相交线与平行线知识点精讲

相交线与平行线知识点精讲

1. 相交线

同一平面中，两条直线的位置有两种情况：

相交：如图所示，直线AB 与直线CD 相交于点O ，其中以O 为顶点共有4个角： ∠1，∠2，∠3，∠4；

邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角；

对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O ，并且∠1的两边分别是∠3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；

∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠

3。

所以，对顶角相等 例题：

1.如图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。

2.如图，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，且AB CD ⊥，∠=︒127，则∠=2_______，∠=FOB __________。

C

E

A 2 O

B 1 F

D

垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条

叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，图中AB⊥CD，垂足为O。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90︒。

例题：

如图，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，∠1＝26︒，求∠EOD，∠2，∠

3的度数。

垂线相关的基本性质：

（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例题：假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？

2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。

平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

如上图，直线a与直线b平行，记作a//b

3.同一个平面中的三条直线关系：

三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。

（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，

以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决；

例题：

如图，直线AB,CD,EF相交于O点，∠DOB是它的余角的两倍，∠AOE ＝2∠DOF,且有OG⊥OA，求∠EOG的度数。

（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）如图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：

*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；

*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；

*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；

指出上图中的同位角，内错角，同旁内角。

两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：

两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；

两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等

两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。

如上图，指出相等的各角和互补的角。

例题：

1.如图，已知∠1＋∠2＝180︒，∠3＝180︒，求∠4的度数。

2.如图所示，AB//CD，∠A＝135︒，∠E＝80︒。求∠CDE的度数。

平行线判定定理：

两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的

性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成

的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这

两条直线平行呢？答案是可以的。

两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行

如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB//CD

平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行

如图所示，只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4），就可以说

AB//CD

平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行

如图所示，只要满足∠5+∠2＝180︒（或者∠6+∠4＝180︒），就可以

说AB//CD

平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中∠1＝∠2＝90︒就可以得到。

平行线判定定理5：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行

且∠=∠

12，∠=∠

C D，

你能指出其中的同位角，内错角和同旁内角吗？

三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。

（4）没有交点：

这种情况下，三条直线都平行，如下图所示：

即a//b//c。这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。例题：

如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与CD有怎样的位置关

系，为什么？

一．选择题：

1. 如图，下面结论正确的是（）

A. ∠∠

12

和是同位角 B. ∠∠

23

和是内错角

C. ∠∠

24

和是同旁内角 D. ∠∠

14

和是内错角

2. 如图，图中同旁内角的对数是（）

A. 2对

B. 3对

C. 4对

D. 5对

3. 如图，能与α构成同位角的有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

4. 如图，图中的内错角的对数是（）

A. 2对

B. 3对

C. 4对

D. 5对

5．如果两个角的两边

分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，那么这两个角是（）

A. 42138

、 B. 都是10

C. 42138

、或4210

、 D. 以上都不对

二．填空

1．已知：如图，AO BO

⊥∠=∠

，12。求证：CO DO

⊥。

证明： AO BO

⊥（）

∴∠=︒

AOB90（）

∴∠+∠=︒

1390

∠=∠

12（）

∴∠+∠=︒

2390

∴⊥

CO DO（）

2．已知：如图，COD是直线，∠=∠

13。求证：A、O、B三点在同

1

2

3

4

α

A

C

1

2 O

3

D

B