备战北京中考数学2020：中档解答题题组(7套)
北京市丰台区2020年中考数学综合练习(一) (解析版)
北京市丰台区2020年中考数学综合练习（一）一．选择题（共8小题）1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数将不少于16000000次．将16000000科学记数法表示应为（）A．16×106B．1.6×107C．0.16×108D．1.6×1083．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0D．﹣a＞b4．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形6．如果a2+3a﹣2＝0，那么代数式（）的值为（）A．1B．C．D．7．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）1617181920重物重量x（kg）0.5 1.0 1.5 2.0 2.5当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（）A．22.5B．25C．27.5D．308．为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y轴上动点M的纵坐标y m表示学生的期中考试成绩，直线x＝10上动点N的纵坐标y n表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x＝6的交点为P，则点P的纵坐标y p就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是（）A．①③B．②③C．②D．③二．填空题（共8小题）9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为．10．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1～6这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为．11．能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是．13．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y 尺，可列方程组为．14．如图，在▱ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，则的值是．15．为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类一日票二日票三日票五日票七日票单价（元/张）2030407090某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为元．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D 是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为．三．解答题（共8小题）17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图2．①在直线BC上取一点A，连接P A；②作∠P AC的平分线AD；③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD＝∠CAD．∵P A＝PE，∴∠P AD＝，∴∠PEA＝，∴PE∥BC．（）（填推理依据）．18．计算：（）﹣1﹣6tan30°﹣（﹣1）0+．19．解不等式组：．20．关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．21．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，ED＝6，求BG的长．22．如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC．（1）求证：OC⊥OB；（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝（x＞0）交于点A（2，n）．（1）求n及k的值；（2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．24．某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10≤x＜20，20≤x＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x≤70）：c．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x＜40这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为分；（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有人，其中单程不少于60分钟的有人．25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD 和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．26.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．27.在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是E、F；②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为（﹣3，3）；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．2．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数将不少于16000000次．将16000000科学记数法表示应为（）A．16×106B．1.6×107C．0.16×108D．1.6×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将16000000用科学记数法表示为：1.6×107．故选：B．3．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．ab＞0D．﹣a＞b【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a＜b，故选项A错误，|a|＞|b|，故选项B错误，ab＜0，故选项C错误，﹣a＞b，故选项D正确，故选：D．4．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°，由翻折不变性可知：∠2＝∠4＝（180°﹣80°）＝50°，故选：A．5．若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【分析】首先可求得每个外角为60°，然后根据外角和为360°即可求得多边形的边数．【解答】解：180°﹣120°＝60°，360°÷60°＝6．故选：C．6．如果a2+3a﹣2＝0，那么代数式（）的值为（）A．1B．C．D．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，由a2+3a﹣2＝0，得到a2+3a＝2，则原式＝，故选：B．7．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）1617181920重物重量x（kg）0.5 1.0 1.5 2.0 2.5当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（）A．22.5B．25C．27.5D．30【分析】根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x＝5时，代入函数解析式求值即可．【解答】解：设弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系式为L＝kx+b，将（0.5，16）、（1.0，17）代入，得：，解得：，∴L与x之间的函数关系式为：L＝2x+15；当x＝5时，L＝2×5+15＝25（cm）故重物为5kg时弹簧总长L是25cm，故选：B．8．为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y轴上动点M的纵坐标y m表示学生的期中考试成绩，直线x＝10上动点N的纵坐标y n表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x＝6的交点为P，则点P的纵坐标y p就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是（）A．①③B．②③C．②D．③【分析】根据题意在坐标系中画出对应的图象即可．【解答】解：如图所示：①中，与x＝6的交点大于75，故错误②中，乙与x＝6的交点大于甲与x＝6的交点，所以期末总评成绩乙大于甲，正确③中，由图象可知，期末总评成绩占60%，故错误故选：C．二．填空题（共8小题）9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．10．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1～6这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为．【分析】由质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有3种情况，∴投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的概率为：＝．故答案为：．11．能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是0（答案不唯一）．【分析】举出一个能使得ac＝bc或ac＜bc的一个c的值即可．【解答】解：若a＞b，当c＝0时ac＝bc＝0，故答案为：0（答案不唯一）．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果＝，则∠ACD的度数是60°．【分析】根据垂径定理求出＝，求出、、的度数，即可求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴＝，∵＝，∴＝＝，即、、的度数是＝120°，∴∠ACD＝°＝60°，故答案为：60°．13．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y 尺，可列方程组为．【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：y﹣x ＝4.5；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；组成方程组即可．【解答】解：根据题意得：；故答案为：．14．如图，在▱ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝AD，连接CE交BD于点F，则的值是．【分析】由△EDF∽△CBF，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．AD＝BC，设AD＝3a，则AE＝a，∵DE∥BC，∴△EDF∽△CBF，∴＝＝＝故答案为．15．为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类一日票二日票三日票五日票七日票单价（元/张）2030407090某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为80元．【分析】分5种方案计算费用比较即可．【解答】解：连续6天不限次数乘坐地铁有5种方案方案①：买一日票6张，费用20×6＝120（元）方案②：买二日票3张：30×3＝90（元）方案③：买三日票2张：40×2＝80（元）方案④：买一日票1张，五日票1张：20+70＝90（元）方案⑤：买七日票1张：90元故方案③费用最低：40×2＝80（元）故答案为80．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D 是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为4．【分析】连接CD．根据直角三角形斜边中线的性质求出CD＝A′B′＝2，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：连接CD，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝4，∵DB′＝DA′，∴CD＝A′B′＝2，∴BD≤CD+CB＝4，∴BD的最大值为4，故答案为4．三．解答题（共8小题）17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图2．①在直线BC上取一点A，连接P A；②作∠P AC的平分线AD；③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD＝∠CAD．∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠PEA，∴∠PEA＝∠CAD，∴PE∥BC．（内错角相等两直线平行）（填推理依据）．【分析】（1）根据要求作图即可；（2）根据等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义求解可得．【解答】解：（1）如图所示：直线PE即为所求．（2）证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD＝∠CAD．∵P A＝PE，∴∠P AD＝∠PEA，∴∠PEA＝∠CAD，∴PE∥BC．（内错角相等两直线平行）．故答案为：∠PEA，∠CAD，内错角相等两直线平行．18．计算：（）﹣1﹣6tan30°﹣（﹣1）0+．【分析】原式利用零指数幂、负整式指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝2﹣6×﹣1+2＝1．19．解不等式组：．【分析】分别求得各不等式的解集，然后求得公共部分即可．【解答】解：由①得x≤2；由②得x＞﹣1；故不等式组的解集为﹣1＜x≤2．20．关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．【分析】（1）先求出判别式△的值，再根据“△”的意义证明即可；（2）根据求根公式得出x1＝3，x2＝﹣m，即可求出m的值和方程的根．【解答】（1）证明：△＝（m﹣3）2﹣4×1×（﹣3m），＝m2﹣6m+9+12m，＝（m+3）2，无论m取任何实数，（m+3）2≥0，即△≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）解：∵△＝（m+3）2，由求根公式，得，，原方程的根为：x1＝3，x2＝﹣m，∵方程的两个根都是整数，∴取m＝1，方程的两根为x1＝3，x2＝﹣1．21．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．（1）求证：四边形DGCE是菱形；（2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，ED＝6，求BG的长．【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC，可得CE∥DG，DE∥GC，由菱形的判定可证结论；（2）过点D作DH⊥BC，由菱形的性质可得DE＝DG＝6，DG∥EC，由直角三角形的性质可得BH＝DH＝3，HG＝DH＝3，即可求BG的长．【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCG，∵EG垂直平分CD∴DG＝CG，DE＝EC，∴∠DCG＝∠GDC，∠ACD＝∠EDC∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD＝∠GDC∴CE∥DG，DE∥GC∴四边形DECG是平行四边形，且DE＝EC∴四边形DGCE是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形DGCE是菱形，∴DE＝DG＝6，DG∥EC∴∠ACB＝∠DGB＝30°，且DH⊥BC∴DH＝3，HG＝DH＝3∵∠B＝45°，DH⊥BC∴∠B＝∠BDH＝45°∴BH＝DH＝3∴BG＝BH+HG＝3+322．如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC．（1）求证：OC⊥OB；（2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BAP＝∠BP A，可证∠BAP+∠P AO＝90°，∠C+∠CPO＝90°，结论得证；（2）作BD⊥AP于点D，先求出OB，OP的长，再求出CP长，根据△BPD∽△CPO，得出比例线段，求PD的长，则AP可求．【解答】（1）证明：∵AB＝BP，∴∠BAP＝∠BP A，∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA，∴∠BAO＝90°，即∠BAP+∠P AO＝90°，∵OA＝OC，∴∠P AO＝∠C，∵∠BP A＝∠CPO，∴∠C+∠CPO＝90°，∴∠COP＝90°，即CO⊥BO；（2）解：如图，作BD⊥AP于点D，在Rt△ABO中，AB＝3，OA＝4，则BO＝5，OP＝2，在Rt△CPO中，PO＝2，CO＝4，则CP＝2，∵BA＝BP，∴AD＝PD，由（1）知∠COP＝90°，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝∠CPO，∴△BPD∽△CPO，∴，即，∴PD＝，∴AP＝2PD＝．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝（x＞0）交于点A（2，n）．（1）求n及k的值；（2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．【分析】（1）由点A的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法可求出k值；（2）分AB＝AO，OA＝OB，BO＝BA三种情况考虑：①当AB＝AO时，利用等腰三角形的性质可求出CB1的长度，结合点C的坐标可得出点B1的坐标；②当OA＝OB时，由点A的坐标利用勾股定理可求出OA的长度，利用等腰三角形的性质可得出OB2的长度，进而可得出点B2的坐标；③当BO＝BA时，设OB3＝m，则CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中利用勾股定理可得出关于m的方程，解之即可得出点B3的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵点A（2，n）在双曲线y＝上，∴n＝＝4，∴点A的坐标为（2，4）．将A（2，4）代入y＝kx，得：4＝2k，解得：k＝2．（2）分三种情况考虑，过点A作AC⊥y轴于点C，如图所示．①当AB＝AO时，CO＝CB1＝4，∴点B1的坐标为（0，8）；②当OA＝OB时，∵点A的坐标为（2，4），∴OC＝4，AC＝2，∴OA＝＝2，∴OB2＝2，∴点B2的坐标为（0，2）；③当BO＝BA时，设OB3＝m，则CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中，AB32＝CB32+AC2，即m2＝（4﹣m）2+22，解得：m＝，∴点B3的坐标为（0，）．综上所述：点B的坐标为（0，8），（0，2），（0，）．24．某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10≤x＜20，20≤x＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x≤70）：c．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x＜40这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为31分；（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有200人，其中单程不少于60分钟的有8人．【分析】（1）用被抽查总人数乘以乘公共交通对应的百分比可得其人数，再减去其它分组的人数求出40≤x＜50的人数，从而补全图形；（2）根据中位数的概念计算可得；（3）利用样本估计总体思想计算可得．【解答】解：（1）∵选择公共交通的人数为100×50%＝50（人），∴40≤x＜50的人数为50﹣（5+17+14+4+2）＝8（人），补全直方图如下：（2）采用公共交通方式单程所花费时间共50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，所以采用公共交通方式单程所花费时间的中位数是＝31（分），故答案为：31；（3）估计该年级采用公共交通方式上学共有400×50%＝200（人），其中单程不少于60分钟的有200×＝8（人），故答案为：200、8．25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD 和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点．【专题】535：二次函数图象及其性质．【分析】（1）利用配方法得y═m（x﹣3）2+1，由此即可得出顶点坐标；（2）根据抛物线的对称轴以及AB＝4，即可得到A、B两点的坐标，代入抛物线即可求出m的值；（3）结合图象即可得出当抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点时m的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣6mx+9m+1＝m（x﹣3）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（3，1）；（2）∵对称轴为直线x＝3，且AB＝4，∴A（1，0），B（5，0），将点A的坐标代入抛物线，可得：m＝﹣；（3）如图：①当m＞0时满足，解得：m＞；②当m＜时满足0，解得：m＜﹣1；]综上，m＜﹣1或m＞．26.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．【考点】LO：四边形综合题．【专题】152：几何综合题．【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△P AP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．【解答】解：（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP＝AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠P AP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'＝AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝AC•C'G，Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝＝2，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，∵CD＝C'D＝，OD＝AC＝1，∴C'G＝﹣1，∴S△AC'C＝AC•C'G＝＝﹣1．27.在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是E、F；②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为（﹣3，3）；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．【考点】MR：圆的综合题．【专题】21：阅读型；23：新定义．【分析】（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行选择即可；（2）先求出C、D点坐标以及CD长度，分析出N点到坐标轴距离中最小距离为，从而确定r的最小值，根据CD长度确定r的最大值．【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，∴与A点是“等距点”的点是E、F．②点B在直线y＝x+6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E、F；②（﹣3，3）；（2）∵T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，∴t1＝﹣k﹣3，t＝4k﹣3．∵k＞0，∴|﹣k﹣3|＝k+3＞3，4k﹣3＞﹣3．依据“等距点”定义可得：当﹣3＜4k﹣3＜4时，k+3＝4，解得k＝1；当4k﹣3≥4时，k+3＝4k﹣3，解得k＝2．综上所述，k的值为1或2．②∵k＝1，∴y＝x﹣3与坐标轴交点C（0，﹣3）、D（3，0），线段CD＝3．N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为，若半径为r的⊙O上存在一点M与N是“等距点”，则r最小值为，r的最大值为CD长度3．所以r的取值范围为≤r≤3．故答案为E、F；（﹣3，3）。
2020年北京中考数学试卷(WORD版含答案)
2020年北京高级中学中等学校招生考试数学试卷学校姓名准考证号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 7的相反数是A.17B.7 C.17-D.7-2. 改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。
将300670用科学记数法表示应为A.60.3006710⨯ B.53.006710⨯ C.43.006710⨯ D.430.06710⨯3. 若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A.圆柱B.正方体C.球D.圆锥主视图左视图俯视图4. 若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是。
A.10B.9C.8D.65. 某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是A.0B.141C.241D.16. 某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：67,59,61,59,63,57,70,59,65这组数据的众数和中位数分别是A 59,63B 59,61C 59,59D 57,617. 把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+C.()2x x y +D.()2x x y -8. 如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C的直线交⊙O 于D 、E 两点， 且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 不等式325x +≥的解集是 .10.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E为BC 上一点，若∠CEA=28，则∠ABD= °. 11. 若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k += .12. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N= ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则A ′N= （用含有n 的式子表示）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：101200925206-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭14. 解分式方程：6122x x x +=-+15. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90，CD AB ⊥于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F .求证：AB=FC16. 已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值17. 如图，A 、B 两点在函数()0m y x x=>的图象上.（1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。
2020年北京市中考数学试卷及答案
2020年北京市中考数学试卷及答案研究是一件有趣的事情。
以下是2020年北京市中考数学试卷的题目：一、单项选择题：请认真审题，仔细思考，然后选择唯一正确答案。
（本题共16分，每小题2分）1.（2分）如图所示，这是某个几何体的三视图，该几何体是（）A。
圆柱体B。
圆锥体C。
三棱柱体D。
长方体2.（2分）2020年6月23日，北斗三号的最后一颗全球组网卫星从XXX发射升空，6月30日成功进入距离地球公里的地球同步轨道。
将用科学记数法表示应为（）A。
0.36×105B。
3.6×105C。
3.6×104D。
36×1033.（2分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A。
∠1＝∠2B。
∠2＝∠3C。
∠1＞∠4+∠5D。
∠2＜∠54.（2分）以下哪种图形既是中心对称图形又是轴对称图形？（）A。
B。
C。
D。
5.（2分）正五边形的外角和为（）A。
180°B。
360°C。
540°D。
720°6.（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A。
2B。
﹣1C。
﹣2D。
﹣37.（2分）在一个不透明的袋子里有两个小球，上面分别写着数字“1”和“2”，除了数字之外，两个小球没有其他区别。
从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A。
4/1B。
3/1C。
2/1D。
3/28.（2分）有一个装满水的，如图所示，内的水面高度是10cm。
现在开始向内注水并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加。
那么注满水之前，内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A。
正比例函数关系B。
一次函数关系C。
二次函数关系D。
反比例函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.（2分）若代数式1/(x-7)有意义，则实数x的取值范围是______。
2020年北京市中考数学试卷-答案
2020年北京市高级中等学校招生考试 数学答案解析一、1.【答案】D【解析】长方体的三视图都是长方形，故选D.【考点】几何体的三视图2.【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤＜，n 为整数．当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数绝对值小于1时，n 是负数．解：436000 3.610=⨯，故选：C ． 【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数3.【答案】A【解析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．解：由两直线相交，对顶角相等可知A 正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B 选项为23∠∠＞，C 选项为145∠=∠+∠，D 选项为25∠∠＞． 故选：A ．【考点】三角形的外角性质，对顶角性质4.【答案】D【解析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．解：A .是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B .不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误；C .不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；D .既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确． 故选：D ．【考点】中心对称图形的定义，轴对称图形的定义5.【答案】B【解析】任意多边形的外角和都为360°，与边数无关，故选：B ．【考点】多边形的外角和定理6.【答案】B【解析】先根据数轴的定义得出a 的取值范围，从而可得出b 的取值范围，由此即可得．由数轴的定义得：12＜＜a21---∴＜＜a2∴＜a又-∵＜＜a b a∴b 到原点的距离一定小于2观察四个选项，只有选项B 符合 故选：B ．【考点】数轴的定义7.【答案】C【解析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．解：画树状图如下：所以共4种情况：其中满足题意的有两种，所以两次记录的数字之和为3的概率是2142= 故选C ．【考点】画树状图求解概率8.【答案】B【解析】设水面高度为h cm ，注水时间为t 分钟，根据题意写出h 与t 的函数关系式，从而可得答案．【详解】解：设水面高度为h cm ，注水时间为t 分钟，则由题意得：0.210=+h t ， 所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B ．【考点】列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系二、9.【答案】7≠x【解析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．解：∵代数式17-x 有意义，分母不能为0，可得70-≠x ，即7≠x ，故答案为：7≠x . 【考点】分式有意义的条件10.【答案】1【解析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．解：一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式0∆=，440-=∴k ，解得：1=k ．故答案为：1 【考点】一元二次方程根的判别式11.【答案】2（或3）在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．解：12，34，∴小的整数是2或3． 故答案为：2（或3）【考点】实数的大小比较，无理数的估算的知识12.【答案】21=⎧⎨=⎩x y 【解析】用加减消元法解二元一次方程组即可．解：两个方程相加可得48=x ，2=∴x ，将2=x 代入1-=x y ，可得1=y ，故答案为：21=⎧⎨=⎩x y ． 【考点】二元一次方程组13.【答案】0【解析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，120+=∴y y ，故答案为：0. 【考点】正比例函数和反比例函数的图像性质14.【答案】∠=∠BAD CAD （或=BD CD ）【解析】证明≅△△ABD ACD ，已经具备==，AB AC AD AD ，根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．解：==∵，AB AC AD AD ，∴要使≅△△ABD ACD ，则可以添加：∠=∠BAD CAD ，此时利用边角边判定：≅△△ABD ACD ，或可以添加：=BD CD ， 此时利用边边边判定：≅△△ABD ACD ，故答案为：∠=∠BAD CAD （或=BD CD ）.【考点】三角形全等的判定15.【答案】= 【解析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，由网格图可得14242=⨯⨯=△ABC S 个平方单位， 123111=52101513224222⨯---=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△ABD S S S S ， 故有=△△ABC ABD S S .故答案为：“=” 【考点】三角形的面积公式16.【答案】丙，丁，甲，乙【解析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．解：丙先选择：1，2，3，4．丁选：5，7，9，11，13．甲选：6，8．乙选：10，12，14．∴顺序为丙，丁，甲，乙．（答案不唯一）【考点】有理数的加法三、17.【答案】解：原式=326++-32=+-5=.【解析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．具体解题过程参照答案.【考点】负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，合并同类二次根式 18.【答案】解：5322132-⎧⎪⎨-⎪⎩＞①＜②x x x x解不等式①得：1＞x ，解不等式②得：2＜x ，∴此不等式组的解集为12＜＜x ． 【解析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集．解题过程参照答案.【考点】一元一次不等式组【考查能力】推理，空间观念与几何直观19.【答案】解：原式=22942-+-x x x2102 4.=--x x2510--=∵x x ，251-=∴x x ，21022-=∴x x ，∴原式=242-=-.【解析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把2510--=x x 变形后，整体代入求值即可．具体解题过程参照答案.【考点】整式化简求值20.【答案】（1）解：依据作图提示作图如下：（2）∠BPC ，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.证明：∵CD AB ，∠∴ABP =________∠BPC ________．=∵AB AC ，∴点B 在 A 上，又12∠=∠∴BPC BAC （在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．）（填推理依据） 12∠=∠∴ABP BAC . 故答案为：∠BPC ；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．【解析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；具体解题过程参照答案.（2）利用平行线的性质证明：∠=∠ABP BPC ，再利用圆的性质得到：12∠=∠BPC BAC ，从而可得答案．具体解题过程参照答案.【考点】作图，平行线的性质，圆的基本性质21.【答案】（1）∵四边形ABCD 为菱形， ∴点O 为BD 中点，∵点E 为AD 中点，∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE FG∵OG EF∴四边形OEFG 为平行四边形⊥∵EF AB∴平行四边形OEFG 为矩形（2）∵点E 为AD 中点，10=AD152==∴AE AD °90∠=∵EFA ，4=EF∴在△Rt AEF 中，3===AF∵四边形ABCD 为菱形 10==∴AB AD152==∴OE AB ∵四边形OEFG 为矩形5==∴FG OE10352=--=--=∴BG AB AF FG ．【解析】（1）根据菱形的性质得到⊥BD AC ，∠=∠DAO BAO ，得到12=AE OE AD ，推出OE FG ，求得四边形OEFG 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论.具体解题过程参照答案.（2）根据菱形的性质得到⊥BD AC ，10==AB AD ，得到152===OE AE AD ；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得5==FG OE ，根据勾股定理得到3==A F ，于是得到结论.具体证明过程参照答案.【考点】矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质22.【答案】（1）∵一次函数()0=+≠y kx b k 由=y x 平移得到， 1=∴k ，将点()12，代入=+y x b 可得1=b ， ∴一次函数的解析式为1=+y x ；（2）当1＞x 时，函数()0=≠y mx m 的函数值都大于1=+y x ，即图象在1=+y x 上方，由下图可知：临界值为当1=x 时，两条直线都过点()12，， ∴当12＞，＞x m 时，()0=≠y mx m 都大于1=+y x ，又1∵＞x ，∴m 可取值2，即2=m ，∴m 的取值范围为2≥m .【解析】（1）根据一次函数()0=+≠y kx b k 由=y x 平移得到可得出k 值，然后将点()12，代入=+y x b 可得b 值即可求出解析式.具体解题过程参照答案.（2）由题意可得临界值为当1=x 时，两条直线都过点()12，，即可得出当12＞，＞x m 时，()0=≠y mx m 都大于1=+y x ，根据1＞x ，可得m 可取值2，可得出m 的取值范围．具体解题过程参照答案.【考点】求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像23.【答案】（1）解：连接OD ，∵AB 为 O 的直径，°90∠=∴ADB ，⊥∴AD BD ，⊥∵OF AD ，∴OF BD ，∠=∠∴AOF B ，∵CD 是 O 的切线，D 为切点，°90∠=∴CDO ，°90∠+∠=∠+∠=∴CDA ADO ADO BDO ,∠=∠∴CDA BDO ，=∵OD OB ，∠=∠∴ODB B ，∠=∠∴AOF ADC ；（2）∵OF BD ，=AO OB ，=∴AE DE ，118422==⨯=∴OE BD ， 1sin 3==∵OD C OC ， ∴设3==，OD x OC x ，=∴OB x ，4=∴CB x ，∵OF BD ，∴△△COF CBD ∽，=∴OC OF BC BD ， 348=∴x OF x ， 6=∴OF ，642=-=-=∴EF OF OE ．【解析】（1）连接OD ，根据圆周角定理得到°90∠=ADB ，根据平行线的性质得到∠=∠AOF B ，根据切线的性质得到°90∠=CDO ，等量代换即可得到结论.具体解题过程参照答案.（2）根据三角形中位线定理得到118422==⨯=OE BD ,设3==，OD x OC x ，根据相似三角形的性质即可得到结论．具体解题过程参照答案.【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质24.【答案】（1）减小减小减小根据题意，在函数1=-y x 中， 10=-∵＜k ，∴函数1=-y x 在20-≤＜x 中，1y 随x 的增大而减小；22213124⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∵y x x x ， ∴对称轴为：1=x ，221=-+∴y x x 在20-≤＜x 中，2y 随x 的增大而减小； 综合上述，()2116=--y x x x 在20-≤＜x 中，y 随x 的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：（3）73由（2）可知，当0≥x 时，y 随x 的增大而增大，无最大值；由（1）可知()2116=-+y x x x 在20-≤＜x 中，y 随x 的增大而减小； ∴在20-≤＜x 中，有当2=-x 时，73=y ， ∴m 的最大值为73； 故答案为：73． 【解析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案.具体解题过程参照答案. （2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像.具体解题过程参照答案.（3）根据函数图像和性质，当2=-x 时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．具体解题过程参照答案.【考查能力】二次函数的性质，一次函数的性质，函数的最值问题25.【答案】（1）173 平均数：()()()1100100+17010+25010=17330⨯⎡⨯⨯⨯⎤⎣⎦（千克）； 故答案为：173；（2）2.9倍17360 2.9÷=倍；故答案为：2.9；（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：222123＞＞s s s ；【解析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案.具体解题过程参照答案. （2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案.具体证明过程参照答案.（3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案.具体解题过程参照答案.【考点】方差的意义，平均数，数据的分析处理26.【答案】（1）解：（1）当0=x 时，=y c ，即抛物线必过()0，c ， 12==∵y y c ，抛物线的对称轴为1=x ，∴点，M N 关于1=x 对称，又12∵＜x x ，1202==∴，x x ；（2）由题意知，0＞a ，∴抛物线开口向上∵抛物线的对称轴为=x t ，12＜x x∴情况1：当12，x x 都位于对称轴右侧时，即当1≥x t 时，12＜y y 恒成立情况2：当12，x x 都位于对称轴左侧时，即12＜，≤x t x t 时，12＜y y 恒不成立情况3：当12，x x 位于对称轴两侧时，即当12＜，＞x t x t 时，要使12＜y y ，必有12--＜x t x t ，即()()2212--＜x t x t 解得122+＞x x t ， 32∴≥t ，32∴≤t . 综上所述，32≤t ． 【解析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过()0，c ，因为12==y y c ，抛物线的对称轴为1=x ，可得点，M N 关于1=x 对称，从而得到12，x x 的值.具体解题过程参照答案.（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为=x t ，分3种情况讨论，情况1：当12，x x 都位于对称轴右侧时，情况2：当12，x x 都位于对称轴左侧时，情况3：当12，x x 位于对称轴两侧时，分别求出对应的t 值，再进行总结即可．【考点】二次函数图象的性质27.【答案】（1）D ∵是AB 的中点，E 是线段AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线∴DE BC°90∠=∵C°90∠=∴DEC⊥∵DF DE°90∠=∴EDF∴四边形DECF 为矩形．12==∴DE CF BC ， =∴BF CF ，12==∴DF CE AC ，==∴EF故答案为：==EF ．（2）过点B 作AC 的平行线交ED 延长线于点G ，连接FG ，如下图所示：∵BG AC ，∠=∠∴EAD GBD ，∠=∠DEA DGB ，∵D 是AB 的中点，=∴AD BD ，()≅∴△△EAD GBD AAS ，=∴ED GD ，=AE BG ，⊥∵DF DE ，∴DF 是线段EG 的垂直平分线，=∴EF FG ，°90∠=∵ACB ，BG AC ，°90∠=∴GBF ，在△Rt BGF 中，222=+FG BG BF ，222=+∴EF AE BF ．故答案为：222=+EF AE BF ．【解析】（1）由三角形中位线定理得到12=DE BC ，12=DF AC ，再在△Rt DEF 中由勾股定理即可求解. 具体解题过程参照答案.（2）先证明≅△△EAD GBD ，由此得到DF 是GF 的垂直平分线，进而=EF FG ，最后在△Rt BFG 中由勾股定理即可求得222=+EF AE BF ．具体解题过程参照答案. 【考点】三角形中位线定理，勾股定理，三角形全等的性质和判定28.【答案】（1）平行 3P（2）如图，线段AB 在直线=+y 上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD AB ，过点O 作⊥OE AB 于点E ，交弦CD 于点F ，⊥OF CD ，令0=y ，直线与x 轴交点为()20-，，直线与x 轴夹角为60 ，2sin 60︒=∴OE ．由垂径定理得：==OF ，1=-=∴d OE OF（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点322⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 为圆心，半径为1的圆，只需在 O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A 到O 的距离为52==AO ． 如图，平移距离2d 的最小值即点A 到 O 的最小值：53122-=；平移距离2d 的最大值线段是下图AB 的情况，即当12，A A 关于OA 对称，且1212⊥A B A A 且121=A B 时.°22160∠=B A A ，则°2130∠=OA A ，22112===∵，∴，OA OM A M ，23===∴，MA AA ,2∴d 的取值范围为：232d 【解析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作⊥OE AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出、OE OF 的长，由1=-d OE OF 得到1d 的最小值；具体解题过程参照答案.（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点322⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 为圆心，半径为1的圆，只需在 O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离2d 的最大值即点，A B 点的位置，由此得出2d 的取值范围．具体解题过程参照答案. 【考点】圆的基本性质，一次函数的综合运用。
2019-2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类(北京专版)(一)——二次函数(含解析)
2019-2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类（北京专版）（一）——二次函数一．选择题1．（2020•海淀区一模）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2 2．（2019•房山区二模）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（）A．小球的飞行高度不能达到15mB．小球的飞行高度可以达到25mC．小球从飞出到落地要用时4sD．小球飞出1s时的飞行高度为10m3．（2019•通州区三模）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是（）A．y1B．y2C．y3D．y4 5．（2019•道外区二模）将抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，则得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣1 6．（2019•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），（5，3），则下列说法正确的是（）①抛物线与y轴有交点②若抛物线经过点（2，2），则抛物线的开口向上③抛物线的对称轴不可能是x＝3④若抛物线的对称轴是x＝4，则抛物线与x轴有交点A．①②③④B．①②③C．①③④D．②④7．（2019•丰台区模拟）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m 的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定二．填空题8．（2020•朝阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A、B、C，抛物线y2经过点B、C、D，抛物线y3经过点A、B、D，抛物线y4经过点A、C、D．下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；②当x＜0时，至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小；③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；④抛物线y4与y轴的交点在点B的上方．所有正确结论的序号为．9．（2020•朝阳区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长AB的最小值是．10．（2020•西城区校级模拟）已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：．11．（2020•海淀区校级一模）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解的个数为；若m，n分别为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，则m，n的大小关系是．12．（2020•西城区校级模拟）如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为．13．（2019•朝阳区模拟）在平面直角坐标系中xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数y＝﹣x2+a（a＞0）的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域（不含边界）为W．当a＝2时，区域W内的整点个数为，若区域W内恰有7个整点，则a 的取值范围是．14．（2019•大兴区一模）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．15．（2019•朝阳区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为．16．（2019•朝阳区模拟）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式，y＝．17．（2019•石景山区二模）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取A点为坐标原点时的抛物线的表达式为y＝﹣，则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为，水管AB的长为m．三．解答题18．（2020•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax（a≠0）与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点P（2，2），Q（2+2a，5a），若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．19．（2020•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4）．抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式x2﹣5x+a﹣2≤0的x的最大值为3．直接写出实数a的值．20．（2020•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．（1）求点B的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．21．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ax+3的图象与y 轴交于点A，与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴交于点B，将点A向右平移5个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G．（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；（2）①当a＝﹣1时，直接写出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G的公共点个数．②如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围．22．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．23．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．24．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．25．（2020•西城区校级模拟）定义：点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W的距离．例如，如图，正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．（1）如果点G（0，b）（b＜0）到抛物线y＝x2的距离为3，请直接写出b的值．（2）求点M（3，0）到直线y＝x+3的距离．（3）如果点N在直线x＝2上运动，并且到直线y＝x+4的距离为4，求N的坐标．参考答案一．选择题1．解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为（0，﹣3），由平移不改变二次项系数，故得到的抛物线解析式为：y＝2x2﹣3．故选：B．2．解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t＝1时，h＝15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选：C．3．解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；故选：D．4．解：由图象可知：抛物线y1的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，4），根据待定系数法求得y1＝2（x ﹣1）2；抛物线y2的顶点为（1，0），与y轴的一个交点为（0，2），根据待定系数法求得y2＝（x﹣1）2；抛物线y3的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y3＝（x ﹣1）2；抛物线y4的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣b）且﹣b＜﹣4，根据待定系数法求得y4＝﹣（x﹣1）2；综上，二次项系数绝对值最小的是y3故选：C．5．解：抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝（x+1）2﹣1．故选：D．6．解：①当x＝0时，y＝c，∴与y轴有交点；①正确；②抛物线经过（1，2），（2，2），（5，3），∴，∴a＝，∴抛物线开口向上；∴②正确；③如果抛物线的对称轴x＝3，（1，2）关于对称轴对称的点为（5，2），与经过点（5，3）矛盾，∴对称轴不能是x＝3，∴③正确；④对称轴是x＝4，∴﹣＝4，∴b＝﹣8a，将点（1，2），（5，3）代入得，，∴24a+4b＝1，∴﹣8a＝1，∴a＝﹣，∴b＝1，c＝△＝b2﹣4ac＝64a2﹣4ac＞0，∴抛物线与x轴有交点，∴④正确；故选：A．7．解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），∴2＝a（0﹣6）2+2.6，解得：a＝﹣，故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）故会出界．故选：C．二．填空题（共10小题）8．解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线y1的表达式为：y1＝﹣x2+x+3，顶点（，）；同理可得：y2＝﹣x2+x+3，顶点坐标为：（，）；y3＝﹣x2+x+3，顶点坐标为（1，）；y4＝﹣x2+2x+6，与y轴的交点为：（0，6）；①由函数表达式知，四条抛物线的开口方向均向下，故正确，符合题意；②当x＜0时，y3随x的增大而增大，故错误，不符合题意；③由顶点坐标知，抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方，错误，不符合题意；④抛物线y4与y轴的交点（0，6）在B的上方，正确，符合题意．故答案为：①④．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，∴当x＝2时，AC有最小值2，即正方形的边长AB的最小值是．故答案为：．10．解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上，∴a＞0，又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，∴|a|＞3，∴a＞3，取a＝4即符合题意，故答案为：4（答案不唯一）．11．解：函数y＝x2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象有3个交点，则方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解有3个；方程x2（x﹣3）＝1的解为函数图象与直线y＝1的交点的横坐标，x﹣3＝1的解为一次函数y＝x﹣3与直线y＝1的交点的横坐标，如图，由图象得m＜n．故答案为3，m＜n．12．解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．故答案为：x2＜x＜x3．13．解：（1）当a＝2时，函数y＝﹣x2+2，函数与坐标轴的交点坐标分别为（0，2），（﹣，0），（，0），函数y＝﹣x2+2的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域中，整数点有（﹣1，1），（1，1），（0，2）在边界上，不符合题意，点（0，1）在W区域内．所以此时在区域W内的整数点有1个．（2）由（1）发现，当（0，2）是顶点时，在W区域内只有1个整数点，边界上有3个整数点；当a＝3时，在W区域内有4个整数点（﹣1，1），（1，1），（0，2），（0，1），边界上有3个整数点（0，3），（﹣1，2），（1，2）；当a＝4时，在W区域内有7个整数点（﹣1，1），（1，1），（0，2），（0，1），（0，3），（﹣1，2），（1，2）；所以区域W内恰有7个整点，3＜a≤4．故本题答案是1；3＜a≤4．14．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．15．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），即x＝1或﹣3时，函数值y＝0，所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为x1＝﹣3，x2＝1．16．解：函数解析式为y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：﹣x2+2（答案不唯一）．17．解：以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，故平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x+2）2+3（﹣3≤x≤0）；令x＝﹣3，则y＝﹣+3＝2.25．故水管AB的长为2.25m．故答案为：y＝﹣（x+2）2+3（﹣3≤x≤0）；2.25．三．解答题（共8小题）18．解：（1）∵y＝ax2﹣4ax＝ax（x﹣4），∴y＝0时，ax（x﹣4）＝0，∴x＝0或x＝4，∴抛物线与x轴交于点A（0，0），B（4，0）．∴抛物线y＝ax2﹣4ax的对称轴为直线：．（2）y＝ax2﹣4ax＝a（x2﹣4x）＝a（x﹣2）2﹣4a，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣4a）．令y＝5a，得ax2﹣4ax＝5a，a（x﹣5）（x+1）＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∴当y＝5a时，抛物线上两点M（﹣1，5a），N（5，5a）．①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且Q（2+2a，5a）位于点P的右侧，如图1，当点N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2+2a≥5，解得a．②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q（2+2a，5a）位于点P的左侧，（ⅰ）如图2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时﹣4a≤2，解得a．（ⅱ）如图3，当顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2+2a≤﹣1，解得a．综上，a的取值范围是a≥或﹣a＜0或a．19．解：（1）由题意可得：4＝36﹣5×6+a﹣2，∴a＝0，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣5x﹣2，∴顶点C坐标为（，﹣），（2）如图，当顶点C在线段AB下方时，由题意可得：，解得：0≤a＜6；当顶点C在AB时，当x＝时，y＝4，∴，∴a＝，综上所述：当0≤a＜6或时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；（3）由题意可得当x＝3时，y＝0，即9﹣15+a﹣2＝0，∴a＝8．20．解：（1）∵二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，∴令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），把A（﹣3，0）代入y＝mx2+2mx+3，求得m＝﹣1，∴函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）画出函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象如图所示：把A（﹣3，0）代入y＝x2+2x+a得0＝9﹣6+a，解得a＝﹣3，二次函数y＝x2+2x+a的的顶点与图象F的顶点（﹣1，4）重合时，则4＝1﹣2+a，解得a＝5，由图象可知，二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，a的取值范围为﹣3≤a＜3或a＝5．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），∴对称轴x＝﹣＝1，∵一次函数y＝﹣ax+3的图象与y轴交于点A，∴A（0，3），∵点A向右平移5个单位得到点C，∴C（5，3）．（2）①如图1中，观察图象可知，抛物线与图象G的交点有3个，②∵抛物线的顶点（1，﹣4a），当a＜0时，由①可知，a＝﹣1时，抛物线经过A，B，∴当a＜﹣1时，抛物线与图象G有且只有一个公共点，当抛物线的顶点在线段AC上时，如图2中，也满足条件，∴﹣4a＝3，∴a＝﹣，当a＞0时，如图3中，抛物线经过点C时，25a﹣10a﹣3a＝3，解得a＝，抛物线经过点B时，﹣4a＝﹣a+3，解得a＝﹣（舍弃）不符合题意．观察图象可知a≥时，满足条件，综上所述，满足条件的a的取值范围：a＜﹣1或a≥或a＝﹣．22．解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，故答案为：1；（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，∴3a﹣（﹣a）＝4．∴a＝1，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；当a＜0时，同理可得y有最大值为﹣a；y有最小值为3a，∴﹣a﹣3a＝4，∴a＝﹣1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，∴t≥﹣1，t+1≤3，∴﹣1≤t≤2．23．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与y轴交于点C（0，﹣3），∴m﹣4＝﹣3，∴m＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得到x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），∴A（﹣1，0），B（3，0），∵一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，∴﹣k+5＝0，∴k＝5．（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），当点C落在直线y＝5x+5+n上时，﹣3＝﹣5n+5+n，解得n＝2，当点B落在直线y＝5x+5+n上时，0＝5（3﹣n）+5+n解得n＝5，观察图象可知，满足条件的n的取值范围为2≤n≤5．24．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于A，令x＝0，得到y＝a+1，∴A（0，a+1）．（2）由抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1，可知x＝﹣＝，∴抛物线的对称轴x＝．（3）对于任意实数a，都有a+1＞a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C（﹣2，y），∴y c＝11a+1，①如图1中，当a＞0时，y c＞﹣a﹣2，∴点C在点M的上方，结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点．②当a＜0时，（a）如图2中，当抛物线经过点M时，y c＝﹣a﹣2，∴a＝﹣，结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M．（b）当﹣＜a＜0时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点．（c）如图3中，当a＜﹣时，y c＜﹣a﹣2，∴点C在点M的下方，结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤﹣．25．解：（1）①当G在原点下方时，b＝﹣3，②当G在原点上方时，＝3，整理得：x4+（1﹣2b）x2+b2﹣9＝0，△＝（1﹣2b）2﹣4（b2﹣9）＝0，解得：b＝（舍去），故答案为：﹣3；（2）如图1，作直线y＝x+3与x轴交于点B（﹣3，0），过点M作MN⊥BN交于点N，则MN的长度为所求值，则△BMN为等腰直角三角形，故MN＝BM＝3，故点M（3，0）到直线y＝x+3的距离为3；（3）①当点N在直线BH和x＝2的交点下方时，如图2，作直线y＝x+4交x轴于点B，过点N作NH⊥BH于点H，过点N作MN∥x轴交直线BH于点M，则HN＝4，由（2）同理可知，△HMN为等腰直角三角形，MN ＝HN＝4，故x M＝2﹣4，y M＝x M+4＝6﹣4＝y N，故点N的坐标为：（2，6﹣4）；②当点N在直线BH和x＝2的交点上方时，同理可得：点N的坐标为：（2，6+4）；综上，点N的坐标为：（2，6﹣4）或（2，6+4）．。
2024年北京市中考数学试题(含答案解析)
2.【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
3.【答案】C
【详解】解：A、由数轴可知 ，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知 ，由绝对值的意义知 ，故本选项不符合题意；
C、由数轴可知 ，而 ，则 ，故 ，故本选项符合题意；
D、由数轴可知 ，而 ，因此 ，故本选项不符合题意．
（1）当 时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知 和 是抛物线上的两点.若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围.
27.已知 ，点 ， 分别在射线 ， 上，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，过点 作 的垂线交射线 于点 .
（1）如图1，当点 在射线 上时，求证： 是 的中点；
（2）如图2，当点 在 内部时，作 ，交射线 于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明。
7.下面是“作一个角使其等于 ”的尺规作图方法.
（1）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；
（2）作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ；
（3）过点 作射线 ，则 .
上述方法通过判定 得到 ，其中判定 的依据是（）
A.三边分别相等的两个三角形全等
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
甲
乙
丙
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中 （ 为整数）的值为____________.
24.如图， 是 的直径，点 ， 在 上， 平分 .
（1）求证： ；
（2）延长 交 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 .若 ， ，求 半径的长.
人教版中考模拟考试数学试卷及答案(共七套)
19.（1） ；
（2）如下表：
小辰
A
A
A
B
B
B
C
C
C
小安
A
B
C
A
B
C
A
B
C
同一型号
√
√ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√
由表知：他们选择同一型号的概率为 。
20.（1）由两张图知：A有32人，占40%，所以样本容量是80人；
（2）求出B的人数是16人，补全条形图如图；
（3）D等占10%，扇形圆心角是36°；
（4）在被抽到的80人中，C等级24人，占30%，
以此估计全校2000人中评为C的可能有
2000×30%=600，即可能有600人。
21. 解：设增加了 行，则共有（ ）行，（ ）列，
根据题意： ， ，
∵ ，∴ ，
答：增加了3列。
22. 提示（1）AB是直径，∠ACB=90°，∠B+∠2=90°；
DC=AC，那么∠D=∠1，而∠D=∠B，
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是________；
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一型号免洗洗手液的概率。
20.（本题8分）
学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行。在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图：
则D（8，6），CD=5，
而A（5，0），OA=5，∴CD=OA，
∵CD∥OA，且CD=OA，∴四边形OADC是平行四边形；
（3）点C纵坐标为6，则CD与OA之间的距离为 ，
2020年北京市中考数学试题(解析版)
2020年北京市中考数学一．选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 三棱锥D. 长方体【答案】D【解析】【分析】 根据三视图都是长方形即可判断该几何体为长方体．【详解】解：长方体的三视图都是长方形，故选D ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体．2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）A. 50.3610⨯B. 53.610⨯C. 43.610⨯D. 43610⨯【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解： 36000=43.610⨯，故选：C ．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 3.如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1＞∠4+∠5D. ∠2＜∠5【答案】A【解析】【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B选项为∠2＞∠3，C选项为∠1=∠4+∠5，D选项为∠2＞∠5．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，正确理解定义是关键．5.正五边形的外角和为（ ）A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【答案】B【解析】【分析】根据多边形的外角和定理即可得．【详解】任意多边形的外角和都为360︒，与边数无关故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟记多边形的外角和定理是解题关键．6.实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b 满足a b a -<<，则b 的值可以是（ ）A. 2B. -1C. -2D. -3 【答案】B【解析】【分析】先根据数轴的定义得出a 的取值范围，从而可得出b 的取值范围，由此即可得．【详解】由数轴的定义得：12a << 21a ∴-<-<-2a ∴<又a b a -<<b ∴到原点的距离一定小于2观察四个选项，只有选项B 符合故选：B ．【点睛】本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．7.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）A. 14B. 13C. 12D. 23【答案】C【解析】【分析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图如下：所以共4种情况：其中满足题意的有两种，所以两次记录的数字之和为3的概率是21.42= 故选C ．【点睛】本题考查的是画树状图求解概率，掌握画树状图求概率是解题的关键．8.有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系【答案】B【解析】【分析】 设水面高度为,hcm 注水时间为t 分钟，根据题意写出h 与t 的函数关系式，从而可得答案．【详解】解：设水面高度为,hcm 注水时间为t 分钟，则由题意得：0.210,h t =+所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B ．【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题9.若代数式17x -有意义，则实数x 的取值范围是_____． 【答案】7x ≠【解析】【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【详解】∵代数式17x -有意义，分母不能为0，可得70x -≠，即7x ≠， 故答案为：7x ≠．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．10.已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是______．【答案】1【解析】【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式0=，∴440k -=，解得：1k =．故答案为：1.【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．11.______．【答案】2（或3）【解析】【分析】＜2，34，2或3．故答案为：2（或3）相邻的整数之间是解答此题的关键．12.方程组137x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为________． 【答案】21x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：两个方程相加可得48x =，∴2x =，将2x =代入1x y -=，可得1y =， 故答案为：21x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 13.在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线m y x =交于A ，B 两点．若点A ，B 的纵坐标分别为12,y y ，则12y y +的值为_______．【答案】0【解析】【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴120y y +=，故答案为：0.【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.14.在ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明ABD ≌ACD ，这个条件可以是________（写出一个即可）【答案】∠BAD=∠CAD （或BD=CD ）【解析】【分析】 证明ABD ≌ACD ，已经具备,,AB AC AD AD == 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．【详解】解：,,AB AC AD AD ==∴ 要使,ABD ACD ≌则可以添加：∠BAD=∠CAD ，此时利用边角边判定：,ABD ACD ≌或可以添加：,BD CD =此时利用边边边判定：,ABD ACD ≌故答案为：∠BAD=∠CAD 或（.BD CD =）【点睛】本题考查是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 15.如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格交点，则ABC 的面积与ABD 的面积的大小关系为：ABC S ______ABD S （填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】=【解析】【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．【详解】解：如下图所示，设小正方形网格的边长为1个单位，由网格图可得14242ABC S =⨯⨯=个平方单位， 123111=52101513224222⨯---=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=ABD S S S S ， 故有ABC S =ABD S ．故答案为：“＝”【点睛】本题考查了三角形的面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD 的面积．16.如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．【答案】丙，丁，甲，乙【解析】【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．丁选：5，7，9，11，13．甲选：6，8．乙选：10，12，14．∴顺序为丙，丁，甲，乙．（答案不唯一）【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.计算：11()|2|6sin 453---︒【答案】5【解析】【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．【详解】解：原式=3262+-⨯32=+-5.=【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．18.解不等式组：5322132x x x x ->⎧⎪-⎨<⎪⎩ 【答案】12x <<【解析】【分析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集． 【详解】解：5322132x x x x ->⎧⎪⎨-<⎪⎩①② 解不等式①得：1x >，解不等式②得：2x <，∴此不等式组的解集为12x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的解法是解题关键．19.已知2510x x --=，求代数式(32)(32)(2)x x x x +-+-的值．【答案】21024x x --，-2【解析】【分析】 先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把2510x x --=变形后，整体代入求值即可．【详解】解：原式=22942x x x -+-2102 4.x x =--∵2510x x --=，∴251x x -=，∴21022x x -=，∴原式=242-=-． 【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键． 20.已知：如图，ABC 为锐角三角形，AB=BC ，CD ∥AB ．求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP=12BAC ∠． 作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP ．线段BP 就是所求作线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CD ∥AB ，∴∠ABP= ．∵AB=AC ，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=12∠BAC （ ）（填推理依据）∴∠ABP=12∠BAC【答案】（1）见解析；（2）∠BPC ，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 【解析】 【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；（2）利用平行线的性质证明：,ABP BPC ∠=∠ 再利用圆的性质得到：∠BPC=12∠BAC ，从而可得答案． 【详解】解：（1）依据作图提示作图如下：（2）证明：∵CD ∥AB ， ∴∠ABP= BPC ∠ ． ∵AB=AC ， ∴点B 在⊙A 上． 又∵∠BPC=12∠BAC （在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据） ∴∠ABP=12∠BAC 故答案为：∠BPC ；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．【点睛】本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．21.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF ⊥AB ，OG ∥EF ． （1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE 和BG 的长．【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.【解析】【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=12AB=12AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．【详解】解：(1)证明:∵四边形ABCD菱形，∴点O为BD的中点，∵点E为AD中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．(2)∵点E为AD的中点，AD=10，∴AE=15 2AD=∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF中，2222543-=-=AF AE EF．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=12AB=5，∵四边形OEFG为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．故答案为：OE=5，BG=2．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．22.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1，2)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）1y x =+；（2）2m ≥ 【解析】 【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（1，2）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），即可得出当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+，根据1x >，可得m 可取值2，可得出m 的取值范围． 【详解】（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到， ∴1k =，将点（1，2）代入y x b =+可得1b =， ∴一次函数的解析式为1y x =+； （2）当1x >时，函数(0)y mx m =≠函数值都大于1y x =+，即图象在1y x =+上方，由下图可知：临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），∴当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+， 又∵1x >，∴m 可取值2，即2m =， ∴m 的取值范围为2m ≥．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键． 23.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）求证：∠ADC=∠AOF ； （2）若sinC=13，BD=8，求EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）2． 【解析】 【分析】（1）连接OD ，根据CD 是⊙O 的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF ⊥AD ，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA ，可得∠ODA=∠DAO ，即可证明；（2）设半径为r ，根据在Rt △OCD 中，sin 13C =，可得3OD r OC r ==，，AC=2r ，由AB 为⊙O 的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF ⊥AD ，OF ∥BD ，然后由平行线分线段成比例定理可得12OE OA BD AB ==，求出OE ，34OF OC BD BC ==，求出OF ，即可求出EF ． 【详解】（1）证明：连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥CD ，∴∠ADC+∠ODA=90°， ∵OF ⊥AD ，∴∠AOF+∠DAO=90°， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠DAO ， ∴∠ADC=∠AOF ； （2）设半径为r ，在Rt △OCD 中，1sin 3C =， ∴13OD OC ， ∴3OD r OC r ==，， ∵OA=r ，∴AC=OC-OA=2r ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， 又∵OF ⊥AD ， ∴OF ∥BD ， ∴12OE OA BD AB ==， ∴OE=4， ∵34OF OC BD BC ==， ∴6OF =，∴2EF OF OE =-=．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．24.小云在学习过程中遇到一个函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而 ，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而 ，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而 ． （2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：x12132 252 3y116 167161954872综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象．（3）过点(0，m)（0m >）作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是 ． 【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）73【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案； （2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；（3）根据函数图像和性质，当2x =-时，函数有最大值，代入计算即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，在函数1y x =-中， ∵10k =-<,∴函数1y x =-在20x -≤<中，1y 随x 的增大而减小； ∵222131()24y x x x =-+=-+， ∴对称轴为：1x =，∴221y x x =-+在20x -≤<中，2y 随x 的增大而减小；综合上述，21||(1)6y x x x =-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：（3）由（2）可知，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大，无最大值； 由（1）可知21||(1)6y x x x =-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； ∴在20x -≤<中，有 当2x =-时，73y =， ∴m 的最大值为73； 故答案为：73． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段 1日至10日 11日至20日 21日至30日 平均数 100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为21,s 5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为22s ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为23s ．直接写出222123,,s s s 的大小关系．【答案】（1）173；（2）2.9倍；（3）222123s s s >>【解析】 【分析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案； （2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案； （3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案． 【详解】解：（1）平均数：1[(10010)(17010)(25010)]17330⨯⨯+⨯+⨯=（千克）； 故答案为：173； （2）17360 2.9÷=倍； 故答案为：2.9；（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：222123s s s >>；【点睛】本题考查了方差的意义，平均数，以及数据的分析处理，解题的关键是熟练掌握题意，正确的分析数据的联系．26.在平面直角坐标系xOy 中，1122(,),(,)M x y N x y 抛物线2(0)y ax bx c a =++>上任意两点，其中12x x <．（1）若抛物线的对称轴为1x =，当12,x x 为何值时，12;y y c ==（2）设抛物线的对称轴为x t =．若对于123x x +>，都有12y y <，求t 的取值范围． 【答案】（1）120,2x x ==；（2）32t ≤ 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c ），因为12y y c ==，抛物线的对称轴为1x =，可得点M ，N 关于1x =对称，从而得到12,x x 的值；（2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为x t =，分3种情况讨论，情况1：当12,x x 都位于对称轴右侧时，情况2：当12,x x 都位于对称轴左侧时，情况3：当12,x x 位于对称轴两侧时，分别求出对应的t 值，再进行总结即可．【详解】解：（1）当x=0时，y=c ， 即抛物线必过（0，c ），∵12y y c ==，抛物线的对称轴为1x =， ∴点M ，N 关于1x =对称， 又∵12x x <， ∴10x =，22x =；（2）由题意知，a ＞0， ∴抛物线开口向上∵抛物线的对称轴为x t =，12x x <∴情况1：当12,x x 都位于对称轴右侧时，即当1x t ≥时，12y y <恒成立情况2：当12,x x 都位于对称轴左侧时，即1x ＜2,t x t ≤时，12y y <恒不成立情况3：当12,x x 位于对称轴两侧时，即当1x <2,t x t >时，要使12y y <，必有12x t x t -<-，即()()2212x t x t -<-解得122x x t +>， ∴3≥2t ， ∴32t ≤综上所述，32t ≤． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想．27.在ABC 中，∠C=90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点．E 为直线上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设,AE a BF b ==，求EF 的长（用含,a b 的式子表示）； （2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE ，EF ，BF 之间的数量关系，并证明．【答案】（122a b +；（2）图见解析，222EF AE BF =+，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得//DE BC ，12DE BC =，CE AE a ==，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得DE CF =，从而可得CF BF b ==，然后利用勾股定理即可得； （2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得EAD GBD ∠=∠，DEA DGB ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得ED GD =，AE BG =，然后根据垂直平分线的判定与性质可得EF FG =，最后在Rt BGF 中，利用勾股定理、等量代换即可得证．【详解】（1）∵D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点∴DE 为ABC 的中位线，且CE AE a ==∴//DE BC ，12DE BC =∵90C ∠=︒∴18090DEC C ∠=︒-∠=︒∵DF DE ⊥∴90EDF ∠=︒∴四边形DECF 为矩形∴DE CF = 11()22CF BC BF CF ∴==+ ∴CF BF b ==则在Rt CEF中，EF =（2）过点B 作AC 的平行线交ED 的延长线于点G ，连接FG∵//BG AC∴EAD GBD ∠=∠，DEA DGB ∠=∠∵D 是AB 的中点∴AD BD =在EAD 和GBD △中，EAD GBD DEA DGB AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAD GBD AAS ≅∴ED GD =，AE BG =又∵DF DE ⊥∴DF 是线段EG 的垂直平分线∴EF FG =∵90C ∠=︒，//BG AC∴90GBF C ∠=∠=︒在Rt BGF 中，由勾股定理得：222FG BG BF =+∴222EF AE BF =+．【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 28.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34PP ，则这两条弦的位置关系是 ；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线323y x =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值； （3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围． 【答案】（1）平行，P 3；（23（3）23392d ≤≤【解析】【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由1d OE OF =-得到1d 的最小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离2d 的最大值即点A ，B 点的位置，由此得出2d 的取值范围．【详解】解：（1）平行；P 3；（2）如图，线段AB 在直线323y x =+上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD ∥AB ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF ⊥CD ，令0y =，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，∴2sin 603OE ︒==．由垂径定理得：22132OF OC CD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴13d OE OF =-=；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A 到O 的距离为2235222AO ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 如图，平移距离2d 的最小值即点A 到⊙O 的最小值：53122-=；平移距离2d 的最大值线段是下图AB 的情况，即当A 1,A 2关于OA 对称，且A 1B 2⊥A 1A 2且A 1B 2=1时.∠B 2A 2A 1=60°，则∠OA 2A 1=30°, ∵OA 2=1,∴OM=12, A 2M=32, ∴MA=3,AA 2=2233932⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,∴2d 的取值范围为：23392d ≤≤ 【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．。
2020年北京市中考数学黄金冲刺试卷(含答案)
北京市中考数学黄金冲刺试卷考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．3的相反数是A．31B．31-C．3 D．-32．2014年11月北京主办了第二十二届APEC（亚太经合组织）领导人会议，“亚太经合组织”联通太平洋两岸，从地理概念上逐渐变成了一个拥有28000000人口的经济合作体，把“28000000”用科学记数法表示正确的是A．82810.⨯B．92810.⨯C．82810⨯D．72810⨯3．如右图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为A B C D4．一名射击爱好者5次射击的中靶环数依次为：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是A．6 B．7 C．8 D．95．下列图形中，是中心对称图形的是A．B．C．D．6．在函数3y x=-中，自变量x的取值范围是A．3x>B．3x≥C．3x<D．3x≤7．一个不透明的口袋中，装有4个红球，3个黄球，1个白球，这些球除颜色外其余都相同，从口袋中随机摸一个球，则摸到红球的概率为 A ．18B ．38C ．21D ．348．如图，⊙O 的半径为5，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ． 若3OC =，则弦AB 的长为 A ．4B ．6C ．8D ．109．若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =6，BD =8，动点P 从点B 出发，沿着B -A -D 在菱形ABCD 的 边上运动，运动到点D 停止，点'P 是点P 关于BD 的对称 点，'PP 交BD 于点M ，若BM =x ，'OPP △的面积为y ， 则y 与x 之间的函数图象大致为二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：222a -= _____．12．质量检测部门对甲、乙两工厂生产的同样产品抽样调查，计算出甲厂的样本方差为0.99，乙厂的样本方差为1.22．由此可以推断出生产此类产品，质量比较稳定的是 厂． 13．在综合实践课上，小明同学设计了如图测河塘宽AB 的方案：在河塘外选一点O ，连结AO ，BO ，测得18AO =m ，21BO =m ，延长AO ，BO 分别到D ，C 两点，使6OC =m ，7OD =m ，又测得5CD =m ，则河塘宽AB = m ．14．写出一个当自变量0x >时，y 随x 的增大而增大的反比例函数表达式 _____． 15．居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为 元．BC OMOP'P DBACxyxyxyxyOOOODAB C 483333848448DCBAO16．规定：在平面直角坐标系xOy 中，“把某一图形先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折”为一次变化．如图，已知正方形ABCD ，顶点A (1，3)，C (3，1)．若正方形ABCD 经过一次上述变化，则点A 变化后的坐标为 ， 如此这样，对正方形ABCD 连续做2015次这样的变化， 则点D 变化后的坐标为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：10120158+2cos 452-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭．18．解不等式组：()4156,30.x x x ⎧->-⎨+>⎩19．如图，C ，D 为线段AB 上两点，且AC =BD ，AE ∥BF ．AE =BF ．求证：∠E =∠F ．20．已知3b a =-，求代数式22112aba b a ab b ⎛⎫⋅- ⎪-+⎝⎭的值． 21．已知关于x 的一元二次方程2320kx x --=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若k 为小于2的整数，且方程的根都是整数，求k 的值． 22．列方程或方程组解应用题：在练习100米跑步时，小丽为了帮助好朋友小云提高成绩，让小云先跑7.5秒后自己再跑，结果两人同时到达终点，这次练习中小丽的平均速度是小云的1.6倍，求小云这次练习中跑100米所用的时间．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，且 CE ⊥BD 于点F ，将△DEC 沿从D 到A的方向平移，使点D 与点A 重合，点E 平移后的点记为G ． （1）画出△DEC 平移后的三角形；（2）若BC =25BD =6，CE =3，求AG 的长．FABCDEyxA BCD O1133DCE BAF24．为了提倡“绿色”出行，顺义区启动了公租自行车项目，为了解我区居民公租自行车的使用情况，某校的社团把使用情况分为A （经常租用）、B （偶尔租用）、C （不使用）三种情况．先后在2015年1月底和3月底做了两次调查，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图：年1月底综合两次调查公租自行车使用情况扇形统计图两次调查公租自行车使用情况折线统计图年3月底CB A 56%24%根据以上信息解答下列问题：（1）在扇形统计图中，A （经常租用）所占的百分比是 ； （2）求两次共抽样调查了多少人；并补全折线统计图；（3）根据调查的结果，请你谈谈从2015年1月底到2015年3月底，我区居民使用公租自行车的变化情况．25．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是»BC的中点，过点D 作⊙O 的切线，与AB ，AC 的延长线分别交于点E ，F ，连结AD ．（1）求证：AF ⊥EF ；（2）若1tan 2CAD ∠=，AB =5，求线段BE 的长．26．阅读、操作与探究：EA小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如4：6的最简形式为2：3）为两个连续自然数的比，具体操作如下：如图1，Rt △ABC 中，BC ，AC ，AB 的长分别为3，4，5，先以点B 为圆心，线段BA 的长为半径画弧，交CB 的延长线于点D ，再过D ，A 两点分别作AC ，CD 的平行线，交于点E ．得到矩形ACDE ，则矩形ACDE 的邻边比为 ． 请仿照小亮的方法解决下列问题：（1）如图2，已知Rt △FGH 中，GH ：GF ：FH = 5：12：13，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；（2）若已知直角三角形的三边比为()()()2221:2+2:2+21n n n n n ++（n 为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为 ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21212y ax x a =+-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为-1． （1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为'P ，求点'P 的坐标；（3）将抛物线在A ，B 两点之间的部分（包括A ， B 两点），先向下平移3个单位，再向左平移m （0m >）个单位，平移后的图象记为图象G ，若图象G 与直线'PP 无交点，求m 的取值范围．28．如图，△ABC 中，AB =AC ，点P 是三角形右外一点，且∠APB =∠ABC ．xyO22-2-2图2图1HGFEDAB C（1）如图1，若∠BAC =60°，点P 恰巧在∠ABC 的平分线上，PA =2，求PB 的长； （2）如图2，若∠BAC =60°，探究PA ，PB ，PC 的数量关系，并证明； （3）如图3，若∠BAC =120°，请直接写出PA ，PB ，PC 的数量关系．图3图1图2ABCPABCPABC P29．已知：如图1，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），根据对称性△AMB 恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB 为直角三角形时，就称△AMB 为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线2y x =的“完美三角形”斜边AB 的长；②抛物线21y x +=与2y x =的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ； （2）若抛物线24y ax +=的“完美三角形”的斜边长为4，求a 的值；（3）若抛物线225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ，且225y mx x+n =+-的最大值为-1，求m ，n 的值．xyxyxyy =2备用图1O图2(M )ABO 图1MBAO数学答案二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．()()211a a -+； 12．甲； 13．15； 14．2y x=-（答案不唯一）； 15．1446； 16．（-1，-3）；（-3，-3）．（第一空2分，第二空1分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．解：=21+-.…… 4分=3-..……………………………………… 5分18．解：解不等式①得2x <，………………………………………………………….…… 2分解不等式②得3x >-， ……………………………………………………….……..… 4分 ∴原不等式的解集为32x -<<．………………………………………………….…… 5分 19． 证明：∵AC =BD ，∴AD =BC ．………………………………..…………………………………………… 1分 ∵AE ∥BF ，∴∠A =∠B ．………………………………..………………………………………… 2分 又∵AE =BF ，………………………………..……………………………….……………3分 ∴△EAD ≌△FBC ，…………………………..…………………………….…….……4分 ∴∠E =∠F ．………….………………………..……………………………………… 5分 20．解：22112aba b a ab b ⎛⎫⋅- ⎪-+⎝⎭()2abb aaba b -=⋅-….………………………..……………………… 2分（两个化简各1分） 1b a=-….………………………..…………………………………………………..… 3分 ∵3b a =-，∴3b a -=-，..……………………………………………...……..… 4分∴原式1b a =-13=-．….…………………..………………………….………..…… 5分 21． 解：（1）△=9+8k ………………………………………………………….…….… 1分∵方程2320kx x --=有两个不相等的实数根， ∴9+80,0.k k >⎧⎨≠⎩……………………………………………..……………..……..... 2分∴98k >-且0k ≠．………………………………………………………..………..... 3分 （2）∵k 为不大于2的整数，∴1k =-，1k =，……………………………………………………..……..…….… 4分 ∴当1k =-时，方程2320x x ---=的根-1，-2都是整数； 当1k =时，方程2320x x --=的根317±不是整数不符合题意； 综上所述，1k =-．……………………………………………………………..…….. 5分 22．解：设小云这次练习跑100米的时间为x 秒，则小丽的时间为（x -7.5）秒．….. 1分 依题意，得1001001.67.5x x ⨯=-．………………………………………………………… 2分 解得20x =．……………………………………………………………………. 3分 经检验：20x =是所列方程的根，且符合实际意义．………………………. 4分答：小云这次练习跑100米的时间为20秒．…………………………………….……… 5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23． 解：（1）……………………………………… 2分（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，由平移可知点C 平移到点B ，且△DEC ≌△AGB ，………………………….….… 3分 ∴BG =CE ，BG ∥CE ． ∵CE ⊥BD ，CE =3， ∴BG =3，∠GBD =90°． 在Rt △GBD 中，BD =6，∴DG =35，………………………………….…………………….……….…..…… 4分 又∵BC =25 ∴AD =5∴AG 5………………………………………………………….…………….…. 5分GF AB E CD24．解： （1）20%； ………..……… 1分（2）()24+3256%=100÷（人）………..……… 4分（计算2分，补图1分）（3）经常使用公租自行车的人数明显增多，二从不使用的人数明显减少，说明大家越来越认识公租自行车的好处．………..…………………………………………………………… 5分 25． （1）证明：连结OD ．∵直线EF 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥EF ．∵OA = OD ，∴∠1=∠3．………………………….. 1分∵点D 为»BC的中点， ∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OD ∥AF ，∴AF ⊥EF ． ………………..………… 2分 （2）解：连结BD ． ∵1tan 2CAD ∠=， ∴1tan 12∠=，……………….………………..…… 3分 在Rt △ADB 中，AB =5， ∴BD 5AD =25在Rt △AFD 中，可得DF =2，AF =4，∵OD ∥AF ，∴△EDO ∽△EFA ，….……………… 4分 ∴OD OEAF AE=， 又∵OD =2.5，设BE=x ，∴2.5 2.545xx +=+， ∴53x =，即BE =53．…………………….….……. 5分321OCBADFEEF DABCO123两次调查公租自行车使用情况折线统计图2015年3月底2015年1月底26．解：1：2；…………………………………………………………………...……… 1分 （1）………….……… 2分2：3；…………………………………………………………………...……… 3分 （2）()1n n +：…………….……………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 27．解：（1）∵A （-1，0）在抛物线21212y ax x a =+-+上， ∴12102a x a --+=，…….…………………………………………………...… 1分 ∴解得2a =-，…………….……………………………………………………… 2分 （2）∴抛物线表达式为223y x x =-++．∴抛物线223y x x =-++的顶点P 的坐标为（1，4）．…………….….……… 3分（会配方，套公式给1分）∵点P 关于原点的对称点为'P ，∴'P 的坐标为（-1，-4）．………………………………………………….……… 4分（3）直线'PP 的表达式为4y x =，…………….……………….… 5分 图象向下平移3个单位后，'A 的坐标为（-1，-3），'B 的坐标为（3，-3）， 若图象G 与直线'PP 无交点，则'B 要左移到M 及左边， 令3y =-代入'PP ，则34x =-，M 的坐标为3,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭，……… 6分 ∴315344B'M=⎛⎫--=⎪⎝⎭，∴154m >． ……………………………………………..…………… 7分NMFGH 图2xy MA'B'OP C B A P'28．解：（1）∵AB =AC ，∠BAC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∠APB =∠ABC ，∴∠APB =60°，………………..…………………………………………..…...……… 1分 又∵点P 恰巧在∠ABC 的平分线上， ∴∠ABP =30° ∴∠PAB =90°． ∴BP =2AP ， ∵AP =2，∴BP =4．………………..………………………………..…………………….….… 2分 （2）结论：PA +PC =PB ．证明：在BP 上截取PD ，使PD =PA ，连结AD ．…………………….…….…… 3分 ∵∠APB =60°，∴△ADP 是等边三角形， ∴∠DAP =60°， ∴∠1=∠2，PA =PD ， 又∵AB =AC ，∴△ABD ≌△ACP ，…………………………………………….………….………4分 ∴PC =BD ，∴PA +PC =PB ．………………..……………………..…………………….……… 5分 （33+PC =PB ．………………..…..…….…………………...……… 7分12DABPC12FD ABCP29．解：（1）①过点B 作BN ⊥x 轴于N ，由题意可知△AMB 为等腰直角三角形，AB ∥x 轴，易证MN =BN ，设B 点坐标为（n ，-n ），代入抛物线2y x =， 得2n n =，∴1n =，0n =（舍去），∴抛物线2y x =的“完美三角形”的斜边2AB =．…..②相等；…..…………….……………………………………………..…… 2分 （2）∵抛物线2y ax =与抛物线24y ax =+的形状相同， ∴抛物线2y ax =与抛物线24y ax =+的“完美三角形”全等，∵抛物线24y ax +=的“完美三角形”斜边的长为4，………………………..….… 3分 ∴抛物线2y ax =的“完美三角形”斜边的长为4， ∴B 点坐标为（2，2）或（2，-2）， ∴12a=±．…..………………………………………………….… 4分（一个答案1分） （3）∵225y mx x+n =+-的最大值为-1，∴()45414m n m--=-，…………………………………………………………………………….… 5分∴410mn m --=，∵抛物线225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ， ∴抛物线2y mx =的“完美三角形”斜边长为n ， ∴B 点坐标为,22n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴代入抛物线2y mx =，得222n n m ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭， ∴2mn =-（不合题意舍去），………………………………………….………………………. 6分 ∴34m =-，∴83n =．…..……………………………………………………………..….….…… 8分xyy =2图2(M )ABO。
2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类(北京专版)(二)——统计与概率
2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类（北京专版）（二）——统计与概率一．选择题1．（2020•大兴区一模）一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．2．（2020•北京一模）为了解高校学生对5G移动通信网络的消费意愿，从在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，下面是大学生用户分类情况统计表和大学生愿意为5G套餐多支付的费用情况统计图（例如，早期体验用户中愿意为5G套餐多支付10元的人数占所有早期体验用户的50%）．用户分类人数A：早期体验用户（目前已升级为5G用户）260人B：中期跟随用户（一年内将升级为5G用户）540人C：后期用户（一年后才升级为5G用户）200人下列推断中，不合理的是（）A．早期体验用户中，愿意为5G套餐多支付10元，20元，30元的人数依次递减B．后期用户中，愿意为5G套餐多支付20元的人数最多C．愿意为5G套餐多支付10元的用户中，中期跟随用户人数最多D．愿意为5G套餐多支付20元的用户中，后期用户人数最多3．（2020•石景山区一模）某地区经过三年的新农村建设，年经济收入实现了翻两番（即是原来的22倍）．为了更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后的年经济收入构成结构如图，则下列结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少了B．新农村建设后，养殖收入实现了翻两番C．新农村建设后，第三产业收入比新农村建设前的年经济收入还多D．新农村建设后，第三产业收入与养殖收入之和超过了年经济收入的一半4．（2020•大兴区一模）众志成城，抗击疫情，救助重灾区．某校某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：100，45，100，40，100，60，155．下面有四个推断：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是150；②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100；③这7名同学所捐的零花钱的众数是100；④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，可以推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数也一定是100．所有合理推断的序号是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④5．（2020•东城区一模）党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础．以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分．年份人数地区2017 2018 2019东部300 147 47中部1112 181西部1634 916 323（以上数据来源于国家统计局）根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是（）A．2018年中部地区农村贫困人口为597万人B．2017﹣2019年，农村贫困人口数量都是东部最少C．2016﹣2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多D．2017﹣2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低6．（2020•丰台区三模）某校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织同学开展植树造林活动，为了了解同学的植树情况，学校抽查了初一年级所有同学的植树情况（初一年级共有两个班），并将调查数据整理绘制成如下所示的部分数据尚不完整的统计图表．下面有四个推断：初一年级植树情况统计表棵树/棵 1 2 3 4 5人数7 33 a12 3①a的值为20；②初一年级共有80人；③一班植树棵数的众数是3；④二班植树棵数的是中位数2．其中合理的是（）A．①③B．②④C．②③D．②③④7．（2020•丰台区一模）某区响应国家提出的垃圾分类的号召，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为了解居民生活垃圾分类的情况，随机对该区四类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾进行分拣后，统计数据如表：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱垃圾箱种类垃圾量垃圾种类（吨）厨余垃圾400 100 40 60可回收物30 140 10 20有害垃圾 5 20 60 15其他垃圾2515 20 40下列三种说法：（1）厨余垃圾投放错误的有400t；（2）估计可回收物投放正确的概率约为；（3）数据显示四类垃圾箱中都存在各类垃圾混放的现象，因此应该继续对居民进行生活垃圾分类的科普．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2020•朝阳区一模）一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列m与n的关系一定正确的是（）A．m＝n＝8 B．n﹣m＝8 C．m+n＝8 D．m﹣n＝8 9．（2020•顺义区一模）小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如图两个统计图．根据图中信息，有下面四个推断：①这5期的集训共有56天；②小明5次测试的平均成绩是11.68秒；③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．所有合理推断的序号是（）A．①③B．②④C．②③D．①④10．（2020•顺义区一模）箱子内装有除颜色外均相同的28个白球及2个红球，小芬打算从箱子内摸球，以毎次摸到一球后记下颜色将球再放回的方式摸28次球．若箱子内每个球被摸到的机会相等，且前27次中摸到白球26次及红球1次，则第28次摸球时，小芬摸到红球的概率是（）A ．B ．C ．D．11．（2020•通州区一模）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的学生的支付金额a（元）的分布情况如下：0＜a≤1000 1000＜a≤2000 a＞2000 支付金额a（元）支付方式仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人下面有四个推断：①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率大于他使用B支付方式的概率；②根据样本数据估计，全校1000名学生中，同时使用A，B两种支付方式的大约有400人；③样本中仅使用A种支付方式的同学，上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元；④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数一定不低于1000元．其中合理的是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④12．（2020•朝阳区一模）生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．日均可回收物回收量（千吨）1≤x＜2 2≤x＜3 3≤x＜4 4≤x＜5 5≤x≤6 合计频数 1 2 b 3 m频率0.05 0.10 a0.15 1 表中3≤x＜4组的频率a满足0.20≤a≤0.30．下面有四个推断：①表中m的值为20；②表中b 的值可以为7；③这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x＜5组；④这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．所有合理推断的序号是（）A．①②B．①③C．②③④D．①③④13．（2020•朝阳区校级模拟）下列事件属于随机事件的是（）A．随便翻开一本书，页码是偶数B．任意画一个三角形，至少有两个内角是锐角C．通常情况下，水的密度小于冰的密度D．在平面内，一条直线与一个圆有三个交点14．（2020•海淀区校级模拟）从2020年5月1日起，北京正式施行“垃圾分类”，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．小明投放了两袋垃圾．不同类的概率是（）A．B．C．D．15．（2020•西城区校级模拟）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分时间t人数学生类别0≤t＜10 10≤t＜2020≤t＜3030≤t＜40t≥40性别男7 31 25 30 4女8 29 26 32 8 学段初中25 36 44 11高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5h～25.5h之间；②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20h～30h之间；③这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20h～30h之间；④这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20h～30h之间．所有合理推断的序号是（）A．①②③④B．①②④C．①②③D．①④16．（2020•朝阳区模拟）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝39．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变17．（2020•东城区校级模拟）新型冠状病毒肺炎侵袭全国，全国人民团齐心协力共抗疫情．小明同学一直关注疫情的变化，期待疫情结束早日复课，他主要关注近一个月新增确诊病例和现有病例的情况，如图1、图2所示，反映的是2020年2月22日至3月23日的新增确诊病例和现有病例的情况．对近一个月内数据，下面有四个推断：①全国新增境外输入病例呈上升趋势；②全国一天内新增确诊人数最多约650人；③全国新增确诊人数增加，现有确诊病例人数也增加；④全国一日新增确诊人数的中位数约为200．所有合理推断的序号是（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②④18．（2020•朝阳区校级二模）某商场一名业务员12个月的销售额（单位：万元）如下表：则这组数据的众数和中位数分别是（）月份（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售额（万元） 6.2 9.8 9.8 7.8 7.2 6.4 9.8 8 7 9.8 10 7.5 A．10，8 B．9.8，9.8 C．9.8，7.9 D．9.8，8.1二．填空题19．（2020•顺义区二模）数学活动课上，老师拿来一个不透明的袋子，告诉学生里面装有4个除颜色外均相同的小球，并且球的颜色为红色和白色，让学生通过多次有放回的摸球，统计摸出红球和白球的次数，由此估计袋中红球和白球的个数．下面是全班分成的三个小组各摸球20次的结果，请你估计袋中有个红球．摸到红球的次数摸到白球的次数一组13 7二组14 6三组 15 520．（2020•东城区二模）在“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲同学成绩的方差是15，乙同学成绩的方差是3，由此推断甲、乙两人中成绩稳定的是 ．21．（2020•丰台区二模）一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为 ．22．（2020•房山区二模）已知一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差是S 2，那么另一组数据x 1﹣3，x 2﹣3，x 3﹣3，…，x n ﹣3的方差是 ．23．（2020•海淀区二模）如表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：投篮次数n 48 82 124 176 230 287 328 投中次数m 335983 118 159 195 223 投中频率0.69 0.720.670.670.690.680.68根据如表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为 ．（结果精确到0.01） 24．（2020•丰台区一模）某研究所发布了《2019年中国城市综合实力排行榜》，其中部分城市的综合实力、GDP 和教育科研与医疗的排名情况如图所示，综合实力排名全国第5名的城市，教育科研与医疗排名全国第 名．25．（2020•平谷区一模）某公司计划招募10名技术人员，他们对20名面试合格人员进行了测试，测试包括理论知识和实践操作两部分，20名应聘者的成绩排名情况如图所示，下面有3个推断：①甲测试成绩非常优秀，入选的可能性很大； ②乙的理论知识排名比实践操作排名靠前；③位于椭圆形区域内的应聘者应该加强该专业理论知识的学习；其中合理的是．（写序号）26．（2020•石景山区一模）一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是．27．（2020•大兴区一模）甲、乙两人参加射击比赛，每人各射击10次，两人所得环数的平均数相同，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数的方差为18，那么成绩较为稳定的是（填“甲”或“乙”）．28．（2020•门头沟区一模）抗击肺炎期间，小明准备借助网络评价选取一家店铺，购置防护用品．他先后选取三家店铺，对每家店铺随机选取了1000条网络评价，统计结果如表：评价等级评价频数店铺一星二星三星四星五星合计甲93 30 54 338 485 1000乙80 56 69 340 455 1000丙92 128 125 155 500 1000 小明选择在（填“甲”“乙”“丙”）店铺购买防护用品，能获得良好的购物体验（即评价不低于四星）的可能性最大．三．解答题29．（2020•密云区二模）“垃圾分类就是新时尚”．树立正确的垃圾分类观念，促进青少年养成良好的文明习惯，对于增强公共意识，提升文明素质具有重要意义．为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如图：甲校学生样本成绩频数分布表（表1）成绩m（分）频数频率50≤m＜60 a0.1060≤m＜70 b c70≤m＜80 4 0.2080≤m＜90 7 0.3590≤m≤100 2 d合计20 1.0b．甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示：（表2）学校平均分中位数众数方差甲76.7 77 89 150.2乙78.1 80 n135.3 其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 6891请根据所给信息，解答下列问题：（1）表1中c＝；表2中的众数n＝；（2）乙校学生样本成绩扇形统计图中，70≤m＜80这一组成绩所在扇形的圆心角度数是度；（3）在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；（4）若乙校1000名学生都参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请估计乙校成绩优秀的学生约为人．30．（2020•平谷区二模）疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．观看直播课节数的频数分布表节数x频数频率0≤x＜10 8 0.1610≤x＜20 10 0.2020≤x＜30 16 b30≤x＜40 a0.24x≥40 4 0.08总数50 1其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有人．31．（2020•门头沟区二模）自从开展“创建全国文明城区”工作以来，门头沟区便掀起了“门头沟热心人”志愿服务的热潮，区教委也号召各校学生积极参与到志愿服务当中．为了解甲、乙两所学校学生一周志愿服务情况，从这两所学校中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：分钟）数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．甲校40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图（数据分成5组：20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x＜120，120≤x＜140）：b．甲校40名学生一周志愿服务时长在60≤x＜80这一组的是：60 60 62 63 65 68 70 72 73 75 75 76 80 80c．甲、乙两校各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下：学校平均数中位数众数甲校75 m90乙校75 76 85根据以上信息，回答下列问题：（1）m＝；（2）根据上面的统计结果，你认为①所学校学生志愿服务工作做得好（填“甲”或“乙”），理由②；（3）甲校要求学生一周志愿服务的时长不少于60分钟，如果甲校共有学生800人，请估计甲校学生中一周志愿服务时长符合要求的有人．32．（2020•东城区二模）教育未来指数是为了评估教育系统在培养学生如何应对快速多变的未来社会方面所呈现的效果．现对教育未来指数得分前35名的国家和地区的有关数据进行收集、整理、描述和分析后，给出了部分信息．a．教育未来指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：20≤x＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤t≤90）；b．教育未来指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.2 62.8 64.6 65.2 67.2 67.3 67.5 68.5c.35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图如图：d．中国和中国香港的教育未来指数得分分别为32.9和68.5．（以上数据来源于《国际统计年鉴（2018）》和国际在线网）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国香港的教育未来指数得分排名世界第；（2）在35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图中，包括中国香港在内的少数几个国家和地区所对应的点位于虚线l的上方，请在图中用“〇”画出代表中国香港的点；（3）在教育未来指数得分比中国高的国家和地区中，人均国内生产总值的最大值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是．（只填序号即可）①相交于点A，C所代表的国家和地区，中国的教育未来指数得分还有一定差距，“十三五”规划提出“教育优先发展，教育强则国家强”的任务，进一步提高国家教育水平；②相交于点B，C所代表的国家和地区，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．33．（2020•朝阳区二模）为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取50家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的A和B两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A项指标成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：4≤x＜5，5≤x＜6，6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）：b．A项指标成绩在7≤x＜8这一组的是：7.2，7.3，7.5，7.67，7.7，7.71，7.75，7.82，7.86，7.9，7.92，7.93，7.97．c．A，B两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下：平均数中位数众数A项指标成绩7.37 m8.2B项指标成绩7.21 7.3 8 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次调研评估中，某企业A项指标成绩和B项指标成绩都是7.5分，该企业成绩排名更靠前的指标是（填“A“或“B”），理由是；（3）如果该地区有500家企业，估计A项指标成绩超过7.68分的企业数量．参考答案一．选择题1．解：∵袋子中装有6个黑球3个白球，共有9个球，∴摸到白球的概率为＝；故选：C．2．解：早期体验用户：支付10元人数：260×50%＝130，支付20元人数260×35%＝91，支付30元人数260×15%＝39，中期跟随用户：支付10元人数55%×540＝297，支付20元人数540×40%＝216，支付30元人数540×5%＝27，后期用户：支付10元人数200×40%＝80，支付20元人数200×56%＝112，支付30元人数200×4%＝8，A、早期体验用户中，愿意为5G套餐多支付10元，20元，30元的人数依次递减，说法正确，故此选项不合题意；B、后期用户中，愿意为5G套餐多支付20元的人数最多，说法正确，故此选项不合题意；C、愿意为5G套餐多支付10元的用户中，中期跟随用户人数最多，说法正确，故此选项不合题意；D、愿意为5G套餐多支付20元的用户中，后期用户人数最多，说法不正确，应为中期跟随用户最多，故此选项符合题意；故选：D．3．解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为4a．A、建设后，种植收入为30%×4a＝120%a，建设前，种植收入为55%a，故新农村建设后，种植收入增加了，故A项符合题意；B、建设后，养殖收入为30%×4a＝120%a，建设前，养殖收入为30%a，故120%a÷30%a＝4，故B项不符合题意；C、建设后，第三产业收入为32%×4a＝128%a，故第三产业收入比新农村建设前的年经济收入还多，故C项不符合题意；D、建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+32%）×4a＝248%a，经济收入的一半为2a，故248%a＞2a，故D项不符合题意．故选：A．4．解：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是，错误；②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，正确；③这7名同学所捐的零花钱的众数是100，正确；④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，不能推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数一定是100，错误；故选：B．5．解：A、2018年中部地区农村贫困人口为：1660﹣147﹣916＝597（万人）．故A的说法正确；B、由统计表可知B选项说法正确；C、∵4335﹣3046＝1289，3046﹣1660＝1386，1660﹣551＝1109，∴1109＜1289＜1386，故C不正确，D、∵≈0.843，≈0.837，≈0.802，∴0.802＜0.837＜0.843，∴D说法正确．∴只有C推断不正确．故选：C．6．解：①由折线图与统计表可知，a＝20+5＝25，故①错误；②由统计表可知，初一年级两个班共有7+33+25+12+3＝80（人），故②正确；③由题意可知，初一年级两个班每人种树1棵与5棵的人数和为7+3＝10（人），∴37＜一班人数＜47，33＜二班人数＜43，又∵一班每人种树3棵树的有20人，人数最多，所以一班植树棵数的众数是3，故③正确；④∵二班人数＜43，且二班每人种树2棵树的有21人，∴二班植树棵数的是中位数2，故④正确．故选：D．7．解：（1）厨余垃圾投放错误的有100+40+60＝200t；故错误；（2）估计可回收物投放正确的概率约为＝；故正确；（3）数据显示四类垃圾箱中都存在各类垃圾混放的现象，因此应该继续对居民进行生活垃圾分类的科普，故正确．故选：C．8．解：∵一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，∴任意摸出一个球，是黄球的概率为：，不是黄球的概率为：，∵是黄球的概率与不是黄球的概率相同，∴＝，∴m+n＝8．故选：C．9．解：①这5期的集训共有：5+7+10+14+20＝56（天），故正确；②小明5次测试的平均成绩是：（11.83+11.72+11.52+11.58+11.65）÷5＝11.66（秒），故错误；③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，故正确；④从测试成绩看，两人的最好的平均成绩是小明在第三期，小聪在第四期出现，建议集训时间定为10∽14天．故错误；故选：A．10．解：因为毎次摸到一球后记下颜色将球再放回，所以箱子内总装有除颜色外均相同的28个白球及2个红球，所以第28次摸球时，小芬摸到红球的概率＝＝．故选：C．11．解：①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A支付方式的概率为＝0.3，使用B支付方式的概率为＝0.25，此推断合理；②根据样本数据估计，全校1000名学生中，同时使用A，B两种支付方式的大约有1000×＝400（人），此推断合理；③样本中仅使用A种支付方式的同学，第15、16个数据均落在0＜a≤1000，所以上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元，此推断合理；④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数无法估计，此推断不正确．故推断正确的有①②③，故选：C．12．解：①1÷0.05＝20．故表中m的值为20，是合理推断；②20×0.2＝4，20×0.3＝6，1+2+6+3＝12，故表中b的值可以为7，是不合理推断；③1+2+6＝9，故这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x＜5组，是合理推断；④（1+5）÷2＝3，0.05+0.10＝0.15故这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断．故选：D．13．解：A、随便翻开一本书，页码是偶数，是随机事件，符合题意；B、任意画一个三角形，至少有两个内角是锐角，是必然事件，不符合题意；C、通常情况下，水的密度小于冰的密度，是不可能事件，不符合题意；D、在平面内，一条直线与一个圆有三个交点，是不可能事件，不符合题意；故选：A．14．解：四个不同的垃圾桶分别记为A，B，C，D表示，根据题意画图如下：由树状图知，小明投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以小明投放的两袋垃圾不同类的概率为＝；故选：D．15．解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5～25.5之间，正确；②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在20～30 之间，故②正确．③由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 0﹣15，35，15，18，1，当0≤t＜10时间段人数为 0 时，中位数在 10～20 之间；当 0≤t＜10时间段人数为 15 时，中位数在 10～20 之间，故③错误．④由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10 的人数在 0～15 之间，当人数为 0 时中位数在 20～30 之间；当人数为 15 时，中位数在 20～30 之间，故④正确．故选：B．16．解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，故选：B．17．解：由折线图可得：①全国新增境外输入病例呈上升趋势，正确；②全国一天内新增确诊人数最多约650人，正确；③全国新增确诊人数增加，现有确诊病例人数在减少，错误；④全国一日新增确诊人数的中位数约为100，错误故选：A．18．解：这组数据的众数是9.8，6.2，6.4，7，7.2，7.5，7.8，8，9.8，9.8，9.8，9.8，10，中位数是＝7.9，故选：C．二．填空题（共10小题）19．解：∵三个小组摸到红球的次数为13+14+15＝42（次），∴摸到红球的概率为＝，∴估计袋中有4×≈3个红球．。
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260
330
300
360
240
在 A，B，C，D，E 五个收费出口中，判断每 20 分钟通过小客车数量最多的一个收费出口.
5. (6 分)如图，P 是矩形 ABCD 内部的一定点，M 是 AB 边上一动点，连接 MP 并延长与矩形 ABCD 的 一边交于点 N，连接 AN.
第 5 题图
小腾根据学习函数的经验，对线段 AM、MN、AN 的长度之间的关系进行了探究.
第 1 题图
2. (5 分)在美国职业篮球联赛(NBA)2018 赛季常规赛结束后，某球迷为了比较 A、B 两名球员的表现.对 A、 B 两名球员整个常规赛季的数据进行了分析，如下图所示.篮板数既可以反映进攻表现，又可以反映防守表 现.数据值越高，说明球员在该项上表现越好.
第 2 题图 (1)在这两名球员整个常规赛季的比赛中总得分较高的一位是
中档解答题题组(7 套)
题组周练一
(时间：35 分钟) 1. (5 分)如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E 在边 BC 的延长线上，且 OE＝OB，连接 DE. (1)求证：DE⊥BE； (2)设 CD 与 OE 交于点 F，若 OF2＋FD2＝OE2，CE＝3，DE＝4，求线段 CF 的长.
B. 抽取各班体育成绩较好的学生共 40 名学生的体质健康测试成绩组成样本
C. 从年级中按学号随机选取男女生各 20 名学生的体质健康测试成绩组成样本 整理、描述数据
抽样方法确定后，调查小组获得了 40 名学生的体质健康测试成绩如下：
77 83 80 64 86 90 75 92 83 81
85 86 88 62 65 86 97 96 82 73
2.6
1.10
球员 B 29.4 116.52 10.2 10.42
请根据上述数据，分别从得分和助攻两个角度比较 A、B 两位球员在季后赛前的表现.
3. (6 分)在平面内，给定△ABC，如图所示，已知 BC＝AC，O 为 BC 中点，到点 O 的距离等于 1BC 的 2
所有点组成图形 G，AB 交图形 G 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为点 E. (1)求证：D 是 AB 的中点； (2)若 BC＝10，tan∠B＝3，求 DE 的长.
(填 A 或 B)；
(2)根据统计图判断，这两位球员中，哪一位在常规赛季的防守表现更好，并说明理由； (3)两位球员所在的球队都进入了季后赛，该球迷为了进一步比较两人在季后赛前的状态，对两人常规 赛季最后 10 场比赛的数据进行了分析，所得的数据如下：
得分
助攻
平均数 方差 平均数 方差
球员 A 29.3 37.05
cm.
6. (5 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝－x＋b 的图象经过边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 B，直线 y＝mx＋m＋1 与 y＝－x＋b 的图象交于点 D(点 D 在直线 BC 的上方)，与 x 轴交于点 E.
(1)求 b 的值； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记 y＝－x＋b 的图象在点 B、D 之间的部分与线段 AB、AE、DE 围成的区域(不含边界)为 W. ①当 m＝1时，直接写出区域 W 内的整点个数；
2 ②若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 m 的取值范围.
第 6 题图
题组周练二
(时间：35 分钟) 1. (5 分)如图，矩形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EF⊥AM，垂足为点 F，交 AD 于点 E. (1)求证：∠BAM＝∠AEF； (2)若 AB＝4，AD＝6，cos∠BAM＝4，求 DE 的长.
86 84 89 86 92 73 57 77 87 82
91 81 86 71 53 72 90 76 68 78 整理数据，如下表所示：
2018 年九年级部分学生的体质
健康测试成绩统计表
50≤x 55≤x 60≤x 65≤x 70≤x 75≤x 80≤x 85≤x 90≤x 95≤x
<55
<60
第 3 题图
4. (6 分)高速公路某收费站出城方向有编号为 A，B，C，D，E 的五个小客车收费出口，假定各收费出 口每 20 分钟通过小客车的数量是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口 20 分钟一共通过的
小客车数量记录如下：
收费出口编号
A，B B，C C，D D，E E，A
通过小客车 数量(辆)
<65
<70
<75
<80
<85
<90
<95 <100
1
1
2
2
4
5
5
2
分析数据、得出结论
调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩(直方图)进行了对比， 2017 年九年级部分学生体质健康成绩直方图
第 2 题图
(1)你能从中得到的结论是
，你的理由是
；
(2)体育老师计划根据 2018 年的统计数据安排 75 分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有
4.77
3.84
3.15
3.15
4.24
AN/cm
6.32
6.38
6.44
6.44
5.81
5.02
4.24
在 AM、MN、AN 的长度这三个量中，确定
的长度是自变量，
的长度和
的长
度都是这个自变量的函数；
(2)在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出(1)中确定的函数的图象；
(3) 结合函数图象，解决问题：当△AMN 为等腰三角形时，AM 的长度约为
__
名同学参加此项目.
3. (6 分)如图，已知△DEB，∠D＝90°，点 D 到 BE 的高线交 BE 于点 O，点 O 到点 B 的距离为 a，到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G，与 BE 交于点 A，∠B 的平分线交 DE 于点 C 交 DO 于点 M，连接 OC， 且 OC∥BD.
5
第 1 题图
2. (5 分)某校九年级八个班共有 280 名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水 平，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全.
收集数据
调查小组计划选取 40 名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，合理的是
(填Leabharlann 字母)；A. 抽取九年级 1 班、2 班各 20 名学生的体质健康测试成绩组成样本
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)对于点 M 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AM、MN、AN 的长度的几组值，如下表：
位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7
AM/cm
0.00
1.08
1.85
3.30
4.02
4.97
6.00
MN/cm
6.32
5.37