电磁学系列专题

Ek
Ekb
Eka
1 2
mvb2
1 2
mva2
(1 2 )Ekb (12 1)Eka
若小圆盘与下板碰撞后的“稳定速度”为vs，则其与下板碰后的动能为：
Eks
1 2
mvs2
因此小圆盘向上运动在与上板碰撞前的动能为： EkS qV mgd
小圆盘一个来回两次碰撞的动能损失为：
Ek总
(1
2
- 1)E ks
环
球面
(1)
dE
2Rd 40r 2
cos
dE
2R2 sind 40r 2
cos
R sin Q sin
4R
(2)
Q2Q r22
Q1Q2 (r1 r2 )2
0
Q1 (r1 r2 )2 k
Q
r22
Q1Q r12
Q2Q r2 2
0
r2
r1 k 1
Q1Q Q1Q2 0 r12 (r1 r2 )2
Q2
r22 r12
Q1
(
kQ k 1)2
r1>R ；
Q1<0、Q2<0
； r2
R,
k (1 r1 )2 R
k 1
(3)
Fx
Q1Q
4 0 (r1
x)2
Q2Q
4 0 (r2
x)2
Q [ Q1 Q2 ]
4 0
r12
(1
x r1
)2
r22
(1
x r2
)2
Q [Q1 (1 2x) Q2 (1 2x)]
V 2
因此
I Q 2q t t
1 1
3
2md
2
V
2
V
2
1 1
3
2md 2
⑥、电压缓降至VC时，回路中电流停止流动，试求临界电压VC和相应的 临界电流IC。小圆盘到达上板速度为零时的电压为临界电压，即
Eks qVC mgd 0
2
2
( 1
2
)qVC
12
mgd
qVC
mgd
0
qVC
VC2
1 2 12
WB k( d
) kQq( (8)
RB
d RB )
因为RB<<d，所以
4 d
1 RB
9 d
，即Ws>WB，所以
x
2 9
(
10 1)d
正确。
负值
例(27决)、如图，两块大金属板A和B沿竖直方向平 行放置，相距为d，两板间加有恒定电压U，一表面 涂有金属膜的乒乓球垂吊在两板之间，其质量为m， 轻推乒乓球，使之向其中一金属板运动，乒乓球与 该板碰撞后返回，并与另一板碰撞，如此不断反 复．假设乒乓球与两板的碰撞为非弹性碰撞，其恢 复系数为e，乒乓球与金属板接触的时间极短，并 在这段时间内达到静电平衡，达到静电平衡时，乒 乓球所带的电荷量q与两极板之间电势差的关系可 表示为∣q∣=C0U，其中C0为一常量，同时假设乒乓 球半径远小于两金属板间距d，乒乓球上的电荷不 影响金属板上的电荷分布；连接乒乓球的绳子足够 长，乒乓球的运动可近似为沿水平方向的直线运动： 乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略，空 气阻力可忽略．试求 1、乒乓球运动过程中可能获得的最大动能。 2、经过足够长时间后，通过外电路的平均电流。
例 如图所示，两个固定的均匀带电球面A和B分别带电4Q和Q（Q＞0） ，两球心之间的距离 d 远大于两球的半径，两球心的连线MN与两球面的 相交处都开有足够小的孔，因小孔而损失的电量可以忽略不计，一带负电 的质点静止放置在A球左侧某点P处，且在MN直线上。设质点从P点释放后 刚好能穿过三个小孔，并通过B球球心。试求质点开始时所在的P点与A球 球心的距离 x 。
a
a
a0
qV md
t t t0
v0 v0 vs
这时恢复系数为：
vs
vs a0t0
，这时时间间隔为：t
2t0
2(1
)
vs a0
忽略重力的功，小圆盘稳态动能为：
Eks
1 2
mvs2
2 1 2
qV
将a0和vs 代入Δt 得：
t
2t0
2(1
)
2 2 1
md 2 2 1 qV 1
2md 2
E
E(
1
40r 3
0)
[3( p rˆ)rˆ 2 p
40r 3
p]
或
E
q
4 0
[ (r
1 a)2
(r
1 a)2
]
q[1 1]
40r 2 (1 a )2 (1 a )2
r
r
q
40r 2
[1
2a r
1
2a ] r
2p
4 0 r 3
2、离子在电偶极子的延长线上，故离子所受的电场力为
f
③、求小圆盘浮起的电圧V th
Fe
1 Vth 2d
q 0r 2
2
Vth2 d2
mg
Vth
2mg d
0 r
④、求小圆盘与下板碰撞后的“稳定速度”vs
恢复系数η：
va 碰后两物相对速度
vb 碰前两物相对速度
小圆盘上下运动一个来回获静电能： w 2qV
小圆盘每一次非弹性碰撞后的动能损失：
2 2 1 2
gd
⑤、小圆盘每个来回携带的电荷量为2q。电荷上升和下降的时间分别为 t+、t-，Δt= t++t-，初速分别为v0+、v0-，加速度分别为a+、a-。则
v0t
1 2
at2
d
v0t
1 2
at2
d
F
ma
qE
mg
qV d
mg
当达到稳态后，如果qV>>mgd，则圆盘向上、向下运动是对称的，故
号，该力都是吸引力；
3、求离子与原子间有相互作用电势能；
4、求图 1 中最接近距离 rmin； 5、当瞄准距离 b 小于某个临界值 b0 时，离子将会沿一螺线碰到原子。
在此情况下，离子被中和，原子将会带电。此过程叫做“电荷交换”
相互作用。“电荷交换”碰撞截面的面积 A b02 是多少？
解： 1、电偶极子在空间任意一点的电场度为
g
m
专题二、 电场强度叠加原理
1、以点电荷的场强叠加
E
i
Ei
i
1
4 0
qi ri2
rˆi
E
q
dq
40r 2
rˆ
例：电偶极子
电偶极子的电偶极矩： p 2qa
E
k r3
[(3
p rˆ)rˆ
p]
2、以典型电荷分布的场强叠加 例
●半径为R的均匀带电球面的电场强度
E
Q
40r 2
rˆ
E0
（r>R） (r>0)
由（3）式知，因b≠0，所以rmin不能为零。若Q＝0，该式不失正确性，
这时
rmin
b 1 2
1
12
（我们在（3）式根号前取＋号，可使rmin b ） ，对（3）式有
rmin
b 2
1
1
1
4
Q 2
2
2 0
mv02b
4
2
（4）
由（4）式知，为保证 rmin为实数，则要求
Q 2
1 即
4
2
2 0
图 1 所示，b 为碰撞参数（即瞄准距离）。中性原子被靠近的离子的电
场（Eion）极化，从而有电偶极矩 p Ei。on 不计辐射损失。
1、对图 2 所示几何关系，计算位于原点的理想电偶极子 p 在其延长线 上，距O点 r 处的电场强度 EP；
2、求极化原子作用在离子上的力 f 。证明不论离子所带电荷为何种符
40 r12
r1 r22
r2)
Q Q1 [(1 2x ) (1 2x )]
4 0 r12
r1
r2)
2Q
4 0
Q1 r12
1 [(
r1
)
1 r2)
)]x
2kQ 2
4 0 r13
[1
r1 r2
)]x
k kQ2
4 0 r13
x
k kQ2 2 0 r13m
T 2 2 0r13m
k kQ2
例 一个质量为 m ，带电荷为 Q 的离子以非相对论初始速率 v0 ，从极 远处射向一中性原子附近，该中性原子的质量 M>>m，α为极化率。如
解： 1、根据题意，乒乓球与金属板第一次碰撞前其动能和速度分别为
第一次碰撞前
第二次碰撞前
Ek1 0 v1 0
刚碰后
q c0U Ek' 1 0
v1' 0
(1)
EK 2 Ek' 1 qU c0U 2 (6)
(2)
v2
2Ek 2 m
(7)
(3)
第二次碰撞后
(4)
v2' ev2
(8)
(5)
解
k
4Q r12
k
Q r22
(1)
r1+r2=d
(2)
由（1）、（2）解得
r1
2 3
d
r2
1 3
d
(3)
4Qq Qq 4Qq Qq x x d r1 r2
(4)
解得
4 1 x xd
9 d
(5)
x 2 ( 10 1)d
(6)
9
W
S
k
(
4Qq r1
Qq r2
)
k
9Qq d
4Qq Qq
41
(7)
设t 时刻，离子的速率为 v ，与原子的距离为 rmin ，则由能量守
恒和角动量守恒得
1 2
mv02
1 2
mv 2
Q 2
32
2
r2 4
0 min
mv0b mvrmin
v b v0 rmin
（1） （2）
由（1）式得 由（2）式得
v2 v02
Q 2 32
1 2
mv02
r 2 2 4 0 min
1
g
a 2
a
因 v0 0 , 故 v0 (at ) ，
d
1 2
at2
t2 2d a ,则
t
2d
a
(1 2 )d g
利用 v0 v0 a t 0 、v02 v02 2d a
，得
t
v0 a
2d a
(1 2 )d 2g
t
t
t
t
(1
1
)
(1 2) d g
IC
2q t
2VC t
2 1 2 (1)(1 2)
Ek' 2
1 2
mv'22
1 2
me2v22
e2Ek2
(9)
第三次碰撞前
EK 3 Ek' 2 qU (1 e2 )c0U 2
(10)
v3
2 Ek 3 m
和镜像电荷镜像效应等。求：①、未插入小圆片时 电容器两极板间的相互作用力；②、小圆片上的电量q ;③、使小圆片刚好 浮起需加的电源电压值V th；④、当V > V th时小圆片将在电容 器两极板 间上下运动(小圆片只做垂直运动，没有 摇摆)，小圆片与极板作非弹性
碰撞，恢复系数为 η v /v ≡ after before 。小圆片碰撞后的瞬时速度接近一个 “稳态速度 v s ” ，求 v s ；⑤、达到稳态后，如果q V>> mgd ，通过
QEp (
0)
2Qp
40r 3
p
Eion
Q 40r 2
rˆ
f QEp (
0)
2Q
40r 3
Q 40r 2
rˆ
Q2
8
2
2 0
r
5
rˆ
由上式知，无论Q是正是负，作用力总是引力。
3、离子和电偶极子的相互作用电势能为
W f dr
Q 2
dr
Q 2
r
r
8
2
2 0
r
5
32
2
2 0
r
4
4、求r 的最小值
(1 2 )(EKS
qV
mgd )
小圆盘达稳态的条件是：小圆盘从电源获得的电能刚好补偿动能的损失，即
解得：
2qV (12 -1)Eks (1 2 )(EKS qV mgd )
Eks
1 2
mvs2
2
( 1
2
)qV
2 12
mgd
因此
vs
2 m
2
( 1
2
qV
2 12
mgd )
2 2 0r 2V 2 (1 2 )md
电容器极板间电流的时间平均值；⑥、极板间电压V 慢慢下降时，存在 一个临界电压 VC ，使电荷在板间停止流动。求V C、及对应的电流 IC。
解：①、Q
R2
0 ER2
0
V d
R 2
F
Q V 2d
1 2
0
V d
2 2
R 2
②、求小圆盘上的电量
q
r 2
Βιβλιοθήκη Baidu 0Er 2
0
r 2V
d
令
0
r 2
d
，则
q V
电磁学讲授提纲
一、带电体（粒子）在库仑力作用下的运动 二、电场强度叠加原理 三、电势叠加原理 电势能 四、静电场中的导体 电容器 五、载流导体受安培运动 六、电荷受电磁场力运动 七、电磁感应
专题一、带电体（粒子）在库仑力作用下的运动
例 半径为R、质量m 分布均匀的细园环上分布不能移动的正电荷，总 电量为Q。(1)知电荷在环直径AOB上作匀速直线运动,求园环上的电荷 分布；(2)如图,将Q1=kQ放在距环心r1处,若Q2、Q1、Q三者都静止不动， 求Q2的大小和位置;（3）让Q1 、Q2 固定不动并变符号。使环沿x轴移 小距离x后静止释放，试讨论环的运动。
(b rmin
)2
Q 2 32
1 2
mv02
2 02b4
(b rmin
)4
1
（3）
( rmin )4 b
( rmin )2 b
Q 2
16 2 02mv02b4
0
1 ( rmin )2
b
1
4
Q 2
2
2 0
mv02b
4
2
rmin
b 2
1
1
1 Q2
4
2
2 0
mv02b
4
2
（3）
5、求碰撞截面积。
●半径为R的均匀带电球体内外的电场强度
E
Q
40r 2
rˆ
E
Qr
40 R3
rˆ
r 3 0
（r>R） （r≤R）
●由柱外电场强度公式知：线密度为λ的无限长直线电荷的电场强度为
E
20r
λ
●无限大均匀带电平（单位面积带电荷σ）
E 2k 2 0
请同学们自己用高斯定理证明上式
σ
专题三、 电势 电势能
mgd
0
r 2
d
2mg d
Vth 0 r
VC
1 2 1 2
mgd
1 2 1 2
mgd 2
0r 2
ZCVth
ZC
12 2(1 2 )
1 2
下面求临界电流 IC Δt=t++t- ,
v0t
1 2
a
t
d
v0t
1 2 at
d
a
qVC md
g
( 1
2
2
)
g
a
qVC md
g
( 2 1
2 2
)
mv02b
4
b4
Q 2
4
2
2 0
mv02
1
则
b b0
4
Q 2
2
2 0
mv02
4
1
A b02
4
Q 2
2
2 0
mv02
2
例：如图所示，圆形真空平板电容器极板半径为R， 板间距离为 d (d<<R) ，极板间接恒压源 V。一 半径为r(<<d)、质量为m 的薄导体圆片置于下极。 板中心。忽略边缘效应、电感效应、相对论效应