(1)0.01x ln x -->的解集为__． 【答案】(1,2)【解析】利用0.1xy =和(1)y ln x =--的单调性可求得答案. 【详解】设函数()0.1(1)xf x ln x =--，0.1x y =和(1)y ln x =--均为减函数， ∴函数()f x 为减函数，f （2）0.01=，且函数的定义域为(1,)+∞，∴原不等式等价于()f x f >（2），12x ∴<<，∴不等式的解集为(1,2)．故答案为：(1,2)． 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性解不等式的问题. 16．关于函数3()5f x x x =-有如下四个命题： ①()f x 的图象关于原点对称；②()f x 在)+∞上单调递增； ③函数|()|y f x =共有6个极值点；④方程()f x =6个实根． 其中所有真命题的序号是__． 【答案】①②④【解析】①由定义判断函数是奇函数即可；②利用导数可判断单调性；③判断函数的单调性，结合对称性即可判断极值点；④根据函数图象和极值可判断.【详解】解：对于①，()f x 的定义域为R ，3()5()f x x x f x -=-+=-，故()f x 是奇函数，()f x ∴的图象关于原点对称，故①正确；对于②，2()35f x x '=-，故当2x >时，()10f x '>>，()f x ∴在(2，)+∞上单调递增，故②正确；对于③，令()0f x '=可得53x =±， 故()f x 在5(,)3-∞-和5(3，)+∞上单调递增，在5(3-，5)3上单调递减，令()0f x =可得0x =或5x =±，作出|()|y f x =的函数图象，由图象可知|()|y f x =只有5个极值点，故③错误；对于④，()y f x =是奇函数，故|()|y f x =是偶函数，()y f x ∴=的极大值为51015()323f => ()32f x ∴=有6个根，故④正确．故答案为：①②④. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数图象的应用，属于中档题.三、解答题17．已知函数()()21f x lg x =-，()()()1g x f x lg x =--.（1）求()f x 的定义域与值域；（2）设命题():p g x 的值域为()lg2,+∞，命题():q g x 的图象经过坐标原点.判断p q ∧，p q ∨的真假，说明你的理由.【答案】（1）定义域为()(),11,-∞-+∞；值域为R ；（2）p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，理由见解析.【解析】（1）由210x ->，得1x <-或1x >，可得到定义域， 21x -可取遍所有的正数，可得()f x 的值域为R ；（2）由()g x 的定义域为()1,+∞，可得()g x 的值域为()2,lg +∞，可得p 为真命题；由()g x 的定义域为()1,+∞，可得()g x 的图象不可能经过坐标原点，可得q 为假命题，最后可得出p q ∧，p q ∨的真假. 【详解】（1）由210x ->，得1x <-或1x >， 则()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞，因为21x -取遍所有正数，所以()f x 的值域为R ； （2）()()1g x lg x =+，()g x 的定义域为()1,+∞，则()g x 的值域为()2,lg +∞，p 为真命题；因为()g x 的定义域为()1,+∞，所以()g x 的图象不可能经过坐标原点，则q 为假命题， 所以p q ∧为假命题，p q ∨为真命题. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域与值域，考查复合命题的真假性判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.18．已知函数2()2cos f x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期及()f x 的图象的对称轴方程； （2）若[4x π∈-，]4π，求()f x 的取值范围．【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈；（2），3]2．【解析】（1）将()f x 化为()1sin(2)62x f x π++=，然后可求出答案； （2）由[4x π∈-，]4π可得2[63x ππ+∈-，2]3π，然后可得答案. 【详解】（1）2()sin 2cos 2f x x x =+1cos 2222xx +=+1sin(2)62x π++=，()f x ∴的最小正周期22T ππ==， 令262x k πππ+=+，k Z ∈，可得612x k ππ=+，k Z ∈，即()f x 的图象的对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈． （2）[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π，sin(2)[62x π∴+∈-，1]，可得11()sin(2)[622f x x π=++∈，3]2．【点睛】本题考查的是三角函数的恒等变换和三角函数的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.19．已知函数(2)244x f x x =-+，函数()f x 只有两个零点，设这两个零点为1x ，212()x x x <．（1）证明：1(4,3)x ∈--，2(2,3)x ∈． （2）证明：127225x x -<-<-．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）求出()f x 解析式，利用零点存在定理即可证明；（2）由（1）知1x ，2x 是()f x 的两个零点，所以111()240xf x x =-+=，222()240x f x x =-+=，两式相减可得121222x x x x -=-，再利用（1）的结论即可证明.【详解】（1）由(2)244x f x x =-+，则()24x f x x =-+，4(4)20f --=-<，(3)0f ->，f （2）0>，f （3）0<，又函数()f x 只有两个零点，这两个零点为1x ，212()x x x <． 故1(4,3)x ∈--，2(2,3)x ∈； （2）1x ，212()x x x <是函数()f x 的零点，111()240x f x x ∴=-+=，222()240x f x x =-+=，故121212()()220x xf x f x x x -=--+=， 即121222x xx x -=-，1(4,3)x ∈--，2(2,3)x ∈，1275x x ∴-<-<-，即127225x x -<-<-．【点睛】本题主要考查了零点存在定理以及不等式的性质，属于中档题. 20．如图，ABC 与ACD △在同一个平面内，4CAD π∠=，2AB BC =，222AC BC AC BC -=⋅．（1）求ACB ∠；（2）若232AB =，且ACD △的面积为3，求CD 的长．【答案】（1）4π；（210． 【解析】（1）由余弦定理可求得cos ACB ∠，从而得角的大小；（2）由AB 结合（1）中结论求得BC ，再AC ，由ACD △的面积求得AD ，再由余弦定理得CD ． 【详解】解：（1）因为2AB BC =，222AC BC AC BC -=⋅，所以2222222A C C BC AB A B C BC C C B +-=-=⋅+，222cos 222AC BC AB BC ACB AC BC AC BC +-⋅∠===⋅⋅, 又因为(0,)ACB π∠∈， 故4ACB π∠=．（2）因为,2AB AB ==，所以BC =，又因为22AC BC BC -=⋅，所以22AC -=⋅，整理得21)2)0AC AC -+=，解得2AC =或2)AC =（舍去）．因为1··sin 32ACD S AC AD CAD AD =∠==△，所以=AD 由余弦定理得2222cos 10AC CD A D C A AD A D C -⋅∠==+，所以CD = 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．21．已知函数()32ln f x ax bx x =--．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若1a b ==，且()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）(],0-∞．【解析】（1）当0b =时，求得函数的导数()331ax f x x-'=，分0a ≤和0a >两种情况讨论，即可求解；（2）由1a b ==，求得函数的导数()32321x x f x x--'=，进而求得函数的单调性和最小值，即可求解.（1）当0b =时，函数()3ln f x ax x =-，可得()f x 的定义域为()0,∞+，则()321313ax f x ax x x-'=-=，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减．②当0a >时，由()0f x '>，得x >()f x 在⎫+∞⎪⎭上单调递增；由()0f x '<，得0x <<，则()f x 在⎛ ⎝上单调递减． （2）由1a b ==，知()32ln f x x x x =--，可得()322132132x x f x x x x x--'=--=， 又由()()()()()32322223213313111131x x x x x x x x x x x x --=-+-=-+-+=-++，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()min 10f x f ==，则0m ≤，故m 的取值范围为(],0-∞． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 22．已知函数()(1cos )f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(,())f ππ，处的切线方程； （2）确定()f x 在33(,)22ππ-上极值点的个数，并说明理由． 【答案】（1）2y x =；（2）极值点的个数为2，理由见解析.【解析】（1）求得函数的导数，得到()2f π'=及()2f ππ=，结合直线的点斜式方程，（2）由()1cos sin f x x x x '=-+，分(0,]x π∈和(,)x m π∈两种情况分类讨论，结合函数的奇偶性、单调性和极值的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()(1cos )f x x x =-，可得()1cos sin f x x x x '=-+，则()2f π'=， 又由()2f ππ=，所以曲线()y f x =在点(π，())f π处的切线方程为22()y x ππ-=-，即2y x =． （2）由()1cos sin f x x x x '=-+，当(0,]x π∈时，()0f x '>，则()f x 在(0,]π上单调递增，无极值点； 设()()g x f x ='，则()2sin cos g x x x x '=+， 当3(,)2x ππ∈时，()0g x '<，则()g x 在3(,)2ππ上单调递减，因为()20g π=>，33π1022g π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以存在唯一的实数3(,)2m ππ∈，使得()0g m =， 当(,)x m π∈时，()0f x '>，当3(,)2x m π∈时，()0f x '<， 所以()f x 在3(0,)2π只有一个极值点，且该极值点为m ， 因为()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数， 所以()f x 在3(,0)2π-上也只有1个极值点，且该极值点为m -． 综上可得，()f x 在上极值点的个数为2． 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数极值点的个数，其中解答中熟记导数在函数中的应用，结合函数的单调性与极值求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。
2021届吉林省五校联考高三上学期联合模拟考试数学(理)试题(解析版)
2021届吉林省五校联考高三上学期联合模拟考试数学〔理〕试题一、单项选择题1．假设集合(){}{}22log 2,60A x y x B x x x ==-=--≤，那么()R A B =〔 〕A ．(]2,2-B ．[]22-,C ．()2,3D ．(]2,3【答案】B【分析】首先求出集合A 、B ，再根据补集、交集的定义计算可得； 【详解】解：(){}{}{}2log 2202A x y x x x x x ==-=-= 所以{}|2R A x x =≤所以(){}|22R A B x x =-≤≤ 应选：B2．i 是虚数单位，那么21ii+-的虚部为〔 〕 A ．32-B ．12-C ．12D ．32【答案】D【分析】利用复数的运算法那么即可得出．【详解】解：复数2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+，那么z 的虚部是32．应选：D ．3．()52x +的展开式中3x 项的系数为〔 〕 A ．20 B ．40 C ．60 D ．80【答案】B【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；【详解】解：()52x +的展开式的通项5152r r r r T C x -+=，令53r -=，解得2r ，所以232335240T C x x ==，所以3x 项的系数为40，应选：B4．假设数列{}n a 满足12211,1,n n n a a a a a ++===+，那么称数列{}n a 为斐波那契数列.斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最 完美的经典黄金比例.作图规那么是在以斐波那契数为边的正方形拼 成的长方形中画一个圆心角为90︒的扇形，连起来的弧线就是斐波 那契螺旋线，如下图的5个正方形的边长分别为125,,,a a a ⋅⋅⋅， 在长方形ABCD 内任取一点，那么该点不在任何一个扇形内的概率为〔 〕 A ．1031156π-B ．14π-C ．7116π-D ．391160π-【答案】D【分析】由题意求得数列{}n a 的前6项，求得长方形ABCD 的面积，再求出4个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案．【详解】解：由题意可得，数列{}n a 的前6项依次为：1，1，2，3，5，8，∴长方形ABCD 的面积为5840⨯=．4个扇形的面积之和为222239(1235)44ππ+++=． ∴所求概率391160P π=-． 应选：D ．5．向量()(),2,1,1a x b ==，假设a b a b +=+，那么实数〔 〕 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由a b a b +=+，平方可得,a b 两个向量同向，利用坐标公式求解即可. 【详解】由a b a b +=+，平方得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+， 即a b a b ⋅=⋅，那么a b ，同向，故有1210x ⨯-⨯=，得2x =， 应选：B.6．执行如下图的程序框图，输出的S 值为〔 〕 A ．13B ．23C ．1321D ．610987【答案】C【分析】按箭头执行运算，一次运算后不满足判断框中的条件继续执行循环，二次运算后满足判断框中的条件退出循环，得出答案.【详解】20,1,,13i S S i ==== ，不满足判断框中的条件继续执行循环，22()1133,2221213S i +===⨯+ ，满足判断框中的条件退出循环.应选：C【点睛】直到型循环，先执行循环体，直到满足条件退出循环，注意计算的准确性.7．将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数π()sin(2)6g x x =+的图象，那么函数()f x 的一个单调减区间可以为〔 〕A ．π5π[,]1212-B ．π5π[,]66- C ．π5π[,]36- D ．π2π[,]63【答案】A【分析】先利用三角函数的平移变换的应用得2()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦型函数单调减区间的整体思想的应用求出结果即可． 【详解】把()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后，得到()sin(2)2g x x ϕπ=-+=sin(2)6x π+的图象， 0ϕπ<<，23πϕ∴=，即2()sin(2)3f x x π=+.令2222,232k x k k ππ3ππ+≤+≤π+∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，可得函数()f x 的一个单调减区间为,]1212π5π[-. 应选：A ．8．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①//,m nαβ且αβ⊥，那么//m n ；②//,//m n αβ且//αβ，那么//m n ；③,//m n αβ⊥且αβ⊥，那么m n ⊥ ； ④,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，那么m n ⊥.其中正确命题的个数是〔 〕 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】对①，利用特殊情况即可判断；对②，由线面平行的判定定理以及面面平行的性质定理即可判断；对③④，根据面面垂直两个面的法向量与方向向量的关系即可判断. 【详解】解：对①，当m β⊂时，由n β⊥得m n ⊥，故①错误；对②，由线面平行的判定定理以及面面平行的性质定理可知，,m n 可能平行，相交，异面，故②错误；对③，由,m ααβ⊥⊥知：m β或m β⊂ ， 又n β，,m n ∴平行、相交或异面，故③错误；对④，由,m n αβ⊥⊥知：m 为α的法向量 ，n 为β的法向量， 又αβ⊥，m n ∴⊥，故④正确.应选：A.9．0.90.70.9log 0.9,log 0.7,0.7a b c ===，那么,,a b c 的大小关系是〔 〕 A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b <<【答案】C【分析】可直接判断1b >，(),0,1a c ∈，再以0.7为“桥梁〞，比拟,a c 大小即可. 【详解】0.70.70.7log 0.9log 0.70.7a =<=，所以()0,0.7a ∈；0.90.9log 0.7log 0.91b =>=，所以1b >；0.910.70.70.7c =>=，所以()0.7,1c ∈，故a c b <<.应选：C.10．双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，且2PF y ⊥轴，假设12PF F △的内切圆半径为45a，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．95B ．85C ．75 D ．65【答案】A【分析】由双曲线的性质结合直角三角形的内切圆半径公式，即可得到离心率.【详解】y c =代入双曲线方程，得2bx a=±，所以2221,||2b b PF PF a a a==+，12Rt PF F 内切圆半径为222(2)425b b c a a a a c a +-+=-=所以99,55a c e ==. 应选：A.11．函数()()11sin 1x x f x x e e --+=-+-，那么关于x 的不等式()0f x >的解集为〔 〕A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,eD ．(),e +∞【答案】B【分析】求出导函数，结合根本不等式可得()0f x '>，可得()f x 是R 上的增函数，进而可得结果.【详解】依题意可得111()cos(1)x x f x x e e --'=-++，因为11111122x x x x e e e e ----+≥⋅=， cos(1)[1,1]x -∈-，所以()0f x '>，()f x 是R 上的增函数，又(1)0f =， 所以()0()(1)1f x f x f x >⇔>⇔>. 应选：B.【点睛】关键点点睛：此题的关键点是：得出函数()f x 是R 上的增函数.12．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，那么ABC ∆的面积的最大值为〔 〕 A ．6 B ．62 C ．12 D ．122【答案】C【分析】设AC x =，BAC θ∠=，那么2AB x =，结合正弦定理表示得1sin 2ABCSAB AC BAC =⋅⋅∠，由余弦定理可得x 与θ的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解【详解】如图，设设AC x =，BAC θ∠=，那么由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠①，sin sin CD ACCAD ADC=∠∠②，又ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，①②式联立可得21AB AC =，那么2AB x =，那么211sin 2sin sin 22ABC S AB AC BAC x x x θθ=⋅⋅∠=⋅⋅=⋅△，对ABC ，由余弦定理可得22222536cos 24AB AC BC x BAC AB AC x +--∠==⋅，那么()22422242424425362536036sin 1cos 1416x x x S x x x x x θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪=⋅=⋅-=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2422422199********+14420256161616x x x x x ⎡⎤=--+=--=---⎢⎥⎣⎦， 当220x =时，2S 有最大值，()2max 925614416S =⨯=，所以max 12S =， 应选：C【点睛】此题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，此题中的角平分线性质可当结论进行识记：AD 为ABC 的角平分线，那么AB BDAC CD= 二、填空题13．函数()54,0ln .0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，那么35f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________. 【答案】0【分析】从内层往外逐层代入即可求解. 【详解】解：3354155f ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31ln105f f f ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：0.14．假设x ，y 满足约束条件20030y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，那么y z x =的最大值为__________.【答案】2【分析】画出可行域，z 表示可行域上的点到原点(0,0)的斜率，分析并计算z 的最大值. 【详解】作出可行域如下图，又z 为可行域内的点到原点(0,0)O 的斜率，由图得z 的最大值为AO k ， 又(1,2)A ，得z 的最大值为AO k 2=. 故答案为：2【点睛】此题考查了线性规那么，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的根底，理解目标函数的意义是解题的关键．15．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队 获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立，那么甲队以3:2获胜的概率是__________. 【答案】427【分析】甲队以3:2获得比赛胜利是指前四局比赛甲、乙两队2:2平，第五比赛甲胜，由此利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出甲队以3:2获得比赛胜利的概率．【详解】解：甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23．假设各局比赛结果相互独立．甲队以3:2获得比赛胜利是指前四局比赛甲、乙两队2:2平，第五比赛甲胜，∴甲队以3:2获得比赛胜利的概率为：22242114()()()33227P C ==．故答案为：427． 16．抛物线2:16C y x =的焦点为,F P 是抛物线C 上动点，点()4,6B -，当PBPF取最大值时，点P 的坐标为__________. 【答案】()1,4-【分析】根据抛物线的定义，PB PF 转化为PBPQ ，结合图像判断什么时候PB PF取最大值，进而求出点P 的坐标.【详解】由题意知，焦点为()4,0F ，且()4,6B -在抛物线的准线上， 设点P 在抛物线准线上的投影为点Q ，那么PF PQ =，故PB PB PFPQ=，要使PBPF取最大，只需PBQ ∠最小，此时直线PB 与抛物线相切，设直线PB ：()46x t y +=-，即64x ty t =--，联立21664y x x ty t ⎧=⎨=--⎩，得21696640y ty t -++=，由直线PB 与抛物线相切，得()()216496640t t ∆=-+=，即2t =或12t =-，结合图像，可知当12t =-时，PBQ ∠最小，故28160y y ++=，即4y =-，因此点P 的坐标为()1,4-. 故答案为：()1,4-.【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. 三、解答题17．等差数列{}n a 满足253,25a S ==.〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】〔1〕21n a n =-； 〔2〕21nn +. 【分析】〔1〕由253,25a S ==，列出方程组，求得1a 1,d 2，即可求得数列{}n a 的通项公式；〔2〕由〔1〕求得11111()22121n n n b a a n n +==--+，结合“裂项法〞求和，即可求解. 【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，因为253,25a S ==，可得113545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2， 所以数列{}n a 的通项公式()12121n a n n =+-=-. 〔2〕由〔1〕知21n a n =-， 可得111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以数列{}n b 的前n 项和： 111()2121211111111[(1)()()](1)233557122n nS n n n n --++=-+-+-++=-=+. 【点睛】此题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“裂项法〞求和的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，以及合理利用“裂项法〞求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于根底题.18．为推动长春市校园冰雪运动，充分展示?长春市中小学“百万学子上冰雪〞行动方案?的工作成果，某 学校决定学生全员参与冰雪健身操运动.为了调查学生对冰雪健身操的喜欢程度，现从全校学生中随机抽 取了20名男生和20名女生的测评成绩〔总分值为100分〕组成一个样本，得到如下图的茎叶图，并且认为得分不低于80分的学生为喜欢.〔1〕请根据茎叶图填写下面的列联表，并判断能否有85%的把握认为该校学生是否喜欢冰雪健身操与性别有关？〔2〕从样本中随机抽取男生、女生各1人，求其中恰有1人喜欢冰雪健身操的概率； 〔3〕用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从全校男生、女生中各随机抽取1人，求其中喜欢冰雪健身操的人数X 的分布列及数学期望. 参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕12；〔3〕答案见解析.【分析】〔1〕分析数据，完成列联表，套公式计算2K ，对照参数下结论； 〔2〕利用等可能性的概率公式直接求概率；〔3〕分析题意，列举X 的所有可能取值，分别求概率，写出分布列，套公式求数学期望.【详解】〔1〕列联表如下：所以()()()()()()222405101510 2.667 2.07215252020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 所以有85%的把握该校学生是否喜欢冰雪健身操与性别有关.〔2〕设事件A ：随机抽取男生、女生各1人，求其中恰有1人喜欢冰雪健身操，那么()1111510151011202012C C C C P A C C +==. 〔3〕X 的所有可能取值：0,1,2，那么()3130428P X ==⨯=，()11311142422PX ==⨯+⨯=， ()1112428P X ==⨯=，所以X 的分布列为X 的数学期望为：()34130128884E X =⨯+⨯+⨯=.19．等边三角形ABC 的边长为3，点,D E 分别是棱,AB AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==〔如图 ①〕，将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，连接11,A B A C，点F 是棱1A B 上的动点，点P 是棱BC 上的动点〔如图②〕.〔1〕假设113A F FB =，求证：//CF 平面 1A DE ；〔2〕假设1A D DB ⊥，且直线1A P 与平面1A BD 求平面1A DP 与平面1A CE 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)见详解；. 【分析】(1)通过边长的比例关系，先证明平面CHF ∥平面1A DE ，进而求证//CF 平面 1A DE ；(2)根据条件，建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求平面1A DP 与平面1A CE 所成锐二面角的余弦值. 【详解】(1)证明：过点C 作BD 的垂线，交BD 于点H ，连接FH .由题意易得：DE BD ⊥，CH BD ⊥，CH ∴∥DE ，DE ⊂平面1A DE ，CH ⊄平面1A DE ，CH ∴∥平面1A DE ,又12AD DB =，13DH BH ∴=， 113A F FB =，1A D ∴∥FH ， 1A D ⊂平面1A DE ，FH ⊄平面1A DE ，FH ∴∥平面1A DE ，又CH ∈平面CHF ，FH ∈平面CHF ，且FHCH H =，∴平面CHF ∥平面1A DE ，CF ⊂平面CHF ， CF ∴∥平面 1A DE ；(2)由题意易得1A D 、BD 、DE 两两垂直，故以点D 为坐标原点，DB 为x 轴，DE 为y 轴，1DA 为z 轴， 建立如以下图所示的空间直角坐标系， 过点P 作BD 的垂线交BD 于点Q ，连接1A Q ， 易得PQ ⊥平面1A BD ，又因直线1A P 与平面1ABD 那么直线1A P 与平面1A BD1PQ AQ= 再由1AQ=)PQ DQ ==-= 得1DQ =.故在空间坐标系中：()10,0,1A ，()0,0,0D ，()P，12C ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，()E ，设平面1A DP 的法向量(),,n x y z =，那么100n DA n DP ⋅=⎧⎨⋅=⎩ ，得0z x =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1y =，那么()3,1,0n =-，同理平面1A CE的法向量(3,1,m =-，故平面1A DP 与平面1A CE所成锐二面角的余弦值为3n m n m⋅==+⋅20．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，短轴长是12.〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕点P 是椭圆上任意一点，直线1PF 交椭圆于点Q ，直线2PF 交椭圆于点R ，且满足1122,,PF FQ PF F R λμ== .求证：λμ+是定值. 【答案】(1)22143x y +=；(2) λμ+为定值103. 【分析】(1)由，易求得a ，b ，进而得到椭圆C 的标准方程；(2)根据题意，对P 是否为长轴顶点分类讨论，假设P 不是长轴顶点，设直线1PF ：1x my =-，直线2PF ：1x ny =+，通过联立方程组，以及根与系数关系，用m，n 来表示λμ+，进而证明λμ+为定值.【详解】(1)由题意得212b c a ⎧=⎪⎨⎪⎩ ，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的标准方程的标准方程为：22143x y +=. (2)①当点P 是椭圆为长轴顶点时，易得103；②当点P 是椭圆不为长轴顶点时，设直线1PF ：1x my =-，直线2PF ：1x ny =+， 设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ ，得()2234690m y my +--=， ()223636340m m ∆=++>恒成立，由韦达定理得：012634m y y m +=+，012934y y m =-+， 同理得：022634n y y n +=-+，022934y y n =-+，联立11x my x ny =-⎧⎨=+⎩，得2,m n P m n m n +⎛⎫⎪--⎝⎭， 又因点P 在椭圆上，得()()()2224143m n m n m n ++=--，化简得22101639m n mn +=+， 由1122,,PF FQ PF F R λμ==，得0102,y y y y λμ-=-=， 故22000102y y y y y y λμ+=-- 2222433892m n m mn n ++=⋅-+ ， 又因22101639m n mn +=+，故4401010441033416449933933mn mn mn mn λμ⎛⎫++⎪⎝⎭+=⋅=⋅=⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 综上：λμ+为定值103. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．函数()()xf x x e a =-.〔1〕假设函数()f x 过原点切线的斜率是3，求实数a 的值； 〔2〕假设()1ln x x f x ++≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕2a =-；〔2〕0a ≤.【分析】〔1〕函数过某点处的切线，需设出切点，利用函数在切点处的导数等于切点处切线的斜率，得到关于a 的方程，求出a .〔2〕恒成立问题别离参数，转化为求函数1ln ()x x xg x e x++=-的最小值，求导，利用隐零点代换001lnx x =，求出()g x 的最小值，得到0a ≤. 【详解】〔1〕设切点为000(,()xx x e a - ，且'()(1)x f x x e a =+- ，那么切线方程为00000()[(1)]()x xy x e a x e a x x --=+--，由切线过原点，那么有00000()[(1)]()x xx e a x e a x --=+--，解得00x = ，所以000'()(1)3xf x x e a =+-= ，因此2a =- .〔2〕假设()1ln x x f x ++≤恒成立，即1ln ()x x x x e a ++≤-恒成立，即1ln xx xa e x++≤-恒成立， 令1ln ()xx x g x e x ++=-，那么22ln '()x x e xg x x+= ， 令2()ln x h x x e x =+，那么21'()(2)0x h x e x x x=++> 所以2()ln x h x x e x =+在(0,)+∞ 是增函数，又112211(1)0,()110ee h e h e e e e -=>=-=-<因此，01(,1)x e∃∈ ，使得02000()ln =0xh x x e x =+，所以，当0(0,)x x ∈ 时，()0h x < ,即)'(0g x < ，()g x 在0(0,)x 上是减函数当0(+)x x ∈∞，时，()0h x >，即'()0g x >，()g x 在0(+)x ∞，上是增函数， 那么000min 001ln ()()x x x g x g x e x ++==-，由02000()ln =0x h x x e x =+得01ln 0000001111ln ln ln x x x e x e x x x x =-==⋅又设()x x xe ϕ= ，易知()x x xe ϕ=在(0,)+∞ 是增函数，所以001lnx x = ， 故000min 001ln ()()=0x x x g x g x e x ++==-，因此0a ≤ . 【点睛】注意区别在某点和过某点的切线问题，恒成立别离参数转化为求最值问题，零点不可求，需用隐零点代换，最终得解，注意()x x xe ϕ=在(0,)+∞ 是增函数，所以001lnx x =. 22．在直角坐标系xoy 中，曲线1C的参数方程为23x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，.在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 〔1〕写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； 〔2〕假设1C 与2C 相交于,A B 两点，求AOB 的面积.【答案】〔1〕1C ：30x y +-=；2C ：()2224x y -+=；〔2【分析】〔1〕消元将直线的参数方程转化为普通方程，根据公式将极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕首先求出圆心到直线的距离，即可求出弦AB 的长，再根据原点到直线的距离即为高，即可求出三角形的面积；【详解】解：〔1〕因为曲线1C的参数方程为32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，所以1C 的普通方程为30x y +-=，因为曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=〔2〕因为2C ：()2224x y -+=的圆心坐标()22,0C ，半径2r，所以圆心到直线30x y +-=的距离d =，所以AB =点O 到直线30x y +-=的距离2h ==1122AOBSAB h == 23．()|1|| -1|f x x a x a =+++．〔1〕当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集;〔2〕假设1≥x 时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1) (,2][1,)-∞-+∞．(2) [0)+∞，. 【分析】〔1〕将a =1代入f 〔x 〕中，去绝对值后分别解不等式即可；〔2〕x ∈〔0，1〕时，不等式f 〔x 〕＜x +2恒成立等价于当x ∈〔0，1〕时，|ax -1|＜1恒成立，然后分a ≤0和a ＞0讨论即可．【详解】解：〔1〕解法1：当1a =时，不等式()3f x ≥可化简为13x x ++≥. 当–1x <时，13x x ---≥，解得2x -≤，所以2x -≤； 当10x -≤<时，13x x +-≥，13≥，无解； 当0x ≥时，13x x ++≥，解得1≥x ，所以1≥x ﹒ 综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．解法2：当1a =时，21(1)()11(10)21(0)x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++=-≤<⎨⎪+≤⎩ 当1x <-时，213x --≥，解得2x -≤，所以2x -≤； 当10x -≤<时，13≥，无解；当0x ≥时，213x +≥，解得1≥x ，所以1≥x ． 综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．〔2〕解法1：当1≥x 时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥.令()(1)1g x a x =-+，那么()g x 的图像为过定点()11，斜率为a 的一条直线， 数形结合可知，当0a ≥时，11ax a -+≥在[1)+∞，上恒成立. 所以，所求a=解法2：当1≥x 时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥. 由不等式的性质得11ax a -+-≤或11ax a -+≥， 即(1)2a x --≤或(1)0a x -≥.当1≥x 时，a R ∀⊂，不等式2(1)2a x -≤-不恒成立； 为使不等式(1)0a x -≥恒成立，那么0a ≥. 综上，所求a=【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．。
2021届吉林省吉林市高三上学期第一次调研考试数学(文)试卷参考答案
22【解析】
（I）当 时, ,.....................................1分
..............................2分
即切线方程为 ............................3分
（II）当 时, .........................4分
则曲线 上的点 处的切线方程为
.............. 5分
设直线 与 相切于点 ,即切线方程为 ............6分
<方法一>即 ............7分
,
..................................9分
所以 ..................................8分
则 ...........................①
.........................②
①-②得： ...........................10分
所以 ..........................12分
18【解析】（1）由题得,
……………………………………………………4分
令 ,得
所以,函数 的对称中心为 …………………………………6分
(2)因为存在 ,使不等式 成立,所以 大于 的最小值………8分
由 ,得 ,
当 ,即 时, 取最小值 ,
所以 ,则 的取值范围为 .……………………………12分
19【解析】
解法二：由 得 ..........................1分
将 代入上式得 ..3分
吉林省2021届高三数学一轮复习联考(一)试题
吉林省2021届高三数学一轮复习联考（一）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、单选题1. 设，其中是虚数单位，则（）B．2 C．1 D．2A．2. 已如集合，集合，则（）A．B．C．D．3. 已知向量，，若，，则在上的投影为（）A．1 B．C．D．4. 方程所表示曲线的大致形状为（）A．B．C．D．5. 命题：“，”的否定形式为（）A．，B．，C．，D．，6. 已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（）A．B．C．D．7. 设函数与的图象关于直线对称，其中，且.则，满足（）A．B．C．D．8. 如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断正确的是（）A．该弹簧振子的振幅为B．该弹簧振子的振动周期为C．该弹簧振子在，和时的振动速度最大D．该弹簧振子在和时的位移不为零9. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法错误的是（）A．任意非零有理数均是的周期，但任何无理数均不是的周期B．当时，的值域为；当时，的值域为C．为偶函数D．在实数集的任何区间上都不具有单调性10. 设锐角三角形三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围为（）A．B．C．D．11. 若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12. 已知函数的导函数为，任意均有，且，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13. 已知复数的虚部为零，为虚数单位，则实数________.14. 已知，且，则________.15. 函数，的最小值为________.16. 设函数，若关于的方程有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围是______.三、解答题17. 已知顶点在坐标原点，始边在轴正半轴上的锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边绕着原点逆时针旋转得到角的终边.（1）求的值；（2）求的取值范围.18. 已知函数，.（1）若是函数的零点，求的值；（2）讨论函数的单调性.19. 已知函数的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.20. 2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件元，在收到平台投入的万元赞助费后，商品的销售量将增加到万件，为气象相关系数，若该销售商出售万件商品还需成本费万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润万元与平台投入的赞助费万元的关系式；（注：总利润=赞助费+出售商品利润）（2）若对任意万元，当入满足什么条件时，该销售商才能不亏损？21. 已知函数，，.（1）若函数在处的切线斜率为，求的值；（2）若任意，恒成立，求的取值范围.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）点为曲线上点，求点到直线距离的最小值.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对一切实数均成立，求实数的取值范围.。
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2021届吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中高三上学期第一次联考试题
数学（理）
考生注意：
1.本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分，考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：人教A 版集合与常用逻辑用语、函数导数及应用。
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|x>2}，C ＝A ∪B ，则
C B.C ⊆B C 2∈C
2.设命题p ：∃a ∈(0，＋∞)，函数f(x)＝x 5－ax 在(1，＋∞)上有零点，则p 的否定为
A.∃a ∈(0，＋∞)，函数f(x)＝x 5－ax 在(1，＋∞)上无零点
B.∀a ∈(0，＋∞)，函数f(x)＝x 5－ax 在(1，＋∞)上无零点
C.∀a ∈(－∞，0]，函数f(x)＝x 5－ax 在(1，＋∞)上无零点
D.∀a ∈(0，＋∞)，函数f(x)＝x 5－ax 在(－∞，1]上无零点
3.函数f(x)＝x 2(e x ＋e －
x )的图象大致为
4.设集合A ＝{x|lgx<1}，B ＝{x|x 2＋2x －8>0}，则A ∩B ＝
A.(4，10)
B.(－∞，－2)∪(4，10)
C.(2，10)
D.(－∞，－4)∪(2，10)
5.曲线y ＝4x ＋sin2x 在点(0，0)处的切线方程为
A.y ＝2x
B.y ＝3x
C.y ＝5x
D.y ＝6x
6.设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如左下图所示，则导函数y ＝f'(x)的图象为
7.已知圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝m ，则“m>12
”是“函数y ＝|x|的图象与圆C 有四个公共点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x 2－1，且f(1)＝1，则f'(1)＋g'(1)＝
A.1
B.2
C.3
D.4
9.函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 2－4在[1，3]上不存在零点的一个充分不必要条件是
A.a ∈(1，4)∪(5，＋∞)
B.a ∈(－∞，－1)∪(1，3)
C.a ∈(1，3)∪(4，＋∞)
D.a ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)
10.已知函数f(x)＝(x －3)e x －
13
x 3＋x 2＋a ，若f(x)>0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 A.(e 2－43，＋∞) B.(0，＋∞) C.(2e －23，＋∞) D.(3，＋∞) 11.已知函数f(x)＝x 2－2x ，若a ＝log 827，b ＝log 511，c ＝－log 0.258，则
A.f(b)<f(c)<f(a)
B.f(b)<f(a)<f(c)
C.f(c)<f(a)<f(b)
D.f(c)<f(b)<f(a)
12.已知函数f(x)＝e x －ax 2＋2ax 有两个极值点，则a 的取值范围是
A.(e ，＋∞)
B.(2
e ，＋∞) C.(e 2，＋∞) D.(2
2e ，＋∞) 第II 卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡中的横线上。
13.定积分0
22xdx -⎰＝ 。
14.已知函数f(x)的周期为5，当0<x<5时，f(x)＝x ＋log 4x ，则f(54)＝ 。
15.不等式0.1x －ln(x －1)>0.01的解集为 。
16.关于函数f(x)＝x 3－5x 有如下四个命题：
①f(x)的图象关于原点对称； ②f(x)在)上单调递增；
③函数y ＝|f(x)|共有6个极值点； ④方程|f(x)|＝6个实根。
其中所有真命题的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知函数f(x)＝lg(x 2－1)，g(x)＝f(x)－lg(x －1)。
(1)求f(x)的定义域与值域；
(2)设命题p ：g(x)的值域为(1g2，＋∞)，命题q ：g(x)的图象经过坐标原点。
判断p ∧q ，p ∨q 的真假，并说明你的理由。
18.(12分)
设集合A ＝{a|a ＝x ，x ，y ∈N}。
(1)证明：若m ∈A ，则m 2∈A 。
(2)已知集合B ＝{x|2<x<t}，若A ∩B 的子集共有8个，求t 的取值范围。
19.(12分)
已知函数f(2x)＝2x －4x ＋4，函数f(x)只有两个零点，设这两个零点为x 1，x 2(x 1<x 2)。
(1)证明：x 1∈(－4，－3)，x 2∈(2，3)。
(2)证明：－7<1222x x -<－5。
20.(12分)
已知函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，当x ≤2时，f(x)＝－x 2＋kx ＋2。
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[2，4]上的最大值。
21.(12分)
已知函数f(x)＝x(1－cosx)。
(1)求曲线y ＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；
(2)确定f(x)在(－
32π，32
π)上极值点的个数，并说明理由。
22.(12分)
已知函数f(x)＝a(xe x －1－4)－blnx ＋3x 。
(1)当a ＝0时，讨论f(－x)的单调性；
(2)若a ＝1，且f(x)≥0，求b 的值。