6.1二次函数
6.1二次函数
四、 教学反思 本教案已用于实际教学，反思整节课，我有以下感受： 本节课设计、安排了五个版块， “说一说” “议一议” “做一做” “想一想” “练一练” 。 本节课重点是：通过活动上“说一说” “议一议”小兔活动场地，通过激发学生学习兴趣，营造 轻松欢快的学习氛围，让学生动手、动脑，在教师的引导下经历自主探索与小组合作学习找到 场地面积 y 与边长 x 之间的函数关系，通过“做一做” “想一想” “练一练”进一步让学生对所 学知识加以领会和渗透。 本节课教学，有几个方面需要改进：首先，教师应该及时发现学生思维的亮点，大加赞赏，调 动学生的积极性，营造良好的学习氛围。 其次，对涉及本章后面的知识应该做好铺垫，设置悬念，引起学生兴趣。 最后，在学生探索问题时对学生引导的技巧，在教学的随机应变，即教学机智方面还有待 于进一步提高。
全国中小学“教学中的互联网搜索” 全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选 教案设计
一、 教案背景 1．面向学生： □中学 √ 2，学科：数学 2．课时：1 课时 3．学生课前准备： （1）预习教材 1～3 页的内容。 （2）收集生活中能抽象出抛物线的实物模型或图像 二、 教学课题 教养方面： 教养方面 （1）在现实情境中进一步理解学习二次函数的意义 （2）能分析简单问题的函数关系，并用解析式表示 （3）能计算与自变量取值相对应的函数值 教育方面： 教育方面 （1） 结合具体问题情境体会二次函数的意义，体会数学建模思想在解决问题过程中的重要应 用 （2） 通过对实际问题中函数关系的探索与思考，体验函数思想方法，感知数学知识与现实世 界的密切联系 发展方面： 发展方面 培养学生的逻辑推理能力、分析问题能力、解决问题能力。 三、 教材分析 教学内容：苏教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级下册第六章二次函数第一节内 教学内容 容 重点： 对二次函数概念的理解 重点 难点： 建立二次函数模型，并确定自变量取值范围 难点 难点解决措施：从学生熟悉的实际问题养小兔场地的大小入手，让学生参与讨论，引发学 重、难点解决措施 生对问题的思考，并逐步及“石拱桥”的图片， 教学准的重点和难点，确定课堂教学） ，给学生 直观上的感受，引发学生学习的积极性和探索欲望。 四、教学方法：利用视频和图片将情境生动地演示出来，并通过画面激发学生解决该问题的 兴趣，从而调动他们的好奇心。其次引导学生从简单的问题入手，鼓励学生大胆猜测，然后验 证，通过不断地猜测、尝试最终找到答案。 (1)从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程 （2）从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程
6.1二次函数教案 苏科版九年级下
§6.1 二次函数---( 教案)备课时间: 主备人:教学目标:1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.教学重点:1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.教学难点: 经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.教学方法: 讨论探索法.课时： 2 课时教学过程:（一）复习引入回忆学过的函数类型－一次函数（正比例函数）、反比例函数、三角函数；函数定义－在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.本节课我们将开始教学初中阶段的最后一个函数二次函数.（二）新课1、由实际问题探索二次函数某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量y＝(100+x)(600—5x)＝-5x2+100x+60000．提出问题：判断上式中的y是否是x的函数？若是，与我们前面所学的函数相同吗？（根据函数的定义，y是x的函数，从形式上看不同于我们所学函数，猜测是二次函数）2、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多?我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况．你能根据表格中的数据作出猜3、做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。
也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)：22100(1)100200100y x x x =+=++.如果考虑利息税，那么22100(180%)64160100y x x x =+=++.4、二次函数的定义一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
下面就来对二次函数的知识点进行一个全面的总结。
一、二次函数的定义一般地，形如$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a$、＄b$、＄c$是常数，＄a ≠ 0$）的函数，叫做二次函数。
其中，＄x$是自变量，＄a$叫做二次项系数，＄b$叫做一次项系数，＄c$叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数$a$不能为$0$，否则就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
抛物线的顶点坐标为$＼left(＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}＼right)＄。
三、二次函数的表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$）2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（＄a ≠ 0$，顶点坐标为$（h, k)＄）3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄（＄a ≠ 0$，＄x_1$、＄x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标）四、二次函数的性质1、当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。
当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。
2、二次函数的最值：当$a ＞ 0$时，函数有最小值，＄y_{min} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
当$a ＜ 0$时，函数有最大值，＄y_{max} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
五、二次函数与一元二次方程的关系抛物线$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$与$x$轴的交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根。
苏科版 九年级数学(下)第六章 6.1 二次函数教案
二次函数是函数中的重点内容，而二次函数的概念是本章的基础，它阐述了二次函数的定义及意义，如何在量间建立函数关系。本课时是学生学了一次函数、反比例函数后，函数内容的进一步深入，也是今后在生产、生活中得以应用的知识理论基石.
3、学习者分析
学生已有一定的函数（一次函数、反比例函数）认识基础，但是对于从问题中抽象概括并建立变量之间的函数关系的能力要求较高，有部分学生在理解、掌握上会有一定的难度，会出现消极思想，甚至有惧怕的心理。因此，要好好利用已有的认知水平，使学生自己认识到或在不知不觉中感受对函数学习的亲和性和知识的重要性，排除畏难情绪，为后面的学习扫清障碍。
补充完善
小结出现的问题，自主回顾思考总结
课后知识性内容总结，把课堂内容转化为学生的素质，知识的掌握增强自信心
教
学
反
思
这堂课选择了复习学过的函数作为新课的导入，给学生有一种虽未认识二次函数，但知道函数这个概念，也知道函数具有的量（自变量、因变量），去除学生犯难的心理，在活动教学中，选择图像课件、实物展示活动（抛掷粉笔、跳远、炮弹从炮口射出等）使学生明确二次函数不同于前面所学的函数，也激发学生对二次函数的兴趣。学生的积极性高，学习活动就会很深入。在教与学的方法上，大胆地，把课堂交给了学生，使学生有自己解决问题的时间去思考，增大学生在课堂中的思维量，但不足的是，给极个别不善动脑的学生玩的空隙，应重视。
教师引导寻求各变量间的关系，建立等量关系即数学模型-----二次函数（含有未知数的等式叫方程）
教学难点
及
解决措施
教学难点：用数学的方法描述各变量间的等量关系
解决措施：学生自主明确问题中的相关量，教师引导用一个量表示其它的相关量，师生合作探索等量关系。
6.1二次函数(一)
6.1二次函数教学目标:1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。
2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
教学过程：一、情景创设：1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是 。
2．用16m 长的篱笆围成长方形的园养小兔，园的面积y (㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是 。
二、探索活动：上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？ 。
一般地，我们称 表示的函数为二次函数。
其中 是自变量， 函数。
一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 ，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？三、例题教学：例1．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k kx k y 为二次函数？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．⑴正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系；⑵圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；⑷菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．四、巩固拓展;1． 已知函数72)3(--=mx m y 是二次函数，求m 的值．2． 已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．3． 一个长方形的长是宽的1.6倍，写出这个长方形的面积S 与宽x 之间函数关系式。
4． 一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S 与底面半径r 之间的函数关系式______________________________5． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．6． 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ． ⑴求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关系式；⑵求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m 2）五、作业：P8 3、4、5（第4题）六、课外作业:1．已知二次函数y=a x2+bx+c（其中a、b、c为常数），当a_____时，是二次函数；•当a_______，b_______时，是一次函数；当a______，b_____，c______时，是正比例函数．2．已知函数y=（m+2）x2m m 是关于x的二次函数，则满足条件的m值为______．3．从边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为xcm的小正方形铁片，则剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）间的函数关系为______．4．化工厂在一月份生产某种产品200t，三月份生产yt，则y与月平均增长率x的关系是______________________________________．5．把函数y=（2－3x）（6－x）化成y=ax2+bx+c（a≠0）的形式__________________．6．根据如图1所示的程序计算函数值:（1）当输入的x的值为23时，输出的结果为________．（2）当输入的数为______时，输出的值为－4．(1) (2)7．下列函数关系式中，关于x的二次函数的个数有（）（1）2+2x+5；（2）y=－5+8x－x2；（3）y=（3x+2）（4x－3）－12x2；（4）y=ax2+bx+c；（5）y=mx2+x；（6）y=bx2+1（b≠0）;（7）y=x2+kx+20 A．3 B．4 C．5 D．68．下列结论正确的是（）A．二次函数的取值范围是非零实数; B．二次函数自变量的取值范围是所有实数;C．形如y=ax2+bx+c的函数叫做二次函数; D．二次方程是二次函数的特例9．满足函数y=x2－4x－4的一个点是（）A．（4，4） B．（3，－1） C．（－2，－8） D．（－32，174）10．如图2所示，直角三角形ABO中，AB⊥OB，用AB=OB=3，设直线x=t，截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（）A ．S=tB ．S=12t 2 C ．S=t 2 D ．S=12t 2－1 11．若y=（m －3）232mm x -+是二次函数，求m 的值．12．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，•现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件，如果他每天所赚利润为y 元，试求出y 与售出价x 之间的函数关系式．13．某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （小时）的函数：M=t 2－5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为_____℃．14．现有A ，B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，•5，6），用小莉掷A 立方体朝上的数字为x ，小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （•x ，y ），那么他们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y=－x 2+4x 上的概率为（ ）A ．118B ．112C ．19D ．1616．如图所示，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD ，它的上底AD=•15cm ，•下底BC=40cm ，垂直于底的腰CD=30cm ，现要截成一块矩形铁皮MPCN ，使它的顶点M ，P ，N 分别在AB ，BC ，CD 边上，求矩形MPCN 的面积S 关于MN 的长x 的函数关系式．17．某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （台）之间的关系如下表：（1）若日销售量y 是销售价x 的一次函数，求这个一次函数？（2）当每件产品的销售价定为145元时，日销售利润为多少？。
2024年华师大版初中八年级数学上册全套教案
2024年华师大版初中八年级数学上册全套教案一、教学内容1. 第五章：一元二次方程5.1 一元二次方程及其解法5.2 一元二次方程的判别式5.3 一元二次方程的根与系数的关系2. 第六章：二次函数6.1 二次函数及其图像6.2 二次函数的性质6.3 二次函数的应用二、教学目标1. 理解一元二次方程的概念，掌握解一元二次方程的几种常用方法。
2. 了解一元二次方程的判别式，掌握根与系数的关系。
3. 掌握二次函数的定义、图像、性质，并能解决实际问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：一元二次方程的解法、二次函数图像的性质。
2. 教学重点：一元二次方程的判别式、根与系数的关系、二次函数的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入，如“一块长方形的地，面积为100平方米，长比宽多5米，求长和宽”。
2. 知识讲解：（1）一元二次方程的概念、解法。
（2）一元二次方程的判别式、根与系数的关系。
（3）二次函数的定义、图像、性质。
3. 例题讲解：（1）解一元二次方程：x^2 5x + 6 = 0。
（2）求一元二次方程2x^2 4x 6 = 0的判别式和根与系数的关系。
（3）二次函数y = x^2 2x 3的图像和性质。
4. 随堂练习：（1）解一元二次方程：x^2 3x 4 = 0。
（2）求一元二次方程x^2 2x + 1 = 0的判别式和根与系数的关系。
（3）分析二次函数y = x^2 + 2x + 1的图像和性质。
六、板书设计1. 一元二次方程及其解法。
2. 一元二次方程的判别式、根与系数的关系。
3. 二次函数的定义、图像、性质。
七、作业设计1. 作业题目：（1）解一元二次方程：x^2 + 5x + 6 = 0。
（2）求一元二次方程3x^2 6x + 2 = 0的判别式和根与系数的关系。
（3）分析二次函数y = x^2 + 4x 5的图像和性质。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容之一，也是中考数学的重点和难点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理、经济等其他学科中也经常出现。
下面我们来详细总结一下二次函数的相关知识点。
一、二次函数的定义一般地，形如\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a ≠ 0\））的函数，叫做二次函数。
其中\（x\）是自变量，＼（a\）叫做二次项系数，＼（b\）叫做一次项系数，＼（c\）叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的最高次必须是二次，并且二次项系数\（a\）不能为\（0\）。
如果\（a ＝ 0\），那么函数就变成了一次函数。
二、二次函数的图象二次函数的图象是一条抛物线。
抛物线的形状由二次项系数\（a\）决定：1、当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。
2、＼（｜a|＼）越大，抛物线的开口越窄；＼（｜a|＼）越小，抛物线的开口越宽。
抛物线是轴对称图形，对称轴为直线\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）。
二次函数的顶点式为\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\），其中\（（h, k)＼）是抛物线的顶点坐标。
当抛物线的顶点坐标已知时，通常使用顶点式来表示二次函数，这样可以更方便地求出函数的最值等性质。
四、二次函数的一般式与顶点式的转化由一般式\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）通过配方法可以转化为顶点式：＼＼begin{align}y&＝ax^2 ＋ bx ＋ c\＼＆＝a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x) ＋ c\＼＆＝a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼frac{b^2}｛4a^2} ＼frac{b^2}｛4a^2}）＋ c\＼＆＝a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{b^2}｛4a} ＋ c\＼＆＝a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＋＼frac{4ac b^2}｛4a}＼end{align}＼所以顶点坐标为\（（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＼）。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。
4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。
零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。
5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。
通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。
2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。
4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。
三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。
《二次函数》课件
二次函数可以用来构建经济模型，分析不同变量之间的关系。
二次函数的应用举例
跳水比赛
二次函数可以描述跳水运动员 的下落轨迹。
抛物面天线
抛物面天线的形状可以用二次 函数来描述。
拱桥
拱桥的形状可以用二次函数来 描述。
结论和要点
二次函数的定义
二次函数是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常 数且a≠0。
求解二次方程
可以使用公式法、配方法或图像法来求解二 次方程。
图像和性质
二次函数的图像为抛物线，其顶点、对称轴、 最值和零点与a、b、c的关系密切。
实际应用
二次函数在物理、经济、工程等领域有广泛 的应用。
2
配方法
通过配方使二次方程转化为平方完成形式，然后求解。
3
图像法
通过观察图像的顶点、对称轴和与x轴的交点来求解二次方程。
利用二次函数解决实际问题
1 运动物体的轨迹
二次函数可以描述运动物体的竖直方向的轨迹，例如抛物线的形状可以用来描述抛出的 物体的轨迹。
2 广告营销
二次函数可以用来分析广告效果随时间的变化趋势，从而优化广告营销策略。
《二次函数》课件
欢迎来到《二次函数》课件！本课件将带你深入了解二次函数的定义、图像 及性质、通项公式、求解二次方程的方法、实际问题的解决方式、应用举例 等。
二次函数的定义
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，并且a不等于0。
二次函数的图像及性质
抛物线形状
顶点和对称轴
二次函数的图像是一条抛物线， 其口方向由a的正负确定。
抛物线的顶点是图像的最低点 或最高点，对称轴是过顶点和 抛物线开口方向相反的直线。
《二次函数》知识点解读
《二次函数》知识点解读二次函数是高中数学中一个重要的知识点，它是一种常见的函数类型，形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不能为0。
接下来，让我们来深入解读二次函数的相关知识点。
一、二次函数的基本形式与性质1. 基本形式：二次函数的基本形式为y=ax^2+bx+c，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
2.对称轴：对称轴是二次函数图像的一个重要性质，其方程为x=-b/(2a)，对称轴将图像分为对称的两部分。
3. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，即满足二次函数方程ax^2+bx+c=0的x值。
4. 判别式：二次函数的判别式为Δ=b^2-4ac，它决定了二次函数的零点个数和性质。
当Δ>0时，函数有两个不同的实根；当Δ=0时，函数有两个相等的实根；当Δ<0时，函数没有实根。
二、二次函数的图像特征1.开口方向：二次函数的开口方向由a的正负确定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
2.顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高或最低点，坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。
3.最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
4.对称性：二次函数具有对称性，即关于对称轴对称。
三、二次函数的变形1.平移变形：二次函数的图像可以通过平移来进行变形，平移的形式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为平移的距离和方向。
2.缩放变形：二次函数的图像可以通过缩放来进行变形，缩放的形式为y=a(x-h)^2+k，其中a为缩放的比例因子。
四、二次函数的应用1.物理学中的应用：二次函数常用于描述抛物线运动，如自由落体运动、抛体运动等。
2.经济学中的应用：二次函数常用于描述成本、收益、利润等与产量之间的关系。
3.工程学中的应用：二次函数常用于描述波形、曲线形状等。
苏教版九年级下册6.1二次函数课件
y ax
2
bx c a 0
2、用尝试求值的方法探索函数 的最大值
作业：Ｐ８、习题6.1 3、4、5 家作：补充习题第一页
6.1
二次函数（1）
问题1、用16米长的篱笆围成 长方形的生物园饲养小兔,怎 样围可使小兔的活动范围较大?
设长方形的长为x 米，则宽 为（8-x）米，如果将面积记 为y平方米，那么变量y与x之 间的函数关系式为：
y x 8x
2
问题2、要给边长为x米的正方形 房间铺设地板，已知某种地板的 价格为每平方米240元，踢脚线的 价格为每米30元，如果其他费用 为1000元，门宽0.8米，那么总费 用y为多少元？
1 3x 2x 1
2
(6) y＝ x 2 5 x 6 (8)y＝ax2＋bx＋c
ห้องสมุดไป่ตู้
(7)y＝ x4＋2x2－1
例2、当m为何值时，函数 m2－2＋4x－5是 y＝(m－2)x
x的二次函数
m2＋m－4＋ 练习：y＝(m＋3)x
(m＋2)x＋3， 当m为何值时，y是x的二 次函数？
小结：
定义： 形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0， a.b.c为常数)的函数叫二次 函数.
例1、判断：下列函数是否为二次函数， 如果是，指出其中常数a.b.c的值. (1) y＝1— 3 x 2 (2)y＝x(x－5) 3 1 2－ (3)y＝ x x＋1
2
2
(4) y＝3x(2－x)＋ 3x2
2
(5)y＝
(3)如果果园橙子的总产量为y个， 那么请你写出y与x之间的关系 式． 果园共有(100+x)棵树，平均每 棵树结(600-5x)个橙子，因此果 园橙子的总产量 y=(100+x)(600—5x)
二次函数知识点总结(详细)
2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。
（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。
2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
二次函数及其图像教案
二次函数及其图像教案教学目标：1. 理解二次函数的概念和一般形式；2. 学会求解二次方程；3. 能够绘制二次函数的图像并理解其性质；4. 能够应用二次函数解决实际问题。
教学内容：第一章：二次函数的概念1.1 引入二次函数的概念1.2 二次函数的一般形式1.3 二次函数的图像特点第二章：求解二次方程2.1 引入二次方程的概念2.2 求解二次方程的公式2.3 求解二次方程的步骤第三章：绘制二次函数的图像3.1 绘制二次函数图像的方法3.2 二次函数图像的性质3.3 特殊情况下二次函数图像的特点第四章：二次函数的顶点4.1 顶点的概念4.2 顶点的求解方法4.3 顶点对二次函数图像的影响第五章：二次函数的单调性5.1 单调性的概念5.2 判断二次函数单调性的方法5.3 单调性对二次函数图像的影响教学方法：1. 采用讲授法，讲解二次函数的概念、一般形式、图像特点等内容；2. 采用案例分析法，通过具体例子讲解求解二次方程的步骤和方法；3. 采用实践操作法，引导学生动手绘制二次函数的图像，观察其性质；4. 采用小组讨论法，让学生分组讨论二次函数的顶点和单调性，并进行交流分享。
教学评价：1. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对二次函数概念的理解程度；2. 练习题：布置相关的练习题，检查学生对二次方程求解方法的掌握情况；3. 图像绘制：让学生独立绘制二次函数的图像，并分析其性质，检查学生对图像特点的理解程度；4. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，检查学生对二次函数顶点和单调性的理解程度。
教学资源：1. 教学PPT：展示二次函数的概念、一般形式、图像特点等内容；2. 练习题：提供相关的练习题供学生练习；3. 图像绘制工具：如几何画板等，用于学生绘制二次函数的图像；4. 小组讨论材料：提供相关材料供学生在小组讨论中参考。
教学步骤：第一章：1.1 引入二次函数的概念：通过举例说明二次函数的定义；1.2 二次函数的一般形式：介绍一般形式的表达式；1.3 二次函数的图像特点：分析二次函数图像的开口方向、顶点位置等特点。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学以及其他科学领域中有着广泛的应用。
下面是针对二次函数的相关知识点的归纳，希望能够对您理解和掌握二次函数有所帮助。
一、基本概念1. 二次函数的定义: 二次函数是形如f(x) = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。
2. 二次函数的图像: 二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的符号确定。
- 若a>0，则抛物线开口向上；- 若a<0，则抛物线开口向下。
二、图像的性质1. 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
2. 最值点：二次函数的最值点即为图像的顶点，其横坐标为-x/2a，纵坐标为f(-x/2a)。
- 当a>0时，函数的最小值为f(-x/2a)；- 当a<0时，函数的最大值为f(-x/2a)。
3. 零点：二次函数的零点即为使函数取值为零的x值，可通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。
三、函数的变换1. 平移：二次函数可以通过改变h和k的值来进行平移操作。
- f(x)的图像向左平移|k|个单位，新函数为f(x+h)；- f(x)的图像向右平移|k|个单位，新函数为f(x-h)；- f(x)的图像向上平移|k|个单位，新函数为f(x)+k；- f(x)的图像向下平移|k|个单位，新函数为f(x)-k。
2. 压缩和拉伸：二次函数可通过改变a的值来改变图像的形状。
- 若|a|>1，则函数图像纵向压缩；- 若0<|a|<1，则函数图像纵向拉伸。
四、函数的性质1. 定义域：对于二次函数，其定义域为实数集R，即所有实数x都在定义域内。
2. 奇偶性：二次函数一般是偶函数，除非存在线性项b，则二次函数为奇函数。
3. 单调性：当a>0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递增的；当a<0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递减的。
4. 零点和交点: 二次函数与x轴的交点即为零点，与y轴的交点为常数项c，与抛物线的交点为实数解。
6.1二次函数
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. 1 __ (1) y=3(x-1)² +1 (2) y=x+ x (3) s=3-2t² (4) y=(x+3)² -x² 1 __ (5)y= -x (6) v=10π r² x²
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的
2、定义：一般地，形如 y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。
2
m2 m
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的为( C )
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
)
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
2
(7)y＝ x4＋2x2－1
(8)y＝ax2＋bx＋c
2 +k k 例2．当k为何值时，函数y=(k-1)x 为二次函数？
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
a是二次项系数 b是一次项系数 C是常数项
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中重要的一章知识点，它是一种以二次方程为模型的函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的定义、性质、图像以及与实际问题的应用等方面的知识。
本文将对二次函数的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握二次函数。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向（正负号决定开口的方向），b决定了二次函数的对称轴，c则表示二次函数的纵坐标的平移。
二、二次函数的图像二次函数的图像通常是抛物线形状的。
开口向上的抛物线表示a>0，则最低点为顶点；开口向下的抛物线表示a<0，则最高点为顶点。
顶点的坐标可通过求解二次函数的顶点公式得到：x=-b/2a，y=f(-b/2a)。
对于一般式的二次函数，纵坐标平移c对于顶点的影响为纵坐标上下平移。
三、二次函数的性质1. 定义域和值域：定义域是函数可以取到的所有实数，对于二次函数来说，定义域是整个实数集；而值域则取决于a的正负号，开口向上的二次函数值域的下界为顶点的纵坐标，开口向下的二次函数值域的上界为顶点的纵坐标。
2. 对称性：二次函数关于对称轴对称，其中对称轴的方程为x=-b/2a。
对称性使得我们可以通过研究对称轴两侧的取值来推导出整个函数的形态。
3. 零点与判别式：一般二次函数的零点是指使得f(x)=0的x值，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0的根公式求得。
判别式可以通过b²-4ac的计算获得，判别式的正负可以判断二次函数的零点个数与开口方向。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增，而当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。
5. 极值点：二次函数的最小值或最大值即为极值点，对于开口向上的二次函数，极小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，极大值为顶点的纵坐标。
苏科版九年级数学第六章《二次函数》全章导学案
《6.1 二次函数》导学案学习目标：1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
一、知识准备：1.设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中 的图像是直线， 的图像是双曲线。
我们得到它们图像的方法和步骤是：① ；② ；③ 。
3. 形如___________y =，（ ）的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数，图像是经过 的直线；形如k y x=，（ ）的函数是 函数，它的表达式还可以写成：① 、② 二、提出问题（展示交流）：1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是 。
2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是 。
三、归纳提高（讨论归纳）：观察上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？ 。
一般地，形如 ，（ ，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量， 函数。
四、例题精讲（小组讨论交流）： 例1 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．点拨：从二次函数的定义出发:看二次项的系数和次数确定m 的取值例2．下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．⑴圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系五、课堂训练1．下列函数中，二次函数是（ ） A ．y=6x 2＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26x ＋12．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数3．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ） AS=2π（x ＋3）2B.S=9π＋xC.S=4πx 2＋12x ＋9 D S=4πx 2＋12πx ＋9π4.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )A.圆的周长与圆的半径之间的关系;B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.5.已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系_________．6.若一个边长为x cm 的无盖．．正方体形纸盒的表面积为y cm 2，则___________y =，其中x 的取值范围是 。
《二次函数》知识点解读
《二次函数》知识点解读二次函数是数学中的一种重要函数类型，它在图形学、物理学、经济学等多个学科中广泛应用。
本文将从定义、性质、图像、最值、应用等几个方面对二次函数进行解读。
一、定义二次函数是一种形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
函数中的x的最高次数为2，因此称为"二次"函数。
a决定了函数的开口方向和形状，b决定了函数在x轴上的平移，c决定了函数图像在y轴上的平移。
二、性质1.对称性：二次函数的图像关于与顶点的纵轴对称。
2.单调性：当a>0时，二次函数向上开口，凹上凸下；当a<0时，二次函数向下开口，凹下凸上。
3. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即满足ax^2 + bx+ c = 0的解。
4.最值：当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
三、图像二次函数的图像通常为开口向上或向下的抛物线。
根据函数的a值的正负关系，可以得到不同形状的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点在最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点在最高点。
函数的b值影响了抛物线在x轴方向上的平移，c值影响了抛物线在y轴方向上的平移。
四、最值对于二次函数y = ax^2 + bx + c，根据函数的开口方向和抛物线的顶点位置，可以知道函数的极值。
当a > 0时，函数是最小值，即抛物线的顶点是函数的最低点；当a < 0时，函数是最大值，即抛物线的顶点是函数的最高点。
五、应用1.物理学中，二次函数可以用于描述自由落体运动、抛体运动等。
2.经济学中，二次函数可以用于描述成本、利润等与产量的关系。
3.图形学中，二次函数可以用于生成平滑的曲线和曲面。
六、解题技巧1.求二次函数的顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/2a和y=c-b^2/4a来求得。
2. 求二次函数的零点：二次函数的零点可以通过求解ax^2 + bx +c = 0的解来得到，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法进行求解。
6.1 二次函数导学案
6.1 二次函数学习目标：1、掌握二次函数的定义2、能根据实际问题列出二次函数关系式。
学习过程：一、情境创设1、用16m 长的篱笆围成长方形的生物圈饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 设长方形的长为x m ，则宽为________，设面积为y m 2，则y 与x 之间的函数关系式为______________。
2、要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？3、设圆的半径为r ，面积为S ，则S 与r 之间的函数关系式为__________。
二、概念1、观察刚才得出的关系式，它们有哪些共同点？2、一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的函数，称为二次函数，其中x 为自变量，y 是x 的函数。
3、下列函数中是二次函数的是（ ）A 、2213y x =-B 、221y x x =+C 、22(1)y x x =+-D、y 4、已知函数22(2)ky k x -=+是关于x 的二次函数，求k 的值。
三、典型例题： 例、如图，某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用一堵旧墙, 其余各面用木棍围成栅栏，该校计划用木棍围出总长为24m 的栅栏。
设每间羊圈的一边长为x m. ⑴请你用含x 的关系式来表示围成三间羊圈所利用的旧墙的总长度L 以及三间羊圈的总面积S 。
⑵请计算，当x 分别为2m 、3m 、4m 和5m 时，羊圈的总面积分别是多少？四、随堂练习：1、写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体的棱长a （cm ）之间的函数关系式。
2、已知圆柱的高14cm ，写出圆柱的体积V （cm 3）与底面半径r （cm ）之间的函数关系式。
3、如图，学校准备将一块长20m 、宽14m 的矩形绿地扩建。
如果长、宽都增加xm ，写出扩建面积S （m 2）与x （m ）之间的函数关系式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
做一做
例3、 已知二次函数y=ax2＋bx，x=1时，y=2； x= -1时y=1． 求a、b的值，并写出函数关系式.
巩固练习
1、已知函数y=(m-3)xm -7是二次函数，求m的值 2、已知二次函数y=ax2，当x=3时，y=-5,当x=-5时，求y的值 3一个长方形的长是宽的1.6倍，写出它的表面积s与宽x之间的函数关系式 4、用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形面积y与半径r之
6.1二次函数
--------- 姑苏区于老师
情境创设
情境一
：一粒石子投入水中，激起的波纹 不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r 之间的函数关系式是什么？
情境二：
用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小 兔,怎样围可使小兔的活动范围较大？
情境三
要给边长为x米的正方形房间铺设地板，已知
某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的 价格为每米30元，如果其他费用为100的定义：
一般地，我们称 y=ax2＋bx＋c （ a≠0 ） 表示的函数为二次函数。其中x是自变量，y 是 x的函数。 □自变量x的取值范围 一般地，二次函数 y=ax2＋bx＋c （a﹑b﹑c为常数 a≠0 ）中自变量x的取值 范围是一切实数，但是在实际问题中，自变 量x的取值范围是有限制
练一练
例1、下列函数中y 是x的二次函数吗?若是二次 函数，指出a、b、c的值． (1) y=1-3x2 (2)y=x(x—5) (3)x4+2x2-1
(4)y=3x(2-x)+3x2 (6)y=ax2+bx+c (5)y＝(x＋2)(2—x)
想一想、
例2、
当k为何值时, 2+1 k 函数 y=(k-1)x +1，
2
间的函数关系式。这个函数是二次函数吗？请写出半径的取值范围。
四、课堂小结
本节课学到了什么？
1.什么是二次函数； 2.如何根据实际问题确定二次函数中自变量 的取值范围