第五章 信号的抽取与插值

第5章信号的抽取与插值

5.1前言

至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率f视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际工作中，我们经常会s

遇到抽样率转换的问题。一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。例如：

1. 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换；

2. 如在音频世界，就存在着多种抽样频率。得到立体声声音信号（Studio work）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz[15]。

3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；

4.对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；

5. 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。

以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。“多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。

减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）。抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。

滤波器组，因名思义，它是一组滤波器，它用以实现对信号频率分量的分解，然后根

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据需要对其各个“子带”信号进行多种多样的处理（如编码）或传输，在另一端再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合。前者称为分析滤波器组，后者称为综合滤波器组。

我们将在本章详细讨论抽样率转换的方法，在第6、第7及第8三章讨论滤波器组问题。

5.2信号的抽取

设nTs t t x n x ==|)()(，欲使s f 减少M 倍，最简单的方法是将)(n x 中每M 个点中抽取一个，依次组成一个新的序列)(n y ，即

)()(Mn x n y =

n =-∞~+∞ (5.2.1)

现在我们证明，)(n y 和)(n x 的DTFT 有如下关系：

∑-=-=

10

/)2()(1

)(M k M

k j j e

X M

e Y πωω

（5.2.2）

证明： 由（5.2.1）式，)(n y 的z 变换为

∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=--=

=

n n n

n

z

Mn x z

n y z Y )()()( （5.2.3）

为了导出)(z Y 和)(z X 之间的关系，我们定义一个中间序列)(1n x ：

⎩⎨

⎧=0

)()(1n x n x 其它,,2,,0 M M n ±±= (5.2.4) 注意，)(1n x 的抽样率仍示s f ，而)(n y 的抽样率是M f s /。)(n x 、)(1n x 及)(n y 如

图5.2.1（a ），（b ）和（c ）所示，抽取的框图如图（d ）所示。图中符号

M 倍抽取。

由该图，显然 )()()(1Mn x Mn x n y ==，这样，有

∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=--=

=

n n M

n n

z

n x z

Mn x z Y /1

1

)()()( 即 )()(/11M

z

x z Y =

(5.2.5)

现在的任务是要找到)(1z x 和)(z x 之间的关系。

令∑∞

-∞

=-=

i Mi n n p )()(δ为一脉冲序列，它在M 的整数倍处的值为1，其余皆为零，

其抽样频率也为s f 。由1.8节的Possion 和公式及DFS 的理论，)(n p 又可表示为：

∑-=-=

10

1

)(M k kn M

W

M

n p , M

j M e

W /2π-= (5.2.6)

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因为)()()(1n p n x n x =，所以：

∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=--==

n n n k M

n

zW

n x M

z

n p n x z X ))((1)()()(1

即：

∑-==

10

1)(1

)(M k k M

zW

X M

z X

(5.2.7)

将该式代入（5.2.5）式，有

∑-==

10

1)(1

)(M k k M

W z

X M

z Y

(5.2.8)

令ω

j e

z =代入此式，即得（5.2.2）式，证毕。

（5.2.8）式又常写成如下形式

∑-==

10

)(1

)(M k k M

M

zW

X M

z Y

(5.2.9)

图5.2.1信号抽取示意图，M =3, 横坐标为抽样点数

()a 原信号()x n ，1()()b x n ，()c 抽取后的信号()y n ，（d ）抽取的框图