第五章插值法与曲线拟合插值法
5.曲线拟合法
实验数据本身的误差经过插值法计算后带来误差， 有时误差很大。 在这种情况下若要使误差影响小，需要构造逼近函 数，使得从总的趋势上更能反映被逼近函数的特性，即 找一简单函数（次数较低的Pn(x)）适用于整个[x1,xn]上， 但不要求严格地通过所有的( xi,yi)，只是尽可能的靠近 （ xi，yi ）点，能反映数据的基本趋势。 这儿的Pn(x)与已给函数从总体来说其偏差按某种方 法度量能达到最小，即Pn(x) - yi为极小，所以就将求逼近 函数的方法称为曲线拟合法。 因此插值法适用于数据精确或可靠度较高的情况。 而曲线拟合法适用于数据本身就有误差的情况。
j=1 i=0 m i=0 j=1 i=0 j=1 n m n m n
即
n j=1n j=1ai x来自i+k = yixjk
记
所以
Sk =xjk
j=1 m
n
， Tk = yj xjk
j=1
n
ai Sk+i = Tk（k=0，1，…… m）
i=0
就有正规方程组，可解出ai，得到P(x)
i=0 m
| Sk+i| 0，有唯一解。 2. 最小值问题 P(x)是使(a0,a1,…,am )取得最小值的m次多项式。 （1）描草图，粗略决定m=？（2）选P(x)= ai xj （3）建正规方程组 （4）解方程组得aj （5）得 P（x）= aj xj 可以化 形式 P(x)=AeMx 为 ln P = ln A+Mx y = B+Mx
第一节 最小二乘法原理
一、 最小二乘问题 例1 铜导线电阻与温度的关系，有7个数据对点，作 图后近似于一条直线。 设 有逼近函数 r =a+bt 且 Rj = a+btj-rj 一般不全为0
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
第5章 插值方法
第5章插值方法5.1 插值问题概述假设f(x)是某个表达式很复杂,甚至根本写不出来的实函数,且已知f(x)在某个区间[a,b]上的n+1个互异的点x0,x1,…,x n处的函数值f(x0),f(x1),…,f(x n)，我们希望找到一个简单的函数y=P(x),使得P(x k)=f(x k),k=0,1,…,n.这就是插值问题。
如果我们找到了这样的函数y=P(x),我们就可以在一定范围内利用P(x)近似表示f(x),从而解决了相应的计算问题。
1.利用函数值列表来表示插值问题对于一个插值问题来说，我们的已知条件就是n+1个互异的点处的函数值.回顾高等数学中学习过的函数的表示方法，我们可用下面表1的形式列出已知的函数值，并简称为由表1给出的插值问题。
表1：插值问题的函数值列表2.重要术语对于n+1个基点的插值问题，我们称：f(x) 为被插值函数;P(x)为插值函数；x0,x1,…,x n为插值基点或插值节点;P(x k)=f(x k),k=0,1,…,n为插值条件；[a,b]为插值区间。
注释：对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对数函数，指数函数，三角函数等这些问题现在已经不用插值法来计算了；对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接读出来的，f(x)只是一个概念中的函数。
3．多项式插值对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过n 的多项式，记为P n(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把P n(x)称为插值多项式。
实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数或分段多项式函数。
由于次数不超过n的多项式的一般形式为P n((x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n （1）所以只要确定了n+1个系数a 0,a 1,a 2,a n ，我们便确定了一个插值多项式。
4．多项式插值的一般方法对于n+1个基点的多项式插值问题，我们完全可以用上一章中的办法来求插值多项式P n (x)的系数，a 0,a 1,a 2,a n ，它们可表为下面的线性方程组的解，所以多项式插值相对说来是很简单的。
常用数值分析方法3插值法与曲线拟合
p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
X.Z.Lin
3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数 据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值 可疑数据与其最邻近数据之间的差
法 求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差 经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
21:39 07.02.2021
2/37
X.Z.Lin
3.1.2 数据的统计分析
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
21:39 07.02.2021
9/37
X.Z.Lin
3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn） 求：其间任意 x 对应的 y 值
计算方法PPT课件第五章 插值与拟合
因此
li (x)
(x x0 )(x x1 ) (xi x0 )(xi x1 )
(x ( xi
xi1 )(x xi1 ) ( x xi1 )( xi xi1 ) ( xi
xn ) xn
)
n x x j . j0 xi x j ji
5.2.2 拉格朗日插值多项式
设用试验或观测方法得到函数 的如下函数y 值f表(x)
xi x0 , x1, , xn
yi y 0 , y1 , , y n
(5.11)
其中：yi f (xi )(i 0,1,..., n).我们用插值基函数li (x)(i 0, 1,..., n)的线性组合来构造满足式(5.11)的插值多项式，令
2020年1月26日星期日
主讲 韩光朋
17
(2) 将x 2.5代入，得L2 (2.5) 1.2625，因此
f (2.5) L2 (2.5) 1.2625.
(3)
f
(x)
ln(1
x), 求出f
''' ( x)
2 (1 x)3
,
从而max f ''' ( x) 1 .
1 x3
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
,
(5.6)
其中： （a,b)且依赖于x,而x [a,b].
证明（见P111)略
2020年1月26日星期日
主讲 韩光朋
9
在实际插值问题中，由 于一般不知道，且实
际插值中f (x)一般较复杂或者未知， 因此用余项公 式（5.6）求误差是较困难的， 只能对其进行估计。 若
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合是数据处理和分析中常用的方法，它们的主要差异如下：
1. 目标不同：
- 插值法的主要目标是通过已知数据点的函数值推断未知数据点的函数值，以填充数据的空缺部分或者进行数据的重构。
- 曲线拟合的主要目标是通过已知数据点拟合出一条函数曲线，以描述数据点之间的趋势或模式。
2. 数据使用方式不同：
- 插值法使用已知数据点的函数值作为输入，通过构造插值函数来推断未知数据点的函数值。
- 曲线拟合使用已知数据点的函数值作为输入，并通过选择合适的拟合函数参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
3. 数据点要求不同：
- 插值法要求已知数据点间的函数值比较准确，以保证插值函数的质量，并要求数据点间的间距不会过大，避免出现过度插值或者不稳定的现象。
- 曲线拟合对于数据点的要求相对较松，可以容忍噪声、异常值等因素，因为它不需要将函数曲线完全通过所有数据点。
4. 应用场景不同：
- 插值法常见应用于信号处理、图像处理等领域，可以用于填充缺失数据、图像重构等任务。
- 曲线拟合常见应用于数据分析、模型建立等领域，可以用
于描述数据间的趋势、拟合科学模型等。
综上所述，插值法和曲线拟合在目标、数据使用方式、数据点要求和应用场景等方面存在明显的差异。
计算方法教学配套课件刘师少第五章插值与曲线拟合
Tel：86613747E-mail：*************授课: 68学分：45.1 问题的提出– 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值y i = f(x i )– 或者给出函数表x x 0x 1x 2……x n yy 0y 1y 2……y n第五章插值与曲线拟合5.2 插值法的基本原理设函数y=f (x )定义在区间[a, b ]上,是[a, b ]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 ,即若存在一个f(x)的近似函数 ,满足则称为f (x )的一个插值函数, f (x )为被插函数, 点x i 为插值节点, 称(5.1)式为插值条件, 而误差函数R(x)= 称为插值余项, 区间[a, b ]称为插值区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插n x x x ,,,10 )(,),(),(10n x f x f x f )(i i x f y =)(x ϕ),,2,1()()(n i x f x i i ==ϕ)(x ϕ(5.1))()(x x f ϕ-插值函数 在n+1个互异插值节点(i=0,1,…,n )处与 相等,在其它点x 就用的值作为f (x )的近似值。
这一过程称为插值，点x 称为插值点。
换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所 要点的函数值。
用的值作为f (x )的近似值,不仅希望能较好地逼近f (x ),而且还希望它计算简单。
由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。
所 以本章主要介绍代数插值。
即求一个次数不超过n 次的多项式。
)(x ϕi x )(i x f )(x ϕ)(x ϕ)(x ϕ0111)(a x a xa x a x P n n n n ++++=--111)(a x a xa x a x P n n n n ++++=-- 满足),,2,1,0()()(n i x f x P i i ==则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合的主要差异引言在数学和统计学中，插值法和曲线拟合是两种常用的数据处理方法。
它们在数据分析、模型构建和预测等领域发挥着重要作用。
本文将详细介绍插值法和曲线拟合的定义、原理、应用以及它们之间的主要差异。
插值法定义插值法是一种通过已知数据点之间的函数关系来推断未知数据点的方法。
它基于一个假设，即已知数据点之间存在一个连续且光滑的函数，并且通过这个函数可以准确地估计其他位置上的数值。
原理插值法通过对已知数据点进行插值操作，得到一个近似函数，然后使用这个函数来估计未知数据点的数值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
应用插值法在各个领域都有广泛应用，如地图制作中根据少量已知地理坐标点推算其他位置上的坐标；传感器测量中根据离散采样点推断连续时间序列上未采样到的数据；图像处理中通过已知像素点推测其他位置上的像素值等。
主要特点•插值法可以精确地通过已知数据点估计未知数据点的数值，适用于需要高精度估计的场景。
•插值法对输入数据的要求较高，需要保证已知数据点之间存在连续且光滑的函数关系。
•插值法只能在已知数据点之间进行插值，无法对整个数据集进行全局拟合。
曲线拟合定义曲线拟合是一种通过选择合适的函数形式，并调整函数参数来使得函数与给定数据集最为接近的方法。
它不仅可以对已知数据进行拟合，还可以根据拟合结果进行预测和模型构建。
原理曲线拟合首先选择一个适当的函数形式，如多项式、指数函数、对数函数等。
然后使用最小二乘法或最大似然估计等方法来确定函数参数，使得函数与给定数据集之间的误差最小化。
应用曲线拟合广泛应用于各个领域，如经济学中根据历史数据构建经济模型进行预测；物理学中通过实验数据来验证理论模型；生物学中根据实验测量数据拟合生长曲线等。
主要特点•曲线拟合可以对整个数据集进行全局拟合，能够更好地描述数据的整体趋势。
•曲线拟合可以选择不同的函数形式和参数，灵活性较高。
•曲线拟合可能存在过拟合或欠拟合的问题，需要通过模型评估和调整来提高拟合效果。
《数值分析》第5章 曲线拟合与函数插值
例如用函数
y Aebx
(5.8)
去拟合一组给定的数据，其中 A和 b是待定参这数时. ，可以在 (5.8) 式两端取
对数，得
ln y ln A bx
记 y ln y，a ln A，则上式可写成 y a b. x这样，仍可用最小二乘法解出
和 a (从而b 也就确定了 和 A) ，于b 是得到拟合函数
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
s0 10, s1 545, s2 29785, u0 18.09, u1 987.78
于是正规方程组为
10 545 a 18.09 545 29785 b 987.78
5.1.2 最小二乘拟合多项式
解得 a 0.570，4 b 0.02，27于是 A ea 1.76，90所求拟合函数为
21 91
441
a1
163
91 441 2275 a2 777
解得 a0 26.8，a1 14.08，57 a2 ，2因此所求拟合多项式为
第5章 多项式、插值与数据拟合
两个多项式的和与差：
ya a1x a2 x
m n
m1 n1
am x am1 bn x bn1
yb b1x b2 x
命令poly_add:求两个多项式的和,其调用格式为: c= poly_add(a,b) 多项式a减去b，可表示为: c= poly_add(a,-b)
例： y ( x 1)6 x6 6x5 15x4 20x3 15x2 6x 1
>> r=roots([1 -6 15 -20 15 -6 1]) r= 1.0048 + 0.0000i 1.0024 + 0.0042i 1.0024 - 0.0042i 0.9976 + 0.0042i 0.9976 - 0.0042i 0.9952 + 0.0000i 舍入误差的影响，与计算精度有关。
>> x=[0.3:0.005:0.35];y=hermite(x0,y0,y1,x); >> plot(x,y) >> y2=sin(x); hold on >> plot(x,y2,'--r')
5.2.3 Runge现象
• 问题的提出：根据区间[a,b]上给出的节点做 插值多项式p(x)的近似值，一般总认为p(x)的 次数越高则逼近f(x)的精度就越好，但事实并 非如此。 1 f ( x) • 反例： 1 x2 在区间[-5,5]上的各阶导数存在，但在此 区间上取n个节点所构成的Lagrange插值多项 式在全区间内并非都收敛。 • 取n=10,用Lagrange插值法进行插值计算。
• 算例:对给定数据,试构造Hermite多项式求出 sin0.34的近似值。 >> x0=[0.3,0.32,0.35]; >> y0=[0.29552,0.31457,0.34290]; >> y1=[0.95534,0.94924,0.93937]; >> format long; y=hermite(x0,y0,y1,0.34) y= 0.333488890074074 >> sin(0.34) ％与精确值比较 ans = 0.333487092140814
第五章曲线拟合PPT课件
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
曲线拟合的概念
在科学和工程试验中，经常产生一组数据 (x1,y1),…,(xN,yN),如果所有的数值 {xk}, {yk} 有多位有效数字精度，则能用多项式插值； 若数据的精度不高，或者有试验误差，则 只能使用多项式拟合。
问题：如何找到一个经过数据点附近（不总是穿过） 的最佳逼近表达式？
线性最小二乘法（续2）
矩阵形式：构造矩阵F
f1(x1)
f1(x2 )
F
f1(x3 )
f1(xN )
f2 (x1) f2 (x2 ) f2 (x3 )
f2 (xN )
fM (x1)
f
M
(
x2
)
f
M
(
x3
)
fM (xN )
f1(x1)
则
F'
f2(x1)
f1(x2) f2(x2)
f1(x3) f2(x3)
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
多项式拟合
使用函数集合{fj(x)=xj-1}, j=1,…, M+1作线性最小 二乘，则得到的拟合函数f(x)为M阶多项式 f(x)=c1+c2x+c3x2+…+cM+1xM
使用最小二乘多项式拟合非线性数据的方法简单有 效，但如果数据不具有多项式特性，则求出的曲线可 能产生大的振荡。这种现象称为多项式摆动，它在高 阶多项式情况下更容易发生。由于这个原因，一般很 少使用超过6阶的多项式，除非已知被拟合的曲线是 真实的多项式。
几何意义是：数据点到曲线的垂直距离平方和最小
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
最小二乘拟合直线
定理5.1 设{(xk, yk)}kN1有N个点，其中横坐标{xk}是
第五章 插值法
数值分析——插值法
函数值计算
正弦函数表如下
求 sin(5 24) ?
x
y sin x
6
12
4
2 2
3
3 2
本章问题 已知数据表，求f(x)的近似函数. x x0 x1 …… xn y0 y1 …… yn y sin x
设 y f (x) [a, b] ,且已知 [a, b]上 n 1 个点 xi (i 0,1, n) 的对应函数值为 yi (i 0,1, n) 求简单函数 p(x),使满足 p( xi ) yi , i 0,1, n 插值区间 [a,b] 被插值函数 y f (x) 插值函数 p(x) 插值节点 xi (i 0,1, n) 插值条件 p( xi ) yi , i 0,1, n 插值多项式: p(x) 为多项式. 插值问题
p(x) 的求法:
1)待定系数法(解方程组) 2)构造法:Lagrange、Newton
数值分析——插值法
5.2 拉格朗日插值
5.2.1 线性插值与抛物插值 一、线性插值 (n=1) 过两个已知点 ( xi , yi ),i 0,1 ，求直线方程 几何意义：
L1 ( x) y0
y1 y0 ( x x0 ) 点斜式方程： x1 x0 x x1 x x0 L y0 y1 两点对称式方程： 1 ( x) x0 x1 x1 x0
数值分析——插值法
所谓插值问题：就是已知 被插值函数在插值区间上一些 互异节点的函数值,求插值函 数 p (x) , 使 满 足 插 值 条 件
【定理1】
满足 n 1 个互异节点条件 pn ( xi ) yi (i 0,1,, n)
第五章 曲线拟合
泰勒展开
arctgx x x3 x5 .....取. arctgx x 35
R(x) | arctg11| 0.2146
以x＝0,x=1 作线性插值
arctgx x 1 arctg0 x 0 arctg1 0.7854x
0 1
1 0
R(x) (1 2 ) x(x 1) 0.0711
n
ck j Pk (x j ) y j j 1
m
cik ai ck (k 0,1...m)
i0
写成方程组形式
c00a0 c01a1 c0mam c0 c10a0 c11a1 c1mam c1
cm0a0 cm1a1 cmmam cm
二、正交多项式的曲线拟合
1.) 概念：
)2
j 1
j 1 i0
对ak求偏导数（k＝0,1…m)
ak
nm
2
(
ai
x
i j
j1 i0
y
j
)
x
k j
0
m
m
n
化简得
ai
xik j
y
j
x
k j
i0 j 1
j 1
n
n
记
x
k j
Sk
y
j
x
k j
Tk
j 1
j 1 m
aiSki Tk (k 0,1m)
i0
写成矩阵形式
S0 S1 S2 Sm S1 S2 S3 Sm1 S2 S3 S4 Sm2 Sm Sm1 Sm2 S mm
0 (k 0,1,m)
ak
n
m
j[ ai Pi (x j ) y j ]Pk (x j ) 0
插值和拟合
插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的目的，即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。
简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λ3), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。
如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。
表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。
而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。
插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。
如果约束条件中只有函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。
从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。
一、概念的引入1. 插值与拟合在现实生活中的应用l 机械制造：汽车外观设计l 采样数据的重新建构：电脑游戏中场景的显示，地质勘探，医学领域（CT）2.概念的定义l 插值：基于[a,b]区间上的n个互异点，给定函数f(x)，寻找某个函数去逼近f(x)。
若要求φ(x)在xi处与f(xi)相等，这类的函数逼近问题称为插值问题，xi即是插值点l 逼近：当取值点过多时，构造通过所有点的难度非常大。
此时选择一个次数较低的函数最佳逼近这些点，一般采用最小二乘法l 光顾：曲线的拐点不能太多，条件：①二阶几何连续②不存在多余拐点③曲率变化较小l 拟合：曲线设计过程中用插值或通过逼近方法是生成的曲线光滑(切变量连续)光顾二、插值理论设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]上有互异点x0,x1,…,xn处取值y 0,y1,…,yn。
插值法与曲线拟合
故用线性插值求得的近似值为
y
(x , y ) 00
y L2x
(x , y ) 11
y f x
(x , y ) 22
0
x0
x1
x
图2-3
11515 100
121 121
11*115 100 121 100
10.714
15
仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为
例1 已知 100 10, 121 11, 144 12分别用线性插值和抛物插值
求 115 的值。
14
解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有
y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1
(x)
10
*
x 121 100 121
11*
x 100 121 100
为插值多项式Pn (x) 的余项。
17
关于误差有如下定理2中的估计式。
定理2 设 f (x) 在区间 a,b
上有直到n+1阶导数，x0, x1,, xn
为区间 a,b 上n+1个互异的节点， Pn (x) 为满足条件:
Pn (xi ) f (xi )(i 0,1,, n)
（2.9）
的n次插值多项式，则对于任何 x a,b ，有
的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求出n+1个n次插 插多项式 l0 (x), l1(x),,ln (x) 。容易看出，这组多项式仅与节点的取
法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式或n次插值
基函数。
11
2.2 拉格朗日插值多项式
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次插值
第五章插值与拟合方法
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
2
10
101
0
回多项式的降幂系数。当k>n-2时，该命令实现多 项式插值 ✓ 一元插值 yi=interp1(x,y,xi)：根据数据(x,y)给出在xi的分段线性 插值结果yi yi=interp1(x,y,xi,’spline’)：使用三次样条插值 yi=interp1(x,y,xi,’cubic’)：使用分段三次插值 ✓ 二元插值 zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’method’)：二维插值
根据一组（二组）数据，即平面上的若干点， 确定一个一元函数，即曲线，使这些节点与曲线总 体来说尽量接近，这就是曲线拟合。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造 一个函 数作为近似，由于近似的要求不同，二者的 数学方法是完全不同的。
数据插值拟合MATLAB命令
✓ 多项式插值和拟合 p=polyfit(x,y,k): 用k次多项式拟合向量数据(x,y)，返
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
x=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]; y=[19.21 18.15 15.36 14.
10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01];
plotc(x,y,'--o') c2
c(t) c0ekt c, k为待定系数
c1
0
算术坐标系统:就是普通的笛卡儿坐标，横纵的刻 度都是是等距的
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Nn (x) c00 (x) c11(x) L cnn (x)
(4)
可以证明,这样选取的基函数是线性无关的,由此得
出的问题4.1的解便于求值,而且新增加一个节点 xn+1时
只需加一个新项 cn1n1(x) 即
Nn1(x) c00 (x) c11(x) L cnn (x) cn1 n1(x)
而
n1(x) (x xn )n (x)
依据条件(2),可以依次确定系数c0,c1,…,cn..例如,
取x=x0,,得 c0 Nn (x0 ) f (x0 )
取x=x1 ,得 Nn (x1) c0 c1(x1x0 ) f (x1)
c1
Nn (x1) c 0 x1 x0
f (x1) f (x0 ) x 1 x0
n+1个点上的n次插值多项式，对于这样的Q(x) ，有
Q(x1 ) c0 f1
Q(x2 ) c0 c1 (x2 x1 ) f 2
Q(xn ) c0 c1 (xn x1 ) cn1 (xn x1 )(xn x2 ) (xn xn1 ) f n
Q(xn1 ) c0 c1 (xn1 x1 ) cn (xn1 x1 )(xn1 x2 ) (xn1 xn )
二 差商的定义
给定[a,b]中互不相同的点x0,x1,x2,…,以及f(x)在这些点处相
应的函数值f(x0),f(x1),f(x2),…,用记号
f [x0 , x1]
f (x0 ) f (x1) x0 x1
表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号
f [x0 , x1, x2 ]
f [x0 , x1] f [x1, x2 ] x0 x2
f
( (n1) x
(n 1)!
)
wn 1 ( x)
,
x (a,b)
n
Ln (x) f (xi )li (x)
i0
其中
l
i
(x)
(x x0 )L (x i x0 )L
(x (xi
xi 1 )( x xi 1 )( xi
xi1)L xi1)L
(x xn ) (xi xn )
,i =0,1,…,n
0(x) 1
i (x) (x xi1)i1(x)
(3)
(x x0 )(x x1)L (x xi1) , i 1, 2,L n
定义 由式(3)定义的n+1个多项式 0 (x),1(x),L ,n (x) 称为Newton插值的以x0,,x1,…,xn为节点的基函数cn1n1(x) ,即
f n1
优点: 具有严格的规律性,便于记忆.
缺点: 不具有承袭性,即每当增加一个节点时,不仅要增加求 和的项数,而且以前的各项也必须重新计算.
为了克服这一缺点,本讲将建立具有承袭性的插值公式— Newton插值公式.
本讲主要内容:
● Newton插值多项式的构造 ● 差商的定义及性质 ● 差分的定义及性质 ● 等距节点Newton插值公式
记
Nn(x)= f(x0)+(x-x0) f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1) f[x0,x1,x2]
f[x,x0,…xn-1]= f[x0,…,xn]+(x-xn)f[x,x0,….,xn]
将以上各式，由下而上逐步代入，得到
f(x)= f(x0)+(x-x0) f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1) f[x0,x1,x2]
+…+(x-x0)…(x-xn-1) f[x0,…,xn]
(5)
+(x-x0)…(x-xn-1)(x-xn)f[x,x0,…xn]
表示f(x)在x0,x1,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后, 可以定义f(x)在x0,x1,..,xk的k阶差商
f [x0 , x1,L
, xk ]
f [x0 , x1,L
, xk1] f [x1, x2 ,L x0 xk
, xk ]
三 Newton插值公式
由差商定义,有
f(x)= f[x0]+(x-x0)f[x,x0] f[x,x0]= f[x0,x1]+(x-x1)f[x,x0,x1] f[x,x0,x1]= f[x0,x1,x2]+(x-x2)f[x,x0,x1,x2] ………..
取x=x2,得
Nn (x 2) c0 c1(x2 x0) c2(x2 x0)(x2 x1) f (x2)
c2
Nn (x2) c0 c1(x 2x0) (x2 x0)(x2 x1)
f (x2)
f
(x0)
f
(x1) x1
f (x0 x0
).(
x2
(x2 x0)(x2 x1)
第 五 章 插 值 法 与曲线拟合
插值法
上一讲的简单回顾
● 插值多项式的存在惟一性: 满足插值条件
Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,…,n)
n次插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn 存在而且惟一.
● 插值余项: Rn(x)= f(x)- Pn(x)= ● Lagrange插值多项式
称为Lagrange插值基函数
§1.3 牛顿途径
对于n+1个不同的节x1, x点2 , , xn1 虑n次多项式
，考
Q(x) c0 c1(x x1) c2 (x x1)(x x2 )
（6）
cn (x x1)(x x2 ) (x xn )
如果满足：Q(xi ) f (xi ) fi ,i 1,2,3, , n, n 1 ，那么它就是
一 基函数
问题1 求作n次多项式 Nn (x)
Nn (x) c0 c1(x x0 ) c2 (x x0 )(x x1) L
(1)
使满足
cn (x x0 )(x x1)(x x2 )L (x xn1)
Nn (x i ) f (xi ), i 0,1,L n
(2)
为了使 Nn (x) 的形式得到简化,引入如下记号
x0)
f (x2)
f (x1)
f
(x1) x1
f( x0
x0
)
(
x1
x0
)
f
(x1) ห้องสมุดไป่ตู้1
f( x0
x0
)
(
x2
x0)
(x2 x0)(x2 x1)
f
(x2) x2
f (x1) x1
f
(x1) x1
f( x0
x0
)
(x2 x0)
为了得到计算系数ci的一般方法,下面引进差商的概念.