二次函数的定义
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(2)当x=3时
y 232 203 42m2 x
答：当x＝3时，矩形的面积为42m2。
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=4πr2
4. n支球队参加比赛,每两队之间进行
一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队
数 n 之间的关系式.
m 1 nn 1
2
问题:
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产
量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划 所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x)件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两
(2)当圆的半径分别增加1cm, 2cm
2cm时,圆的面积增加多少?
6. 将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就 能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量 就会减少10个,设售价定为X元(x＞50)时的利 润为Y元。试求出Y与X的函数关系式，并按 所求的函数关系式计算出售定价为80元时所 得利润
x 如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是___0___
例2. y=(m+3)xm2－7 (1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1.函数 y (k 1 )x2k2 k1 是一次函数，求k的值。0
年后的产量为 y 201x2
即 y 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d
1 2
Leabharlann Baidu
n2
3 2
n②
y 20 x2 40x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？
y = ax2+bx+c
y 5 x2 1 x 5
3
12 6
y = mx2
y = 2x
A. 1个 B.2 个 C.3个
D.4个
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
a
b
c
y x2 58x 112 －1
58 －112
y 2x2 4x 2 2
7.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6cm, BC=8cm, 点P从A开始沿AC向点C以1cm/s的速度,点Q从 C点开始沿BC向B点以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,C两点同时出发,求△PQC的 面积S与运动时间t的函数关系式.
(2)当t为何值时S=8cm2.
B
Q 8CM
P
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？等
问题:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方体的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表
示为 y=6x2 ①
问题:
问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
2、定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变 量x的 整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连
接相同两顶点的对角线是同一条 M
N
对角线,所以多边形的对角线总数
d 1 nn 3
2
即 d 1 n2 3 n②
22
②式表示了多边形的
对角线数d与边数n之 间的关系,对于n的每一 个值,d都有一个对应值, 即d是n的函数.
函数: 在一个变化过程中,如果有两个 变量x与y, 并且对于x的每一个确定的 值,y都有唯一确定的值与其对应,那么 就说y是x的函数, x是自变量.
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
观察下列函数：
(1)y = 2x+1
(2)y = -x-4
3y 2
x (5)y = -4x
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
5. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm 时,圆的面积增加ycm².
(1)写出y与x之间的函数关系表达式；
1 x2
(3) y x(1 x)
不是 是 y＝-x2＋x
(4) y (x 1)2 x2 不是
y＝x2-2x+1-x2
=-2x+1 如果是整式，先化简后判断
3.下列函数关系式中,二次函数有 ( )个.
y = (3x-1)2-9x2
y = (x+2)2-4x
y x2 1 x
y x3 x
y = (a2+1)x2-ax+a
即
m 1 n2 1 n 22
小结 拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(4)y = 5x2 (6)y = ax+1
其中，一次函数有_1_._2_.5_,那么一次函数的 一般形式是 y=kx+b（k≠0）.
1.函数y=x+1 ，自变量是_x__,自变量的次数是 __1_,y是x的___一_函次数.
2.函数s=-2t-4 ，自变量是__t_,自变量的次数 是__1_,s是t的___一_函次数.
A
C
6CM
例3、若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图形经过 A（－1，0），B（0，1），C（1，6）三 点，求这个函数的解析式.
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x2
是
(2)
y
y 1 x2 13x
1
2
2
y x2
4
2
13
0
0
0
二次函数y=ax²+bx+c中a≠0,但b、c可以为0.
4.把函数 y=(5x+7)(x-3)+2x-5 化成一般形式，写出各项系数。
解: y=(5x+7)(x-3)+2x-5 =5x2-8x-21+2x-5 =5x2-6x-26
它是二次函数,二次项系数、一次项系数 及常数项分别是5,-6,-26
2
2.函数 y (m 1)xm2m mx 1是二次函数， 求m的值。
2
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图）， 设连墙的一边为x,矩形的面积为y, 求：(1) 写出y关于x的函数关系式.
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
解：(1) y x(20 2x)
2x2 20x (o<x<10)
y 232 203 42m2 x
答：当x＝3时，矩形的面积为42m2。
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=4πr2
4. n支球队参加比赛,每两队之间进行
一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队
数 n 之间的关系式.
m 1 nn 1
2
问题:
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产
量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划 所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x)件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两
(2)当圆的半径分别增加1cm, 2cm
2cm时,圆的面积增加多少?
6. 将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就 能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量 就会减少10个,设售价定为X元(x＞50)时的利 润为Y元。试求出Y与X的函数关系式，并按 所求的函数关系式计算出售定价为80元时所 得利润
x 如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是___0___
例2. y=(m+3)xm2－7 (1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1.函数 y (k 1 )x2k2 k1 是一次函数，求k的值。0
年后的产量为 y 201x2
即 y 20 x2 40x 20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d
1 2
Leabharlann Baidu
n2
3 2
n②
y 20 x2 40x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？
y = ax2+bx+c
y 5 x2 1 x 5
3
12 6
y = mx2
y = 2x
A. 1个 B.2 个 C.3个
D.4个
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
a
b
c
y x2 58x 112 －1
58 －112
y 2x2 4x 2 2
7.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6cm, BC=8cm, 点P从A开始沿AC向点C以1cm/s的速度,点Q从 C点开始沿BC向B点以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,C两点同时出发,求△PQC的 面积S与运动时间t的函数关系式.
(2)当t为何值时S=8cm2.
B
Q 8CM
P
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？等
问题:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方体的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表
示为 y=6x2 ①
问题:
问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
2、定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫 做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变 量x的 整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连
接相同两顶点的对角线是同一条 M
N
对角线,所以多边形的对角线总数
d 1 nn 3
2
即 d 1 n2 3 n②
22
②式表示了多边形的
对角线数d与边数n之 间的关系,对于n的每一 个值,d都有一个对应值, 即d是n的函数.
函数: 在一个变化过程中,如果有两个 变量x与y, 并且对于x的每一个确定的 值,y都有唯一确定的值与其对应,那么 就说y是x的函数, x是自变量.
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
观察下列函数：
(1)y = 2x+1
(2)y = -x-4
3y 2
x (5)y = -4x
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
5. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm 时,圆的面积增加ycm².
(1)写出y与x之间的函数关系表达式；
1 x2
(3) y x(1 x)
不是 是 y＝-x2＋x
(4) y (x 1)2 x2 不是
y＝x2-2x+1-x2
=-2x+1 如果是整式，先化简后判断
3.下列函数关系式中,二次函数有 ( )个.
y = (3x-1)2-9x2
y = (x+2)2-4x
y x2 1 x
y x3 x
y = (a2+1)x2-ax+a
即
m 1 n2 1 n 22
小结 拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(4)y = 5x2 (6)y = ax+1
其中，一次函数有_1_._2_.5_,那么一次函数的 一般形式是 y=kx+b（k≠0）.
1.函数y=x+1 ，自变量是_x__,自变量的次数是 __1_,y是x的___一_函次数.
2.函数s=-2t-4 ，自变量是__t_,自变量的次数 是__1_,s是t的___一_函次数.
A
C
6CM
例3、若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图形经过 A（－1，0），B（0，1），C（1，6）三 点，求这个函数的解析式.
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x2
是
(2)
y
y 1 x2 13x
1
2
2
y x2
4
2
13
0
0
0
二次函数y=ax²+bx+c中a≠0,但b、c可以为0.
4.把函数 y=(5x+7)(x-3)+2x-5 化成一般形式，写出各项系数。
解: y=(5x+7)(x-3)+2x-5 =5x2-8x-21+2x-5 =5x2-6x-26
它是二次函数,二次项系数、一次项系数 及常数项分别是5,-6,-26
2
2.函数 y (m 1)xm2m mx 1是二次函数， 求m的值。
2
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图）， 设连墙的一边为x,矩形的面积为y, 求：(1) 写出y关于x的函数关系式.
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
解：(1) y x(20 2x)
2x2 20x (o<x<10)