数据建模-插值与拟合1
数值计算方法插值与拟合
数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。
插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。
本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。
一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。
插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。
二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。
三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。
四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。
五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。
六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。
插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。
数学建模插值与拟合
数学建模插值与拟合数据插值与拟合插值与插值函数：已知由(可能未知或⾮常复杂)产⽣的⼀批离散数据，且个互异插值节点，在插值区间内寻找⼀个相对简单的函数，使其满⾜下列插值条件：再利⽤已求得的计算任⼀⾮插值节点的近似值，这就是插值。
其中称为插值函数，称为被插函数。
最⼩⼆乘拟合：已知⼀批离散的数据，互不相同，寻求⼀个拟合函数，使与的误差平⽅和在最⼩⼆乘意义下最⼩。
在最⼩⼆乘意义下确定的称为最⼩⼆乘拟合函数。
1）Lagrange插值法a．待定系数法：假设插值多项式，利⽤待定系数法即可求得满⾜插值条件的插值函数。
关键在于确定待定系数。
b．利⽤基函数的构造⽅法⾸先构造个满⾜条件：的次插值基函数，再将其线性组合即可得如下的Lagrange插值多项式：其中c．Lagrange插值余项注：上述两种构造⽅法所得的Lagrange插值多项式是⼀样的，即满⾜插值条件的Lagrange插值多项式是唯⼀的。
2）分段线性插值作分段线性插值的⽬的在于克服Lagrange插值⽅法可能发⽣的不收敛性缺点。
所谓分段线性插值就是利⽤每两个相邻插值节点作线性插值，即可得如下分段线性插值函数：其中特点：插值函数序列具有⼀致收敛性，克服了⾼次Lagrange插值⽅法的缺点，故可通过增加插值节点的⽅法提⾼其插值精度。
但存在于节点处不光滑、插值精度低的缺点。
3）三次样条插值三次样条插值的⽬的在于克服Lagrange插值的不收敛性和提⾼分段线性插值函数在节点处的光滑性。
所谓三次样条插值⽅法就是在满⾜下列条件：a．b．在每个⼦区间上是三次多项式的三次样条函数中寻找满⾜如下插值条件：以及形如等边界条件的插值函数的⽅法。
特点：三次样条插值函数序列⼀致收敛于被插函数，因此可通过增加节点的⽅法提⾼插值的精度。
4）插值⽅法的Matlab实现⼀维数据插值MATLAB中⽤函数interp1来拟合⼀维数据，语法是YI = INTERP1(X,Y,XI,⽅法)其中（X，Y）是已给的数据点，XI 是插值点，其中⽅法主要有'linear' -线性插值，默认'pchip' -逐段三次Hermite插值'spline' -逐段三次样条函数插值其中最后⼀种插值的曲线⽐较平滑例：x=0:.12:1; x1=0:.02:1;y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);plot(x,y,'o'); hold on;y1=interp1(x,y,x1,'spline');plot(x1,y1,':')如果要根据样本点求函数的定积分，⽽函数⼜是⽐较光滑的，则可以⽤样条函数进⾏插值后再积分，在MATLAB 中可以编写如下程序：function y=quadspln(x0,y0,a,b)f=inline(‘interp1(x0,y0,x,’’spline’’)’,’x’,’x0’,’y0’);y=quadl(f,a,b,1e-8,[],x0,y0);现求six(x)在区间[0，pi]上的定积分，只取5点x0=[0,0.4,1,2,pi];y0=sin(x0);I=quadspln(x0,y0,0,pi)结果得到的值为 2.01905，精确值为2⼆元函数插值：MATLAB中⽤函数interp2来拟合⼆维⽹格（X，Y）上的数据Z，语法是YI = INTERP2(X,Y, Z，XI, YI，⽅法)其中（X，Y，Z）是已给的数据点，（XI，YI）是插值点坐标，其中⽅法主要有'linear' -线性插值，默认'pchip' -逐段三次Hermite插值'spline' -逐段三次样条函数插值其中最后⼀种插值的曲⾯⽐较平滑例：[x,y]=meshgrid(-3:.6:3,-2:.4:2);z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x..*y);[x1,y1]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);%⽣成⽹格，x1和y1均为同样size的矩阵z1=interp2(x,y,z,x1,y1,’spline’); %z1是矩阵，size 和x1，y1相同surf(x1,y1,z1);axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5]);-33如果数据不是在⽹格上取的，则可⽤函数griddata 来解决语法是YI = griddata(X,Y, Z ，XI, YI ，‘v4’)其中（X ， Y ，Z ）是已给的数据点，（XI ，YI ）是插值点坐标，其中除了⽅法‘v4’外还有 'linear' -线性插值，默认 'cublc' -逐段三次Hermite 插值 'nearest' 其中‘v4’⽅法⽐较好例x=-3+6*rand(200,1); %⽣成随机点的x坐标向量xy=-2+4*rand(200,1); %⽣成随机点的y坐标向量yz=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y); % 上述点的样本值向量z[x1,y1]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); %⽣成⽹格，x1和y1均为同样size的矩阵z1=griddata(x,y,z,x1,y1,’v4’);surf(x1,y1,z1);axis([-3,3,-2,2,-0.7,1.5]);⽣成的图类似上图。
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
数学建模插值及拟合详解
插值和拟合【1 】试验目标：懂得数值剖析建模的办法,控制用Matlab进行曲线拟合的办法,懂得用插值法建模的思惟,应用Matlab一些敕令及编程实现插值建模.试验请求：懂得曲线拟合和插值办法的思惟,熟习Matlab相干的敕令,完成响应的演习,并将操纵进程.程序及成果记载下来.试验内容：一.插值1．插值的根本思惟·已知有n +1个节点（xj,yj）,j = 0,1,…, n,个中xj互不雷同,节点(xj, yj)可算作由某个函数 y= f（x）产生;·结构一个相对简略的函数y=P(x);·使P经由过程全体节点,即 P (xk) = yk,k=0,1,…, n ;·用P (x)作为函数f ( x )的近似.2．用MA TLAB作一维插值盘算yi=interp1(x,y,xi,'method')注：yi—xi处的插值成果;x,y—插值节点;xi—被插值点;method—插值办法（‘nearest’：最临近插值;‘linear’：线性插值;‘spline’：三次样条插值;‘cubic’：立方插值;缺省时：线性插值）.留意：所有的插值办法都请求x是单调的,并且xi不克不及够超出x的规模.演习1：机床加工问题机翼断面下的轮廓线上的数据如下表：x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15y 0用程控铣床加工机翼断面的下轮廓线时每一刀只能沿x偏向和y偏向走异常小的一步.表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但工艺请求铣床沿x偏向每次只能移动单位.这时需求出当x 坐标每转变单位时的y 坐标. 试完成加工所需的数据,画出曲线. 步调1：用x0,y0两向量暗示插值节点;步调2：被插值点x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,'spline'); 步调3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on答：x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline'); plot(x0,y0,'k+',x,y,'r') grid on0510150.511.522.53．用MA TLAB 作网格节点数据的插值(二维)z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)注：z—被插点值的函数值;x0,y0,z0—插值节点;x,y—被插值点;method—插值办法（‘nearest’：最临近插值;‘linear’：双线性插值; ‘cubic’：双三次插值;缺省时：双线性插值）.留意：请求x0,y0单调;x,y可取为矩阵,或x取行向量,y取为列向量,x,y的值分离不克不及超出x0,y0的规模.4．用MA TLAB作散点数据的插值盘算cz =griddata（x,y,z,cx,cy,‘method’）注：cz—被插点值的函数值;x,y,z—插值节点;cx,cy—被插值点;method—插值办法（‘nearest’：最临近插值;‘linear’：双线性插值; ‘cubic’：双三次插值;'v4‘：Matlab供给的插值办法;缺省时：双线性插值）.演习2：航行区域的警示线某海域上频仍地有各类吨位的船只经由.为包管船只的航行安然,有关机构在低潮时对水深进行了测量,下表是他们供给的测量数据：水道水深的测量数据x 129.0140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5y 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5z 4 8 6 8 6 8 8x157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5y -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5z 9 9 8 8 9 4 9个中（x, y）为测量点,z为（x, y）处的水深(英尺),水深z是区域坐标（x, y）的函数z= z (x, y）,船的吨位可以用其吃水深度来反应,分为4英尺.英尺.5英尺和英尺 4 档.航运部分要在矩形海域（75,200）×（－50,150）上为不合吨位的航船设置警示标识表记标帜.请依据测量的数据描写该海域的地貌,并绘制不合吨位的警示线,供航运部分应用. x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5];y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5];z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9];cx=75:0.5:200;cy=-70:0.5:150;cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');meshz(cx,cy,cz),rotate3dxlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')%pausefigure(2),contour(cx,cy,cz,[-5 -5]);grid on,hold onplot(x,y,'+')xlabel('X'),ylabel('Y')200XYZXY80100120140160180200-60-40-20020406080100120140演习3：估量水塔的水流量—93,请绘出三次样条插值曲线,并盘算一天的总的用水量. 解：t0=[0.46,1.38,2.4,3.41,4.43,5.44,6.45,7.47,8.45,11.49,12.49,13.42,14.43,15.44,16.37,17.38,18.49,19.50,20.40,24.43,25.32];v0=[11.2,9.7,8.6,8.1,9.3,7.2,7.9,7.4,8.4,15.6,16.4,15.5,13.4,13.8,12.9,12.2,12.2,12.9,12.6,11.2,3.5]; t=0:0.1:26; y=interp1(t0,v0,t,'spline'); plot(t0,v0,'k+',t,y,'r') grid on0510********-10-55101520二.曲线拟合已知一组（二维）数据,即平面上 n 个点（xi,yi) i=1,…n, 追求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所稀有据点最为接近,即曲线拟合得最好.最经常应用的办法是线性最小二乘拟合 1．多项式拟合⏹对给定的数据（xj,yj）,j = 0,1,…, n;⏹拔取恰当阶数的多项式,如二次多项式g(x)=ax^2+bx+c;⏹使g(x)尽可能逼近（拟合）这些数据,但是不请求经由给定的数据（xj,yj）; 2．多项式拟合指令1）多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合指令:a=polyfit(x,y,m)a：输出多项式拟合系数a[a1,a2,…,am];x,y：输出长度雷同的数组;m：多项式的次数. 2）多项式在x处的值y的盘算敕令：y=polyval（a,x）演习4：对下面一组数据作二次多项式拟合写出拟合敕令：plot(x,y,'k+',x,z,'r')作出数据点和拟合曲线：0.10.20.30.40.50.60.70.80.91写出拟合的二次多项式：0317.01293.208108.9)(2-+-=x x x f3．可化为多项式的非线性拟和曲线改直是工程中又一经常应用的断定曲线情势的办法,很多罕有的函数都可以经由过程恰当的变换转化为线性函数.（1）幂函数 by ax c =+ln ln ln y c a b x -=+（2）指数函数 xy ab c =+ln ln ln y c a x b -==（3）抛物函数 2,(0)y ax bx c x =++≠b ax xcy +=- 演习5：完成教材P93页的习题5的第一小题. x0=[0,300,600,1000,1500,2000];x=0:100:2000;y0=[0.9689,0.9322,0.8969,0.8519,0.7989,0.7491];y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on0200400600800100012001400160018002000。
数学建模_插值与拟合总结
y0 y1
⎪⎩a0 + a1xn + a2 xn2 + L + an xnn = yn
记此方程组的系数矩阵为 A ，则
（3）
1 x0 x02 L x0n det( A) = 1 x1 x12 L x1n
LLLLLLL
1 xn xn2 L xnn 是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当 x0 , x1,L, xn 互不相同时，此行列式值不为零。因 此方程组（3）有唯一解。这表明，只要 n + 1 个节点互不相同，满足插值要求（2）的
z=x(i); s=0.0; for k=1:n
p=1.0; for j=1:n
if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end
-176-
1.2 牛顿（Newton）插值 在导出 Newton 公式前，先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。 1.2.1 差商
=
f0
+
Δf 0 h
(x − x0 ) + L +
Δn f0 n! h n
( x − x0 )( x − x1)L( x − xn−1)
若令 x = x0 + th ，则上式又可变形为
Nn (x0
+ th)
=
f0
+ tΔf0
+L +
t(t
− 1)L(t n!
−n
+ 1) Δn
f0
上式称为 Newton 向前插值公式。
f [x, x0 , x1] = f [x0 , x1, x2 ] + ( x − x2 ) f [x, x0 , x1, x2 ] LL
数学建模之插值与拟合
matlab中拟合的函数
非线性曲线拟合 Matlab中对于多项式拟合，有现成的函数
c = lsqcurvefit ( ′fun′, x0, xdata, ydata)
matlab中拟合的函数
非线性曲线拟合例题
对下面的x、y进行数据拟合
x=[3.6,7.7,9.3,4.1,8.6,2.8,1.3,7.9,10,5.4]; y=[16.5,150.6,263.1,24.7,208.5,9.9,2.7,163.9,325,54.3];
最小二乘法
线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，基本 思路是，令
f (x) a1r1(x) a2r2 (x) amrm (x) • 其中,rk(x)是事先选定的一组线性无关的函数,ak是待定系
数(k=1,2,...,m,m<n)。拟a合准则是使yi，i=1,2,3...,n，与f (xi )
• 求：利用最小二乘法求得上述拟合函数
求解方法
（1）做散点图，通过散点图判断函数为：y=ax+b
（2）根据最小二乘法原理可知，即使下式中M最小
10
M yi axi b2
i 1
（3）把M看作是自变量为a和b的函数，由多元函数取最值
的条件可知:
M M
a b
a, a,
b b
0 0
M
a
M
b
目录
1
插值法与拟合法
2 matlab中插值的函数
3 matlab中拟合的函数 4 插值与拟合的运用
插值法与拟合法的基本介绍
插值法：求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合法：已知有限个数据点，求近似函数，不要求
过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上 的总偏差最小。
《插值与拟合》课件
拟合的方法
1
最小二乘法
通过最小化残差平方和，找到与数据最匹配的函数。
2
局部加权回归
给予附近数据点更高的权重，拟合接近局部数据点的函数。
3
多项式拟合
用多项式函数逼近数据，通过选择合适的次数实现拟合。
插值与拟合的误差分析
插值和拟合都会引入近似误差，需要评估误差范围和影响因素。
插值与拟合在数据处理与分析中的应用
数据分析
通过插值和拟合方法对数据进 行探索和分析。
数据处理
在数据处理过程中使用插值和 拟合技术来填充缺失值和平滑 数据。
数据建模
利用插值和拟合模型对数据特 征进行捕捉和预测分析。
插值与拟合的推广和发展前景
随着数据科学和人工智能的不断发展，插值和拟合在各个领域的应用前景越 来越广阔。
插值与拟合的应用范围
科学研究
用于数据分析、信号优化设计、近似计算和 效能提升。
经济金融
用于市场分析、预测模型和 风险评估。
插值的方法
1
拉格朗日插值
基于多项式插值公式，用拉格朗日多项式逼近函数。
2
牛顿插值
基于差商的概念，用多项式逼近函数的值。
3
分段插值
将插值区间划分为多个子区间，并在每个子区间上进行插值。
《插值与拟合》PPT课件
插值与拟合是数值计算和数据分析中重要的概念。
插值与拟合的概念
插值
通过已知值的推算，计算在未知点的近似值。
拟合
通过曲线或曲面拟合已知数据，以描述和预 测未知数据。
插值与拟合的区别与联系
1 区别
2 联系
插值重点关注已知点的准确性，而拟合则 着重于整体形状的拟合。
插值和拟合都通过数学模型逼近离散数据， 以实现数据的补全和预测。
数学建模案例分析-- 插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用
第十章 插值与拟合方法建模在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。
插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。
相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
§1 数据插值方法及应用在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。
与此有关的一类问题是当原始数据),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。
1、分段线性插值这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。
如果b x x x a n =<<<= 10那么分段线性插值公式为n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11111 =≤<--+--=-----可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。
其缺点是不能形成一条光滑曲线。
例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。
根据地图的比例，18 mm 相当于40 km 。
根据测量数据，利用MA TLAB 软件对上下边界进行线性多项式插值，分别求出上边界函数)(2x f ，下边界函数)(1x f ，利用求平面图形面积的数值积分方法—将该面积近似分成若干个小长方形，分别求出这些长方形的面积后相加即为该面积的近似解。
数学建模插值与拟合课件
设函数 y f (x) 在 n 1个相异点 x0 , x1, x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1, y2 , , yn ，要求一个次数≤n 的代数多
项式
Pn (x) a0 a1x a2 x 2 an x n
使在节点 xi 上成立 Pn (xi ) yi (i 0,1,2, , n) ，称此为 n 次代数插值问题，Pn (x) 称为插值多项式。可以证明 n
如果不要求近似函数通过所有数据点， 而是要求它能较好地反映数据变化规律的近 似函数的方法称为数据拟合。（必须有函数 表达式）
近似函数不一定（曲线或曲面）通过所 有的数据点。
三、插值与拟合的区别和联系
1、联系 都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够 反映数据变化规律的近似函数的方法。 2、区别 插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅 通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合 要求得到一个具体的近似函数的表达式。
图所示，当n 增大时，pn x在两端会发出激烈
的振荡，这就是所谓龙格现象。
龙格现象
2
y=1/(1+x2) y=p4(x) y=p10(x) 1.5
1
0.5
0
-0.5
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
x
To MATLAB lch(larg1)
分段插值的概念
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段 多项式化。一般来说，分段插值方法的处理 过程分两步，先将所考察的区间作一分划
y1
lj(x)
当n =2 时，有三点二次（抛物线）插值多项式：
P2
(x)
(x (x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
数学建模精选经典课件之插值与拟合
可以看出这些点大致分 布在一条直线附近。
我们不妨用插值法，和拟合法两种方法对比 的看看他们的图像，找出他们的差别。
对这样的数据采用上一节介绍的插值方法近 似求描述物理规律的解析函数，必然存在下 列缺点：
在一个包含有很多数据点的区间内构 造插值函数，必然使用高次多项式。而 高次插值多项式是不稳定的。
700 850 950 1010 1070 1550 980
通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值 方法的插值效果进行比较。
散乱节点定义
已知n个节点
其中
互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
Matlab中网格节点插值的函数
cz=griddata(x0,y0,z0,cx,cy,’method’)
插值&拟合
一.插值法（内插，外插）
内插:是数学领域数值分析中的通过已知的离散数据 求未知数据的过程或方法。
在这里我们所讲的插值法指的就是内插法!
二.拟合法
科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获 得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希望得到 一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方 程与已知数据相吻合，这过程就叫做拟合 (fitting)。
数据的插值与拟合问题在很多赛题中都有应用。
与图形有关的问题很多和插值与拟合有关系，例如98 年美国赛的A题，生物组织切片的三位插值处理，94 年的A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算。2001 年的公交调度拟合问题，2003年的饮酒驾车拟合问题， 2005年的雨量预报的评价的插值计算。甚至是上次的 东北三省赛的A题人口预测问题也涉及到了拟合计算。
互不相xj
xn
数学建模插值和拟合问题的总结
插值和数据拟合一、 插值方法问题：已知n+1个节点(x j ,y j )(j=0,1,…,n)，a=x 0<x 1<…< x n =b ，求任一插值点x*处的插值y*方法：构造一个相对简单的函数y=f(x)，使得f 通过所有节点，即f(x j )= y j ,再用y=f(x)计算x*的值。
1. 拉格朗日多项式插值设f(x)是n 次多项式，记作1110()n n n n n L x a x a x a x a --=++++要求对于节点(,)j j x y 有(),0,1,,n j j L x y j n ==将n+1个条件带入多项式，就可以解出多项式的n+1个系数。
实际上，我们有n 次多项式011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=----满足1,()0,,,0,1,,i j i jl x i j i j n =⎧=⎨≠=⎩则0()()nn i i i L x y l x ==∑就是所要的n 次多项式，称为拉格朗日多项式。
由拉格朗日多项式计算的插值称为拉格朗日插值。
一般来讲，并不是多项式的阶数越高就越精确，一般采用三阶、二阶或一阶（线性）多项式，对相邻点进行分段插值。
2. 样条插值在分段插值时，会造成分段点处不光滑，如果要求在分段点处光滑，即不仅函数值相同，还要一阶导数和二阶导数相同，则构成三阶样条插值。
一般用于曲线绘制，数据估计等。
例 对21,[5,5](1)y x x =∈-+，用n=11个等分节点做插值运算，用m=21个等分插值点作图比较结果。
见inter.m 程序二、 曲线拟合 三、 给药方案 １． 问题一种新药用于临床必须设计给药方案，在快速静脉注射的给药方式下，就是要确定每次注射剂量多大，间隔时间多长．我们考虑最简单的一室模型，即整个机体看作一个房室，称为中心室，室内血液浓度是均匀的．注射后浓度上升，然后逐渐下降，要求有一个最小浓度1c 和一个最大浓度2c ．设计给药浓度时，要使血药浓度保持在1c ~2c 之间．２． 假设（１）药物排向体外的速度与中心室的血药浓度成正比，比例系数是k(>0)，称为排出速度．（２）中心室血液容积为常数V ，t=0的瞬间注入药物的剂量为d ，血药浓度立即为dV． ３． 建模设中心室血药浓度为c(t)，满足微分方程(0)dckc dtd c V=-=用分离变量法解微分方程，有()ktd c te V-=(*) ４． 方案设计每隔一段时间τ，重复注入固定剂量D ，使血药浓度c(t)呈周期变化，并保持在1c ~2c 之间．如图：设初次剂量加大到D 0，易知0221,D Vc D Vc Vc ==-，2121()11ln[],()()ln c Vc t t t c t c k d k c τ=-=-= 那么，当12,c c 确定后，要确定给药方案0{,,}D D τ，就要知道参数V 和k ．５． 由实验数据做曲线拟合确定参数值已知1210,25(/)c c g ml μ==，一次注入300mg 药物后，间隔一定ln lndc kt V=- 记12ln ,,lndy c a k a V==-=，则有 12y a t a =+求解过程见medicine_1.m得120.2347, 2.9943a a =-=，由d=300(mg)代入算出k=0.2347,V=15.02(L) 从而有0375.5(),225.3(), 3.9()D mg D mg τ===小时四、 口服给药方案 １． 问题口服给药相当于先有一个将药物从肠胃吸收入血液的过程，可简化为一个吸收室，一个中心室，记t 时刻，中心室和吸收室的血液浓度分别是1()()c t c t 和，容积分别是V ,V1，中心室的排除速度为k ，吸收速度为k1，且k,k1分别是中心室和吸收室血液浓度变化率与浓度的比例系数，t=0口服药物的剂量为d ，则有11111,(0)dc dk c c dt V =-= (1) 111,(0)0V dckc k c c dt V=-+= (2) 解方程(1)有111()k td c te V -=代入方程(2)有111()()k t kt k d c t e e V k k--=--其中三个参数1,,dk k b V=,可由下列数据拟合得到：（非线性拟合）。
数学建模——拟合与插值
即要求 出二次多项式: f(x)a1x2a2xa3
11
中 的 A(a1,a2,a3) 使得:
[f (xi)yi]2 最小
i1
fun是一个事先建立的 定义函数F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为x和 xdata
选项见无 迭代初值 已知数据点 约束优化
18
25.03.2020
2. lsqnonlin
已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan） ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）
+
+
y=f(x) +
x i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
6
25.03.2020
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
2）计算结果：Ａ = [-9.8108, 20.1293, -0.0317]
f(x) 9.81x0 2 8 2.1 02x9 0 3 .0317
16
25.03.2020
用MATLAB作非线性最小二乘拟合
两个求非线性最小二乘拟合的函数：
lsqcurvefit、lsqnonlin。
相同点和不同点：两个命令都要先建立M-文件fun.m，定义函 数f(x)，但定义f(x)的方式不同。
(完整版)数学建模 插值和拟合
x
xn
x
4.2 MATLAB实现插值
Matlab 实现：实现插值不需要编制函 数程序，它自身提供了内部的功能函数 interp1(一维分段插值) interp2(二维) interp3(三维) intern(n维)
4.3.1一维插值
用MATLAB作插值计算
一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，'method')
h=1:0.1:12;
t=interp1(hours,temps,h,'spline');
plot(hours,temps,'+',h,t,'r:')
xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius’)
例1：从1点12点的11小时内，每隔1小时测量一次温度， 测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25，29， 31，30，22，25，27，24．试估计(1)每隔1/10小时 的温度值;（2）估计1点30分和13的温度值。
例1：从1点到12点的11小时内，每隔1小时测量一次温 度，测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25， 29，31，30，22，25，27，24．试估计(1)每隔 1/10小时的温度值;（2）估计1点30分和13的温度值。
hours=1:12;
temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];
x x0 y y0
x1 … xn y1 … yn
其中x0,x1, …xn是n+1个互不相同的点，求一个 近似函数 (x) ，使得
( xi ) f ( xi ) i 0,1 …n
数学建模 插值与拟合
%作图
2020/8/19
例 已知飞机下轮廓线上数据如下，Байду номын сангаасx每改变0.1时的y值。
X0 3
5
7
9 11 12 13 14 15
Y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
机翼下轮 廓线
y
x
自己思考，10分钟小组讨论！
2020/8/19
二维插值
（1）二维插值的定义
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点 插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插 值 ‘cubic’ 双三次插 值 要求x0,y0单调；x，y可取为缺矩省阵时，, 或x取双行线向性量插，值y 取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。
一、函数插值 二、曲线拟合
一维插值 二维插值
2020/8/19
在工程中，常有这样的问题：给定 一批数据点（它可以是设计师给定，也 可能是从测量与采样中得到），需确定 满足特定要求的曲线（面）通过所给所 有数据点，这就是插值问题。
2020/8/19
一维插值
（1）插值的定义 （2）插值的方法
拉格朗日插值 分段线性插值 三次样条插值
x x2 x0 x2
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
直接验证可知，Ln x满足插值条件.
Notice：拉格朗日多项式插值次数越高，越易产生振荡，这 种振荡称为龙格（Runge）现象 。
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合⽬录插值与拟合插值和拟合的区别图⽚取⾃知乎⽤户yang元祐的回答插值：函数⼀定经过原始数据点。
假设f(x)在某区间[a,b]上⼀系列点上的值y_i=f(x_i),i=0,1,\dots,n。
插值就是⽤较简单、满⾜⼀定条件的函数\varphi(x)去代替f(x)。
插值函数满⾜条件\varphi(x_i)=y_i,i=0,1,\dots,n拟合：⽤⼀个函数去近似原函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最⼩。
插值⽅法分段线段插值分线段插值就是将每两个相邻的节点⽤直线连起来，如此形成的⼀条折线就是就是分段线性插值函数，记作I_n(x),它满⾜I_n(x_i)=y_i,且I_n(x)在每个⼩区间[x_i,x_{i+1}]上是线性函数(i=0,1\dots,n-1)。
I_n(x)可以表⽰为I_n(x)=\sum_{i=0}^n y_il_i(x)，其中l_i(x)= \begin{cases} \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}},&x\in [x_{i-1},x_i],i \neq 0,\\ \frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}},&x\in [x_i,x_{i+1}],i \neq n,\\ 0,&其他 \end{cases}I_n(x)有良好的收敛性，即对x\in [a,b],有\lim _{n \rightarrow \infin}I_n(x)=f(x)⽤I_n(x)计算x点的插值的时候，只⽤到x左右的两个点，计算量与节点个数n⽆关。
但是n越⼤，分段越多，插值误差越⼩。
拉格朗⽇插值多项式朗格朗⽇(Lagrange)插值的基函数为\begin{aligned} l_i(x)&=\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}\\ &= \prod_{j=0\\j\neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i -x_j},i=0,1,\cdots,n。
插值与拟合方法
插值与拟合方法插值和拟合是数学中常用的方法，用于根据已知数据点的信息，推断出未知数据点的数值或函数的形式。
插值和拟合方法是经典的数学问题，应用广泛，特别是在数据分析、函数逼近和图像处理等领域。
1.插值方法：插值方法是通过已知数据点的信息，推断出两个已知数据点之间的未知数据点的数值。
插值方法的目的是保证插值函数在已知数据点处与实际数据值一致，并且两个已知数据点之间的连续性良好。
最常用的插值方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法根据已知数据点的横纵坐标，构造一个多项式函数，满足通过这些数据点。
拉格朗日插值法可以用于任意次数的插值。
牛顿插值法是使用差商的概念进行插值。
差商是指一个多项式在两个数据点之间的斜率。
牛顿插值法通过迭代计算得到与已知数据点一致的多项式。
插值方法的优点是可以精确地经过已知数据点，但是在两个已知数据点之间的插值部分可能会出现震荡现象，从而导致插值结果不准确。
2.拟合方法：拟合方法是通过已知数据点的信息，找出一个函数或曲线，使其能够最好地拟合已知数据点。
拟合方法的目标是寻找一个函数或曲线，尽可能地逼近已知数据点，并且能够在未知数据点处进行预测。
最常用的拟合方法是最小二乘法。
最小二乘法是通过求解最小化残差平方和的问题来进行拟合。
残差是指已知数据点与拟合函数的差异。
最小二乘法的目标是找到一个函数，使得所有数据点的残差平方和最小。
拟合方法的优点是可以得到一个光滑的函数或曲线，从而可以预测未知数据点的数值。
但是拟合方法可能会导致过拟合问题，即过度拟合数据点，导致在未知数据点处的预测结果不准确。
除了最小二乘法，还有其他的拟合方法，如局部加权回归和样条插值等。
局部加权回归是一种基于最小二乘法的拟合方法，它通过赋予不同的数据点不同的权重，来实现对未知数据点的预测。
样条插值是一种基于多项式插值的拟合方法，它将整个数据集分段拟合，并且在分段部分保持连续性和光滑性。
总结：插值和拟合方法是数学中的经典方法，用于根据已知数据点的信息，推断出未知数据点的数值或函数的形式。
插值与数据拟合建模
因此，在时段[t，t+Δt]，从B侧渗透至A侧的该物质的质量为：
于是有：
两边除以Δt，并令Δt→0取极限再稍加整理即得：
（1）
2) 注意到整个容器的溶液中含有该物质的质量不变,与初始时刻该物质的含量相同，因此
思考
最小二乘拟合函数 f(x，a1， …am)的选取
1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f：
2. 作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序curvefit,其调用格式为： a=curvefit(‘f’, a0, x, y)
这本四位数学用表给出sin ＝0.576，sin =0.5783。小华认为在sin 到sin 这样小的范围内，正弦可以近似为线性函数，于是很容易地得到Sin =0.576+(0.5783-0.5760)×0.6=0.5774
聪明的小华用的这个办法是一种插值方法——分段线性插值。实际上，插值可以理解为，要根据一个用表格表示的函数，计算表中没有的函数值。 表中有的，如（sin ，0.5760）(sin ,0.5783)称为节点；要计算的，如sin ，称为插值点，结果（0.5774）即为插值。小华作的线性函数为插值函数，插值函数所表示的直线当然要通过节点。
1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1函数拟合,可利用已有程序polyfit,其调用格式为:
a=polyfit(x,y,m)
用MATLAB作最小二乘拟合
注：f为拟合函数y=f(a,x)的函数M—文件，f(a,x)为拟合函数。
数学建模～插值与拟合
海底曲面图
%程序二：插值并作出水深小于5的海域范围。
x1=75:1:200;
y1=-50:1:150;
[x1,y1]=meshgrid(x1,y1);
z1=griddata(x,y,z,x1,y1,'v4'); %插值
x y z x y z
129 140 103.5 88 185.5 195 105 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 4 8 6 8 6 8 8 157.5 -6.5 9 107.5 77 81 162 162 117.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5 9 8 8 9 4 9
四、插值的MATLAB实现 五、拟合的Matlab实现
一、概述
我们经常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，例如 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算 法。此类问题在MATLAB中有很多现成的 函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法 都能游刃有余的用好。
数据拟合在很多赛题中有应用，与图形
X Y 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 1200 1130 1320 1390 1500 1500 1500 1480 1600 1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500 2000 1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550 2400 1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510 2800 1040 1300 900 1450 1600 1600 1430 3200 900 700 1100 1200 1550 1600 1300 3600 500 900 1060 1150 1380 1600 1200 4000 700 850 950 1010 1070 1550 980
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2003年的饮酒驾车拟合问题。
预测点和实测点的图形
插值后的图形
喝两瓶酒的拟合曲线
喝1-5瓶酒的拟合曲线
二、基本概念
在实际中，常常要处理由实验或测量所 得到的一些离散数据。插值与拟合方法就是 要通过这些数据去确定某一类已知函数的参 数或寻求某个近似函数，使所得到的近似函 数与已知数据有较高的拟合精度。 如果要求这个近似函数（曲线或曲面） 经过所已知的所有数据点，则称此类问题为 插值问题。 （不需要函数表达式）
数据拟合在很多赛题中有应用，与图形
处理有关的问题很多与插值和拟合有关系，
例如98年美国赛A题，生物组织切片的三维插
值处理，903年吵的沸沸扬扬的“非典”
问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走
向进行处理，2005年的雨量预报的评价的插
值计算。2001年的公交车调度拟合问题，
nearest linear spline cubic
运算时间 快 稍长 最长 较长
占用计算机内存 少 较多 较多 多
光滑程度 差 稍好 最好 较好
4.4 例题讲解
例1 【飞机轮廓模型】
已知飞机机翼截面下轮廓线的数据，见表1，求x 每改变0.1时y的值。
表1
x
y
0 3
5
7
9 11 12 13 14 15
X Y 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 1200 1130 1320 1390 1500 1500 1500 1480 1600 1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500 2000 1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550 2400 1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510 2800 1040 1300 900 1450 1600 1600 1430 3200 900 700 1100 1200 1550 1600 1300 3600 500 900 1060 1150 1380 1600 1200 4000 700 850 950 1010 1070 1550 980
举例说明
• 已知数据：
x y
插值图像
0 .3
.1 .5
.2 1
.3 .4 .5 .6 1.4 1.6 1.9 .6
拟合图像
.7 .4
.8 .8
.9 1 1.5 2
四、插值的使用及求解
4.1 引言 当数据量不够，需要补充，且认定已有数 据可信时，通常利用函数插值方法。
实际问题当中碰到的函数 f (x) 是各种各 样的，有的表达式很复杂，有的甚至给不出数 学的式子，只提供了一些离散数据，警如，某 些点上的函数值和导数值。
• 调整形如z = f(x,y)的曲面，使之与非等间距向量(x,y,z)中的
数据吻合。griddata 函数在指定的(cx,cy)点处插补此曲面，
生成cz. 此曲面一定通过这些数据点。 • cx和 cy 通常构成均匀网格(与meshgrid函数生成的相同). cx 可以是行向量，这种情况下该向量确定一个具有固定列 数的矩阵。与之类似，cy 可以是列向量，确定一个具有固
105 85.5 8
107.5 77 81 162 162 117.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5 8 8 4 9 9 9
作业1【山区地貌问题】
在某山区测得一些地点的高程如下表。平面区域为 1200<=x<=4000,1200<=y<=3600) 试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
例2【温度预测模型】
在 12小时内，测得温室每隔1小时测量一次
温度，具体数据见表2。求温室在3.2h，6.5h，
7.1h，11.7h的温度值。
表2
小时（h） 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
温度（oC）5
8
9
15 25 29 31
如果不要求近似函数通过所有数据点， 而是要求它能较好地反映数据变化规律的近 似函数的方法称为数据拟合。（必须有函数 表达式） 近似函数不一定（曲线或曲面）通过所
有的数据点。
三、插值与拟合的区别和联系
1、联系 都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够 反映数据变化规律的近似函数的方法。 2、区别 插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅 通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合 要求得到一个具体的近似函数的表达式。
定行数的矩阵。
• meshgrid 生成用于画三维图形的矩阵数据。
◆
[X,Y] = meshgrid(x,y)
• 将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域 [min(x)，max(x) ， min(y) ， max(y)] 用直线x=x(i),y=y(j)
（ i=1,2,…,length(x) ，j=1,2,…,length(y)）进行划分。这
在某海域测得一些点(x,y)处的水深 由下表给出，船 的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）×（50，150）里的哪些地方船要避免进入．
x y z x y z
129 140 103.5 88 185.5 195 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 4 8 6 8 6 8 157.5 -6.5 9
interp1(一维插值)
intep2(二维插值)
只能进行内部插值
interpn(n维插值)
griddata（散乱点插值）既可以计算内部插值， 又可以计算外部插值
用MATLAB作插值计算
一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的 插值结果
插值节点
被插值点
‘nearest’ ‘linear’
数据建模的 常用预测方法之一
——数据的拟合与插值 （小样本内部预测）
主讲人：刘清华
插值与拟合
一、插值的基本原理 二、拟合的基本原理 三、插值与拟合的关系
四、插值的Matlab实现 五、拟合的Matlab实现
一、概述
我们经常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，例如 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算 法。此类问题在MATLAB中有很多现成的 函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法 都能游刃有余的用好。
这些方法定义了匹配数据点的曲面类型。'cubic' 和 'v4' 方法生 成平滑曲面，而 'linear' 和 'nearest' 分别具有一阶导数和零阶 导数不连续。除'v4' 外所有方法基于数据的三角化。
• griddata
散乱点插值（数据网格化）
• cz =griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’）
表3
• 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形．
用MATLAB作散点数据的插值计算
插值函数griddata格式为: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’）
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 'v4'- MATLAB提供的插值方法 缺省时, 双线性插值
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
4.3 MATLAB实现插值 Matlab的插值函数分为内部插值和外部
插值，内部插值要求已知点x是单调的，并
且被插值点xi不能够超过x的范围。
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 双线性插值； ‘cubic’ 双三次插值；
缺省时 双线性插值. 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x 取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超 出x0,y0的范围．
练习2【平板表面温度问题】
• 测得平板表面3*5网格点处的温度见表3．
x5 3.12
x6 4.23
x7 x8 5.12 6.21
x9 x10 5.68 4.22
坐标 x1 x2 x3 深度 3.91 3.26 2.85
x4 x5 x6 x7 x8 x9 2.35 3.02 3.63 4.12 3.46 2.08
x10 0
图1
试根据以上数据估算河道的截面积，进而在已知水 的流速（设为1m/s）的情况下计算出水流量．如果 要在河床铺设一条电缆，试估计电缆的长度．
通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插 值方法的插值效果进行比较．
作业2【河流流量问题】
一条100米宽的河道的截面如图1 所示，为了测量其流 量需要知道河道的截面积．为此从河的一端开始每隔5 米测量出河床的深度，见表2．
表2
坐标 x1 深度 2.41
x2 2.96
x3 2.15
x4 2.65
30 22 25 27 24
练习1【温度变化问题】
某地区在1-12的11小时内，每隔1小时测量一
次温度，测得的温度（oC）依次为：5，8，9，
15，25，29，31，30，22，25，27，
24．试估计每隔1/10小时的温度值。
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
插值方法
最邻近插值； 线性插值； ‘spline’ 三次样条插值； 注意：所有的插值方法 都要求x是单调的，并且xi不 ‘cubic’ 立方插值； 缺省时 分段线性插值． 能够超过x的范围．