实验单缝衍射的光强分布和细丝直径测

实验41 单缝衍射的光强分布和细丝直径测量光具有波动性，衍射是光波动性的一种表现。

光的衍射现象是在17世纪由格里马第发现的。

19世纪初，菲涅耳和夫琅和费分别研究了一系列有关光衍射的重要实验，为光的波动理论奠定了基础。

菲涅耳提出了次波相干迭加的观点，用统一的原理（惠更斯一菲涅耳原理）分析解释光的衍射现象；利用单缝衍射原理可以对细丝直径进行非接触的精确测量。

［学习重点］1．通过对夫琅和费单缝衍射的相对光强分布曲线的绘制，加深对光的波动理论和惠更斯——菲涅耳原理的理解。

2．掌握使用硅光电池测量相对光强分布的方法。

3．掌握利用衍射原理对细丝进行非接触测量的方法。

［实验原理］1． 单缝衍射粗略地讲，当波遇到障碍物时，它将偏离直线传播，这种现象叫做波的衍射。

衍射系统由光源、衍射屏和接收屏幕组成。

通常按它们相互间距离的大小，将衍射分为两类：一类是光源和接收屏幕（或两者之一）距离衍射屏有限远，这类衍射叫做菲涅耳衍射；另一类是光源和接收屏幕都距衍射屏无穷远，这类衍射叫做夫琅和费衍射。

本实验研究单缝夫琅和费衍射的情形。

如图41-1（a ），将单色线 光源S 置于透镜L 1的前焦面 上，则由S 发出的光通过L 1 后形成平行光束垂直照射到 单缝AB 上。

根据惠更斯一菲 涅耳原理，单缝上每一点都可 以看成是向各个方向发射球面 子波的新波源，子波在透镜L 2 的后焦面（接收屏）上叠加形 成一组平行于单缝的明暗相间的条纹。

如图41-1（b ）所示。

和单缝平面垂直的衍射光束会聚于屏上的P 0处，是中央亮纹的中心，其光强为I 0；与光 轴SP 0成θ 角的衍射光束会聚于P θ 处，θ 为衍射角，由惠更斯一菲涅耳原理可得其光强分布为（41-1） 其中，b 为单缝的宽度，λ为入射单色光波长。

由41-1式可以得到：1．当θ = 0时，u = 0 ，P θ 处的光强度 I θ =I 0 是衍射图像中光强的最大值，叫主最大。

主最大的强度不仅决定于光源的强度，还和缝宽b 的平方成正比；图41-1（a ）单缝衍射（b ）衍射图样λθπsin ,sin 22b u u u I I ==θ2．当sin θ =k λ /b （ k = ± 1，± 2，± 3 …..）时，u = k π ，则有I θ = 0，即出现暗条纹的位置。

由于θ 值实际上很小，因此暗条纹出现在θ ≈ k λ /b 处。

由此可见，主最大两侧暗纹之间夹角为∆θ =2λ / b ，而其它相邻暗纹之间夹角为∆θ =λ / b ，即暗条纹以P 0为中心，等间距地、左右对称地分布。

当入射光波长一定时θ 与b 成反比，缝宽变大，衍射角变小，各级条纹向中央收缩。

当b 足够大时（b ≫λ），衍射现象不明显。

3．除了主最大以外，两相邻暗纹之间都有一个次最大。

由数学计算得出，这些次最大的位置出现在 u = ±1.43 π , ±2.46 π , ±3.47 π ,…..处。

这些次最大的相对光强度依次为：（41-2） 以上是夫琅和费单缝衍射的主要结果，其光强分布曲线如图41-2所示。

2． 细丝直径测量一般的细丝直径常用电感测微仪或千分尺进行接触法测量，这种方法受测量力的影响很大，即使在测量力较小的情况下，其相对测量误差也是较大的，而且容易引起细丝的弯曲变形。

此外，如测力过小，也由于测量不稳定而无法保证测量精度。

夫琅和费衍射原理，为测量细丝直径提供了新的测量原理和方法。

由前面可知，夫琅和费衍射要求光源和衍射场位于无穷远处，但实际上只要这些距离足够大便可认为符合夫琅和费衍射的条件了，为此，如图41-3所示，设被测细丝为φd ，相当于狭缝b ，由于我们采用激光作为光源，因此其发散角很小，可认为是平行光，所以可免除,008.0,017.0,047.00=I Iθ图41-2图41-3lφdSS kθ平行激光束待测细丝图41-2-2.46π -2π -1.43π -π 0 π 1.43π 2π 2.46πI/I 0透镜L 1；并将衍射屏幕放置在离细丝较远处（譬如l ≥ 500mm ），这样又可免除透镜L 2。

于衍射场P 处仍然可获得一组明暗相间的衍射条纹，只要测得衍射条纹距屏幕中心的距离S k ，便可求得细丝直径φd 。

由于l ≫b （即φd ），此时θ 角很小，故可取： sin θ = tan θ =S k / l 由于衍射暗条纹的条件是：sin θ ＝ k λ/ b 故 sin θ ＝S k / l = k λ/ b 于是可得（41-3）或者由于S k ＝k ·S ，可得 （41-4）式中：λ—激光波长；S —条纹间距；k —衍射条纹级次。

式（41-3），（41-4）为用激光单缝衍射法测量细丝的基本公式，由公式可知：为了测量细丝直径d ，可以直接从屏幕上由测出S k 或S 来实现。

3．测量不确定度对式（41-3）进行微分，可得：（41-5）式（41-5）中的β 值，相当于此种方法的放大比。

由式可知：当d 一定时，β 主要与l 成正比。

如d ＝0.lmm ，k ＝4，l =500mm 时；β＝127；而在同样条件下l 增至1000mm 时，β＝253。

但另一方面β值又与d 2成反比，因而当d 增大时，其β值迅速下降。

例如在上述情况下，当d=0.5 mm 时，β＝10。

这说明这种测量方法，当被测细丝直径愈小时，其灵敏度也越高。

因此是测量细丝的好方法。

根据误差与不确定度传递公式，这种方法的测量不确定度为： (41-6)式中：∆d ——细丝直径的测量不确定度； ∆λ——波长λ的检定不确定度； ∆ l ——屏物间距的测量不确定度；∆S k 一k 个衍射条纹总间距的测量不确定度。

由上式可见：∆λ，∆l ，∆S k 三项不确定度对∆d 都有影响。

一般，∆λ由于其检定精度较高，故∆λ可忽略。

因此主要的是∆l 和∆S k 的影响。

对于误差∆ l 项，当l ＝1000mm 时，∆l 很容易保证小于0.1％。

而对误差∆S k ,如用一般的测量装置（刻度值为0.01～0.02mm ）来测量，也可保证其相对误差小于0.1％。

但是除了∆l 和∆S k 外，还有相应系数的影响应予以注意，如∆S k 项中系数的影响要比∆l 项要大，尤其当l 较大时，其影响更大，此时应适当地控制∆S k 的影d S lk b k=⋅⋅=λdSlb =⋅=λd d d l k S k ∆⋅-=∆⋅⋅-=∆βλ22222222)()()(k k k k S S l k l S k S kl d ∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∆λλλ响。

此法的相对测量不确定度约为10-4左右。

常用于加工过程中细丝直径（例如细漆包线）的动态测量。

其基本原理是在衍射屏的位置上加一光电接收装置，先用一标准直径的细丝来确定某一指定级次衍射条纹的中心位置作为零点，然后由实际细丝相同级次衍射条纹位置对该零点的偏离量，即可由仪表指示出被测细丝直径相对于标准细丝的偏差值。

[实验仪器]氦—氖激光器、光具座、硅光电池、光点检流计、读数显微镜、钢圈尺、待测细丝、可调夹缝、电阻箱等。

[实验内容及步骤]1．实验仪器布置如图41-4所示，与图41-1对比，尽管我们将夹缝前后两个透镜L 1、L 2省略了，但由于氦-氖激光器的发散角很小（1毫弧度左右=0.0573º），并且衍射屏幕离夹缝的距离Z 又很远（Z 约2米），即Z ≫b ，所以我们仍可把没有透镜的单缝衍射作为夫琅和费衍射来处理。

2．按图41-4右方所示电路连接好测量线路。

由于在夫琅和费单缝和双缝衍射光强分布中主最大与次主最大之间相差几十倍，测量时光点检流计势必要换挡。

检流计虽然是多量程的，但使用时量程扩大的倍数不一定符合使用要求。

同时量程改变（换挡）后检流计内阻一般也会随之改变，这样很难保证扩大（或衰减）倍数成线性关系。

因此，实际测量时一般不换挡，即使用检流计的同一挡进行测量。

为了达到既能扩大量程又能保证扩大（或衰减）成线性关系的目的，采用图41-4所示的线路即可解决。

当双刀双掷电键倒向位置 I 时，检流计G 直接接入电路进行测量，检流计的内阻为R g ，当双刀双掷电键倒向II 时，检流计G 并联了一个分流电阻R 2。

但为了保证整个线路的电阻不变，同时还串联了一个电阻R 1。

这样，就只有一部分电流进入检流计。

R 1、R 2的阻值需这样选择，即：图41-41． 氦-氖激光器 2. 单缝 3. 硅光电池夹缝罩 4. 硅光电池 5. 光点检流计 6. 双刀双掷电键gg R n nR R n R 1)1(21-=-=1y 2xz34G6 5 IIIR 2R 1 b由于整个线路的总电阻不变（仍为R g ），因此保持了测量电表的灵敏度不变，而流经检流计的电流衰减为被测电流的1/n ，即量程扩大了n 倍。

在本实验中，一般扩大10倍量程，即取n ＝10。

事先按此要求选择R 1、R 2的阻值，并连接好线路。

3． 测量单缝衍射的相对光强分布：（1）调节单缝的宽度，使在屏上呈现出清晰的衍射图像，并使中心主最大亮条纹的宽度约为1-2厘米。

（2）用安装在读数显微镜底座（或测微目镜的支架）上的带有进光狭缝（或进光小园孔）的硅光电池（或其它光电元件）代替屏幕接收衍时光。

旋转读数显微镜的丝杆，使硅光电池的进光狭缝从衍射图像左边（或右边）的第二个最小的位置到右边（或左边）的第二个最小位置，进行逐点扫描。

每隔1毫米记录一次检流计偏转的格数。

以偏转格数来表示衍射光的强度。

4．将单缝换成待测金属细丝，调节细丝位置，使在衍射屏上呈现出清晰的衍射图像。

5．用细笔在进光狭缝罩上画一测量竖直基准线，利用读数显微镜测量S k ，用钢圈尺测量l ，根据（41-3）或（41-4）式计算待测细丝直径，由（41-6）计算其测量不确定度。

[注意事项]：1．单缝衍射光强分部实验测量两边次最大时，双刀双掷电键倒向I ，直接连接检流计，使用其最灵敏挡：测量中心主最大时，双刀双掷电键倒向II ，使光电流衰减n 倍进行测量。

2．在整个测量过程中，要求氦—氖激光器输出的功率有较高的稳定性，为此，实验中应选择质量比较好，性能比较稳定的激光管。

同时，一般应在激光器点燃30分钟后再进行测量。

3．如果周围杂散光太强使光电池产生本底电流时，则应先测出本底电流以便对测量数据作修正。

4．用激光单缝衍射法测量细丝直径时，不要使l 太大以防止测量不确定度增大。

[数据记录与处理] 实验数据表格自拟。

[思考题]1．什么叫夫琅和费衍射，用氦—氖激光作光源的实验装置是否满足夫琅和费衍射的条件？为什么？2．使用光电池时应注意什么问题？3．如果激光器输出的光强变化，对于单缝衍射图像和相对光强分布曲线有何影响？ 4．如果单缝到接收屏的距离改变，衍射图像和相对光强分布曲线有何变化？ 5．当缝宽增加一倍时，衍射图像将如和变化？6．如何利用衍射测量狭缝宽度？7．根据图41-4所示测量线路，试推导扩大量程n 倍时，R 1、R 2阻值选择公式：gg R n nR R n R 1)1(21-=-=。