系统聚类的方法.ppt
谱系聚类法
系统聚类分析实例
对中国大陆31个省级区域第三产业综合发展水平 进行类型划分及差异性程度分析---
聚类指标选择
(选取如下7项指标 )
① y1—— 人均 GDP ，它反映了经济社会发展的总 体状况和一般水平；
② y2—— 人均第三产业增加值，它反映了人均服 务产品占有量或服务密度； ③ y3—— 第二产业增加值比重，它反映了工业化 水平和产业结构现代化程度；
G p x p , Gq xq 则将 G p 和 Gq 合并成一个新类，
(3) 计算新类 Gr 与任一类 Gk 之间距离的递推公 式
Drk min d ij min
iGr , jGk
iG p , jGk
min d ij , min d ij
iGq , jGk
xp1• xp2•
d pq
xq1• xq2• xq3•
Dpq Max dij：xi G p，xj Gq
xp2• xp1• xp3•
d pq
2、 最长距离(Furthest neighbor )
xq1• xq2• xq3•
3、 类平均距离(Between-groups linkage )
Gr Gp Gq 递推公式： Drk max Dpk , Dqk
最长距离法容易被异常值严重地扭曲，一 个有效的方法是将这些异常值单独拿出来后 再进行聚类。
例 设抽取五个样品，每个样品只有一个变量，它 们是 1 ， 2 ， 3.5 ， 7 ， 9 。用最长距离法对 5 个样品进 行分类。
6.2系统聚类法 (Hierarchical Clustering Method)
系统聚类法又称为谱系聚类法,是聚类分析
聚类算法层次方法ppt课件
层次聚类方法
一般来说，有两种类型的层次聚类方法：
• 凝聚层次聚类：采用自底向上策略，首先将每个对象作为单独 的一个原子簇，然后合并这些原子簇形成越来越大的簇，直到 所有的对象都在一个簇中（层次的最上层），或者达到一个终 止条件。绝大多数层次聚类方法属于这一类。
• 分裂层次聚类：采用自顶向下策略，首先将所有对象置于一个 簇中，然后逐渐细分为越来越小的簇，直到每个对象自成一个 簇，或者达到某个终止条件，例如达到了某个希望的簇的数目， 或者两个最近的簇之间的距离超过了某个阈值。
不具有很好的可伸缩性，因为合并或分裂的决定需要检查 和估算大量的对象或簇。
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经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
层次聚类的改进
一个有希望的方向是集成层次聚类和其他的聚类技术，形 成多阶段聚类。在下面的内容中会介绍四种这类的方法：
主要内容
凝聚和分裂层次聚类 BIRCH：利用层次方法的平衡迭代归约和聚类
ROCK:分类属性的层次聚类算法 CURE：基于质心和基于代表对象方法之间的中间策略
Chameleon：利用动态建模的层次聚类算法
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经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
某个任意的阈值时聚类过程就会终止，则称其为单连接算
法。
当一个算法使用最大距离
度量簇间距离时，有时
称为最远邻聚类算法。如果当最近簇之间的最大距离超过
某个任意阈值时聚类过程便终止，则称其为全连接算法。
第一节系统聚类分析
第一节系统聚类分析第五章聚类分析(一)教学目的通过本章的学习，对聚类分析从总体上有一个清晰地认识，理解聚类分析的基本思想和基本原理，掌握用聚类分析解决实际问题的能力。
(二)基本要求了解聚类分析的定义，种类及其应用范围，理解聚类分析的基本思想，掌握各类分析方法的主要步骤。
(三)教学要点1、聚类分析概述;2、系统聚类分析基本思想，主要步骤;3、动态聚类法基本思想，基本原理，主要步骤;4、模糊聚类分析基本思想，基本原理，主要步骤;5、图论聚类分析基本思想，基本原理。
(四)教学时数6课时五)教学内容 (1、聚类分析概述2、系统聚类分析3、动态聚类法4、模糊聚类分析5、图论聚类分析统计分组或分类可以深化人们的认识。
实际应用中，有些情况下进行统计分组比较容易，分组标志确定了，分组也就得到了，但是，有些情况下进行统计分组却比较困难，特别是当客观事物性质变化没有明显标志时，用于确定分组的标志和组别就很难确定。
聚类分析实际上给我们提供了一种对于复杂问题如何分组的统计方法。
第一节聚类分析概述一、聚类分析的定义聚类分析是将样品或变量按照它们在性质上的亲疏程度进行分类的多元统计分析方法。
聚类分析时，用来描述样品或变量的亲疏程度通常有两个途径，一是把每个样品或变量看成是多维空间上的一个点，在多维坐标中，定义点与点，类和类之间的距离，用点与点间距离来描述样品或变量之间的亲疏程度;另一个是计算样品或变量的相似系数，用相似系数来描述样品或变量之间的亲疏程度。
二、聚类分析的种类(一)聚类分析按照分组理论依据的不同，可分为系统聚类法，动态聚类法，模糊聚类、图论聚类、聚类预报等多种聚类方法。
1、系统聚类分析法。
是在样品距离的基础上定义类与类的距离，首先将个样品自成n一类，然后每次将具有最小距离的两个类合并，合并后再重新计算类与类之间的距离，再并类，这个过程一直持续到所有的样品都归为一类为止。
这种聚类方法称为系统聚类法。
根据并类过程所做的样品并类过程图称为聚类谱系图。
系统聚类分析方法
系统聚类分析方法聚类分析是研究多要素事物分类问题的数量方法。
基本原理是根据样本自身的属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行聚类。
常见的聚类分析方法有系统聚类法、动态聚类法和模糊聚类法等。
1. 聚类要素的数据处理假设有m 个聚类的对象，每一个聚类对象都有个要素构成。
它们所对应的要素数据可用表3.4.1给出。
（点击显示该表）在聚类分析中，常用的聚类要素的数据处理方法有如下几种。
①总和标准化②标准差标准化③极大值标准化经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，其余各数值小于1。
④极差的标准化经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1之间。
2. 距离的计算距离是事物之间差异性的测度，差异性越大，则相似性越小，所以距离是系统聚类分析的依据和基础。
①绝对值距离选择不同的距离，聚类结果会有所差异。
在地理分区和分类研究中，往往采用几种距离进行计算、对比，选择一种较为合适的距离进行聚类。
例：表3.4.2给出了某地区九个农业区的七项指标，它们经过极差标准化处理后，如表3.4.3所示。
对于表3.4.3中的数据，用绝对值距离公式计算可得九个农业区之间的绝对值距离矩阵：3. 直接聚类法直接聚类法是根据距离矩阵的结构一次并类得到结果。
▲ 基本步骤：①把各个分类对象单独视为一类；②根据距离最小的原则，依次选出一对分类对象，并成新类；③如果其中一个分类对象已归于一类，则把另一个也归入该类；如果一对分类对象正好属于已归的两类，则把这两类并为一类；每一次归并，都划去该对象所在的列与列序相同的行；④那么，经过m-1次就可以把全部分类对象归为一类，这样就可以根据归并的先后顺序作出聚类谱系图。
★直接聚类法虽然简便，但在归并过程中是划去行和列的，因而难免有信息损失。
因此，直接聚类法并不是最好的系统聚类方法。
[举例说明]（点击打开新窗口，显示该内容）例：已知九个农业区之间的绝对值距离矩阵，使用直接聚类法做聚类分析。
聚类分析(共8张PPT)
聚类分析
三、聚类分析中的测度与标准化
在聚类分析技术的发展过程中，形成了很多种测度相似性的方法。每一种方法 都从不同的角度测度了研究对象的相似性。
在数据采集过程中，一般可以用三种方式采集数据：二分类型数据、等级类型 数据和连续类型数据。在进行聚类分析时可以根据不同的数据特点采用相应的测度 方法。
尽量避免绝对数据。
研究个案 A B C
受教育年限 10 16 6
年收入（万元） 2
1.5 1
年收入（元） 20000 15000 10000
A、B、C在不同距离单位时的距离图
A
B
B
10.01
C
A
10000
C
单位：万元
第6页，共8页。
单位：元
聚类分析
四、常用两种聚类分析方法
1.快速聚类法
快速聚类过程是初始分类的有效方法。适用于大容量样本的情形，由用户指定须聚类的 类数之后，系统采用标准迭代算法进行运算，把所有的个案归并在不同的类中。
m维空间中点与点之间的某种距离就可用来描述样品之间的亲疏程度。 而聚类分析则较常使用于将变量属性相似程度较高的观察值，加以分类，使类与类间的异质性达到最大，而同一类的几个观察值同质性很高。 ③对数据进行变换处理，（如标准化或规格化）；
mm维维空 空间间中中点点与与点点实之之际间间的的应某某用种种距距时离离，就就可可两用用者来来描描的述述主样样品品要之之差间间的的别亲亲在疏疏程程于度度因。。子分析是针对“变量”予以分组，而聚类分析 按照这种方则法是不断将进“行合观并察，直值到个把所体有”的样予品以合为分一组个，大类亦为即止。因子分析时，根据因变量（题项）间关系密切与 四⑦、最常 后用绘两制否种系，聚统类聚将分类变析谱方系量法图予，按以不分同的类分（类标分准为或不几同个的层分类面原因则，子得）出不；同而的分聚类类结果分。析则较常使用于将变量属性相似 从数据结构程和度统计较形高式上的看观，因察子值分析，是加一种以“横分向类合并，”的使方类法，与聚类类分间析的则是异一质种“性纵向达合到并”最的方大法，。 而同一类的几个观察值 适每用一于 种大方容法同量都质样从本不性的同很情的形角高，度。由测用度户了指研定究须对聚象类的的相类似数性之。后，系统采用标准迭代算法进行运算，把所有的个案归并在不同的类中。 研究学生学业差异、因教师素教分学水析平：等等横，向都需简要化对研，究聚对象类进分行分析类：。纵向分组
数据仓库与数据挖掘PPT第10章 聚类方法
3. 连通性相似性度量
数据集用图表示，图中结点是对象，而边代表对象之 间的联系，这种情况下可以使用连通性相似性，将簇定义 为图的连通分支，即图中互相连通但不与组外对象连通的 对象组。
也就是说，在同一连通分支中的对象之间的相似性度 量大于不同连通分支之间对象的相似性度量。
某种距离函数
4. 概念相似性度量
值ε，即：
k
SSE
| o mx |2
x1 oCx
k-均值算法示例
【例10.3】如图10.4所示是二维空间中的10个数据点 （数据对象集），采用欧几里得距离，进行2-均值聚类。其 过程如下：
初始的10个点
（1）k=2，随机选择两个点作为质心，假设选取的质 心在图中用实心圆点表示。
（2）第一次迭代，将所有点按到质心的距离进行划分， 其结果如图10.5所示。
10.1.6 聚类分析在数据挖掘中的应用
① 聚类分析可以用于数据预处理。 ② 可以作为一个独立的工具来获得数据的分布情况。 ③ 聚类分析可以完成孤立点挖掘。
10.1.7 聚类算法的要求
① 可伸缩性。 ② 具有处理不同类型属性的能力。 ③ 能够发现任意形状的聚类。 ④ 需要（由用户）决定的输入参数最少。 ⑤ 具有处理噪声数据的能力。 ⑥ 对输入记录顺序不敏感。 ⑦ 具有处理高维数据的能力。 ⑧ 支持基于约束的聚类。 ⑨ 聚类结果具有好的可解释性和可用性。
只有在簇的平均值被定义的情况下才能使用，那当涉 及有分类属性的数据时该怎么办?
需要事先给出k，即簇的数目 不能处理噪声数据和孤立点 不适合发现非凸面形状的簇
5. 二分k-均值算法
二分k-均值算法是基本k-均值算法的直接扩充，它基于 一种简单的想法：为了得到k个簇，将所有点的集合分为两 个簇，从这些簇中选取一个继续分裂，如此下去，直到产 生k个簇。
系统聚类法
系统聚类法是一种聚类分析方法，它通过迭代不断调整类簇中心来将数据点聚类到相应的类簇中。
常见的系统聚类算法有基于划分的聚类方法（如K-Means）和基于层次的聚类方法（如层次聚类）。
这些算法的共同点是都通过迭代来改进聚类结果。
系统聚类法是一种基于计算机的数据分析方法，它可以将相似的数据点聚类到同一类簇中，从而发现数据的结构和模式。
系统聚类法通常用于无监督学习，即对于没有标记的数据进行聚类。
常见的系统聚类算法有基于划分的聚类方法（如K-Means）和基于层次的聚类方法（如层次聚类）。
基于划分的聚类方法，如K-Means，是一种迭代算法。
它首先随机选取K个数据点作为类簇中心，然后将其他的数据点分配到最近的类簇中。
接着，它会根据分配的数据点重新计算类簇中心，并再次重新分配数据点。
这个过程会不断重复直到满足某种停止条件。
基于层次的聚类方法，如层次聚类，是一种
分治算法。
它首先将所有数据点看作是单独的类簇，然后不断地将最相似的两个类簇合并。
每次合并都会形成一层新的类簇层次结构，直到所有数据点被合并为一个类簇。
系统聚类法还可以根据不同的度量标准来计算类簇相似度，常用的度量标准有欧几里得距离、曼哈顿距离、余弦相似度等。
系统聚类法在很多领域都有广泛的应用，如市场细分、文本分类、图像识别、生物信息学等。
不过，系统聚类法也有一些缺陷，如对异常值敏感、对初始聚类中心的选择敏感、对类簇数量的限制等。
因此，在使用系统聚类法时需要谨慎选择算法和参数，并结合其他方法进行验证。
系统聚类法
( ( G1( 4 ) = {X 1 , X 2 }, G2 4 ) = {X 5 }, G3( 4 ) = {X 3 }, G4 4 ) = {X 4 } 若分为四类，则
Gi( 5) = {X i }...i = 1,2,3,4,5 若分为五类，则
系统聚类分析的方法
按聚类的方法可以分为： 按聚类的方法可以分为：
主讲人： 主讲人：
第六章 聚类分析
§6.3系统聚类法 §6.4系统聚类法的性质及类的确定
系统聚类法
基本思想： 基本思想：设有n个样品，每个样品有m项指 个样品，
标。首先定义样品间的距离。先将这n个样品看成 首先定义样品间的距离。 n类，,然后将距离最近的两类合并成为新类，并 然后将距离最近的两类合并成为新类， 计算新类与其它类的距离， 计算新类与其它类的距离，再按最小距离准则并 这样每次缩小一类，直到并成一类为止。 类。这样每次缩小一类，直到并成一类为止。
（7）可变法及 McQuitty相似分析法 （8）离差平方和法
§6.4系统聚类发的性质及类的确定
聚类分析之系统聚类法
聚类分析之系统聚类法系统聚类法是一种常用的聚类分析方法，旨在将样本集合划分为不同的簇，使得同一个簇内的样本之间相似度较高，而不同簇之间的样本相似度较低。
本文将介绍系统聚类法的基本原理、常用的聚类算法以及应用领域等内容。
系统聚类法的基本原理是通过计算样本之间的距离或相似度来判断它们之间的关系，并将相似的样本归为同一簇。
在系统聚类法中，最常用的距离度量方法有欧氏距离、曼哈顿距离和余弦相似度等。
通过选择适当的距离度量方法，可以更准确地描述样本之间的差异。
常见的系统聚类算法包括层次聚类法、BIRCH算法和DBSCAN算法等。
层次聚类法是一种自底向上的聚类算法，它从每个样本开始，逐步合并相邻的样本，直到所有样本都被合并为一个簇。
BIRCH算法是一种基于CF树的聚类算法，它通过构建一种多叉树的数据结构来实现高效的聚类计算。
DBSCAN算法则是一种基于密度的聚类算法，它通过确定样本的邻域密度来判断是否属于同一簇。
系统聚类法在许多领域中都有广泛的应用。
在生物信息学领域，系统聚类法可以用于基因表达数据的聚类分析，从而找到具有相似表达模式的基因。
在市场营销领域，系统聚类法可以用于将顾客划分为不同的群体，从而为不同群体制定个性化的营销策略。
在图像处理领域，系统聚类法可以用于图像分割，将具有相似颜色或纹理特征的像素归为同一簇。
尽管系统聚类法具有广泛的应用前景，但也存在一些挑战和限制。
首先，系统聚类法对初始样本集合的选择较为敏感，不同的初始选择可能导致不同的聚类结果。
其次，系统聚类法在处理大规模数据时计算复杂度较高，需要消耗大量的计算资源。
此外，系统聚类法还面临着噪声和异常值的影响，这些值可能会干扰正常的聚类结果。
总之，系统聚类法是一种重要的聚类分析方法，通过计算样本之间的距离或相似度，将相似的样本归为同一簇。
它在生物信息学、市场营销和图像处理等领域具有广泛的应用价值。
然而，系统聚类法仍面临一些挑战和限制，如初始样本选择、计算复杂度和噪声处理等问题。
系统聚类的方法解析
系统聚类的方法解析系统聚类是一种数据分析技术，用于将一组对象划分为不同的类别或群组，使得同一类别内的对象具有相似的特征，而不同类别之间的对象具有明显的差异。
系统聚类方法基于对象之间的相似度或距离来判断它们是否属于同一类别。
本文将介绍几种常见的系统聚类方法，包括层次聚类、K-均值聚类和DBSCAN聚类。
层次聚类是一种将对象以树形结构进行组织的聚类方法。
它可以分为凝聚式聚类和分裂式聚类两种类型。
凝聚式聚类从每个对象作为一个类开始，逐步合并最相似的类，直到所有对象都合并为一个类为止。
分裂式聚类从所有对象作为一个类开始，将其分解为越来越小的类，直到每个类只包含一个对象为止。
层次聚类方法可以根据不同的相似度度量（如欧几里得距离、曼哈顿距离等）来计算对象之间的距离。
K-均值聚类是一种基于距离的聚类方法。
它将要聚类的对象划分为K 个类别，其中K是预先指定的。
它通过迭代优化的方式，计算每个对象与每个类别的距离，并将对象划分到距离最近的类别中。
在每次迭代后，重新计算每个类别的质心（即所有对象的平均值），并调整对象的归属，直到达到一定的停止准则（如达到最大迭代次数或类别的变化小于一些阈值）。
DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是一种基于密度的聚类方法。
它将对象的密度定义为一些半径内的对象数目。
DBSCAN通过定义两个参数：半径(ε)和最小对象数目(MinPts)，来判断对象是否是核心对象、边界对象还是噪声对象。
从核心对象开始，递归地将密度可达的对象划分到同一类别中，直到没有更多的密度可达对象。
DBSCAN可以有效地发现任意形状和大小的聚类，且对噪声对象的影响较小。
系统聚类方法适用于无监督学习任务，因为它们不需要事先的标记数据。
它们可以通过计算对象之间的相似度或距离，自动发现潜在的模式和结构。
然而，系统聚类方法需要选择合适的聚类数目、参数和相似度度量，这对于不同的数据集可能是挑战性的。
聚类分析ppt课件
第一节 引言 第二节 相似性的量度 第三节 系统聚类分析法 第四节 K均值聚类分析 第五节 两步聚类分析
1
第一节 引言
什么是聚类分析？ ❖ 聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样本或指
标进行分类的一种多元统计分析方法，它们讨论的 对象是大量的样本，要求能合理地按各自的特性进 行合理的分类，没有任何模式可供参考或依循，即 在没有先验知识的情况下进行的。
1．明考夫斯基距离
p
dij (q) (
X ik X jk )q 1/ q
k 1
明考夫斯基距离简称明氏距离。
(7.1)
13
按q的取值不同又可分成下面的几个式子
（1）绝对距离（ q 1）
p
dij (1) X ik X jk k 1
பைடு நூலகம்
(7.2)
（2）欧氏距离（ q 2）
p
dij (2) (
X ik X jk )2 1/ 2
22
第三节 系统聚类分析法
一 系统聚类的基本思想 二 类间距离与系统聚类法
23
一、系统聚类的基本思想
❖ 系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成 类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（ 或变量）总能聚到合适的类中。系统聚类过程是：假设总共 有n个样品（或变量），第一步将每个样品（或变量）独自 聚成一类，共有n类；第二步根据所确定的样品（或变量） “距离”公式，把距离较近的两个样品（或变量）聚合为一 类，其它的样品（或变量）仍各自聚为一类，共聚成n 1类 ；第三步将“距离”最近的两个类进一步聚成一类，共聚成 n 2类；……，以上步骤一直进行下去，最后将所有的样品 （或变量）全聚成一类。为了直观地反映以上的系统聚类过 程，可以把整个分类系统画成一张谱系图。所以有时系统聚 类也称为谱系分析。除系统聚类法外，还有有序聚类法、动 态聚类法、图论聚类法、模糊聚类法等。
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X k X p
2 nq nr
X k X q
1 nr2
(n2p
X
p
X
p
2n p nq
X
p
Xq
nq2 X q
Xq)
利用
X k X k
1 nr
(np X k X k
nq X k X k ) 代入上式，有
Dk2r
np nr
( X k X k
2X k X
p
X p X p )
nq nr
( X k X k
np
Sp ( Xip X p )( Xip X p ) i1 nq
Sq ( Xiq X q )( Xiq X q ) i1 nr
Sr ( X ir X r )( X ir X r ) i 1
8.离差平方和法
它们反映了各自类内样品的分散程度，如果 G p 和Gq 这两类
相距较近，则合并后所增加的离散平方和 Sr S p Sq 应较
Dp2q (X p Xq )(X p Xq )
(7)
设将 G p 和 Gq 合并为 Gr ，则 Gr 内样品个数为 nr n p nq ，
它的重心是
Xr
1 nr
(np X p
nq X q ) ，类Gk
的重心是 X k
，
那么依据（5.17）式它与新类 Gr 的距离为
Dk2r
np nr
Dk2p
i 1
i 1
nr
nr
( X p X r )( Xir X p ) ( X p X r )(X p X r )
i 1
i 1
np
nq
( Xip X p )( X ip X p ) ( X iq X p )( X iq X p )
i 1
i 1
nr
2( X p X r ) ( Xir X p ) nr ( X p X r )( X p X r ) i 1
➢画聚类图，解释
三、八种系统聚类方法
在进行系统聚类之前，我们首先要定义类与类之间的 距离，由类间距离定义的不同产生了不同的系统聚类法。 常用的类间距离定义有8种之多，与之相应的系统聚类法 也有8种，分别为最短距离法、最长距离法、中间距离法、 重心法、类平均法、可变类平均法、可变法和离差平方和 法。它们的归类步骤基本上是一致的，主要差异是类间距 离的计算方法不同。以下用dij表示样品Xi与Xj之间距离， 用Dij表示类Gi与Gj之间的距离。
聚类分析
1
聚类分析
一 聚类分析的定义 二 系统聚类的基本思想 三 八种系统聚类方法 四 类间距离的统一性
一、聚类分析的定义
“物以类聚，人以群分”。对事物进行分类，是人们认 识事物的出发点，也是人们认识世界的一种重要方法。 因此，分类学已成为人们认识世界的一门基础科学。
聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分 类的问题。通常聚类分析分为Q型聚类和R型聚类。Q 型聚类是对样品进行分类处理，R型聚类是对变量进行 分类处理。
定义类 Gi 与 G j 之间的距离为两类最远样品的距离，即
为
Dpq max d XiGp , X j Gq ij
(3)
最长距离法与最短距离法的并类步骤完全一样，也是将
各样品先自成一类，然后将距离最小的两类合并。将类
G p 与 Gq 合并为 Gr ，则任一类 Gk 与 Gr 的类间距离公
式为
2.最长距离法
Dk2p
nq nr
Dk2q )
Dp2q
（12）
其中是可变的且 <1，称这种系统聚类法为可变类平均法。
7.可变法
针对于中间法而言，如果将中间法的前两项的系数也依赖
于 ，那么，如果将G p 和 Gq 合并为新类 Gr ，类 Gk 与新
并类 Gr 的距离公式为：
Dk2r
1
2
(Dk2p
Dk2q ) Dp2q
np nr
Dk2p
nq nr
Dk2q
（ 11）
类平均法的聚类过程与上述方法完全类似，这里就不在详述了。
6.可变类平均法
由于类平均法中没有反映出Gp和Gq之间的距离Dpq的影响， 因此将类平均法进一步推广，如果将Gp和Gq合并为新类Gr， 类Gk与新并类Gr的距离公式为：
Dk2r
(1 )( np
nr
1. 最短距离法
定义类与之间的距离为两类最近样品的距离，即为
Dij min d XiGi , X jG j ij
(1)
设类与合并成一个新类记为，则任一类与的距离为
Dkr min d XiGk , X j Gr ij
min{ min Xi Gk , X j Gp
dij
,
min
xi Gk ,x j Gq
Dk2p
1 2
Dk2q
D
2 pq
(1／4 0)
(5)
设Dkq＞Dkp，如果采用最短距离法，则Dkr = Dkp，如果采用 最长距离法，则Dkr = Dkq。如图2所示，(5)式就是取它们 （最长距离与最短距离）的中间一点作为计算Dkr的根据。
3.中间距离法
特别当 = 1／4，它表示取中间点算距离，公式为
G7
G9
G7
0G9ຫໍສະໝຸດ 30表31. 最短距离法
（4）最后将G7和G9合并成G10，这时所有的六个样品聚为一 类，其过程终止。 上述聚类的可视化过程见图1所示，横坐标的刻度表示并类 的距离。这里我们应该注意，聚类的个数要以实际情况所定， 其详细内容将在后面讨论。
图1 最短距离聚类法的过程
2.最长距离法
Dkr
max
XiGk , X j Gr
dij
max{ max Xi Gk , X j Gpj
dij
,
max
xi Gk ,x j Gq
dij }
max{Dkp , Dkq}
（ 4）
再找距离最小两类并类，直至所有的样品全归为一类为止。 可以看出最长距离法与最短距离法只有两点不同：
一是类与类之间的距离定义不同；
1. 最短距离法
【例 1】设有六个样品，每个只测量一个指标，分别是1，2， 5，7，9，10，试用最短距离法将它们分类。
（1）样品采用绝对值距离，计算样品间的距离阵D（0） ，见 表1
G1
G2
G3
G4
G5
G6
G1
0
G2
1
0
G3
4
3
0
G4
6
5
2
0
G5
8
7
4
2
0
G6
9
8
5
3
1
0
表1
1. 最短距离法
nq nr
Dk2q
npnq nr2
Dp2q
（ 8）
这里我们应该注意，实际上（8）式表示的类 Gk 与新类Gr 的
距离为：
Dk2r ( X k X r )( X k X r )
[Xk
1 nr
(np X
p
nq
X q )][ X k
1 nr
(np X
p
nq X q )]
X k X k
2 np nr
nr
(X
p
n
p
X
p nr
nq
Xq
)( X
p
n
p
X
p nr
nq
Xq
)
Sp
Sq
nq ( X
p
Xq
)( X
p
Xq)
n2p nr
(X
p
Xq )(X
p
Xq)
Sp
Sq
nq
(X
p
Xq
)( X
p
Xq
)
nqnp nr
(X
p
Xq
)( X
p
Xq
)
8.离差平方和法
从而，由（5.25）式知
Dp2q
nqnp nr
(X p
Xq )(X p
二、系统聚类的基本思想
系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类， 距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量） 总能聚到合适的类中。 系统聚类法是诸聚类分析方法中使用最多的一种，按下列步骤 进行： ➢将n个样品各作为一类 ➢计算n个样品两两之间的距离，构成距离矩阵 ➢合并距离最近的两类为一新类 ➢计算新类与当前各类的距离。再合并、计算，直至只有一 类为止
（13）
其中 是可变的，且 1 。显然在可变类平均法中取
np nq 1 ，即为可变法。可变类平均法与可变法的分类 nr nr 2 效果与 的选择关系很大，在实际应用中 常取负值。
8.离差平方和法
该方法是Ward提出来的，所以又称为Ward法。该方法的基 本思想来自于方差分析，如果分类正确，同类样品的离差平 方和应当较小，类与类的离差平方和较大。具体做法是先将 n个样品各自成一类，然后每次缩小一类，每缩小一类，离 差平方和就要增大，选择使方差增加最小的两类合并，直到 所有的样品归为一类为止。
设将n个样品分成k类G1，G2，…，Gk，用Xit表示Gt中的第I
个样品，nt表示Gt中样品的个数，X t是Gt的重心，则Gt的样品 离差平方和为
nt
St ( X it X t )( X it X t )
(14)
t 1
8.离差平方和法
如果 G p 和 Gq 合并为新类 Gr 类内离差平方和分别为
dij }
min{Dkp , Dkq}
(2)
1. 最短距离法
最短距离法进行聚类分析的步骤如下： （1）定义样品之间距离，计算样品的两两距离，得一距离 阵记为D（0） ，开始每个样品自成一类，显然这时Dij = dij。 （2）找出距离最小元素，设为Dpq，则将Gp和Gq合并成一个 新类，记为Gr，即Gr = ｛Gp，Gq｝。 （3）按（5.12）计算新类与其它类的距离。 （4）重复（2）、（3）两步，直到所有元素。并成一类为 止。如果某一步距离最小的元素不止一个，则对应这些 最小元素的类可以同时合并。